Thi hsg 10

[r]

(1)

§Ị thi häc sinh giái líp 10

Môn Toán Thời gian: 150 phút Câu 1(3 điểm) : Cho hµm sè: f(x) = x2 – 2x -1

a) Vẽ đồ thị hàm số y= f(x) từ suy đồ thị hàm số y f x( )

b) Tìm m để phơng trình x2 2x1  m có nghiệm phân biệt

Câu 2 (2 điểm):

a) Chứng minh rằng: A(B C ) ( A B ) ( A C )

b) Cho: Axvíi x lµ béi cđa vµ



 

 x

B víi x lµ béi cđa



Chøng minh rằng: A = B

Câu3 (2 điểm)

a) Giải phơng trình: x 2 x2 2

b) Giải hệ bất phơng trình:



x

x y

y

 

Câu 4 (2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) điểm B(3;2) Tìm điểm C trục Ox cho:

a) Tam giác ABC vng A Tính độ dài đờng cao AH b) Chu vi tam giác ABC đạt giá trị nhỏ

Câu 5 (1 điểm): Chứng minh với x



3

2 3 4 4

1x  1 x  1x  1 x  1x  1 x

- Hết -Đáp án

Câu 1(3 điểm) : a

V ỳng THS: y f x( ) x2 2x 1

    cã

Đỉnh (1;-2), trục đối xứng đờng thẳng x=1

(2)

(3)

b Số nghiệm phơng trình x2 2x1 m số giao điểm ĐTHS

( )

y f x đờng thẳng y = m+1

Dựa vào đồ thị hình vẽ ta có: ĐTHS y f x( ) giao với đờng thẳng y = m+1 điểm phân biệt khi: 0m 1 2  1 m1` 1,0 điểm Câu 2 (2 điểm):

a Chøng minh : A(B C ) ( A B ) ( A C )

Ta cã: x A (B C ) 



x B

x C

x A

 













x A x B x A x C    

   





x A B

x A C

   

 x(A B ) ( A C )  ®pcm 1,0 ®iĨm

b Cm: Gi¶ sư x A ta cã: x bội nên x=2k=3l (k l Z, ) Vì bội nên k bội ta có: k=3k1 (k1Z )

(4)

Tõ (1) vµ (2) suy A = B 1,0 điểm Câu3 (2 điểm)

c) Giải phơng trình: x 2 x2 2

điều kiện x2

Đặt y x2 0 ta cã hÖ



2

x y

y x

 

, trừ vế phơng trình ta

đợc: (x y x y )(  1) 0  x-y=0(*) x+y+1=0(**)

- Rút x từ phơng trình(*) thay vào phơng trình hệ, kết hợp với điều kiện , phơng trình cho có nghiệm x=2

- Rót x tõ phơng trình(**) thay vào phơng trình hÖ, kÕt

hợp với điều kiện , phơng trình cho có nghiệm

2

x 

Vởy phơng trình cho có nghiệm x=2

2

x  1,0 điểm

d) Giải hệ bất phơng trình:



x

x y

y

 

Đa miền nghiệm hệ bpt miền không gạch (kể đờng biên)

1,0 ®iĨm

Câu 4 (2 điểm): Điểm C trục Ox có tọa độ C(c;0) Ta có:

(2;1) AB



(5)

a.Tam giác ABC vuông A 3

AB AC c c

                     

Vậy điểm C có tọa độ C( ;0)3

AH.BC=AB.AC AH AC AB

BC

1,0 điểm

b.Chu vi tam giác ABC: 2p = AB+AC+BC

Gọi A/ điểm đối xứng với A qua Ox, Ox đờng trung trực

AA/ nên: AC= A/C Vì AB không đổi nên chu vi nhỏ A/C+CB

nhỏ B,C, A/ thẳng hàng.

Ta độ A/(1;-1) Phơng trình đờng thẳng BA/: 3x-2y-5=0

Tọa độ C nghiệm hệ:



yx

y

  C

5 ( ;0)

3 1,0 ®iĨm

Câu 5 (1 điểm): Với x 





2

2 2

1 1.(1 ) (1 )

2

x

x x x 

      

2

2 2

1 1.(1 ) (1 )

2

x

x x x 

      

3 31 3.1.1.(1 3) 1(1 1 3)

3

x

x x x 

       

3 31 3.1.1.(1 3) 1(1 1 3)

3

x

x x x 

       

4

4 4

41 41.1.1.(1 ) 1(1 1 1 )

4

x

x x x 

        

4

4 4

41 41.1.1.(1 ) 1(1 1 1 )

4

x

x x x 

        

Cộng vế bất đẳng thức  đpcm Dấu “=” xảy x=0

1,0 ®iĨm