[r]
(1)MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ
(Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmơn Tốn ) Bài Tốn
Bài tập ï : Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) đường thẳng
t2 z
t 2 y
t 1 x
:d Trong đường thẳng qua A cắt d ; viết phương trình đường thẳng ()
có khoảng cách đến điểm B : a) Nhỏ b) Lớn Lờ giải tham khảo
Cách 1: Phương pháp hình hoïc
Gọi ()là đường thẳng qua A cắt d; ()và d thuộc măt phẳng (P)= mp(A;d)
Gọi H hình chiếu B (P); K hình chiếu H ()thì BK () Vậy BK
khoảng cách từ B đến ()
* Trong tam giác vuông BKH BK BH nên BK ngắn K H Khi ()đi qua
hai
điểm A H
*Trong tam giác vng BKA BK BA nên BK lớn K A Khi ()đi qua A
,
nằm (P) vng góc với BA a) Trường hợp d(B, ()nhỏ
Phương trình mp(P)= mp(A,d) VTCP d ad (1;1;2)
Hai điểm A(1;4;2) M(1;-2;0) thuộc d AM (0;6;2)
Do VTPT mp (P) n ad ,AM (10;2;6)
Ta choïn n (5;1;3)
Ta phương trình mp(P): 5(x-1)-1(y+2)+3(z-0) = 5x-y+3z-7 =
Gọi H hình chiếu B (P) Ta dễ dàng tìm ) 35 146 ; 35 68 ; (
H Như véctơ
phương ()là ) 35 76 ; 35 72 ; 12 ( AH
Chonï VTCP cuûa ()là a (15;18;19)
Ta đựơc phương trình ():
19 z 18
4 y 15
1 x
b) Trường hợp d(B, ()lớn
Trường hợp nầy () nằm (P) , qua A vng góc với BA
Ta coù AB (2;2;2)
; VTPT (P) n (5;1;3)
Do VTCP ()là:
n , AB
a =(-4;16;12) Choïn
) ; ; ( a
Ta phương trình đường thẳng
3 z
4 y
1 x : )
(
Cách 2: Phương pháp giải tích
Gọi M = d () M( 1-t;-2+t;2t) ()có VTCP AM (t;t 6;2t 2)
Ta coù: AB (2;2;2)
Do khoảng cách từ B đến đường thẳng ()là:
(2)20 t 10 t
208 t 152 t 28 40
t 20 t
416 t 304 t
56 AM
AB , AM
d 2
2
2
Xét hàm số
20 t 10 t
208 152 t 28 d ) t (
f 2
2
Ta coù 2
2
) 20 t 10 t (
) 60 t t 11 ( 16 ) t ( ' f
f ’(t)= t = -2 t= 30/11
Bảng biến thieân:
Ta thấy: max f(t)= 12 t= - f(t)= 4/5 t = 30/11 Với max f(t) = max d2= 12 , ta có max d= 12 t=-2 cho
) ; ; ( AM
Chọn VTCP của()là a (1;4;3) ta phương trình
3 z
4 y
1 x : ) (
Với f(t)= mind2= 4/15 , ta có d=
15
11 30
t cho
11 38 ; 11 36 ; 11 30 AM
Chọn VTCP ()là a (15;18;19) Ta phương trình ()là:
19 z 18
4 y 15
1 x
Hết toán (GV Nguyễn Ngọc Ấn) Trang
t f’(t) f(t)
- -2 11 +
3
0 -
+ +
3
28 12 283