* Chú ý : Úng dụng của hình chiếu chuyển động tròn đều vào dao động điều hòa là một công cụ rất mạnh" trong các dạng bài toán liên quan đến quãng đường và thời gian trong da[r]
(1)Tạo viết Bài tập phần đại cương dao động điều hòa Một số dạng tốn dao động điều hịa
1 Kiến thức tảng:
- Quãng đường mà vật chu kỳ dao động S = 4A
- Quãng đường mà vật chu kỳ dao động S = 2A
- Quãng đường mà vật chu kỳ dao động S = A - Chiều dài quỹ đạo: 2A
2 Mối liên hệ dao động điều hịa hình chiếu chuyển động tròn đều.
Xét vật chuyển động tròn đường trịn có bán kính A tốc độ góc ω Tại thời điểm ban đầu chất điểm vị trí điểm M0 tạo với trục ngang
góc φ Tại thời điểm t chất điểm vị trí điểm M góc tạo với trục ngang (ωt +
φ) Khi hình chiếu điểm M xuống Trục ngang OP có độ dài đại số
Khi ta nói hình chiếu chất điểm chuyển động tròn dao động điều hòa
* Chú ý : Úng dụng hình chiếu chuyển động trịn vào dao động điều hịa cơng cụ mạnh" trong các dạng toán liên quan đến quãng đường thời gian dao động điều hịa Khơng giới hạn trong phạm vi chương Dao động học mà chương Dao dộng điện từ hay Dòng điện xoay chiều chúng ta gặp lại ứng dụng Và việc hiểu để áp dụng yêu cầu cần thiết giúp chúng ta giải nhanh toán
3 Các dạng toán bản:
Dạng 1: Tìm khoảng thời gian ngắn để vật từ vị trí có li độ x1 đến x2
Cách giải : Chúng ta sử dụng ứng dụng hình chiếu dao động điều hịa vào chuyển động trịn Các bước thực sau :
- Xác định vị trí x1 x2 trục quỹ đạo
- Tính góc φ1, φ2 với thỏa mãn (0 ≤ φ1, φ2 ≤ π)
(2)* Ví dụ điển hình :
Ví dụ 1 : Một vật dao động điều hịa với chu kỳ T = 8s, tính thời gian ngắn vật từ vị trí đến vị trí có li độ
Hướng dẫn giải :
Ta có tần số góc:
Vậy thời gian ngắn mà vật từ đến
Ví dụ 2 :
Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T biên độ A Tìm thời gian ngắn mà vật từ vị trí: a x = (vị trí cân bằng) đến vị trí x = A
b x = (vị trí cân bằng) đến vị trí
c đến vị trí x = A
Hướng dẫn giải :
Thực thao tác ví dụ có:
a
(3)c
NHẬN XÉT : Trường hợp trường hợp phổ biến kỳ thi tốn lớn biến đổi đưa trường hợp Từ cần ghi nhớ công thức:
Khi vật từ vị trí cân đến vị trí x = A x = -A ngược lại
Khi vật từ vị trí cân đến vị trí ngược lại
Khi vật từ vị trí đến vị trí x = A đến x = -A ngược lại
Dạng 2: Tìm quãng đường vật từ thời điểm t1 đến t2
Cách giải : Xác định vị trí chiều chuyển động vật dựa vào việc giải phương trình lượng giác sau:
(v1 v2 cần xác định dấu)
Phân tích: Δt = t2 – t1 = n.T + T/2 + T/4 + t0 (n ЄN; ≤ t0 < T/4)
- Quãng đường thời gian n.T + T/2 + T/4 S1 = n.4A+ 2A + A
- Ta tính quãng đường vật thời gian t0 cách sau:
• Tính li độ x1 dấu vận tốc v1 thời điểm
• Tính li độ x2 dấu vận tốc v2 thời điểm t2
• Nếu thời gian t0 mà vật khơng đổi chiều chuyển động (v1 v2 dấu) quãng đường
thời gian cuối t0 S2 = |x2 - x1|
• Nếu thời gian t0 mà vật đổi chiều chuyển động (v1 v2 trái dấu) để tính qng đường
thời gian cuối t0 ta phải biểu diễn chúng trục tọa độ tính S2 Từ quãng đường tổng cộng S = S1 + S2 CHÚ Ý :
+ Nếu Δt = T/2 S2 = 2A
+ Tính S2 cách định vị trí x1, x2 chiều chuyển động vật trục Ox
(4)+ Tốc độ trung bình vật từ thời điểm t1 đến t2: với S quãng đường tính Ví dụ điển hình :
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hịa với phương trình Tính qng đường vật 1,1s
Hướng dẫn giải: Quãng đường vật 1,1s tức tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động Như phải thay t = vào phương trình li độ phương trình vận tốc để kiểm tra xem vật bắt đầu từ vị trí theo chiều
Ta có :
Tại t = :
Vậy vật bắt đầu từ vị trí x = - 1cm theo chiều dương Ta lại có
Quãng đường vật S = 5.4A+ 2A = 22A = 44cm
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hịa với phương trình Tính qng đường vật 2,25s
Hướng dẫn giải:
Cách 1 : (Sử dụng phân tích) Ta có : ; (s) Quãng đường vật 2s S1 = 4A = 16cm
(5)- Tại thời điểm t = 2,25s :
Từ ta thấy 0,25s cuối vật khơng đổi chiều chuyển động nên quãng đường vật 0,25s cuối
S2 =
Vậy quãng đường vật 0,25s S =
Cách 2: (Sử dụng mối liên hệ dao động điều hòa chuyển động tròn đều) Tương tự ta phân tích Δt = 2,25s = T + 0,25(s)
Trong chu kỳ T vật quãng đường S1 = 4A = 16cm
Xét quãng đường vật 0,25s cuối Trong thời gian 0,25s cuối góc mà vật qt đường
trịn bán kính A = 4cm Độ dài hình chiếu vật qng đường
Độ dài hình chiếu
Từ ta tìm qng đường mà vật S =
Dạng 3: Tính quãng đường lớn nhỏ vật khoảng thời gian < Δt < T/2
Cách giải:
NHẬN XÉT : Vật có vận tốc lớn qua VTCB, nhỏ qua vị trí biên nên khoảng thời gian quãng đường lớn vật gần VTCB nhỏ gần vị trí biên Sử dụng mối liên hệ dao động điều hoà chuyển đường trịn để để giải tốn Góc qt Δφ = ωΔt
• Quãng đường lớn vật từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin (hình 1)
• Qng đường nhỏ vật từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 2)
(6)Tách:
Trong đó:
Trong thời gian quãng đường n.2A
Trong thời gian Δt’ quãng đường lớn nhất, nhỏ tính + Tốc độ trung bình lớn nhỏ khoảng thời gian Δt:
với Smax; Smin tính
Ví dụ điển hình :
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A chu kỳ T Tìm quãng đường:
a Nhỏ mà vật
b Lớn mà vật
c Nhỏ mà vật
Hướng dẫn giải :
a Góc mà vật quét : Áp dụng cơng thức tính Smin ta có:
b Góc mà vật quét là:
(7)c Do Quãng đường mà vật 2A Quãng đường nhỏ mà
vật quãng đường nhỏ mà vật Theo câu a ta tìm quãng
đường nhỏ mà vật
Vậy quãng đường nhỏ mà vật
Ví dụ 2 : Một vật dao động điều hòa với biên độ A chu kỳ T Tìm tốc độ trung bình nhỏ tốc độ trung
bình lớn vật
Hướng dẫn giải : Góc quét
Dạng 4: Bài tốn tìm li độ, vận tốc dao động sau (trước) thời điểm t khoảng thời gian Δt Biết thời điểm t vật có li độ x = x0
Cách giải:
* Từ phương trình dao động điều hồ: x = Acos(ωt + φ) cho x = x0 Lấy nghiệm ωt + φ = α với ứng với
x giảm (vật chuyển động theo chiều âm v < 0) ωt + φ = -α ứng với x tăng (vật chuyển động theo chiều dương)
* Li độ vận tốc dao động sau (trước) thời điểm Δt giây là:
(8)
Một vật dao động điều hịa với phương trình:
a Biết li độ vật thời điểm t 4cm Xác định li độ vật sau 0,25s b Biết li độ vật thời điểm t - 6cm Xác định li độ vật sau 0,125s c Biết li độ vật thời điểm t 5cm Xác định li độ vật sau 0,3125s
Hướng dẫn giải:
4 Bài tập tương tự luyện tập
Bài 1: Một vật dao động điều hịa với phương trình Gọi M N hai biên vật trình dao động Gọi I J tương ứng trung điểm OM ON Hãy tính vận tốc trung bình vật đoạn từ I tới J
Bài 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ A chu kỳ T Tìm:
a) Quãng đường nhỏ mà vật
b) Quãng đường lớn mà vật
c) Tốc độ trung bình lớn mà vật
Bài 3: Một vật dao động điều hịa với phương trình Quãng đường vật khoảng thời gian từ t1 = 1,5s đến t2 = bao nhiêu?
Bài 4: Một vật dao động điều hòa với chu kỳ T biên độ A Hãy tính khoảng thời gian ngắn để vật từ vị trí có ly độ:
a) x1 = A đến x2 = A/2
b) x1 = A/2 đến x2 =
c) x1 = đến x2 = -A/2
d) x1 = -A/2 đến x2 = -A
(9)f) x1 = A đến x2 = A
g) x1 = A đến x2 = -A/2
Bài 5: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm có chu kỳ dao động T = 0,1s a) Tính khoảng thời gian ngắn để vật từ vị trí có ly độ x1 = 2cm đến x2 = 4cm
b) Tính khoảng thời gian ngắn để vật từ vị trí x1 = -2cm đến x2 = 2cm
c) Tính khoảng thời gian ngắn để vật từ vị trí cân đến vị trí x =2cm
lắc đơn chịu ảnh hưởng yếu tố bên ngoài 1 Con lắc đơn chịu tác dụng nhiệt độ
a Bổ đề : Cho x << ta có cơng thức tính gần sau :
- (1 ± x)n ≈ ± nx
- (1 ± x)m (1 ± x)n ≈ (1 ± mx) (1 ± x) ≈ ± mx ± nx
- Chiều dài sợi dây phụ thuộc vào nhiệt độ theo hệ thức ℓ = ℓ0(1 + λt), với λ hệ số nở dài sợi dây,
ℓ0 chiều dài sợi dây nhiệt độ 0oC
b Thiết lập công thức
Gọi T1 chu kỳ lắc đơn nhiệt độ t1 , (con lắc chạy nhiệt độ này)
Gọi T2 chu kỳ lắc đơn nhiệt độ t2 , (con lắc chạy không nhiệt độ này)
Ta có :
Nếu , chu kỳ tăng nên lắc đơn chạy chậm đi
Nếu , chu kỳ giảm nên lắc đơn chạy nhanh hơn
(10)Khi thời gian chạy nhanh hay chậm ngày (có 86400s) 86400.ψ
* Chú ý : Khi thiết lập tỉ số chu kỳ dao động trường hợp mà ta khảo sát chu kỳ con lắc chạy ln làm tử số (chọn làm chuẩn).
* Ví dụ : Một lắc đơn chạy vào mùa hè nhiệt độ 320C Khi nhiệt độ vào mùa đơng 170C thì
nó chạy nhanh hay chậm? Nhanh hay chậm giây 12 giờ, biết hệ số nở dài dây treo λ = 2.10-5K-1, ℓ
0 = 1m
Hướng dẫn giải :
Tóm tắt đề ta : t1 = 32oC, t2 = 17oC; λ = 2.10-5K-1
Gọi T1 chu kỳ lắc đơn nhiệt độ t1 , (con lắc chạy nhiệt độ này)
Gọi T2 chu kỳ lắc đơn nhiệt độ t2, (con lắc chạy không nhiệt độ này)
Ta có :
Do , nên chu kỳ giảm, lắc chạy nhanh
Thời gian chạy nhanh, chậm 1s lắc
Trong 12h lắc chạy nhanh
2 Con lắc đơn chịu tác dụng độ cao h so với mặt đất.
Gọi T0 chu kỳ lắc đơn mặt đất (coi h = 0), (con lắc chạy mặt đất )
Gọi Th chu kỳ lắc đơn độ cao h so với mặt đất, (con lắc chạy không độ cao này)
(11)Ta có :
Mặt khác , với số hấp dẫn
Khi ta có :
Do h > nên => chu kỳ tăng nên lắc độ cao h chạy chậm Thời gian mà lắc
chạy chậm 1s
* Chú ý : Khi lắc đưa lên độ cao h mà nhiệt độ thay đổi phải kết hợp hai trường hợp để thiết lập công thức Cụ thể sau:
Ví dụ 1: Một lắc đơn chạy mặt đất Khi đưa lên độ cao h =1,6 km ngày đêm chạy nhanh hay chậm bao nhiêu? Biết bán kính Trái đất R = 6400 km
* Hướng dẫn giải :
(12)Mặt khác , Khi :
Do h > nên => chu kỳ tăng nên lắc độ cao h chạy chậm
Thời gian mà lắc chạy chậm 1s là:
Trong ngày đêm chạy chậm:
Ví dụ 2: Một lắc đồng hồ chạy mặt đất có gia tốc g = 9,86 m/s2 vàọ nhiệt độ t
1 = 300C Đưa đồng
hồ lên độ cao 640m so với mặt đất ta thấy đồng hồ chạy Giải thích tượng tính nhiệt độ độ cao đó, biết hệ số nở dài dây treo lắc λ = 2.10-5K-1, bán kính trái đất R = 6400 km.
* Hướng dẫn giải:
- Giải thích tượng :
Khi đưa lắc đơn lên cao gia tốc giảm
Mặt khác lên cao nhiệt độ giảm nên chiều dài dây treo giảm theo
Từ khơng thay đổi (có thể)
- Tính nhiệt độ độ cao h = 640 m
Ta có: Khi chu kỳ khơng thay đổi nên T0 = Th
3 Con lắc đơn chịu tác dụng lực điện trường.
Khi đặt lắc vào điện trường có véc tơ cường độ điện trường chịu tác dụng Trọng lực
lực điện trường , hợp hai lực ký hiệu (1), gọi trọng lực hiệu dụng hay
(13)* Trường hợp 1:
có hướng thẳng đứng xuống (hay ký hiệu ) Khi để xác định chiều ta cần biết dấu q
Khả 1:
( ngược chiều ) => ngược chiều với Từ (1) ta được:
=> chu kỳ dao động lắc đặt điện trường là:
Khả 2:
( chiều ) => chiều với Từ (1) ta được:
=> chu kỳ dao động lắc đặt điện trường là:
* Trường hợp 2:
có hướng thẳng đứng lên (hay ký hiệu ) Khi để xác định chiều ta cần biết dấu q
Khả 1:
( ngược chiều ) => chiều với Từ (1) ta được:
=> chu kỳ dao động lắc đặt điện trường là:
Khả 2:
(14)=> chu kỳ dao động lắc đặt điện trường là:
* Nhận xét :
► Tổng hợp hai trường hợp khả hai trường hợp ta thấy Véc tơ cuờng độ điện
truờng E có phuơng thẳng đứng ta ln có
* Trường hợp 3:
có phuơng ngang (hay ký hiệu ) Khi
Suy ra:
Góc lệch lắc so với phuơng ngang α đuợc tính
Ví dụ 1: Một lắc đơn có chiều dài ℓ = 1m, khối lượng m = 50 g tích điện q = -2.10-5C dao động nơi
có g = 9,86m/s2 Đặt lắc vào điện trường có độ lớn E = 25V/cm Tính chu kỳ dao động lắc
khi:
a b c * Hướng dẫn giải:
Đổi đơn vị : E = 25V/cm = 25.102 V/m.
Khi đặt lắc vào điện trường lắc chịu tác dụng trọng lực , lực điện trường , hợp
lực tác dụng lên lắc (1)
a Do q < nên Từ (1) ta được:
(15)Khi chu kỳ dao động lắc đặt điện trường
c Khi ta có:
Khi chu kỳ dao động lắc đặt điện trường là:
Ví dụ 2: Một lắc đơn có m = 5g, đặt điện trường có phương ngang độ lớn E = 2.106 V/m Khi
vật chưa tích điện dao động với chu kỳ T, vật tích điện tích q dao động với chu kỳ T' Lấy g =
10 m/s2, xác định độ lớn điện tích q biết .
* Hướng dẫn giải :
Từ giả thiết ta có:
Khi có phương ngang ta có:
Ví dụ 3: Một lắc đơn có m = g sợi dây mảnh có chiều dài ℓ kích thích dao động điều hịa Trong khoảng thời gian Δt lắc thực 40 dao động, tăng chiều dài lắc thêm 7,9 cm khoảng thời gian lắc thực 39 dao động Lấy g = 10m/s2
a Ký hiệu chiều dài lắc ℓ' Tính ℓ, ℓ'
b Để lắc có chiều dài ℓ' có chu kỳ với lắc có chiều dài ℓ, người ta truyền cho vật điện tích q = +0,5.10-8C cho dao động điều hịa điện trường có đường sức hướng thẳng đứng Xác định
chiều độ lớn véc tơ cường độ điện trường * Hướng dẫn giải:
a Xét khoảng thời gian Δt ta có : (1)
(16)Giải (1) (2) ta ℓ = 152,1cm ℓ' = 160cm
b Khi chu kỳ lắc khơng đổi
Do nên , mà
Phương trình chứng tỏ q > nên
Vậy véc tơ cường độ điện trường có phương thẳng đứng hướng xuống độ lớn tính từ biểu thức:
4 Con lắc đơn chịu tác dụng lực quán tính.
Khi đặt lắc vào vật chuyển động với gia tốc a chịu tác dụng Trọng lực lực quán
tính , hợp hai lực ký hiệu (1), gọi trọng lực hiệu dụng
hay trọng lực biểu kiến Ta xét số trường hợp thường gặp:
* Trường hợp 1:
Vật chuyển động lên Khi ta biết có phuơng thẳng đứng, cịn chiều ta phải
xác định đuợc tính chất chuyển động nhanh dần hay chậm dần ● Khả 1:
Vật chuyển động nhanh dần lên trên, nên (1) => g' = g + a
Khi chu kỳ dao động lắc đơn đặt vật là: ● Khả 2:
Vật chuyển động chậm dần lên trên, nên (1) => g' = g - a
Khi chu kỳ dao động lắc đơn đuợc đặt vật là: * Trường hợp 2:
Vật chuyển động xuống duới Khi ta biết có phuơng thẳng đứng, cịn chiều ta
(17)Vật chuyển động nhanh dần xuống duới, nên (1) => g' = g - a
Khi chu kỳ dao động lắc đơn đuợc đặt vật là: ● Khả 2:
Vật chuyển động chậm dần xuống dưới, nên (1) => g' = g + a
Khi chu kỳ dao động lắc đơn đuợc đặt vật là: * Trường hợp 3:
Vật chuyển động mặt phẳng ngang,
Khi chu kỳ dao động lắc đơn đuợc đặt vật là:
Vị trí cân lắc hợp với phuơng thẳng đứng góc α xác định * Chú ý:
- Vật mà ta nói đến vật mà lắc đơn đuợc gắn vào khơng phải vật vật nặng lắc đơn - Khi vật lên nhanh dần xuống chậm dần gia tốc chiều chuyển động Khi vật lên chậm dần xuống nhanh dần gia tốc ngược chiều chuyển động
Ví dụ 1 : Một lắc đơn đuợc treo vào trần thang máy nơi có gia tốc g = 9,8 m/s2 Khi thang máy đứng
yên lắc dao động với chu kỳ T = 2(s) Tìm chu kỳ dao động lắc khi: a Thang máy lên nhanh dần với gia tốc a = 1,14 m/s2
b Thang máy lên
c Thang máy lên chậm dần với gia tốc a = 0,86 m/s2
* Huớng dẫn giải:
Khi lắc treo vào trần thang máy chịu tác dụng Trọng lực lực quán tính (với
(18)a Khi thang máy lên nhanh dần nên (1) => g' = g + a = 9,8 + 1,14 = 11 (m/s2)
Chu kỳ dao động lắc đơn
b Khi thang máy lên a = T' = T = 2s
c Khi thang máy lên chậm dần nên (1) => g' = g - a = 9,8 - 0,86 = (m/s2)
Chu kỳ dao động lắc đơn là:
Ví dụ 2: Con lắc đơn gồm dây mảnh dài ℓ = m, có gắn cầu nhỏ m = 50 g treo vào trần toa xe chuyển động nhanh dần đường nằm ngang với gia tốc a = m/s2 Lấy g =10 m/s2.
a Xác định vị trí cân lắc b Tính chu kỳ dao động lắc * Hướng dẫn giải:
a Khi lắc cân hợp với phương thẳng đứng góc α xác định
Thay a g vào ta được: b Do:
Khi chu kỳ dao động lắc đơn đuợc đặt vật là:
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Một lắc đơn gồm cầu khối lượng 0,1 kg tích điện q = 10-5C treo vào dây mảnh dài
20 cm, đầu dây cố định O vùng điện trường hướng xuống theo phương thẳng đứng có độ lớn E = 2.104V/m Tính chu kỳ dao động lắc Lấy g = 9,8m/s2.
Bài 2: Con lắc đơn gồm dây mảnh dài 10cm,quả cầu kim loại nhỏ khối lượng m = 10 g tích điện q = 10-4C
Con lắc treo vùng điện trường có phương nằm ngang, E = 4000V/m Lấy g = 10m/s2.
a Xác định vị trí cân lắc
b Con lắc dao động với biên độ nhỏ, tính chu kỳ dao động
Bài 3: Con lắc đơn dao động với chu kỳ 2s treo vào thang máy đứng yên, lấy g = 10m/s2 Khi thang máy đi
(19)Bài 4: Con lắc đơn dao động mặt đất với chu kỳ 2(s) Nếu đưa lắc lên cao 320m chu kỳ tăng hay giảm bao nhiêu, giả sử nhiệt độ khơng đổi Bán kính trái đất R = 6400km
Bài 5: Một đồng hồ lắc chạy nơi mặt biển Nếu đưa đồng hồ lên cao 200 m đồng hồ chạy nhanh hay chậm ngày đêm Giả sử nhiệt độ không đổi, bán kính trái đất R = 6400km
Bài 6: Một lắc đơn dao động mặt đất 300C Nếu đưa lắc lên cao 1,6 km nhiệt độ phải bằng
bao nhiêu để chu kỳ dao động lắc không đổi Bán kính trái đất 6400km Cho biết hệ số nở dài dây treo lắc λ = 2.10-5K-1.
Bài 7: Một lắc đơn đếm giây có chu kỳ 2s nhiệt độ 00C nơi có gia tốc trọng trường 9,81m/s2,
biết hệ số nở dài dây treo lắc 1,8.10-5K-1 Độ dài lắc 00C chu kỳ lắc vị trí
nhưng nhiệt độ 300C bao nhiêu?
Bài 8: Một lắc đơn dao động với chu kỳ 2(s) 200C Tính chu kỳ dao động lắc 300C Cho biết hệ
số nở dài dây treo lắc λ = 2.10-5K-1.
Bài 9: Một lắc treo thang máy, thang máy đứng yên chu kỳ dao động nhỏ T0 =2s Lấy g =
10m/s2 Tìm chu kỳ dao động lắc trường hợp thang máy lên:
a Nhanh dần với gia tốc a = 0,1m/s2.
b Chậm dần với gia tốc a = 0,1m/s2.
Bài 10**: Một lắc đơn có chiều dài ℓ = 1m treo vào điểm O cố định Biết trình lắc dao động với biên độ nhỏ, vật nặng m lắc chịu tác dụng lực F khơng đổi có phương ln hợp
với véc tơ trọng lực góc α = 900 và có độ lớn F = P.
a Xác định phương dây treo lắc vị trí cân chu kỳ dao động nhỏ b Người ta đặt thêm vào khơng gian xung quanh điện trường E có hướng ngược với hướng véc tơ trọng lực P có độ lớn E = 0,73 103 V/m Vật nặng m =100 g tích điện đến điện tích q = -10-3C Xác định
vị trí cân lắc tính chu kỳ dao động nhỏ Cho g = 10m/s2 có mặt véc tơ E
khơng ảnh hưởng đến véc tơ F