dieu khien so

• Điều kiện cần và đủ để hệ thống liên tục tuyến tính ở biên giới ổn định là có ít nhất một nghiệm của phương trình đặc tính có phần thực bằng không và tất cả các nghiệm còn lại đều c[r]

C.5: TÍNH ỔN ĐỊNH

C.5: TÍNH ỔN ĐỊNH

CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ

ÔN LẠI KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH

5.1 Định nghĩa

• Hệ thống ổn định hệ thống có q trình quá độ tắt dần theo thời gian.

• Hệ thống khơng ổn định hệ thống có q trình q độ tăng dần theo thời gian. • Hệ thống biên giới ổn định hệ thống

5.2 ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG LIÊN TỤC TUYẾN TÍNH

• Điều kiện cần đủ để hệ thống liên tục tuyến tính ổn định tất nghiệm phương trình đặc tính có phần thực âm

• Điều kiện cần đủ để hệ thống liên tục tuyến tính khơng ổn định có nghiệm phương trình đặc tính có phần thực dương

Phương trình đặc tính:

; 1, ,

i i i

p = α + jβ i = n

1

0 1

n n

n n

a p + a p − + ⋅⋅⋅ + a − p + a =

Nghiệm phương trình đặc tính:

Điều kiện cần đủ tính ổn định hệ thống điều khiển liên tục tuyến tính

0

!

! 0

i i

i j j i

α α

α α

≠

⇔ ∀ < ⇔ ∃ >

⇔ ∃ = ∧ < Hệ thống ổn định

Hệ thống không ổn định

Không ổn định

Biên giới ổn định

p

Ổn định

Nếu thể nghiệm số phương trình đặc tính lên mặt phẳng phức – gọi mặt phẳng p nghiệm số có phần thực âm nằm bên trái mặt

phẳng phức; nghiệm số có phần thực dương nằm bên phải mặt phẳng phức; cịn nghiệm có phần thực khơng

Có thể phát biểu lại đk cần đủ

• Điều kiện cần đủ để hệ thống liên tục tuyến tính ổn định tất nghiệm phương trình đặc tính nằm bên trái mặt phẳng phức • Điều kiện cần đủ để hệ thống liên tục tuyến

tính khơng ổn định có nghiệm phương trình đặc tính nằm bên phải mặt

phẳng phức

Các tiêu chuẩn ổn định

• Định nghĩa …

ã iu kin cn v ẻ Cỏc tiờu chuẩn ổn định

1 Tiêu chuẩn ổn định đại sô: - Tiêu chuẩn ổn định Routh - Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz

2 Tiêu chuẩn ổn định tần số:

- Tiêu chuẩn ổn định Mikhailov

5.3 Điều kiện cần đủ tính ổn định hệ thống điều khiển số

1

ln pT

p z z e T

= ⇒ =

( i i)

i j T

p T i

z e e α + β

⇒ = =

pi = αi + jβi

iT j Ti j Ti

i i

z = eα e β = z e β

iT

i

z = eα

• Điều kiện cần đủ để hệ thống điều khiển số ổn định tất nghiệm phương trình đặc tính có modun nhỏ

• Điều kiện cần đủ để hệ thống điều khiển số không ổn định có nghiệm

phương trình đặc tính có modun lớn

• Điều kiện cần đủ để hệ thống điều khiển số biên giới ổn định có nghiệm

Nếu thể nghiệm số phương trình đặc tính lên mặt phẳng phức – gọi mặt phẳng z nghiệm số có modun nhỏ nằm bên

đường tròn đơn vị; nghiệm số có modun lớn nằm bên ngồi

đường trịn đơn vị; cịn nghiệm có modun nằm đường tròn đơn vị Như bên đường trịn đơn vị miền ổn định, bên ngồi đường trịn đơn vị miền khơng ổn định, đường

trịn đơn vị biên giới

Khơng ổn định Biên giới ổn định

z

Ổn định

Ví dụ

( )( )

1 ( ) T T T e G z

z e z e

−

− −

− =

− −

• Hệ thống có hàm truyền đạt:

Các cực G(z) là: z1 = e-T Ỉ |z

1| = e-T <

2 z2 = e-2T Ỉ |z

2| = e-2T <

Ỉ Hệ thống cho ổn định

2 ( ) G z z = +

• Hệ thống có hàm truyền đạt:

Các cực G(z) là:

1 z1 = j2 Ỉ |z1| = >

Không ổn định

Biên giới ổn định

p

Ổn định Không ổn định Biên giới ổn định

z

Ổn định

-1

x

x

x

v

1

;

1

z v

v z

z v

− +

= =

Kết luận 1

• Sau thực phép biến đổi lưỡng

tuyến tính, điều kiện cần đủ tính ổn định hệ thống điều khiển số

Kết luận 2

• Định nghĩa – giống nhau…

• Điều kiện cần đủ - giống … Ỵ Các tiêu chuẩn ổn định giống

Ỵ Sau thực phép biến đổi lưỡng tuyến tính, sử dụng

Ví dụ ( ) 0.5 G z z z = + +

• Xét tính ổn định hệ thống có hàm truyền đạt:

2

( )z z z 0.5

∆ = + +

Đa thức đặc tính:

Thực phép biến đổi lưỡng tuyến tính:

( ) 1 2 1

( ) 0.5

1 0.5 2.5 v z v v v z v v v v v + = − + + + ⎛ ⎞ ∆ = ⎜ ⎟ + + − + − + ⎝ ⎠ + + = −

( ) 0.5v v v 2.5

2

( ) 0.5v v v 2.5

⇒ ∆ = + +

0.5 2.5

2.5

ã Lp bng Routh:

ẻ H thng ó cho ổn định

• Đối với hệ thống có đa thức đặc tính bậc một bậc hai, điều kiện cần

5.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH JURY

• Hệ thống có đa thức đặc tính bậc 2: ∆(z) = a0z2 + a

1z + a2

1

1

2

( )

( )

z

z

z z

a a

=

=−

• ∆ >

• ∆ >

• Hệ thống có đa thức đặc tính bậc 3: ∆(z) = a0z3 + a

1z2 + a2z + a3

1

1

3

2

3

( )

( )

z

z

z z

a a

a a a a a a

=

=−

• ∆ >

• ∆ <

• <

Ví dụ

2

1 ( )

0.5 G z

z z =

+ +

∆(z) = z2 + z + 0.5

( ) 2.5

z

z =

• ∆ = >

1

( ) 0.5

z

z =−

• ∆ = >

0.5

• <

Ví dụ

3

1 ( )

3 3.25 0.5

G z

z z z

=

− + −

∆(z) = z3 - 3z2 + 3.25z - 0.5

1

( ) 3.25 0.5 0.75

z

z =

• ∆ = − + − = >

1

( ) 3.25 0.5 7.75

z

z =−

• ∆ = − − − − = − <

0.5

• − <

( )2 2 ( ) ( )

0.5 0.5 3.25.1

• − − < − − −