Khi ó hãy tính th tích kh i chóp S.ABMN.[r]
(1)Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre I − TỐN ƠN THI I H C
I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m) Câu I (2,0 i m) Cho hàm s y x
x + =
− có th (C) 1) Kh o sát s bi n thiên v th (C)
2) Tìm hai i m A, B thu c (C) cho A, B i x ng qua ng th ng d có ph ng trình: x 3y 0+ − =
Câu II (2,0 i m)
1) Gi i ph ng trình: sin x cos x4 1(tan x cot x) sin 2x
+
= +
2) Gi i b t ph ng trình: (x 3)(8 x) 26 11x x2
− − + > −
Câu III (1,0 i m) Tính:
1
0
2 x
x ln dx
2 x +
−
Câu IV (1,0 i m) M t m t c u n i ti p m t hình nón, bi t th tích kh i nón t ng ng b ng hai l n th tích kh i c u t ng ng Tính t s gi a di n tích tồn ph n c a hình nón v i di n tích c a m t c u
Câu V (1,0 i m) Ch ng minh r ng n u a, b, c s th c d ng th a mãn i!u ki n
ab bc ca abc+ + = thì: 1
a 2b 3c 2a 3b c 3a b 2c 16+ + + + + + + + < II/ PH N RIÊNG (3,0 i m)
A) Theo ch ng trình Chu n:
Câu VI.a) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy, vi t ph ng t"#nh ng th ng i qua i m M(8; 6) t$o v i hai tr%c t&a m t tam giác có di n tích b ng 12
2 Trong không gian Oxyz cho hai i m A(1; 2;1)− , B( 1; 2; 0)− m t ph ng ( ) : 2x y z 0α − + + = Vi t ph ng trình m t ph ng (β) i qua hai i m A, B t$o v i m t ph ng (α) m t góc 600
Câu VII.a) (1,0 i m) Cho s ph c z (11 5i)2011 (11 5i)2011
= − + + Ch ng minh r ng z s th c B) Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VI.b) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho parabol (P): y2 5x
= ng th ng ∆ i qua i m A(3; 0) c't (P) t$i hai i m M, N Ch ng minh r ng tích s kho ng cách t( M N t i tr%c hồnh m t s khơng )i
2 Trong khơng gian Oxyz, vi t ph ng trình ng th ng ∆ ti p xúc v i m t c u (S):
2 2
x +y +z −4x 8y 12z 39 0+ − + = t$i i m M(5; 2; 4)− t$o v i ng th ng
x
' : y t z t
= −
∆ = −
= +
m t góc 450
Câu VII.b) (1,0 i m) Ch ng minh r ng th hàm s
2
2x y
x +
(2)S
O A
B
I H
Tóm t't cách gi i ! I i m
1) TX : D = R\{1} y ' 2
(x 1) − =
−
1
1
1 +∞
-∞
+∞
-∞
y'
y x
Hàm s ngh ch bi n kho ng
(−∞;1), (1;+ ∞)
TC : x = ; TCN: y =
1,0 I
2) ∆ i qua H(4 3h; h) d− ∈ ∆ ⊥d ∆: 3x y 10h 12 0− + − = PT H G c a ∆ (C) : 3x2 (10h 16)x 10h 10 (1)
+ − − + =
∆ c't (C) t$i hai i m A, B i x ng qua H (1) có hai nghi m xA xB th a
A B
H
x x x
2 +
= 3h 5h
2
− +
− = h 1= Th vào (1) 3x2 6x 0
− = x 0= y= −2 A(0; 2)− x 2= y 4= B(2; 4) (th a K toán)
1,0
1) K: sinx.cosx ≠ sin2x ≠
V i i!u ki n trên, ph ng trình ã cho t ng ng v i:
2
1
1 sin 2x 1
sin 2x sin 2x −
= sin2x = không th a K V*y ph ng trình ã cho vơ nghi m
1,0 II
2) (x 3)(8 x) 26 11x x2
− − + > − −x2+11x 24 ( x− > − 2+11x 24) 2− − t y x2 11x 24
= − + − (y 0)≥ y2− − <y 0 y 2≤ < −x2+11x 24 2− <
2
x 11x 24 x 11x 28
− + − ≥
− + − < T*p nghi m S [3; 4) (7; 8]= ∪
1,0
III
2 x u ln
2 x dv x dx
+ =
− =
2 2
4
du dx
4 x
x x
v
2 2
= −
−
= − =
1 1
2
0
x x
I ln dx ln
2 x
− +
= + = −
− 1,0
IV
n
3 c
OA SO
V 3
2
V .OI
3 π
= =
π
2
OA SO 4OI =
n 2
tp
c 2
S OA.SA OA OA.SA OA
S OI 4OI
π + π +
= =
π SIH
∆ ng d$ng v i SOA∆ IH SI
OA =SA OI.SA OA.SI OA(SO OI)= = −
n 2 2
tp
c 3
S OA.SA.OI OA OI OA (SO OI) OA OI OA SO
S 4OI 4OI 4OI
+ − +
= = = =
1,0
V
ab bc ca abc+ + = 1 1 a b c+ + = (1)
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
a 2b 3c+ + = a c+ +2 b c+ ≤4 a c+ +2 b c+
(3)Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre
1 1 1 1
a 2b 3c 16a 16c 32b 32c 16a 32b 32c+ + ≤ + + + = + +
ng th c x y a c 2(b c) a b c
+ = +
= = c 0= (trái v i gi thi t)
1 1 .
a 2b 3c 16a 32b 32c+ + < + +
T ng t ta có: 1 2a 3b c+ + <32a 32b 16c+ + ;
1 1
3a b 2c+ + <32a 32b 32c+ + T( b t ng th c k t h+p v i (1) ta +c:
1 1 1
a 2b 3c 2a 3b c 3a b 2c+ + + + + + + + < 16 32 32+ + a b c+ + =16 1) Gi s, ∆ c't Ox, Oy l n l +t t$i A(a; 0), B(0; b) :x y
a b
∆ + =
∆ i qua M(8; 6)
a b+ = 8b 6a ab (1)+ = OAB
S ab 12
2
= = ab= ±24 (2)
1
A ( 8; 0)− , B (0; 3) ∆1: 3x 8y 24 0− + = A (4; 0) , B (0; 6)2 − ∆2: 3x 2y 12 0− − =
1,0 VI
a
2) Gi s, (β) có VTPT m (a; b; c) (a2 b2 c2 0)
+ + ≠
( )
m AB
cos m, n cos60 ⊥
= 2 2 2
2a 4b c
2a b c
2 a b c
− + − =
− + =
+ +
c 4b 2a2 2 5a 16ab 11b
= −
− + =
2
5a −16ab 11b+ =0 (a b)(5a 11b) 0− − =
V i a b= Ch&n a b 1= = c 2= ( ) : x y 2z 0β1 + + − =
V i 5a 11b= Ch&n a 11= b 5= c= −2 ( ) :11x 5y 2z 0β2 + − + =
1,0
VII
a ( ) ( )
2011 2011
2011 2011 2011 2011
z (11 5i)= − +(11 5i)+ =(11 5i)− +(11 5i)+ = 11 5i− + 11 5i+
2011 2011
z (11 5i)= + +(11 5i)− z z= pcm
1,0 1) Gi s,∆ có VTPT n(a; b; c) (a2+b2+c2≠0) : ax by 2a 0∆ + − =
2
y 5x
ax by 3a =
+ − =
2
x y /5 (1)
ay 5by 15a (2) =
+ − = (a = không th a) a ≠ : PT (2) ln có nghi m yM, yN
M N M N
d(M; Ox).d(N; Ox)= y y = y y = −15 15=
1,0 VI
b
2) (S) : (x 2)2 (y 4)2 (z 6)2 17
− + + + − = (S) có tâm I(3; 2; 6)− IM(3; 2; 2)− Gi s, ng th ng ∆ có VTCP u(a; b; c) (a2+b2+c2≠0)
u IM cos(u, k)
2 ⊥
=
3a 2b c
2 a 2bc
+ =
= −
2
a +3ab 2b+ =0 (a b)(a 2b) 0+ + =
Khi a= −b Ch&n b 1= a= −1 c= −1/2 :x y z
1 1/2
− + −
∆ = =
− −
Khi a= −2b Ch&n b 1= a= −2 c= −2 :x y z
2
− + −
∆ = =
− −
1,0
VII b
2
2x
3 ln x x
1
+ = +
− =
2
2
2x
3 ln x x
2x x +
= + − − =
(4)II − TỐN ƠN THI I H C
I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m) Câu I (2,0 i m) Cho hàm s y x(x 3)= − 2 có th (C)
1) Kh o sát s bi n thiên v th (C)
2) Tìm a, b, c (a ≠ 0) (P) : y ax= 2+bx c+ i qua i m c c i, i m c c ti u c a (C) ti p xúc v i ng th ng d: y= −2x 4.+
Câu II (2,0 i m)
1) Gi i ph ng trình: sin 2x cot x 3.+ = 2) Gi i h ph ng trình:
2
x y z 19 xy yz zx 285
xz y + + = −
+ + = −
=
Câu III (1,0 i m) Tính:
4
2
dx x 25 x−
Câu IV (1,0 i m) Cho hình nón (N) có bán kính áy R thi t di n qua tr c tam giác u Tính theo R th tích c a kh i tr (T) n i ti p kh i nón t ng ng v i hình nón (N), bi t r ng thi t di n qua tr c kh i tr (T) m t hình vng
Câu V (1,0 i m) Cho x, y, z ba s th c không âm th a: x2011+y2011+z2011=3 Tìm giá tr l n
nh t c a bi u th c: P x= 5+y5+z5
II/ PH N RIÊNG (3,0 i m) A) Theo ch ng trình Chu n:
Câu VI.a) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho ng tròn (C): x2+y2+16x 6y 21 0+ + = Ch ng minh r ng
i m M( 3;1)− n m ng tròn (C) Vi t ph ng trình ng th ng ch a dây cung c a (C) nh!n M( 3;1)− làm trung i m
2 Trong không gian Oxyz, vi t ph ng trình m t c"u có tâm thu c ng th ng x 3t
: y 2t z 2t
= +
∆ = − −
= − −
ti p xúc v i hai m t ph ng ( ) : x 2y 2z 0α + − − = ;
( ') : x 2y 2z 0α + − + =
Câu VII.a) (1,0 i m) Cho hai s ph c 13
z =5x y (2x 9y 1)i− + + + −
11
z =2x 3y (3x 7y 8)i+ − − − + (x, y R)∈ Tìm x, y cho z1 z2 hai s ph c liên h#p c a
B) Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VI.b) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho ba i m A(2; 1), B(−2; 3), C(4; 5) T$m ph ng t%$nh ng th ng cách u ba i m A, B, C
2 Trong không gian Oxyz, vi t ph ng trình m t c"u có tâm thu c ng th ng x y z
:
2
− +
∆ = = ti p xúc v i hai m t ph ng ( ) : x y 2z 0α + − + = ; ( ') : 2x y z 0α − + + =
(5)Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre
S
O
A M N B
P Q
Tóm t't cách gi i ! II i m
1) TX : D = R y ' 3x2 12x 9
= − +
y ' 0= x 1= ho c x 3=
+
x
y y'
- +
-0
3
xlim y→−∞ = −∞, xlim y→+∞ = +∞ C (1; 4) ; CT (3; 0) y '' 6x 12= − y '' 0= x 2= i m u n (2; 2)
1,0 I
2) (P) i qua i m C , i m CT c a (C) a b c 9a 3b c
+ + =
+ + =
a b c (1) b 4a (2)
+ + = = − − Gi s, (P) ti p xúc v i (C) t$i i m M(x ; y ) 0 0
2
0 0
0
ax bx c 2x
f '(x ) 2ax b
+ + = − +
= + = −
0
2 b ( 4a)
x
2a 2a
− − − − − −
= = = 4a 2b c (3)+ + = T( (1), (2), (3) a b 10 c 12
= = − =
1,0
1) K: sinx ≠ cos x 0= không th a V i K: sin x.cos x 0≠ , ph ng trình ã cho t ng ng v i: tan x2
1 tan x t anx+ + =
2
(t anx 1)(3tan x t an 2) 0− − + = t anx 1= x k (k Z)
4 π
= + π ∈
1,0 II
2)
2
x y z 19 xy yz zx 285
xz y + + = −
+ + = −
=
2
x y z 19 xy yz y 285
xz y + + = −
+ + = −
=
2
x y z 19 y(x y z) 285
xz y + + = −
+ + = −
= x z 34
y 15 xz 225
+ = − =
=
x
y 15 z 25
= − = = −
ho c
x 25 y 15
z
= − = = −
1,0
III t t 25 x2
= − t2=25 x− x dx= −t dt x 3= t 4= x 4= t 3=
4
4 4
2
3 3 3
5 t
x dx dt 1 1 18
I dt ln ln
(5 t)(5 t) 10 t t 10 t 10 x 25 x
+
= = = + = =
− + − + −
−
1,0 IV Thi t di n qua tr%c SAB∆ !u SO R 3=
MQ AM 3= OM 1MN 1MQ AM
2 2
= = =
( )
AM R OA AM MO
2 +
= = + = AM 2R
2
= +
( )
R
OM R 3
2
= = −
+ ( )
3
2 3
t
V = πOM MQ= π.2.OM = π2 R 3− V Áp d%ng B T Cô si cho 2006 s s x2011:
( )5
2001 2001 2011 2001
1 x+ + + + + x+ ≥2011 x 2006 5x+ 2011≥2011x5
(6)α
α'
I
M
N
∆
1) (C) có tâm I( 8; 3)− − , bán kính R=2 13 IM<R I n m (C)
∆ i qua M nh n M làm trung i m ∆ có VTPT IM(5; 4) ∆: 5x+4y 11 0+ = 1,0 VI
a
2) Cách 1: ∆ c t (α) t i M(2; 1; 1) ∆ c t (α’) N( 4; 5; 5)− ( ) / /( ')α α Tâm I c a m t c u trung i m c a MN
I( 1; 3; 3)− Bán kính R=d I, ( )( α )=1 (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 = Cách 2: I(5 3t; 2t; 2t)+ − − − − ∈ ∆
( ) ( )
R =d I, ( )α =d I, ( ')α t= −2 I( 1; 3; 3)−
( )
R=d I, ( )α =1 (x + 1)2 + (y − 3)2 + (z − 3)2 =
1,0
VII a
z =5x−y (2x 9y 1) i+ + + − z2=2x 3y (3x 7y 8) i+ − + − +
1
z =z 5x y 2x 3y 2x 9y 3x 7y
− + = + −
+ − = − + −
3x 4y 12 5x 2y
− = −
+ = −
x
y 3/2 = − =
1,0
1) ∆: ax+by c+ =0(a2+b2+c2≠0) d(A; ) d(B; )
d(A; ) d(C; )
∆ = ∆
∆ = ∆
2a b c 2a 3b c 2a b c 4a 5b c
+ + = − + +
+ + = + +
2a b c ( 2a 3b c) 2a b c (4a 5b c)
+ + = ± − + +
+ + = ± + +
Có ba ng th ng th a yêu c u toán:
1: x 3y
∆ − + = ; ∆2: x+2y 9− =0;
3: 2x y
∆ − + =
1,0 VI
b
2) Cách 1: G i I(x; y; z) tâm m t c u d(I, ( ))α =d(I, ( '))α =R 3x z (P)
x 2y 3z (Q)
− + =
− + − = {I }1 =(P)∩ ∆, {I }2 =(Q)∩ ∆
Cách 2: I(2t; t; 2t)+ − + ∈ ∆ tâm m t c u d(I, ( ))α =d(I, ( '))α =R
1
I ( 4; 1; 5)− − − , I2 5; ;
3 3 R1=d(I , ( ))1 α , R2=d(I , ( ))2 α
2 2 50
(x 4) (y 1) (z 5) + + + + + = ;
2 2
8 200
x y z
3 3 27
− + − + − =
1,0
VII
b Gi s w=x+yi (x, y∈R) w=(3 4i)z− +2
w x yi z
3 4i 4i
− − +
= =
− −
z 1− =2 x yi 4i
− +
− =
− (x 5) (y 4)i− + + =2 4i−
2
(x 5)− +(y 4)+ =100 ( ng trịn tâm I(5;−4), bán kính R=10)
(7)Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre III − TỐN ƠN THI I H C
I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m) Câu I (2,0 i m) Cho hàm s y x4 mx2 2m 5
= + + + có th (Cm) 1) Kh o sát s bi n thiên v th (C) m = −2 2) Xác nh m (Cm) c't tr%c hoành t$i b n i m phân bi t Câu II (2,0 i m)
1) Gi i ph ng trình: 2 tan x 3tan x 2cot x 3cot x 02
− + + − =
2) Gi i ph ng trình: logx 2x log x2 = −1
Câu III (1,0 i m) Cho hình trịn gi i h$n b.i ng trịn (T): x2+(y 2)− =1 quay quanh tr%c Ox Tính th tích c a kh i tròn xoay t$o thành
Câu IV (1,0 i m) Cho hình chóp S.ABCD có áy hình vng c$nh b ng a SA ⊥ (ABCD); SA 2a= G&i A’ i m thu c c$nh SA v i AA ' x= (0 x 2a)< < M t ph ng qua A’ song song v i áy hình chóp; c't SB, SC, SD l n l +t t$i B’, C’, D’ G&i V th tích kh i tr% có áy ng tròn ngo$i ti p t giác A’B’C’D’ ng sinh AA’ Tìm x V l n nh t
Câu V (1,0 i m) Cho /0c s 1th c x, y 23 a i!u ki n: x + y = 4#m 56012" 173 1nh t / a bi u th c A = 2x + 2y
II/ PH N RIÊNG (3,0 i m) A) Theo ch ng trình Chu n:
Câu VI.a) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho ∆ABC có ph ng t"#nh ba c$nh AB : 3x 4y 0+ − = ; AC : 4x 3y 0+ − = , BC : y 0= Vi t ph ng t"#nh ng phân giác góc A c a ∆ABC
2 Trong khơng gian Oxyz cho m t ph ng ( )α có ph ng trình: x 2y 3z 0− − − = M t ph ng ( )α c't tr%c t&a Ox, Oy, Oz l n l +t t$i A, B, C Tìm t&a tr c tâm c a ∆ABC
Câu VII.a) (1,0 i m) Có bi xanh, bi bi vàng T( ó ng i ta ch&n ng th i bi Tính xác su t cho bi có c màu
B) Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VI.b) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy, vi t ph ng t"#nh ba c$nh c a ∆ABC bi t A(1; 3) ph ng t"#nh hai ng trung n là: x 2y 0− + = ; y 0− =
2 Trong không gian Oxyz cho OA 2i 4j k= + + , OB= − +i 4j, OC= −3k Xác nh tâm bán kính c a ng trịn (T) ngo$i ti p ∆ABC
(8)2a/3 2a
V ' V
x
0
Tóm t't cách gi i ! III i m
1) y x4 2x2 1
= − + TX : D = R y ' 4x= 3−4x
y ' 0= x 0= ho c x= ±1 C ( 1; 0)± ; CT(0;1)
1
1
0
x
y y'
- +
0 -1
0
+ +
1,0 I
2) x4 mx2 2m (1)
+ + + = t t=x (t 0)2 ≥ t2+mt 2m (2)+ + = (1) có b n nghi m phân bi t (2) có hai nghi m d ng phân bi t
2
m 8m 20 2m
m
− − =
+ > − >
m 2
− < < −
1,0
1) 2(tan x cot x) 3(tan x cot x) 02
+ − − − = 2(tan x cot x)2 3(tan x cot x) 0
− − − + =
2
t tan x cot x 2t 3t
= −
− + =
t t 1/2
= =
( )
( )
tan x / tan x 17 /
= ±
= ±
x arc tan (1 5)/2 k x arctan (1 5)/2 k
= ± + π
= ± + π
1,0 II
2) K:
x
0 x log 2x
< ≠
≥ V i K trên, PT ã cho t ng ng v i:
x x x
log log+ x = −log 1log 2x log 2x +2 = −
x
t log
(t 1) t
=
+ = −
x
t log 2t t
= <
− − = x
1 t log
2
= = − x
4
= (th a K)
1,0
III &i V th tích c n tìm V = V1 − V2 V i V1, V2 l n l +t th tích hình (H1), (H2) quay quanh Ox
2
1
y x (H ) : y
x
= + −
= = ±
;
2
2
y x (H ) : y
x
= − −
= = ±
( ) ( )
1 2 2
2 2
1 1
V x dx x dx x dx
− − −
= π + − − π − − = π − = π ( t x sin t= )
1,0
IV A 'B' SA ' SA AA '
AB SA SA
−
= = A 'B' 2a x
a 2a
−
= A 'B' 2a x
2 − = h AA ' x= = ; R A 'C ' A 'B' (2a x)
2
−
= = =
2
2 (2a x) 2
V R h x (2a x) x
4
− π
= π = π = −
2
V ' (3x 8ax 4a )
π
= − +
V ' 0= x 2a/3 x 2a
= =
(9)Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre
+∞ +∞
4 -2
x
A A'
-∞ +∞
0
2
V C0ch 1: x + y = y = − x A = 2x+22 x− t t 2= x >0
2
t 4
A t
t t
+
= = +
2
2
4 t A '(t)
t t
−
= − =
A’(t) = t = (t = −2189$i)
A = 4, $t +c :;1/3 1khi t = x y 1= = <6 i /0ch 2: 2x+2y ≥2 2x y =2 22 =4
A = 4, $t +c :;1/3 1khi x y 1= =
1,0
1) PT ng phân giác góc A: 3x 4y 4x 3y
5
+ − + −
=
2
: x y : x y
∆ − − =
∆ + − =
Gi thi t B(2; 0) , C(1/4; 0)
*(xB−yB+5)(xC−yC+5) 0> B C phía i v i ∆1
*(xB+yB−1)(xC+yC−1) 0< B C khác phía i v i ∆1 ∆1 phân giác A
1,0 VI
a
2) Cách 1: A(6; 0; 0) , B(0; 3; 0)− , C(0; 0; 2)− G&i H(x; y; z) tr c tâm ABC∆ OH⊥(ABC) H giao i m c a OH:
x t y 2t z 3t
= = − = −
v i ( ) : x 2y 3z 0α − − − =
Cách 2:
AH BC BH AC H (ABC) ( )
⊥ ⊥
∈ ≡ α
3
H ; ;
7 −7 −7
1,0
VII a
G&i A bi n c c n tìm
1 2 1
4 6
4 15
C C C C C C C C C 300 240 180 720 48 P(A)
C 1365 1365 91
+ + + +
= = = = 1,0
1) A(1; 3) không thu c hai trung n BB’: x 2y 0− + = ; CC’: y 0− = Tr&ng tâm G(1;1) Gi s, B(x ; y ) , B B C(x ; y ) C C
G A B C
G A B C
B B
C
3x x x x
3y y y y
x 2y y
= + +
= + +
+ =
− =
B( 3; 1) C(5;1)
− −
x y x 2y 4x 7y
− + =
+ − =
+ − =
1,0 VI
b
2) Gi s, ng trịn ngo$i ti p ∆ABC có tâm I(x; y; z), bán kính r IA IB
IA IC I (ABC)
= = ∈
3x z x 2y 2z 2x 5y 6z 18
+ =
+ + =
+ − =
x y z
= = = −
I(1; 2; 1)− r IA 3= = 1,0 VII
b G&i A bi n c c n tìm
2
4 11 11 11
4 15
C C C C C 330 660 330 1320 33 P(A)
C 1365 1365 34
+ + + +
(10)IV − TỐN ƠN THI I H C
I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m) Câu I (2,0 i m) Cho hàm s y 2x
x − =
+ có th (H) 1) Kh o sát s bi n thiên v th (H)
2) G&i M m t i m b t kì thu c (H) Ch ng minh r ng ti p n c a (H) t$i M t$o v i hai ng ti m c*n c a (H) m t tam giác có di n tích không )i
Câu II (2,0 i m)
1) Gi i ph ng trình: 32x 3+ + 3x 1+ = 33x 7+
2) Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s : y 2sin x cos 2x8
= +
Câu III (1,0 i m) Tính:
1 x
x
1 e
I dx
e − =
+
Câu IV (1,0 i m) Cho hình chóp tam giác !u S.ABC có c$nh áy chi!u cao b ng a G&i (M) m t c u ngo$i ti p hình chóp S.ABC Tính di n tích m t c u (M) th tích kh i c u t ng ng Câu V (1,0 i m) Cho ba s 1không âm x, y, z 23 a i!u ki n: x + y + z ≤ 4#m 56012" 1l n nh t / a
bi u th c A x 2 y 2 z 2 x y z
= + +
+ + +
II/ PH N RIÊNG (3,0 i m) A) Theo ch ng trình Chu n:
Câu VI.a) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho elip (E): 4x2+9y2=36 G&i ∆ ng th ng i qua i m
M(1; 1)− có h s góc k Tìm k bi t r ng ∆ c't (E) t$i hai i m A, B M trung i m c a AB
2 Trong không gian Oxyz cho ng th ng Dm :
x mt y (m 1)t z t
=
= −
= −
(t tham s th c)
Ch ng minh r ng v i m&i s th c m khác 0, Dm n m m t m t ph ng (P) c nh Tính th tích kh i t di n t$o b.i mp(P) m t ph ng t&a
Câu VII.a) (1,0 i m)
Tìm s ph c z cho: z3= z
B) Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VI.b) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho hypebol (H): 4x2 9y2 36
− = G&i ∆ ng th ng i qua i m
M(1; 1)− có h s góc k Tìm k bi t r ng ∆ c't (H) t$i hai i m A, B M trung i m c a AB
2 Trong không gian Oxyz cho ng th ng Dm :
x (m 1)t y (2m 3)t z (m 1)t
= + +
= − + +
= − − −
(t tham s th c) Ch ng minh r ng v i m&i s th c m, Dm n m m t m t ph ng c nh Xác nh m
Dm song song v i hai m t ph ng( ) : 6x y 3z 13 0α − − − = , ( ') : x y 2z 0α − + − = Câu VII.b) (1,0 i m)
Gi i h ph ng trình:
( )
2
2
5
log(x 3x 4) log(x 4) x log x y
+ − = + + −
(11)Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre
S
O H
C
B A
Tóm t't cách gi i ! IV i m
1) TX : D = R\{−1} y ' 2
(x 1) =
+
-1
2 +
-2 +
-y '
y x
Hàm s ng bi n kho ng
(−∞ −; 1), ( 1;− + ∞) TC : x = −1 ; TCN: y =
1,0 I
2) M m; (H) m
− ∈
+
3(x m)
: y
(m 1) m
−
∆ = + −
+ + (PTTT c a (H) t$i i m M) ∆ c't Ox t$i A 1;
m
− −
+ ∆ c't Oy t$i B 2m 1; 2( + ) Giao ti m c*n I( 1; 2)−
IAB
1
S IA.IB 2(m 1)
2 m
= = + =
+
1,0
1) 32x 3+ + 3x 1+ = 33x (*)+ (32x 3+ +3 x 1+ ) (2 = 33x 7+ )3
(3 )
3(2x 3)(x 1)+ + 2x 3+ + x 1+ =1 3(2x 3)(x 1)+ + (33x 7+ )=1
3
6x +29x +44x 20 0+ = (6x 5)(x 2)2 0
+ + = x= −2 ho c x= −5/6 x= −5/6 th a PT (*) x= −2 không th a PT (*)
1,0 II
2) y 1(1 cos2x)4 cos 2x4
8
= − + TX : D = R
4
1
y f (t) (1 t) t
= = − + TX :Dt = −[ 1;1] f '(t) 1(1 t)3 4t3
2
= − − + f '(t) 0= t = f ( 1) 3− = ; f (1) 1= ; f (1/3) 1/27= max y 3= cos 2x= −1 x (2k 1)
2 π
= + ;
min y 1/27= cos 2x 1/3= (PT có nghi m x)
1,0
III x x x x 1 x
x x x x
0 0 0
1 e 5e e 6e e dx
I dx dx dx dx
e 5 e 5 e 5 e
− − + −
= = = = −
+ + + +
( )
1
1 x
x x
0
1 d(e 5) 6 e
I ln e ln
5 e 5 5
+ +
= − = − + = −
+
Cách khác:
1 x 1 x x x
x x x x x x
0 0 0
1 e dx e dx e dx e dx
I dx dx
e e e e (e 5) e
−
= = − = −
+ + + + + t
x
t e=
1,0
IV G&i H hình chi u vng góc c a S (ABC), SH⊥(ABC) S.ABC hình chóp
!u SH tr%c c a ng tròn ngo$i ti p ABC∆ M t c u (M) có tâm O, bán kính R O SH∈ , R SO OA= = AH a
2
= OH= SH SO− = a R−
2 2
OA =AH +BH
2
2
2 a
R a R
3
= + −
a R
3
=
2
24 a S
9 π
= ;
3
8 a V
27 π
=
1,0
V x 1 2x x2 (x 1)2
0
− − − −
(12)max A =
2, $t +c :;1/3 1khi x y z 1= = =
1) : kx y k 0∆ − − − = (4 9k )x+ 2−2(9k2+9k)x 9k+ 2+18k 27 (*)− =
(*) có nghi m xA, xB th a
2
A B
2(9k 9k)
2 x x
4 9k +
= + =
+
4 k
9 =
Ng +c l$i v i k 4/9= : (*) 52x2−104x 155 0− = có hai nghi m phân bi t (a.c 0)<
xA, xB th a xA+xB=2xM M trung i m c a AB
1,0 VI
a
2) D i qua i mm M(0; 0; 3) có VTCP u(m; m 1; 1)− − (vì m 0≠ ) Gi s, D ln n m (P) c nh có VTPT n(a; b; c) m (a2+b2+c2≠0)
u.n 0= (a b)m (b c) 0+ − + = a b b c + = + =
a b
c b
= −
= − Ch&n b= −1 a c 1= = (P) i qua M(0; 0; 3) có VTPT n(1; 1;1)− (P): x y z 0− + − =
(P) c't Ox, Oy, Oz l n l +t t$i A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) VOABC =9/2
1,0
VII
a Gi s, z a bi (a, b R)= + ∈
3
z =z (a bi)+ 3= −a bi
3
2
a 3ab a 3a b b b
− =
− = −
2
2
a(a 3b 1) b(3a b 1)
− − =
− + =
a b
=
= ho c a
b
=
= ± ho c b
a
= = ±
1,0 1) : kx y k 0∆ − − − = (4 9k )x− 2+2(9k2+9k)x 9k− 2−18k 45 (*)− =
(*) có nghi m xA, xB th a
2
A B
2(9k 9k)
2 x x
4 9k
− +
= + =
−
4 k
9 = −
Ng +c l$i v i k= −4/9: (*) 20x2−40x 349 0− = có hai nghi m phân bi t (a.c 0)< xA, xB th a xA+xB=2xM M trung i m c a AB
1,0 VI
b
2) Dm i qua i m M(0; 0; 3) có VTCP u(m 1; 2m 3;1 m)+ + −
Gi s, D n m (P) c nh có VTPT n(a; b; c) m (a2+b2+c2≠0) u.n 0, m R= ∀ ∈ (a 2b c)m (a 3b c) , m R+ − + + + = ∀ ∈
a 2b c
, m R a 3b c
+ − =
∀ ∈
+ + =
a 5/2b c 1/2b
= −
= − Ch&n b= −2
a c = =
(P) i qua A(3; 1; 1)− − có VTPT n(5; 2;1)− (P): 5x 2y z 16 0− + − = c) m
m
(D ) / /( ) (D ) / /( ')
α α
1
u.n u.n
A ( ), A ( ') =
=
∉ α ∉ α
m =
1,0
VII b K:
2
x 3x x
+ − >
+ > x > V i K: x > 1:
2
log(x +3x 4) log(x 4) x− = + + −
2
x 3x
log x
x
+ −
= −
+ log(x 1) x− = − f (x) log(x 1)= − ng bi n (1;+ ∞) f '(x) 0, x (1; )
(x 1) ln10
= > ∀ ∈ + ∞
−
g(x) x= − ngh ch bi n (1;+ ∞) ( g(x) x= − ngh ch bi n R) PT có nghi m nh t x = H PT ã cho có nghi m: x
y = =
x
y
= = −
(13)Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre V − TỐN ƠN THI I H C
I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m) Câu I (2,0 i m) Cho hàm s
3
2
x
y mx 2m (1)
2
= − +
1) Kh o sát s bi n thiên v th hàm s m 1=
2) Tìm m th c a hàm s (1) có i m c c i i m c c ti u, ng th i i m c c i i m c c ti u i x ng qua ng th ng d : y x=
Câu II (2,0 i m)
1) Gi i ph ng trình: 3cos x cos 2x cos3x 2sin x.sin 2x+ − + = 2) Gi i b t ph ng trình: 15x+25 5− x <25.3x
Câu III (1,0 i m) Tính:
e
1
cos(ln x) dx
π
Câu IV (1,0 i m) Cho kh i chóp S.ABCD có áy hình bình hành, bi t SA 2AB 2a= = M m t i m c nh SA v i AM x= (0 x 2a)≤ ≤ Xác nh x cho (MBC) chia kh i chóp thành hai ph n có th tích b ng
Câu V (1,0 i m) m !"#$ "%&'"nh t ( a bi u th c: A = x + y v i
x+y = ")*"x > 0, y > II/ PH N RIÊNG (3,0 i m)
A) Theo ch ng trình Chu n:
Câu VI.a) (2,0 i m)
1 Trong m+t ph ng Oxy, xét v trí t ng i c a hai ng tròn
2
(C) : x +y −8x 2y 0− + = (C ') : x2+y2−3x 7y 12 0− + = Vi t ph ng trình ti p n chung c a (C) (C’)
2 Trong không gian Oxyz, cho ng th ng ∆ : x = t ; y = ; z = −t T,p h-p i m M thu c m+t ph ng (Oxy) cho i m M cách ng th ng ∆ m t o n b ng m t elip (E) Tìm t.a tiêu i m c a (E) ch ng minh r ng ∆ vng góc v i tr/c bé c a (E) Câu VII.a) (1,0 i m)
Gi i ph ng trình sau ây t,p s ph c, bi t r ng ph ng trình có m t nghi0m thu n o:
3
z −(10 3i)z− +(29 30i)z 87i 0− + = B) Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VI.b) (2,0 i m)
1 Trong m+t ph ng Oxy cho hai ng #$1n (C ) : x1 2+(y 2)− =1 v*"
2
2
(C ) : (x 2)− +(y 1)− =4 2.i ∆"3*" ng th ng i qua A(0; 1) )*"(4"h0"s " 4c k ∆ c5t (C1), (C2) l n l -t # i M, N (M A N)≠ ≠ 6!c nh k "MN 3*"l n nh t
2 Trong không gian Oxyz cho ng th ng ∆ i qua i m A(2; 0; 1)− có véct ch7 ph ng a(1; 0;1) T,p h-p i m M thu c m+t ph ng (Oxy) mà góc gi8a ∆ ng th ng AM b ng 600 m t hypebol (H) G.i α1, α2 m+t ph ng i qua A ch a m t hai ng ti0m c,n c a (H) Ch ng minh r ng tích kho ng cách t9 m t i m thu c (H) n α1, α2 m t s không :i
Câu VII.b) (1,0 i m)
(14)2a x
b a
N M
D C B
A S
+∞ +∞
9 -1
x
A A'
-∞ +∞
0
3
Tóm t t cách gi i V i m
1) m =
2
x
y x
2
= − + TX : D = R
3
y ' x 3x
= − y '=0 x=1 ho c x=2
+
0 x
y y '
- +
-0
2
xlim y→−∞ = −∞, xlim y→+∞ = +∞ C (0; 2) ; CT (2; 0)
y ''=3x 3− y ''=0 x=1 i m u n (1; 1)
1,0 I
2) y ' 3x2 3mx
= − y '=0 x=0 ho c x=2m ( m=0 hàm s khơng có c c tr ) m≠0: th hàm s có hai i m c c tr A(0; 2m ) B(2m; 0) 3
A B i x ng qua y = x OA=OB 2m3=2m m= ±1
1,0
1) PT ã cho 3cos x+(2 cos x 1) cos 3x cos x cos 3x2 − − + = −
2
2 cos x+2 cos x=0 cos x(1 cos x)+ =0 cos x
cos x
= = −
x ( /2) k x (2k 1)
= π + π
= + π
(Ho c gi i b ng cách áp d ng : cos3x=4 cos x 3cos x3 − ; sin 2x=2 sin x.cos x)
1,0 II
2) 15x+25 5− x <25.3x (15x−5 ) (25 25.3 )x + − x <0 (3x x−1) 25(3− x−1)<0
x x
(3 −1)(5 −25)<0 x x 25
− >
− < ho c
x x 25
− <
− > x
< < 1,0
III
u cos(ln x) dv dx
=
=
1
du sin(ln x)dx x
v x
= − =
e e
0
I x cos(ln x) sin(ln x) dx π
π
= +
e
0
J sin(ln x) dx π
= u sin(ln x) dv dx
=
=
1
du co s(ln x)dx x
v x
= =
I= −J I e
π
− −
=
1,0
IV BC // (SAD) MN// BC // AD G i V, V1, V2 l n l t th tích kh i chóp
S.ABCD, S.MBC, S.MNC
S.MBCN 2
SABC SACD
V V V V V SM SM SN 2a x 4a x
V V 2V 2V SA SA SD 2a 2a
+ − −
= = + = + ⋅ =
S.MBCN
1 2a x 4a x
V V
2 2a 2a
− −
=
Yêu c u toán VS.MBCN 1V
= (2a−x)(4a−x)=4a2
2
x −6ax+4a =0 x=a 3( − 5) (x=a 3( − 5)lo i)
V
C ch 1:
x+y=
4x y
x
=
− V i y >
1
x< x >
4x
A x
x
= +
− (v i x > 1)
2
2
4 (x 1)
A '(x)
(x 1) (x 1)
− −
= − =
− −
A’(x) = x = (x = −1 i)
A = 9, t c khi x
y
= =
(15)Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre
4
-1/2 x
f(k) f '(k)
-∞ +∞
4
0
2 20
C ch 2: A x y x 4x x 4 (x 1) 4(x 1)
x x x x
−
= + = + = + + = − + + ≥ + ≥
− − − −
1) (C) có tâm I(4; 1) , R= 10 (C’) có tâm I '(3/2; 7/2) , R '= 10 /
R−R '<II '<R+R ' (C) (C’) c t Tâm v t S: SI R
SI '=R '= SI=2SI '
S( 1; 6)− Ti p n chung∆: a(x 1) b(y 6)+ + − =0 (a2+b2 ≠0)
d(I, )∆ =R 3a2−10ab 3b+ 2=0 Vì b≠0 nên ch n b=1 a
a 1/3
= =
Có hai ti p n chung: x 3y 17+ − =0; 3x+y 3− =0
1,0 VI
a
2) M(x; y; 0)∈mp(Oxy) H(t; 0;−t) hình chi u vng góc c a M ∆
HM(x−t; y; t) vng góc v i VTCP a(1; 0; 1)− c a ∆ t=x/2 HM(x/2; y; x/2) HM
z
= =
2
x 2y 50
z
+ =
= (E) :
2
x y
1 50 25 z
+ =
=
(Ho c s d ng công th c:
AM, a
d(M, )
a
∆ = = ) F ( 5; 0; 0)1 − , F (5; 0; 0) 2
1,0
VII a
Gi s PT ã cho có nghi!m thu n o z=bi (b∈R)
3
b i (10 3i)b (29 30i)bi 87i
− + − + − + =
3
10b(b 3)
b 3b 29b 87
+ =
+ − − = b= −3
PT ã cho t "ng "ng v i: (z 3i)(z+ 2−10z+29)=0 z 3i z 2i
= − = ±
1,0
1) ∆: y=kx 1+ xM 24 k
=
+ ; N
2k x
k
=
+
2 2
N M N M
MN =(x −x ) +(y −y ) Trong #: yN =kxN+1, yM =kxM+1
2
2 4(k 2) MN
k
− =
+
2 k 4k f (k)
k
− +
= ⋅
+
2
2
2k 3k f '(k)
(k 1)
− −
= ⋅ +
f '(k)=0 k = ho c k = –1/2 max MN = k = –1/2
1,0 VI
b
2) M(x; y; 0)∈mp(Oxy) AM(x−2; y; 1) ( )
1 cos AM; a
2 z
= =
2
x y
z
− =
=
(H) :
2
x y
1
3
z
− =
=
F (1 − 6; 0; 0), F ( 6; 0; 0) 2
1,0
VII b
4
z +3iz −iz 3+ =0 (z4−iz) (3iz+ 3+3)=0 z(z3−i) 3(iz+ 3+i )4 =0
3 3
z(z +i ) 3i(z+ +i )=0 (z3+i )(z 3i)3 + =0 (z 3i)(z i)(z+ + 2−iz 1)− =0
z= −i ho c z= −3i ho c z i
± +
=
(16)VI − TỐN ƠN THI I H C
I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m) Câu I (2,0 i m) Cho hàm s
4
x
y mx m
2
= − + có th (Cm)
1) Kh o sát s bi n thiên c a hàm s v th (C1) m =
2) Xác nh m hàm s có c c i c c ti u ng th i i m c c i, i m c c ti u c a (Cm) l p thành m t tam giác u
Câu II (2,0 i m)
1) Gi i ph ng trình: (1 t anx)sin x 3(cos x s inx)s inx 32
+ = − +
2) Gi i h ph ng trình:
3
3
x 3x y 3y xy
+ =
− =
Câu III (1,0 i m) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ng y ex
= , y ln x= , x 0= , x 1= , y= −1
Câu IV (1,0 i m) Cho hình chóp t giác u S.ABCD có c nh áy b ng a, c nh bên t o v i áy m t góc 600 G i M trung i m c a SC M t ph ng i qua AM ng th i song song v i BD c!t SB, SD l"n l #t t i E, F Tính th tích kh i chóp S.AEMF
Câu V (1,0 i m) Cho s th c d ng x, y, z th$a mãn: x + y + z = Ch ng minh r ng:
2 2 2
2x +xy 2y+ + 2y +yz 2z+ + 2z +zx 2x+ ≥ II/ PH N RIÊNG (3,0 i m)
A) Theo ch ng trình Chu n:
Câu VI.a) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho ba i m A( 1;1)− , B(4; 1)− , C(3; 4) Vi t ph ng trình t%ng quát c a ng th ng i qua C t o v i ng th ng AB m t góc 450
2 Trong khơng gian Oxyz cho i m M(1; 2; 3) & i (P) '()m t ph ng i qua M *()c!t Ox, Oy, Oz l"n l #t + i A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (v i a > 0, b > 0, c > 0) ,-m a, b, c )th ) +.ch kh i t )di n OABC '()/0$)nh1t
Câu VII.a) (1,0 i m)
Cho n n n
0 n
(1 x) x (1 x) + a a x a x a x + +
− + + = + + + +
Bi t a0+a1+a2+ a+ n 3+ =4096 Tính a
B) Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VI.b) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho parabol (P) : y2 2x
= ng th ng (d) : 2x my 0− − = Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m, ng th ng (d) i qua tiêu i m c a (P) c!t (P) t i hai i m M, N phân bi t Tìm qu2 tích trung i m I c a MN m thay %i Trong không gian Oxyz cho hai i m A(1; 4; 2) , B( 1; 2; 4)− ng th ng
x y z :
1
− +
∆ = =
− Tìm t a i m M thu c ∆ cho di n tích tam giác MAB nh$ nh1t
Câu VII.b) (1,0 i m) Cho
2011
2 2011
0 2011
1
x a a x a x a x
2 3+ = + + + +
(17)Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre
O F
a
E
M D
C B
A
S
Tóm t!t cách gi i VI i m
1)
4
x
y x
2
= − + TX : D = R
3
y ' 2x= −2x y ' 0= x 0= ho c x= ±1
1/2 x
y y '
- +
0 -1
0
+ +
1/2
C (0;1); CT( 1; 1/2)± −
2
y '' 6x= −2x i m u n(±1/ ;13/18)
1,0 I
2) y ' 2x3 2mx 2x(x2 m)
= − = − Hàm s có C CT m 0> y ' 0= x 0= ho c x= ± m Các i m c c tr A(0; m),
2
m
B( m; m)
2
− + ,
2
m
C( m; m)
2
− − + A Oy∈ ; B C i x ng qua Oy ∆ABC cân ABC
∆ u AB BC=
4
m
m 4m
4
− = m=312 >0
1,0
1) V i K: cos x 0≠ , PT ã cho t ng ng v i:
2
(1 t anx) tan x 3(1 t anx) t anx 3(1 tan x)+ = − + +
3
t t 3t t t anx
− − − =
=
2
(t 1)(t 3) t t anx
+ − =
=
t anx tan x
= − = ±
x (3/4) k x (3/3) k
= − + π
= ± + π
1,0 II
2)
3
3
x 3x y 3y xy
+ =
− =
3
3
x 3x y 6y 2xy
+ =
− =
3
3
x 3x y
x 3x y 6y 2xy
+ =
+ − + =
t y tx (x 0)= ≠ ho c chia hai v cho y3 ≠0 x y
2
= =
1,0
III G i S di n tích c"n tìm S S= 1+S2 ó S , 1 S l2 "n l #t di n tích hình ph ng
( x )
1
(H ) : y e ; y 0; x 0; x 1= = = = ,
( )
2
(H ) : y ln x; x 0; y 0; y= = = = −1
( y )
2
(H ) : x e ; x 0; y 0; y= = = = −1
1
1
x y x y
0
0
S e dx e dy e e e e− −
−
= + = + = −
1,0
IV O tâm hình vng ABCD SO (ABCD)⊥ G i V, V’ l"n l #t th tích kh i chóp S.ABCD, S.AEMF AM SO a
2
= = ; EF 2BD 2a
3
= =
2 AEMF
1 a 2a a
S AM.EF
2 2
= = =
2
1 a a a V '
3 2 18
= =
Cách 2:
3
a V
6
= ; SAMF
SACD
V SA.SM.SF V =SA.SC.SD =3;
SAMF SAMF
S.ACD
V V
V = 2V = 6;
SAME
V
V =6
V V
(18)V 1 7
u x y; x; y
2
+ , v y 1z; y; z
2
+ , u z 1x; z; 7x
2
+
u + v + w ≥ u+v+w pcm
Cách 2: 2 ( )2 ( )2 ( )2
4(2x +xy 2y )+ =5 x+y +3 x−y ≥5 x+y Vì x, y > 2x2 xy 2y2 5(x y )
2
+ + ≥ +
T ng t : 2y2 yz 2z2 5(y z)
2
+ + ≥ + ; 2z2 zx 2x2 5(z x)
2
+ + ≥ + pcm
1,0
1) AB(5;−2) ng th ng AB có VTPT n(2; 5) Gi s (D) có VTPT u(a; b)
2
(a +b ≠0)
2
2a 5b
2
29 a b
+
= +
2
a a
21 40 21
b − b − = (vì b ≠ 0)
a/b= −3/7 ho c a/b=7/3 3x 7y 19− + =0; 7x+3y 33− =0
1,0 VI
a
2) VOABC 1OA.OB.OC 1abc
6
= = (P) :x y z
a+b+c= (P) i qua M
1
1 a+b+c=
3
1
1
a b c abc
= + + ≥ 27
abc
≥ ⋅ abc≥27.6 VOABC 1abc 27
6
= ≥
VOABC =27, t c khi
a =b =c=3 (a=3; b=6; c=9)
1,0
VII a
Cho x = n
0 n
2 + a a a a 4096
+
= + + + + = n = 11
11 2 3 4 5
11 11 11 11 11 11
(1 x)− =C −C x+C x −C x +C x −C x +
2 12
12 12 12 12
x (1 x)− = C x +C x +C x +C x + a5= −C115 +C123 = −242
1,0
1) (P) có tiêu i m F(1/2; 0)∈(d)
2
x y /2
y my
=
− − =
2
m 0, m R
∆ = + > ∀ ∈
I(x; y) v i
M N
2x my
y y
y
− − =
+ =
2x my
y m
− − =
=
2
y =2x 1−
1,0 VI
b
2) V i M(1 t;− − +2 t; 2t)∈ ∆ MA=(t ; t ; 2t)− − AB= −( 2;−2; 2)
MA, AB =(16 6t;− − +4 2t; 12 4t)− S 56t2 304t 416
2
= − +
T ó S nh nh!t t=19/7 M(−12/7 ; 5/7 ; 38/7)
Cách khác: S 1AB.MH
2
= , óMH⊥AB S nh nh!t MH o n vng góc
chung c"a AB ∆ ∆ có VTCP a( 1; 1; 2)− AB có VTCP b(1; 1; 1)−
M(1 t;− − +2 t; 2t)∈ ∆; M(1 t '; t '; t ')+ + − ∈AB MH=(t ' t; 6+ + −t ' t; t ' 2t)− −
MH a
MH b
⊥ ⊥
2t 3t '
6t ' 2t 10
+ = −
− − = −
t 19/7
t ' 22/7
=
= − 19 t
7
= M 12 38; ;
7 7
−
1,0
VII b
2011 2011 2011 k k
k 2011 k
1 1
x C x
2 3
−
=
+ = Tìm k∈{0; 1; ; 2011} cho ak 1+ ≤ak
( )2011 k 1( )k ( )2011 k( )k
k k
2011 2011
C − 1/2 − + 1/3 − ≤C 1/2 − 1/3 k≤804,8 k = 804
0 803 804
a <a < <a <a 804 ( ) (207 )804
0 2011 804 1011
max(a ; a ; a ; ; a )=a =C 1/2 1/3
(19)Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre VII − TỐN ƠN THI I H C
I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m) Câu I (2,0 i m) Cho hàm s y 2x
x + =
+ có th (H) 1) Kh o sát s bi n thiên v th (H)
2) Tìm t&a i m thu c (H) cho t)ng kho ng cách t( ó n hai ng ti m c*n c a (H) nh nh t
Câu II (2,0 i m)
1) Gi i ph ng trình: 1 cos x sin 2x+ =sin 4x 2) Gi i b t ph ng trình: ( x2 x 1)x 1
+ + < Câu III (1,0 i m) Tính:
2
e
1
(1 x) ln x
I dx
x −
=
Câu IV (1,0 i m) M t hình tr% có bán kính áy R chi!u cao R A B hai i m l n l +t n m hai ng tròn áy cho góc h+p b.i AB tr%c c a hình tr% b ng 30 D ng tính dài o$n vng góc chung c a AB tr%c c a hình tr%
Câu V (1,0 i m) Cho x, y hai s th c d ng th a x y 1+ = Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
x y
P
1 x y
= +
− −
II/ PH N RIÊNG (3,0 i m) A) Theo ch ng trình Chu n:
Câu VI.a) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho elip (E) có ph ng trình: 5x2 9y2 30x 18y 0
+ + − + = Tìm t&a tiêu i m tính tâm sai c a (E)
2 Trong không gian Oxyz, vi t ph ng trình ng th ng i qua i m M( 1; 2; 3)− − ,
vng góc v i ng th ng
x 6t : y 2t
z 3t = − +
∆ = −
= −
c't ng th ng ' :x y z
3
− − +
∆ = =
− Câu VII.a) (1,0 i m) Gi i ph ng trình sau ây t*p s ph c: z3+3z2+3z 63 0− = B) Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VI.b) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho hypebol (H) có ph ng trình: 2x2−7y2+4x 70y 187 0+ − =
Tìm t&a tiêu i m tính tâm sai c a (H)
2 Trong khơng gian Oxyz, vi t ph ng trình ng th ng i qua i m M(0;1; 1)− , vuông góc c't ng th ng :x y z
4
− +
∆ = =
−
(20)O' O
B H A'
J I
R R
A
Tóm t't cách gi i ! VII i m
1) TX : D = R\{−1} y ' 2
(x 1) − =
+
x
y y'
- -1 +
2
-+
Hàm s ngh ch bi n kho ng
(−∞ −; 1), ( 1;− + ∞) TC : x = −1 ; TCN: y =
1,0 I
2) TC : ∆1: x 0+ = ; TC : ∆2: y 0− = M(x ; y ) (H)0 0 ∈ 0
0
4 y
x = +
+
1
d =d(M;∆ =) x +1; 2 2 0
0
4 d d(M; ) y
x
= ∆ = − =
+ d1+d2≥2 d d1 =4
1
min(d +d ) 4= d1=d2 0
x
x
= = −
1
M (1; 4) M ( 3; 0)−
1,0
1) V i K: sin 4x 0≠ , PT ã cho t ng ng v i: 2sin x sin 2x 2sin 2x cos 2x
+ =
(2sin x 1)cos2x 1+ = 2sin x cos 2x cos2x= − 2sin x cos 2x 2sin x= sinx(cos2x sinx) 0− = cos2x s inx 0− = (vì K sin x 0≠ )
2
2sin x sinx 0+ − = sinx
= ( sinx= −1 lo$i cos x 0= ) x (B/6) k2 x (5B/6) k2
= + π
= + π
(có th gi i: cos2x s inx 0− = cos2x s inx= cos2x cos x π
= − …)
1,0 II
2) ( x2 x 1)x 1
+ + < x.ln x( 2+ +x 1)<0
( )
x
ln x x >
+ + < ho c ( )
x
ln x x <
+ + >
2
x x x
>
+ < ho c x x x
<
+ > x (∈ −∞ −; 1)
1,0
III
u ln x (1 x)dx dv
x =
−
= 1/2 3/2
dx du
x
v 2x x
3 =
= −
2
e e
1/2 1/2
1
2
I x x x ln x 2x x dx
3
−
= − − −
2
e e
3
1
2 32
I x x x ln x x x x e
3 9
= − − − = −
1,0
IV G&i O, O’ l n l +t tâm c a hai áy A (O)∈ , B (O ')∈ AA '/ /OO ' A 'AB 300
= ∆AA’B vuông t$i A’ AA ' OO ' R 3= = A 'B R= ∆O’A’B !u G&i H trung i m c a A’B O 'H⊥(AA 'B)
ng th ng qua H song song v i OO’, c't AB t$i J D ng IJ // O’H (c't OO’ t$i J)
IJ⊥OO ' IJ⊥AB IJ O 'H R
= =
(21)Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre + 1/2 P ' P x + m B ∆∆∆∆'
∆ ∆ ∆ ∆ u b n d Ν Ν Ν Ν Μ Μ Μ Μ αααα' α αα α
V x x
P
1 x x
−
= +
− v i x (0;1)∈ ( )3 ( )3
2 x x
P '
2 x x
− +
= −
− P ' 0= (2 x 2− ) ( )x 3=(1 x x+ ) ( − )3
( )
1
x 8x 8x
2
− − + = x
2
= P= x y = =
1,0
1)
2
(x 3) (y 1)
(E) :
9
+ −
+ = t: X x Y y = + = −
x X y Y
= −
= +
Trong h t&a IXY, elip
2
X Y
(E) :
9 + = có
2 2
c =a −b =4 c =
Tâm sai e c a
= = Tiêu i m F1 X Y
= − = ,
X F
Y = = Trong h t&a Oxy, (E) có tiêu i m F1 x X
y Y 1 = − = − = + = ,
x X
F
y Y 1 = − = −
= + =
1,0 VI
a
2) (α) i qua M ( )α ⊥ ∆ ( ) : 6x 2y 3z 0α − − + = {N} ( )= α ∩ ∆' N(1; 1; 3)− MN :x y z
2
+ − +
= =
−
Cách 2: (α) i qua M ( )α ⊥ ∆ (α) có VTPT n (6; 2; 3)= − − ∆’ i qua B(4;1; 2)− có VTCP b(3; 2; 5)− (α’) i qua M ch a ∆’ (α’) có VTPT m= b, MB = − −( 3; 28; 13)− d ( ) ( ')= α ∩ α
d có VTCP u= n, m = −( 58; 87; 174)− = −29(2; 3; 6)−
1,0
VII
a z3+3z2+3z 63 0− = (z 3)(z− 2−6z 21) 0+ = z 32
z 6z 21 =
− + =
z
z 3 i =
= − ±
1,0 1)
2
(x 1) (y 5)
(H) :
7
+ −
− = t X x
Y y = + = −
x X y Y
= −
= + Trong h t&a IXY, hypebol
2
X Y
(H) :
7 − = có
2 2
c =a +b =9 c =
Tâm sai e c
a
= = Tiêu i m F1 X Y
= − = ,
X F
Y = = Trong h t&a Oxy, (H) có tiêu i m F1 x X
y Y 5 = − = − = + = ,
x X F
y Y 5
= − =
= + =
1,0 VI
b
2) T ng t VIa2): N 13 5; ; 13 33 33 33
−
MN 13; 28 20; 33 33 33
− x y z
MN :
13 28 20
− +
= =
− 1,0
VII b
3
z −2(1 i)z+ +3iz i 0+ − = (z 1) z− 2−(1 2i)z i+ − + =0
2
z
z (1 2i)z i =
− + − + =
z z i z i
= = = +
(22)VIII − TỐN ƠN THI I H C
I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m) Câu I (2,0 i m) Cho hàm s y x3 3mx2 3(m2 1)x m3
= − + − − có th (Cm) 1) Kh o sát s bi n thiên v th c a th hàm s m= −2
2) Tìm m th (Cm) c't tr%c hoành t$i ba i m phân bi t, ó có nh t m t i m v i hoành d ng
Câu II (2,0 i m)
1) Gi i ph ng trình: sin x 2sin x cos x 3cos x 03 + − =
2) Gi i ph ng trình: x+ 17 x− +x 17 x− =9
Câu III (1,0 i m) Tính:
4
0
x dx 4− 2x+
Câu IV (1,0 i m) Cho kh i nón (N) có chi!u cao h bán kính áy R Tìm th tích l n nh t V 0 c a kh i tr% (T) n i ti p kh i nón (N) Tính t s gi a V th tích c a kh i nón (N) 0 Câu V (1,0 i m) Cho x, y, z ba s th c d ng th a: x y z 1+ + = Tìm giá tr l n nh t c a bi u
th c: P x y z x y z
= + +
+ + +
II/ PH N RIÊNG (3,0 i m) A) Theo ch ng trình Chu n:
Câu VI.a) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho hai i m A(1; 5) , B(3; 1)− ng th ng d có ph ng trình: 3x 2y 0− − = Vi t ph ng t"#nh hai ng th ng l n l +t i qua A, B i x ng qua ng th ng d
2 Trong không gian Oxyz cho ng th ng :x y z
2
− + −
∆ = =
− m t ph ng ( ) : mx ny 5z 22 0α + − − = Xác nh m, n ∆ n m ( )α
Câu VII.a) (1,0 i m) Tìm s ph c z th a i!u ki n:
z 12 z 8i z
1 z
− = − −
= −
B) Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VI.b) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho ∆ABC có di n tích b ng 1,5 hai nh A(2; 3)− , B(3; 2)− Bi t tr&ng tâm G c a n m ng th ng d : 3x y 0− − = T#m i m C
2 Trong không gian Oxyz cho hai m t ph ng ( ) : (1 m)x (m 2)y mz 0α − + + + + = ( ') : 4nx (7n 3)y 3(n 1)z 2n 0α − + − + + = Tìm m, n (α) song song v i (α’)
Câu VII.b) (1,0 i m) Tìm s ph c z w th a i!u ki n: z w 3(1 i)3 3 z w 9( i)
+ = +
(23)Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre
O'
O B
S
A
Tóm t't cách gi i ! VIII i m
1) m= −2 y x= 3+6x2+9x 8+ TX : D = R
2
y 3x= +12x 9+
y ' 0= x= −1 ho c x= −3
+ -3
x
y y '
- +
-0
-1
xlim y→−∞ = −∞, xlim y→+∞ = +∞ C ( 3; 8)− ; CT ( 1; 4)−
y '' 6x 12= + y '' 0= x 2= i m u n ( 2; 6)−
1,0 I
2) y ' 3x2 6mx 3(m2 1)
= − + − y ' 0= x m 1= ± f (m 1)− = −3m 2+ ; f (m 1)+ = −3m 2−
(Cm) c't Ox t$i i m phân bi t f (m 1).f (m 1) 0− + < −2/3 m 2/3< < (1) Có m t i m hoành âm m 3
f (0) m − <
= − < m 1< < (2) (1) (2) m 2/3< <
1,0
1) sin x 2sin x cos x 3cos x 03 + − = tan x tan x 03 + − =
(t anx 1)(tan x t anx 3) 0− + + = t anx 1= x (= B/4) k+ π 1,0 II
2) x 17 x2 x 17 x2 9
+ − + − = t y= 17 x− ≥0 x y xy 92 2 x y 17
+ + =
+ =
S x y P xy
= + =
2
S P S 2P 17
+ =
− =
P S S 2P 35
= −
+ − =
S P = =
S
VN P 16
= −
= T*p nghi m T {1; 4}=
1,0
III
t t= 2x+ t2= +1 2x
2
t x
2 −
= dx t.dt= x 0= t 1= ; x 4= t 3=
3
3
2
1 1
1 60 t 82
I t 4t 15 dt 2t 15t 60 ln t 30ln
2 t 3
= − − − + = − − − − − = − +
−
1,0
IV G&i x chi!u cao, r bán kính áy V th tích c a kh i tr% (T) r h x
R h
−
= r R(h x)
h
= −
2
2
2
R
V r x (h x) x h
π
= π = −
3
2
2
R R 2h
V (h x)(h x)2x
2h 2h
π π
= − − ≤
3
2
0
R 2h R h maxV V
2h 27
π π
= = = D u “=” x y x h
3 = G&i V th tích kh i nón (N) N VN R h2
3
= π
N
V
V =9
V x x 1 1
1
x x x
+ −
= = −
+ + + T ng t
1 1
P
x y z
= − + +
+ + +
B T Cô si: 1 33 (1)
x y z 1+ + + + + ≥ (x 1)(y 1)(z 1)+ + + (x 1) (y 1) (z 1) (x 1)(y 1)(z 1) (2)+ + + + + ≥ + + +
(1) x (2) + + ≥9 − + + ≤ −9
(24)6
1
2
O y
x
7
3
d: 3x - 2y - = H
A'
I B A
2
4
6
8
10
5
3x - y - =
C2
C1 O
y
x
-3
x - y - = G
B A
1 1
P
x y z
= − + + ≤
+ + + Khi
1 x y z
3
= = = P = 1) A '(x; y) i x ng v i A qua d
AA’ i qua A(1; 5) AA ' d⊥
AH : 2x 3y 17 0+ − = H giao i m c a AH v i d H(4; 3) A '(7;1) A 'B : x 2y 0− − =
I(x; y) giao i m c a A’B v i d I 1; −4 IA : 29x 2y 19 0− − =
1,0 VI
a
2) Cách 1: V trí t ng i gi a ng th ng m t ph ng Cách 2: Ph ng trình: ax b 0+ = có vơ s nghi m a
b = =
m n 13
= = −
1,0 VII
a Gi s, z x yi (x, y R)= + ∈ z 12 z 8i z z
− = −
− = −
3 (x 12) yi x (y 8)i (x 4) yi (x 8) yi
− + = + −
− + = − +
2 2
2 2
3 (x 12) y x (y 8) (x 4)2 y (x 8) y
− + = + −
− + = − +
z 8i z 17i
= + = +
1,0
1) Gi s, C(x; y) G(x ; y ) dG G ∈ 3xG−yG− =8
2 x y
3
3
+ + − − +
− − = 3x y (1)− = AB= AB : x y 0− − = CH d(C, AB) x y
2 − −
= =
ABC
3 S
2
= 1AB.CH
2 =
x y
1 2
2 2
− − = x y 5− − =3 x y 5− − = ±3 (2)
(1) (2) Có hai i m C (1; 1)1 − C ( 2; 10)2 − −
1,0 VI
b
2) * Tr ng h+p n 0≠ n≠ −3/7 n≠ −1: ( ) / /( ')α α
m m 4n 7n
m m
7n 3m
− +
= + +
=
+ +
mn m 5n 2mn 3n
+ − =
− =
7n m
2 7n 4n
− =
− − =
n m
=
= ( n= −3/7lo$i) * n = 0: ( ') : y z 0α + = ( ) / /( ')α α m = m m
1
+
= không th a * n = −1: ( ') : 2x 2y 0α − + = ( ) / /( ')α α m = m m
2
− +
=
− không th a
1,0
VII
b 3
z w 3(1 i) z w 9( i)
+ = +
+ = − + 2
z w 3(1 i)
(z w)(z zw w ) 9( i)
+ = +
+ − + = − +
z w 3(1 i) (z w) 3zw 3i
+ = +
+ − =
z w 3(1 i) zw 5i
+ = +
= z, w nghi m c a PT ph c:
2
t −3(1 i)t 5i 0+ + = z i
w 2i = +
= + ho c
z 2i w i
= + = +
(25)Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre IX − TỐN ƠN THI I H C
I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m) Câu I (2,0 i m) Cho hàm s
4
x
y 3x
2
= − + có th (C) 1) Kh o sát s bi n thiên v th (C)
2) Xác nh m ph ng trình: x4 6x2 2 m
− + = có úng sáu nghi m phân bi t Câu II (2,0 i m)
1) Gi i ph ng trình: x 35 x x3 3( 335 x3) 30
− + − =
2) Gi i b t ph ng trình: 4
3 1
3 3
x
4log x log 32log x 41 85log x 81
− + + <
Câu III (1,0 i m) Tính:
I x.cos x.sin x.dx π
=
Câu IV (1,0 i m) Cho hình chóp S.ABCD có áy hình vng tâm O, c$nh b ng a SO (ABCD)⊥ SO a
2
= Trên c$nh SC l y i m M v i SM x= (0 x a)< < SD c't (ABM) t$i N nh x (ABMN) vng góc v i (SCD) Khi ó tính th tích kh i chóp S.ABMN Câu V (1,0 i m) Cho x, y, z ba s th c d ng th a: x y z 1+ + = Tìm giá tr l n nh t c a bi u
th c: P xyz(x y)(y z)(z x)= + + + II/ PH N RIÊNG (3,0 i m)
A) Theo ch ng trình Chu n:
Câu VI.a) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho hai i m A(1; 2), B(3; 4) ng th ng ∆ có ph ng trình: 3x y 0+ − = Vi t ph ng trình ng trịn i qua hai i m A, B ti p xúc v i ng th ng ∆
2 Trong không gian Oxyz cho hai ng th ng
x t : y 11 2t
z 16 t =
∆ = − +
= −
' :x y z
2
− − −
∆ = = ⋅
G&i d hình chi u song song c a ∆ theo ph ng ∆’ mp(P): 3x 2y 2z 0− − − = Vi t ph ng trình t'c c a ng th ng d
Câu VII.a) (1,0 i m) M t lô hàng có 30 thùng hàng, ó có thùng hàng ph phCm L y tùy ý thùng hàng t( lơ hàng ó Tính xác su t (k t qu xác n hàng ph n nghìn),
thùng hàng l y có nh t m t thùng hàng ph phCm B) Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VI.b) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho hai ng th ng ∆: 2x y 0+ − = ∆': 2x y 0− + = , vi t ph ng 2"#nh ng 2"=n i qua g c t&a O ti p xúc v i hai ng th ng ∆, ∆’
2 Trong không gian Oxyz cho hai ng th ng
x 2t : y 3t
z t = − +
∆ = −
= − +
' :x y z
3
+ + +
∆ = =
Vi t ph ng trình m t c u có tâm I thu c ∆, bán kính R 6= ti p xúc v i ∆’
(26)L a a
x S
O I
K N
B
D C
A
M
Tóm t t cách gi i IX i m
1) TX : D = R y '=2x3−6x
y '=0 x=0 ho c x= ±
-7/2
3
1
-7/2 x
y y '
- +
0 -
0
+ +
C (0; 1); CT(± 3; 7/2)−
y ''=6x −6x y ''=0 x= ±1 i m u n ( 1; 3/2)± −
1,0 I
2) x4−6x2+2 =m
2
x m
3x
2 − + = Yêu c u toán
m
1
2
< < 2<m<7 1,0 1) t y= 335 x−
3
xy(x y) 30
x y 35
+ =
+ = S=x+y; P=xy
S P 30
S 3SP 35
+ =
− =
P S
S 125
= − =
S
P
=
= T p nghi m T={2; 3}
1,0 II
2)
4
4 2
3 1
3 3
x
4 log x log 32 log x 41 85 log x (1)
81
− + + < K: x > t t=log x3
Khi ó (1) có d ng: 4t4−(4 4t)− 2−32t+41 85t< 4t4−101t2+25<0
2
t 25
4< <
1
t
2 < <
1
t
2
1
5 t
2 < < − < < −
3
3
log x
2
1
5 log x
2 < < − < < −
3 x 243
1
x
243
< < < <
1,0
III
4
u x
dv cos x.sin x.dx
= =
7
du dx
cos x cos x
v
7
=
= −
7 7
0
0
cos x cos x cos x cos x cos x cos x
I x dx dx
7 35 35
π
π π
π π
= − − − = − − =
1,0
IV SO⊥(ABCD), OA=OB=OC=OD SA=SB=SC=SD SA=a
AB//CD MN//AB; BCM∆ = ∆ADN MB=AN ABMN hình thang cân
SCD
∆ u ∆SMN u SM=x MN=x
BCM
∆ MB2 =MC2+BC2−2MC.BC.cos600
2
AN=BM= a +x −ax
G i K, I l n l t trung i m c a MN, AB D ng ML//KI
a x
LB −
= ML IK 3x2 2ax 3a2
2
= = − +
SK⊥MN IK⊥MN
SKI góc gi a (ABMN) (SCD)
(ABMN)⊥(SCD) IK⊥SK SI2=IK2+SK2 x a
3 =
S.ABMN ABMN
1 1 4a a a a
V S SK
3 3 81
= = ⋅ ⋅ =
(27)Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre
(x+y) (y+ +z) (z+ +x)≥3 (x+y)(y+z)(z+x) 2≥3 (x3 +y)(y z)(z+ +x) (2)
(1) x (2) 2≥9 P3 P
729
≤ Khi x y z
3
= = = P
729
=
1) (T):x2+y2−2ax−2by c+ =0 (T) có tâm I(a; b), R= a2+b2−c
A (T)
B (T)
d(I, ) R
∈ ∈
∆ = 2
a (15 c)/2
b (c 5)/2
3a b 10 a b
= −
= −
+ − = +
a
b
c
= = =
ho c
a 3/2
b 7/2
c 12 = = =
Có hai ng trịn: x2+y2−8x−2y 7+ =0 x2+y2−3x 7y 12− + =0
1,0 VI
a
2) Cách 1: M t ph ng (α) xác nh b i ∆ ∆’
7x 5y 3z
d (P) ( ) :
3x 2y 2z
− − − =
= ∩ α
− − − =
x y 14 z
d :
4
+ +
= =
Cách 2: {M}= ∆ ∩(P) {N}= ∆ ∩' (P) M(11; 11; 5) , M(3; 1; 3) d≡MN
1,0
VII a
G i A bi n c c n tìm Cách 1:
1
3 27 27 27
8 30
C C C C C C
P(A) 0, 621
C
+ +
= ≈
Cách 2: ( )
8 27 30 C
P(A) P A 0, 621
C
= − = − ≈
1,0
1) (T):x2+y2−2ax−2by c+ =0 O∈(T) c=0 (T) có tâm I(a; b), R= a2+b2
d(I, ) d(I, ')
d(I, ) R
∆ = ∆
∆ = 2 2
2a b 2a b
5
2a b
a b
5
+ − − +
= + −
= +
1 a
4 10 b
8 = −
− ± = Có hai ng tròn:4x2+4y2+2x+(3 10 y± ) =0
1,0 VI
b
2) Cách 1: ∆’ i qua i m A( 2;− −7; 1)− có VTCP a(3; 4; 2)
I( 2t; 3t; t)− + − − + ∈ ∆ IA(1 2t; 3t;− − + −t) IA, a =(10t 16; t− −2; 28 17t)−
d(I;∆ =') 390t2−1276t=0 t=0 I(3; 1; 1)− t 638 195
= I 691; 573 443;
195 65 195
−
Cách 2: I( 2t; 3t; t)− + − − + ∈ ∆ G i H hình chi u c a vng góc c a I ∆’ Gi s H(3m 2; 4m 7; 2m 1)− − − ∈ ∆' IH(3m 2t 1; 4m 3t 8; 2m t)− + + − −
IH a
IH
=
=
691 573 443
I ; ;
195 65 195
−
1,0
VII b
G i A bi n c c n tìm Cách 1:
8
28 28
8 30
C C C
P(A) 0, 94
C +
= ≈
Cách 2: ( )
6
28 30 C C
P(A) P A 0,94
C
= − = − ≈
(28)X − TỐN ƠN THI I H C
I/ PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m) Câu I (2,0 i m) Cho hàm s y 2x
x − =
− có th (H) 1) Kh o sát s bi n thiên v th (H)
2) Tìm a, t( i m A(0; a) kE +c hai ti p n n (C) cho hai ti p i m t ng ng n m v! hai phía c a tr%c hồnh
Câu II (2,0 i m)
1) Gi i ph ng trình:
2
sin 2x 2cos x
cos x cos x sinx cos3x sin 3x
+ −
=
− − +
2) Gi i h ph ng trình: xy x 7y2 2 2 x y xy 13y
+ + =
+ + =
Câu III (1,0 i m) Ch ng minh r ng hàm s f (x) ln x( 1 x2)
= + + m t nguyên hàm c a hàm s
2
1 g(x)
1 x =
+ Tính
1
2
I= x dx+
Câu IV (1,0 i m) Cho hình nón có ng cao SO h= bán kính áy R G&i M i m o$n SO v i OM x= (0 x h)< < M t ph ng vng góc v i tr%c hình nón t$i M, c't hình nón theo m t ng trịn (M) Tính th tích V c a kh i nón có nh O áy (M) Tìm x cho V $t giá tr l n nh t
Câu V (1,0 i m) Cho x, y, z ba s th c d ng th a: x2 y2 z2 3
+ + = Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
3 3
2 2
x y z
P
y z x
= + +
+ + +
II/ PH N RIÊNG (3,0 i m) A) Theo ch ng trình Chu n:
Câu VI.a) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho hai i m A( 1; 3)− , B(6; 2) ng th ng ∆ có ph ng trình: 4x 3y 30 0+ − = Vi t ph ng trình ng trịn (T) i qua A ti p xúc v i ng th ng ∆ t$i B
2 Trong không gian Oxyz cho i m I(1;2;−2) m t ph ng (α) : 2x + 2y + z + = G&i (S) m t c u tâm I cho m t ph ng (α) c't m t c u (S) theo m t ng trịn có chu vi b ng 8π Ch ng minh r ng m t c u (S) ti p xúc v i ng th ng ∆ : 2x − = y + = z Tìm t&a
ti p i m
Câu VII.a) (1,0 i m) Cho a th c P(x) (x a) (x b)3
= + − Bi t r ng khai tri n c a P(x), h s c a x b ng 483 h s c a 7 x b ng 33 Tìm a b 8
B) Theo ch ng trình Nâng cao:
Câu VI.b) (2,0 i m)
1 Trong m t ph ng Oxy cho parabol (P) : y = x2 − 2x elip (E) :
2
x
y
9 + = Ch ng minh r ng (P) (E) c't t$i i m phân bi t A, B, C, D b n i m A, B, C, D n m m t ng 2"=n Xác nh tâm bán kính c a ng 2"=n ó
2 Trong khơng gian Oxyz cho hai m t c u : (S) : x2 + y2 + z2 − 64 = (S’) : x2 + y2 + z2 − 6x − 12y + 12z + 72 =
Ch ng minh r ng (S) (S’) c't theo m t ng tròn mà ta ph i xác nh tâm bán kính
Câu VII.b) (1,0 i m) Tìm s ph c z cho z i z 3i
− =
(29)Bùi Gia Phong − Giáo viên tr ng THPT Tr ng V nh Ký B n tre Tóm t't cách gi i ! X i m
1) TX : D = R\{1} y ' 2
(x 1) − =
− x
y y '
- +
-2 -2
-+
Hàm s ngh ch bi n kho ng (−∞;1), (1;+ ∞)
TC : x = ; TCN: y = −2
1,0 I
2) PTTT t$i M(x ; y ) (H)0 0 ∈ :
0
0
5 2x
y (x x )
x (x 1)
− −
− = −
− −
TT i qua A(0;a) 0
0
5 2x 3x
a
x (x 1) −
− =
− −
0
0
x
(a 2)x 2(a 5)x a (*) ≠
+ − + + + =
T( A(0;a) kE +c TT n (H) (*) có hai nghi m x , x khác 1 2
2
' (a 5) (a 5)(a 2) (a 2) 2(a 5) a
∆ = + − + + >
+ − + + + ≠ a> −5 Khi ó hai ti p i m (x ; y ), (x ; y ) 1 2 n m v! hai phía c a Ox y y1 2<0
1
5 2x 2x
x x
− −
<
− −
10 a
3 >
1,0
1) cos x sinx cos3x sin 3x (cos x cos3x) (sin 3x sinx) 2sinx(sin2x cos2x)− − + = − + − = +
2
sin 2x 2cos x cos x cos x sinx cos3x sin 3x
+ −
=
− − +
2
sin 2x cos x cos x (1) 2sinx(sin2x cos2x)
+ −
=
+
K: sinx
sin 2x cos2x ≠
+ ≠ V i i!u ki n trên, PT (1) t ng ng v i: sin 2x cos 2x
cos x 2sinx(sin2x cos2x)
+
=
+ 2sinx cos x= sin 2x 1= x k π
= + π(th a K)
1,0 II
2)y = không th a 2
1 x
x
y y
1 x
x 13
y y
+ + =
+ − =
2
1
x x 20
y y
x
7 x
y y
+ + + − =
= − +
Nghi m (1; 1/3), (3; 1)
1,0
III
( 2)
2
2 2
x
x x ' 1
1 x
f '(x) g(x)
x x x x x
+
+ +
+
= = = =
+ + + + +
2
u x dv dx
= +
=
2
x
du dx
1 x v x
= + =
1 2
1
2 2
0 0 0 0
x x dx
I x x dx dx I
1 x x x
+ −
= + − = − = − +
+ + +
( 2)1 ( )
0
2I= ln x+ + x+ = ln 1+ + I 1ln 1( 2) 2
= + +
Ho c có th bi n )i:
1 1
2
2 2
0 0 0
1 x dx x dx dx
I x dx dx I
1 x x x x
+
= + = = + = + −
+ + + +
(30)M
O S
A IV
G&i r bán kính c a (M) r h x
R h
−
= r R(h x)
h
= −
2
2
2
1 R R
V r OM (h x) x (h x)(h x).2x
3 h h
= π = π − = π − −
3
2
2
1 R 2h R h V
6 h 81
π
≤ π =
2
4 R h maxV
81 π
= x h =
1,0
V 3
3
2
x x y x 3x
3
16 64
2 y y +
+ + ≥ =
+ +
T ng t ( )
2 2
2 2
x y z
P x y z
16
+ + +
+ ≥ + + P 3
16 +
+ ≥ ⋅
P 3/2≥ Khi x y z 1= = = P 3/2= P 3/2=
1,0
1) ∆’ vng góc v i ∆ t$i B ∆': 3x 4y 10 0− − = Gi s, (T) có tâm I(a; b), bk R R IA IB
I '
= =
∈ ∆
2 2
(a 1) (b 3) (a 6) (b 2) 3a 4b 10
+ + − = − + −
− − =
a
b
=
= − R IA 5= =
2
(T) : (x 2)− +(y 1)+ =25
1,0 VI
a
2) (S) có tâm I bán kính R (α) c't (S) theo m t ng tịn (T) có tâm H, bán kính r 4= d(I, ( )) IHα = = R= IH2+r2 =5 H PT c a (S) ∆ có m t nghi m nh t
∆ ti p xúc v i (S) t$i i mM 5/3; 5/3; 4/3( − )
1,0 VII
a
2
15b 18ab 3a 483 6b 3a 33
− + =
− + =
2
3b 22b 40 a 11 2b
+ + =
= +
a
b
=
= − ho c
a 13/3 b 10/3
=
= − 1,0
1)
2
2
x 9y y x 2x
+ =
= −
2
4
y x 2x
9x 36x 37x (*)
= −
− + − = Hàm s
4
f (x) 9x= −36x +37x −9 liên t%c [a; b] f(a).f(b) < (*) có nghi m thu c kho ng ( 1; 0)− , (0;1) ,
(1; 2) , (2; 3) T&a giao i m nghi m c a h :
2
2
x 9y y x 2x
+ =
= −
2
2
x 9y 8x 16x 8y
+ =
− =
2
9x +9y −16x 8y 0− − =
2
8 236
x y
9 36
− + − = Tâm I 4; 9 ;
2 R 59 = 1,0 VI b 2)
2 2
2 2
(S) : x y z 64
(S') : x y z 6x 12y 12z 72
+ + − =
+ + − − + + =
2 2
(S) : x y z 64 ( ) : x 2y 2z 23
+ + =
α + − − =
(T) (S) (S') (S) ( )= ∩ = ∩ α (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R 8= d(O, ( )) 23 R α = < H PH có nghi m (α) c't (S) (S) c't (S’) theo ng tròn (T) (S) ( )= ∩ α Gi s, (T) có tâm H, bán kính r r R2 OI2 560 35
9
= − = = , v i OI d(O, ( ))= α H giao i m c a ∆ i qua O ∆ ⊥ α( ) H 68/27; 136/27; 136/27( − )
1,0
VII
b Gi s, z x yi (x, y R)= + ∈ z i z 3i − = + x R y ∈
= − z x i= − z (x 1) i+ = + − z + có m t acgumen b ng
6 π
− z r cos i sin r r i1
6 2
π π
+ = − + − = −
x r / r /
+ = − = −
r x
=
= − z i= − −