Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 2: Cho tú giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O. Kí Hiệu S là diện tích. Hãy tìm đường chéo BD điểm M sao.. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C vẽ hình vuông AHKE. gọi P là giao [r]
(1)Đ ề thi HSG I Tr¾c nghiƯm:
Hãy chọn chữ cãi đứng trớc câu trả lời câu sau:
C©u 1: §Ĩ ®a thøc f(x) = x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b bình phơng đa thøc th×: A a = 3; b = B a = 3; b = C a = 4; b = D a = 1; b = Câu 2: Cho phân thức x(x-1)2
2x Giá tri cđa ph©n thøc b»ng khi:
A x = B x = hc x = C x = D Không có giá trị x Câu 3: Kết phép tính (a6 - 1) : (a2 - 1) lµ:
A a4 + 1 B a4 + a2 + C a4 + 2a2 + D Không thực đợc Câu 4: Một tam giác có độ dài hai cạnh 3cm 8cm, góc xen 600 Độ dài cạnh lại là:
A 7cm B 4cm C 55 D 63
C©u5 Cho
x-1 Kết sau đúng? A x = B x =
2 C
1
2 x2 D x = C©u BiÕt 5 x 4 th× (x - 5)2 b»ng:
A B 16 C 32 D 256
Câu Tổng A = - 32 + 33 - 34 + - 3100 đợc kết là: A 3 3101
4
B 3 3101
C - 3101 D 3101 - 3
C©u Mét tam gi¸c cã gãc B - gãc C = 300, tia phân giác góc A cắt BC D Số ®o gãc ADB lµ:
A 300 B 450 C 600 D 750 II Tự luận:
Câu 5: Giải phơng trình sau: a/ 2x3 + x2 - 5x + = 0
b/ 2x4 - 21x3 + 74x2 - 105x + 50 = 0 c/ 2x1 2x 1
C©u 6: Cho P = 28
x x
x
Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn P Câu 7:
a/ Cho ba sè chÝnh ph¬ng A, B, C Chøng minh r»ng: (A - B)(B - C)(C - A) chia hÕt cho 12
b/ Cho a3 + b3 + c3 = 3abc víi a, b, c kh¸c TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: P = a b c
b c a
Câu 8: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 5cm; BC = 6cm Vẽ đờng phân giác AD, BE, CF
a/ Tính độ dài EF
b/ TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c DEF C©u 9:
a/ Chøng minh r»ng nÕu a + b + c 3 th× a4 + b4 + c4 a3 + b3 + c3
(2)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Đề 1
Bài 1: Trên cạnh AB<BC<AC tam giác ABC cố định, người ta lấy
các điểm M,N,P cho Tính diện tích MNP theo diện
tích ABC theo k
Tính k Sao cho diện tích MNP đạt GTNN
Bài 2: Cho tú giác ABCD có đường chéo cắt O Kí Hiệu S diện tích. Cho diện tích AOB diện tích COD với a,b số cho trước
1, Hãy tìm GTNN diện tích ABCD ?
(3)cho đường thẳng qua M // với AB bị cạnh AD, BC đường chéo AC, BD chia thành phần
Đề 2
Bài Rút gọn biểu thức: A=
Bài Giải phương trình a)
b)
Bài Cho a,b,c thỏa mãn ab+bc+ac=4
chứng minh rằng: a2+b2+c2 lớn 4
Bài cho tam giác ABC vuông A (AC>AB),đường cao AH Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C vẽ hình vng AHKE gọi P giao điểm AC KE a)tính góc tam giác ABP
b)gọi Q đỉnh thứ tư hình bình hành APQB, gọi I giao điểm BP QA.cm H,I,K thẳng hàng
c)Gọi F giao điểm AK HE cm AI.AK=AF.AQ Đề
Bài 1:Cho đa thức P(x)= 2x4-7x3-2x2+13x+6
1) Phân tích P(x) thành nhân tử
2) Chứng minh P(x) chia hết cho với x thuộc Z
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD (AC>BD) Vẽ CE vng góc với AB CF vng góc với AD Chứng minh rằng: AB.AE+AD.AF=
Bài 3: Cho phân thức F(x)= 1) Rút gọn phân thức
2) Xác định x để phân thức có giá trị nhỏ
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC 289 đường cao AH 120 Tính hai cạnh AB AC
Bài 5:Cho số dương a,b,c 1)C/m: >9 2) Giải phương trình:
.2đ
tìm nghiệm nguyên dương phương trình xyz= x + y + z 2.2đ:
(4)b,cho số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện xyz=100.tính giá trị biểu thức: 3.(2đ)
a,CMR số x,y,z có tổng số ko âm thì:
b, cho m,n số thỏa mãn điều kiện tìm :
4.(1,5đ).trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m - 4)x+ (m-3)y=1( m tham số ).tìm m để KC từ gốc tọa độ đến d lớn
5.(2,5đ).Cho (O) đường kính BC = 2R từ điểm P tia tiếp tuyến B đường tròn,vẽ tiếp tuyến thứ hai PA với đường tròn(A tiếp điểm).Gọi H hình chiếu A BC,E giao điểm PC AH
a,CM : E TĐ AH
(5)Sở GD-ĐT Hà TĩNH Đề THI họC SINH GiỏI LớP NĂM HọC 2008-2009
PHòNG GD-ĐT HƯƠNG SƠN MÔN : TOáN(Thời gian 120 phút) Câu: 1Cho biÓu thøc A= )( 1004)
1
1
1
( 2
2
x x x
x x x
x x
x
a) Tìm điều kiện xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A
c) Víi giá trị x A <
Câu :2 Cho hai số dơng x y thoả mÃn x+y=1
a) Tính giá trị biểu thức M= x(x+34) +y(y+34) +2xy +65 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =(1- 12)(1 12)
y x C©u :3 §a thøc P(x) bËc cã hƯ sè bËc cao
Giả sử P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= HÃy tính giá trị cđa biĨu thøc : Q= P(-2)+7P(6)
Câu : Tìm tất số nguyên n tho¶ m·n (n+5)2 =[4(n-2)]3
(6)tia Ax By vuông góc với AB Lấy điểm C Ax, lấy điểm D trªn By cho gãc COD=900
a) Chứng minh ACO đồng dạng với BOD b) Chứng minh CD=AC+BD
c) KỴ OM vuông góc với CD M Gọi N giao điểm AD với BC Chứng minh MN // AC
Trường THCS Tiến Thịnh Đề Khảo sát học sinh giỏi Mơn: Tốn Lớp
Thời gian: 120 phút Câu 1( 2đ):
Biết: a - b = 25 Hãy tính giá trị biểu thức: A = a( a + 2) + b( b - 2) - 2ab – 75
b) Cho: x + y = 2; x2 + y2 = 10 Tính giá trị biểu thức: B = x3 + y3 Câu 2( 2đ):
Cho x + y = a; x2 + y2 = b; x3 + y3 = c Chứng minh: a3 - 3ab +2c =
Câu 4( 2đ): a) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c cạnh tam giác thì: b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = ( x - 2)2 + ( x - 3)2
Câu 5( 2đ): Giả sử AC đường chéo lớn hình bình hành ABCD Từ C, vẽ đường vng góc CE với đường thẳng AB, đường vng góc CF với đường thẳng AD ( E, F thuộc phần kéo dài cạnh AB AD) Chứng minh rằng:
(7)(8)C©u Néi dung §iĨm
a
- Rót gän: A = 23 3
1 1
x x x
x x x x
= 2
1 3
1
x x x x x x
x x x
=
3 2
2
2
1
2 1
1
1 1
x x x
x x x x x
x x
x x x x x x
1®iĨm 1®iĨm b
Víi mäi x ≠ - th× A =
2 1 x x x x = 2 4 x x V× 2
1 3
0; 0, 0,
2 4
x x x A x
1®iĨm 1®iĨm a
* Víi x (*) x - x1 x 1 ta có phơng trình x2 -3x + + x-1 =
2
2 2 1 0 1 0 1
x x x x
( Tho¶ m·n ®iỊu kiƯn *)
* Víi x< (**) x - x1 1 x ta có phơng trình x2 -3x + + - x = x2 4x 3 0 x1 x 3 0 + x - = x1( Kh«ng tháa m·n ®iỊu kiƯn **)
+ x - = x3 ( Không thoả mÃn điều kiện **) Vậy nghiệm phơng trình : x = 1
1điểm
1điểm
b
* Điều kiÖn x ≠ (1)
* pt
2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
2
2 2
2 2
1 1
8 x x x x x
x x x x
16x42 x x 8 0 x0hc x = -8
So sánh với điều kiện (1) , suy nghiệm phơng trình x = -
0.5®iĨ m
1®iĨm
0.5®iĨ m
3 Ta cã
1 1
y y y y x y y v× xy x, y x, y
(9)
3
3 2
3
1
1
1
1 1
1
x
y y y
y
x x x x y x x
x x x
3 2
1
1 1
x y
y x y y x x
2
2
2
2 2
2 3 2
2
1
1
2
4
0
3 1
x y xy x y
x x y y
x x y y x y x y xy xy x y xy x y
xy
xy x y
x y y x x y
1®iĨm
1®iĨm
4
Ta cã: M = x210x16 x210x2416
Đặt a = x2 + 10x + 16 suy M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2 M = ( x2 + 10x + 20 )2 ( ®pcm)
1®iÓm 1®iÓm 1®iÓm
a + Hai tam giác ADC BEC có:
Góc C chung CD CA
CE CB (Hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) Suy ra: BEC ADC 1350
(vì tam giác AHD vuông
cân H theo giả thiết).
Nờn AEB 450 tam giác ABE vng cân A Suy ra: BE AB 2 m 2
1.5®iĨ m 1®iĨm
b
Ta cã: 1
2
BM BE AD
BC BC AC (do BECADC) mµ AD AH 2 (tam giác AHD vuông cân H)
nªn 1
2 2
BM AD AH BH BH
BC AC AC AB BE (do ABH CBA) Do BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 1350 AHM 450
1.5®iĨ m 1®iĨm
c
Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM phân giác góc BAC. Suy ra: GB AB
GC AC , mµ //
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
Do đó: GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
1®iĨm
UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục đào tạo lớp thCS - năm học 2007 - 2008
(10)Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
7
x x
2
2008 2007 2008
x x x
Bài 2: (2điểm)
Giải phơng trình: x2 3x x1
2
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
Bài 3: (2điểm)
1 Căn bậc hai 64 cã thĨ viÕt díi d¹ng nh sau: 64 6
Hỏi có tồn hay khơng số có hai chữ số viết bậc hai chúng d -ới dạng nh số nguyên? Hãy toàn số
2 T×m sè d phÐp chia cđa biĨu thøc x2 x4 x6 x82008 cho ®a thøc
2
10 21
x x Bµi 4: (4 ®iĨm)
Cho tam giác ABC vng A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vng góc với BC D cắt AC E
1 Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo
m AB
2 Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM
3 Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD
BC AH HC Đề
Bài (4 điểm)
Cho biểu thức A =
2
1 :
1
x x x
x x
x x
với x khác -1 a, Rút gọn biểu thức A
b, Tính giá trị biĨu thøc A t¹i x
3
c, Tìm giá trị x để A < Bài (3 điểm)
Cho a b2b c2 c a2 4.a2b2c2 ab ac bc Chøng minh abc
Bài (3 điểm)
Giải toán cách lập phơng trình.
Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị đợc phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phõn s ú
Bài (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3
a a a
a
(11)Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD
a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh
b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI Bài (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đờng chéo cắt O Đờng thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N
a, Chøng minh r»ng OM = ON b, Chøng minh r»ng
MN CD AB 1
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD.
híng dÉn chÊm thi häc sinh giái cÊp
Bµi 1( ®iĨm )
a, ( ®iĨm )
Với x khác -1 : A= ) ( ) )( ( ) )( ( : 1 2 x x x x x x x x x x x 0,5® = ) )( ( ) )( ( : ) )( ( 2 x x x x x x x x x x 0,5® = ) ( : ) ( x x 0,5®
= (1 x2)(1 x)
KL
0,5®
b, (1 ®iĨm) T¹i x =
3 =
th× A =
) ( ) (
1 0,25®
= ) )( 25
( 0,25®
27 10 27 272 34 KL 0,5® c, (1điểm)
Với x khác -1 A<0 vµ chØ (1 2)(1 )
x x (1) 0,25đ
Vì 1x2 0 với x nên (1) xảy 1 x0 x1 KL
0,5đ 0,25đ
Bài (3 ®iĨm)
Biến đổi đẳng thức để đợc
bc ac ab c b a ac a c bc c b ab b
a2 2 2 2 2 4 4 4
0,5®
Biến đổi để có ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
b ac b c bc a c ac
a 0,5®
Biến đổi để có ( )2 ( )2 ( )2
b b c a c
a (*) 0,5®
V× ( )2 b
a ;( )2 c
b ;( )2 c
a ; víi mäi a, b, c nên (*) xảy ( )2
b
a ;( )2 c
b vµ ( )2 c
a ;
0,5® 0,5®
Từ suy a = b = c 0,5đ
Bài (3 điểm)
(12)số cần tìm 11
x x
(x số nguyên khác -11)
Khi bt t số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta đợc phân số 15
7
x x
(x kh¸c -15)
0,5đ
Theo ta có phơng trình 11
x x
= 15
x
x 0,5®
Giải phơng trình tìm đợc x= -5 (thoả mãn) 1đ
Từ tìm đợc phân số KL
0,5®
Bài (2 điểm)
Bin i cú A= 2( 2) ( 2) ( 2)
a a a
a a
0,5®
=( 2)( 2 1) ( 2)( 1)2
a a a a
a 0,5đ
Vì a220 a (a1)2 0a nên a a a
2)( 1)
( 2 đó
a a
a 2)( 1) 33
( 2
0,5®
DÊu = xảy a a1 0,25đ
KL 0,25đ
Bài (3 ®iÓm)
a,(1 ®iÓm)
Chứng minh đợc tứ giác AMNI hình thang 0,5đ
Chứng minh đợc AN=MI, từ suy tứ giác AMNI hình thang cân 0,5đ b,(2điểm)
Tính đợc AD = cm
3
4 ; BD = 2AD =
cm
3 AM = BD
2
cm
3
0,5®
Tính đợc NI = AM = cm
3
4 0,5®
DC = BC = cm
3
8 , MN =
DC
2
cm
3
4 0,5®
Tính đợc AI = cm
3
8 0,5đ
Bài (5 ®iĨm)
N
I M
D C
A B
O N
M
D C
(13)a, (1,5 điểm) Lập luận để có
BD OD AB OM , AC OC AB ON 0,5®
Lập luận để có
AC OC DB OD 0,5® AB ON AB OM
OM = ON 0,5®
b, (1,5 điểm) Xét ABDđể có
AD DM AB
OM
(1), xét ADC để có
AD AM DC
OM
(2) Tõ (1) vµ (2) OM.(
CD AB
1
) 1
AD AD AD DM AM 0,5đ
Chứng minh tơng tự ON.( )1
CD AB
0,5®
từ có (OM + ON).( )2
CD
AB AB CD MN
2 1
0,5®
b, (2 ®iÓm)
OD OB S S AOD AOB , OD OB S S DOC BOC AOD AOB S S DOC BOC S S
SAOB.SDOC SBOC.SAOD
0,5®
Chứng minh đợc SAOD SBOC 0,5đ
. ( )2
AOD DOC
AOB S S
S
Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009
0,5®
Do SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị
DT) 0,5®
Bài (4 điểm): Cho biểu thức
2 2 2 2 2 2
2 1 : y 4xy A x xy y x y x
a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A xác định b) Rút gọn A
c) Nếu x; y số thực thoả mãn: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1, tìm tất giá trị
nguyên dương A? Bài (4 điểm):
a) Giải phương trình :
x11511x10422 x9333x8244
b) Tìm số x, y, z biết :
x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
2009 2009 2009 32010
y z x
Bài (3 điểm): Chứng minh với nN n5 n ln có chữ số tận giống
Bài (7 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC EAD ECB
b) Cho BMC 1200 36
AED
(14)c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi
d) KẻDH BC HBC Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, DH
Chứng minh CQPD
Bài (2 điểm):
a) Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 x y y x
(với x y dấu) b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =
2
2
x y x y
y x y x
(với
x 0, y 0 )
Phòng Giáo dục- Đào tạo
TRựC NINH
*****
đáp án hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi năm học 2008 - 2009 mơn: Tốn 8
Bài 1 : (4 điểm)
a) Điều kiện: x y; y0 (1 điểm)
b) A = 2x(x+y) (2 điểm)
c) Cần giá trị lớn A, từ tìm tất giá trị nguyên dương A + Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) =
2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + = A + (x – y + 1)2 = 2 A = – (x – y + 1)2
2
(do (x – y + 1) 0 (với x ; y) A (0,5đ)
+ A =
x y
2x x y
x y;y
1 x
2 y
2
+ A =
2 (x y 1) 2x x y
x y;y
Từ đó, cần cặp giá trị x y, chẳng
hạn:
2 x
2 y
2
(15)a) x 11 x 22 x 33 x 44
115 104 93 82
x 11 x 22 x 33 x 44
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
115 104 93 82
x 126 x 126 x 126 x 126
115 104 93 82
x 126 x 126 x 126 x 126
115 104 93 82
x 126
x 126
b) x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx
2x2 +2y2 + 2z2 – 2xy – 2yz – 2zx = 0 (x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2 = 0
x y
y z
z x
x y z
x2009 = y2009 = z2009
Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z2009 = 32010
z2009 = 32009
z = Vậy x = y = z =
Bài (3 điểm)
Cần chứng minh: n5 – n 10 - Chứng minh : n5 - n
n5 – n = n(n2 – 1)(n2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1)
( n(n – 1) tích hai số nguyên liên tiếp)
- Chứng minh: n5 – n 5
n5 - n = = n( n - )( n + 1)( n2 – + 5)
= n( n – ) (n + 1)(n – 2) ( n + ) + 5n( n – 1)( n + ) lý luận dẫn đến tổng chia hết cho
- Vì ( ; ) = nên n5 – n
2.5 tức n5 – n 10 Suy n5 n có chữ số tận giống nhau.
(16)I P
Q
H E
D
A
B C
M
Câu a: điểm
* Chøng minh EA.EB = ED.EC (1 ®iĨm)
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) 0,5 điểm - Từ suy EB ED EA EB ED EC
EC EA 0,5 ®iĨm
* Chøng minh EAD ECB (1 ®iĨm)
- Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) 0,75 điểm
- Suy EAD ECB 0,25 điểm
Câu b: 1,5 ®iĨm - Tõ BMC = 120o
AMB = 60o
ABM = 30o 0,5 ®iĨm
- Xét EDB vuông D có B= 30o
ED =
2 EB
1 ED
EB 0,5 ®iĨm
- Lý luËn cho
2 EAD
ECB
S ED
S EB
từ SECB = 144 cm2 0,5 im
Câu c: 1,5 điểm
- Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) 0,5 điểm
2
BH BD BP BD BP BD
DH DC DQ DC DQ DC
0,5 ®iĨm
- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc)
` 90o
BDP DCQ
CQ PD
ma BDP PDC
(17)- Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg)
- Chøng minh CM.CA = CI.BC 0,5 ®iĨm
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị khơng đổi 0,5 điểm
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2
Bài 5: (2 điểm)
a) x, y dấu nên xy > 0, x y x2 y2 2xy
y x
2
(x y)
bất
đẳng thức đúng, suy bđt ban đầu (đpcm) b) Đặt x y t
yx
2
2
2
x y
t
y x
Biểu thức cho trở thành P = t2 – 3t +
P = t2 – 2t – t + + = t(t – 2) – (t – 2) + = (t – 2)(t – 1) + 1
- Nếu x; y dấu, theo c/m câu a) suy t t 20 ; t 1 0 t t 1 0
P
Đẳng thức xảy t = x = y (1) - Nếu x; y trái dấu x
y y
0
x t < t – < t – < t t 1 >
P > (2)
- Từ (1) (2) suy ra: Với x ; y ln có P Đẳng thức xảy x = y Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pmin= (khi x = y)
Bài 5: (2 điểm)
- Gọi R(x) đa thức dư phép chia f(x) : (x – 2)(x2 – x + 1), ta có:
f(x) = (x – 2).(x2 – x + 1).P(x) + R(x) (1)
- Vì đa thức chia (x – 2)(x2 – x + 1) đa thức bậc nên đa thức dư R(x) có bậc 2
- Từ (1) dư phép chia f(x) : (x – 2) dư phép chia R(x) : (x – 2), mà R(x)
là đa thức có bậc 2, f(x) : (x – 2) dư (gt) R(x) = (x – 2)(kx + p) + 4
- Lập luận tương tự
ßng GD §T Nam Trùc
đề thi khảo sát chất lợng hsg năm học 2008-2009 Mơn: tốn
Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1(4đ)
Giải c¸c pt sau:
a)
1
1
2
3
x x x x
x
b)
2004 2003
3 2002
2 2001
1
2000
x x x x
x
Bài (4đ)
a)Tích sốtự nhiên liên tiép cộng thêm số phơng
b) 1
4
1
1
2
2
2 n
Bài (3đ)
(18)trong bể thứ nhiều số nớc lại bể thứ hai lần, biết vận tốc dịng chảy vịi khơng i
Bài 4(3đ)
Cho tam giỏc ABC cân A Một điểm D lấy cạnh BC, kẻ DEAB, DFac Chứng minh tổng DE+DF không đổi D di chuyển cạnh BC Bài (4)
Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 20cm, Trên cạnh CD lấy điểm M Đờng vuông góc với BM cắt AD N
a) TÝnh DN biÕt MC=5cm
b) Tìm vị trí điểm M để độ dài DN lớn Bài (2đ)
Xác định a để phơng trình 4x2+31y2=a + - 17xy có nghiệm nguyên nhất
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 8 QUẬN TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2002-2003
( Thời gian làm : 90 phút) Bài 1: (3 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 +6x +5
b) (x2-x +1) (x2 –x+2) -12 Bài 2: (4 điểm)
a) Cho x+y+z = Chứng minh x3 +y3 +z3 =3xyza b) Rút gọn phân thức : 32 3 2
3
( ) ( ) ( )
x y z xyz
x y y z z x
Bài : (4 điểm)
Cho x , y , z độ dài ba cạnh tam giác
A= 4x2y2 –(x2 + y2 –z2)2 Chứng minh A >0 Bài : (3 điểm)
Tìm số dư phép chia biểu thức ( x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+2002 cho x2 +8x +12 Bài 5: (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A (AC >AB) ,đường cao AH Trên tia HC lấy HD= HA Đường vng góc với BC D cắt AC E
a) Chứng minh AE = AB
b) Gọi M trung im ca BE Tớnh gúc AHM Phòng gd-đt vĩnh tờng
đề khảo sát chất lợng hsg Mơn:Tốn
Thời gian làm 150 phút (không kể thời gian giao đề) I/ Trắc nghiệm khách quan: Hãy chọn câu trả lời câu sau:
C©u 1: Rót gän biĨu thøc P=
36 3
4
2
x x
x
với x<4 ta đợc kết là: A
3
x B
1
x C
1
x D.
1
x
Câu 2: Phép biến đổi sau đúng?
(19)B - 0,8x > -1,6 x > -2 D - 0,8x > -1,6 x < -2
Câu 3: Cho tam giác ABC cân A, AB = 32cm; BC = 24cm, đờng cao BK Tính độ dài KC ta đợc:
A KC = 16 B KC = 9 C KC = 4 D KC = 3
Câu 4: Cho hình thang ABCD ( AB// CD); AB = 3cm, CD = 5cm Gọi O giao điểm đờng thẳng AD BC Biết diện tích tam giác OAB 27cm2 Tính diện tích hình thang ta đợc:
A cm2 B 25cm2 C 48cm2 D 75cm2
II Tù luËn:
C©u 1: Cho ba sè tù nhiªn:
A = 44…4 ( cã 2n ch÷ sè 4); B = 22…2 ( cã n+1 ch÷ sè 2); C = 88…8 ( cã n ch÷ sè 8);
Chøng minh r»ng A + B + C + số phơng.
Câu 2: Chứng minh tổng bình phơng n số tự nhiên : S = 12 + 22 +32 +…+ (n-1)2 + n2 =
6 ) )( (n n
n
Câu 3: Giải biện luận phơng trình ẩn x
1 ) ( ) ( ) ( )
( 2
2 2
m x
m m
x x
m
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y2– xy – x + y + 1
Câu 5: Cho tam giác ABC có B C góc nhọn, đáy BC dài 20cm, đờng cao AH dài 10cm Hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác ABC cho M thuộc AB, N thuộc AC , P v Q thuc BC.
a Đặt MQ = x; MN = y; H·y biĨu thÞ y theo x.
b Tìm giá trị x để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Hng dn chm
khảo sát chất lợng hsg Môn: Toán
I/Trắc nghiệm khách quan ( điểm)
Câu 1 2 3 4
Đáp án đúng D C B C
Cho ®iĨm 0,25 0,25 0,25 0,25
II/Tù ln
C©u Nội dung Điểm
1 (2 đ)
Ta có: A +B+C+7=44 22 88
1 n n n
=4*11 2*11 8*11
1 n n n = 10 * 10 * 10 *
n n
n = 2 69 66 10 * n n (®pcm) 0,5 0,5 0,5 0,5 2
(2 đ) - Ta có đẳng thức sau:23= (1+1)3 = 13 +3.12.1+3.1.12 +13 33= (2+1)3 = 23 +3.22.1+3.2.12 +13 ………
(n+1)3= n3 +3.n2.1+3.n.12 +13 Cộng vế rút gọn ta đợc:
(n+1)3=1+3(12+22+…+n2) +3(1+2+…+n)+n Thay 1+2+…+(n-1)+n=
(20)B
H C
N A
M K
3(12+22+…+n2)=(n+1)3-(n+1)-3
) ( n n
=1/2(n+1)(2n2+n)=1/2n(n+1)(2n+1) VËy S= 12+22+…+n2=
6 ) )( (n n
n (®pcm) 0,25 0,25 0,25 3 (2 ®)
Phơng trình cho 8m2x-32x=8m2+32m+32 m2x-4x=m2+4m+4
(m-2)(m+2)x=(m+2)2 (*)
- NÕu m2 th× pt cã nghiƯm nhÊt x= 2 m m
- NÕu m=2 th× pt (*) 0x=4, pt vô nghiệm - Nếu m=-2 pt (*) 0x=0, pt v« sè nghiƯm
0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 4
Ta cã P=x2-x(y+1) + (y2+y+1) =
(x-2
y
)2+(y2
+y+1)-2 y
= 3
1 2
y y y
x
= 1)
3 ( 2
y y y
x = ) ( 2
y y
x
Do đó: P
víi mäi x, y DÊu = x¶y x-“ ” y =0 vµ y+1/3=0
x=2/3 vµ y=-1/3.VËy GTNN cđa P=2/3
0,25
0,25 0,25
0,25
5 ( ®)
Gọi K giao điểm AH MN a/AMN đồng dạng ABC nên
10 10 20 x y AH AK BC MN suy y=20-2x
b/SMNPQ= (20 - 2x)x
= 20x- 2x2=-2(x2-10x+25)+50=-2(x-5)2+50
suy SMNPQ 50 nªn SMNPQ lín nhÊt lµ 50m2 vµ
chỉ x=5m ( MN đờng trung bình tam giác ABC) 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25
Đề thi học sinh giỏi toán
(21)Bài 1: C/m
A=75( + + + +4+1)+25 số chia hết cho 100
Bài 2: Cho a+b+c=1 Chứng minh
Bài 3: Tính giá trị đa thức
P(x)= x=11
Bài 4:
An Bình lúc từ làng sang làng B bờ sông quay A An bộ, Bình thuyền với vận tốc riêng thuyền vận tốc An Hỏi quay sớm hơn?
Bài 5:
Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC C/m AM<
Bài 6: Cho tam giác ABC cân A Trực tâm H chia đờng cao AE theo tỉ số 7:1 Hỏi giao điểm I đờng phân giác tam giác chia đờng cao AE theo tỉ số
§Ị thi häc sinh giỏi trờng năm học 2008-2009
Môn: Toán (Thêi gian lµm bµi: 120 phót)
C©u1: Cho A = (
4
2
x +
1
x -8 4x
3
) : 4
7
x
a Rút gọn biểu thức A b Tìm x Z để A Z c Tìm x để A - A > 0 Câu2: a Giải phơng trình:
79 11 81
9 84
6 87
3
x x x
x
= b Cho x-2y = Tìm giá trị nhỏ A = x2+y2+4
c T×m sè d cđa phÐp chia ®a thøc x2008 – x3 + cho ®a thøc x2 – 1
Câu3: Cho AD đờng phân giác tam giác nhọn ABC(AB<AC), phân giác A tam giác ABC cắt BC K cắt đờng vng góc với AC qua D N AC cắt DN M
a Chøng minh:AN2 =NM ND
b Tõ D kỴ DH // AB (H thc AC) , DE//AC (E thuéc AB) Chøng minh: EH // KN
c Chøng minh: AH KC = HC KB
n