chuyen de chia het chia co du

C¸c tÝnh chÊt vÒ phÐp chia hÕt.. C¸c dÊu hiÖu chia hÕt.[r]

(1)

Trêng THCS VINH THANH

Chia hÕt , chia cã d to¸n I- lý thuyết cần nhớ

1 Định nghĩa.

Vi mi a, bN (b0) ta ln tìm đợc số tự nhiên r cho a = bq + r (0  r < b)

a số bị chia, b số chia, q thơng, r số d

- Nếu r = ta đợc phép chia hết, tanói a chia hết cho b (a: b), hay a bội b, hay b chia hết a, hay b ớc a (b/a)

- Nếu r > 0,ta đợc phép chia có d, ta nói a khơng chia hết cho b (a:b)

2 C¸c tÝnh chÊt vỊ phÐp chia hÕt . (10 tÝnh chÊt) 1) Sè chia hÕt cho mäi sè b0

2) Sè a chia hÕt cho mäi a0 3) NÕu a: b, b: c th× ac

4) Nếu a b chia hết cho m a+b a-b chia hết cho m 5) - Nếu hai số a b chia hết cho m, số không chia hết cho m a+b a-b khơng chia hết cho m

- NÕu tỉng hc hiƯu hai sè chia hÕt cho m vµ mét hai sè chia hết cho m số lại chia hÕt cho m

6) NÕu mét thõa sè cđa tÝch chia hÕt cho m th× tÝch chia hÕt cho m Suy a : m th× an : m (nN*)

7) NÕu a: m, b: n th× ab :  mn Suy nÕu a :  b th× an :  bn

8) Nếu số chia hết cho hai số nguyên tố chia hết cho tích hai số

9) Nếu tích ab chia hết cho m, b m hai số nguyên tố a chia hết cho m

10) NÕu mét tÝch chia hÕt cho sè nguyªn tè p tồn thừa số tích chia hết cho p Suy nÕu an

 p, p ngyên tố a p

3 Các dÊu hiÖu chia hÕt (9 dÊu hiÖu) Cho sè tù nhiªn M = anan-1 a2a1a0

1) M  a0 0; 2; 4; 6; 8 2) M5  a0 0; 5

3) M3  (an-1 + an-1 + + a1 + a0)  4) M9  (an-1+ an-1 + + a1 + a0)  5) M4  a1 a0 

6) M25  a1 a0 25 7) M8  a2 a1 a0  8) M125  a2 a1 a0 125

9) M11  (a0 + a2 + ) - (a1 + a3 + )  11

 (a1 + a3 + ) - (a0 + a2 + ) 11

4 Các ph ơng pháp giải toán chia hết.

Có phơng pháp sau:

Phơng pháp 1.Để chứng minh A(n) chia hÕt cho mét sè nguyªn tè p,cã thĨ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia n cho p

VÝ dơ1: Chøng minh r»ng A(n)= n(n2-+1)(n2+4) 5 víi mäi sè nguyªn n.

Giải: Xét trờng hợp: Với n5 ,râ rµng A(n) 5

Víi n=5k  n2= 25k2 10   A(n) 5 Víi n= 5h2  n2= 25k2

20k+4  5 n2+1 5  A(n) 5

A(n) tích ba thừa số trờng hợp có thừa số chia hết cho A(n) 5

Phơng pháp .Để chứng minh A(n) chia hết cho hợp số m,ta phân tích m thừa số.Giả sử m=p.q.Nếu p q số nguyên tố,hay p q nguyên tố ta tìm cách chứng minh A(n)p A(n)q(từ suy A(n)

p.q=m)

(2)

VÝ dơ2: Chøng minh tÝch cđa ba sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho

Gi¶i: Ta cã A(n) = n(n+1)(n+2) 6=2.3(2 số nguyên tố),ta tìm cách chứng minh A(n) A(n)

Trong hai sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê còng cã mét sè chia hÕt cho vËy A(n) 

Trong ba sè tù nhiªn liªn tiÕp bao giê cịng cã mét sè chia hÕt cho vËy A(n) 

A(n)  vµ A(n) 3 vËy A(n)  2.3=6

Nếu q p không nguyên tố ta phân tích A(n) thừa số,chẳng hạn A(n)=B(n).C(n) tìm cách chứng minh B(n) p vµ C(n)q (suy A(n) =B(n).C(n)  p.q = m )

VÝ dô Chøng minh tích hai số chẵn liên tiếp chia hÕt cho

Gi¶i: Gäi số chẵn 2n,số chẵn 2n+2,tÝch cđa chóng sÏ lµ A(n) = 2n(2n+2) ta cã 8=4.2 A(n) = 2n(2n+2)=4.n(n+1) tích hai thõa sè mét thõa sè lµ 44 vµ thõa sè n(n+1) tích hai số tự nhiên liên tiÕp chia hÕt cho

V× vËy A(n) = 2n(2n+2)=4.n(n+1) 2.4 =8

Phơng pháp 3.Để C/M A(n) m, biến đổi A(n) thành tổng ca nhiu s hng v

C/M số hạng chia hÕt cho m

VÝ dô 4: Chøng minh r»ng n3-13n

6 víi mäi n thuéc Z

Gi¶i: Ta ph¶i chøng minh A(n) = n3-13n 6

Chú ý 13n=12n+n mà 12n6 ,ta biến đổi A(n) thành A(n) = (n3-n)-12n = n(n2-1)-12n=(n-1)n(n+1)-12n

Mà (n-1)n(n+1) tích ba số nguyên liªn tiÕp nªn (n-1)n(n+1) 6 (VÝ dơ 2)

Và 12n6

Vì (n-1)n(n+1)-12n6 hay A(n) = n3-13n

Phơng pháp 4.Để C/M tỉng kh«ng chia hÕt cho m,cã thĨ chøng minh mét số hạng tổng không chia hết cho m tất số hạng lại chia hết cho m

v

Ý dô : Chøng minh r»ng víi mäi sè n lỴ : n2+4n+5 không chia hết cho 8

Giải: Đặt n=2k+1 (nlẻ) ta có :

n2+4n+5=(2k+1)2 +4(2k+1) +5 = (4k2+4k+1+)+ (8k+4)+5 = (4k2+4k) +(8k+8)+2

Đây tổng ba số hạng số hạng đầu (4k2+4k)=4k(k+1) (ví dụ 3),Sè h¹ng thø hai chia hÕt cho sè h¹ng thứ ba không chia hết cho tổng không chia hết cho

Phơng pháp 5.Phơng pháp phản chứng

v

í dụ 6: Chøng minh r»ng a2 - kh«ng chia hÕt cho víi aN.

Gi¶i: Chøng minh phơng pháp phản chứng

Giả sử A(n)=a2 - 5,nghĩa A(n) phải có chữ số tận 5, suy a2 (là số phơng) phải có số tận chữ số 3;8 - Vô lý(vì số phơng có chữ số tận là:0;1;4;6;9)

Vậy a2 - không chia hết cho 5.

Phơng pháp 6.Phơng pháp qui nạp

Ví dụ7: Chứng minh r»ng 16n-15n-1225

Gi¶i:

Víi n=1 16n-15n-1=16-15-1=0225 Giả sử 16k-15k-1225

(3)

Ta chøng minh 16k+1-15(k+1)-1225

Thùc vËy: 16k+1-15(k+1)-1=16.16k -15k-15-1

=(16k-15k-1)+15.16k-15 Theo giả thiết qui nạp 16k-15k-1225

Còn 15.16k-15=15(16k-1) 15.15=225 VËy 16n-15n-1225

II- Mét sè bµi tËp vỊ phÐp chia hÕt vµ chia cã d

Bài 1: Khi chia số a cho số b ta đợc thơng 18 số d 24 Hỏi thơng số d thay đổi số bị chia số chia giảm lần

Giải: Theo định nghĩa phép chia theo đề ta có: a = b18 + 24 (1) (b > 24)

NÕu sè bÞ chia số chia b giảm lần từ (1) ta cã: a: = (b18 + 24) 

= b18  + 24 

= (b 6) 18 + (b > 4)

Vậy số bị chia số chia giảm lần thơng khơng thay đổi cịn số d giảm lần

Bài 2: Khi chia số tự nhiên a cho ta đợc số d chia a cho ta đợc số d Tìm số d phép chia a cho 36

Giải: Theo đề ta có: a = 4q1 + = 9q2 + (q1 q2 thơng hai phép chia)

Suy a + 13 = 4q1 + + 13 = 4(q1 + 4) (1) a + 13 = 9q2 + + 13 = 9(q2 + 2) (2)

Tõ (1)(2) ta nhËn thÊy a + 13 lµ béi cđa vµ mµ (4; 9) = nên alà bội 4.9 = 36

Ta cã a + 13 = 36k (kN*)

 a = 36k - 13 = 36(k - 1) + 23 VËy a chia hÕt cho 36cã sè d lµ 23

Bài 4: Tìm chữ số x, y, z, để số 579xyz chia hết cho 5;7

Giải: Vì số 5; 7; đơi ngun tố nên ta phải tìm chữ số x, y, z cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315

Ta cã 579xyz= 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz Suy 30 + xyz chia hÕt cho 315

V× 30  30 + xyz < 1029 nªn:

NÕu 30 + xyz = 315  xyz = 315 - 30 = 285 NÕu 30 + xyz = 630  xyz = 630 - 30 = 600 NÕu 30 + xyz = 945  xyz = 945 - 30 = 915 VËy x = 2; y = 8; z =

x = 6; y = 0; z = x = 9; y = 1; z =

Bài 5: Tìm nN biết 2n + chia hết cho n +

Giải:

Vì (2n + 7)  (n + 1)  2n + - 2(n + 1)  n + 1

  n +  n + lµ íc cđa 5 Víi n + =  n =

Víi n + = n = Đáp số: n = 0; n =

Bµi tËp: 1.CMR: a) 8926-4521

2 ; 20092008-20082009 kh«ng chia hÕt cho b) 10n -4 3 ; 9.10n+ 1827

c) 4110-110 ;92n-145

(4)

2.CMR

a) (a2-1)a212 víi a >1

b) (n-1)(n+1)n2(n2+1) 60 víi mäi n

( Sư dơng PP )

CMR víi mäi n lỴ: a) 4n+15n-19 b)10n+18n-28

27 (Gợi ý: dùng qui nạp)

4 Tìm số d phép chia sau: a)bình phơng cđa mét sè lỴ cho b) 21000 cho

c) 21000 cho 25

5.Chøng minh r»ng víi mäi n



2 ; b)n3-n3 ; c) n5 -n5

(phân tích thành tích áp dụng PP1)