VLKT

s¸t c¸c quan s¸t thùc tiÔn biÓu diÔn mèi quan hÖ gi÷a y vµ x... ChiÕu lªn 1 kh«ng gian con:..[r]

Tuần 11 Chơng V

ng dng đại số tuyến tính kỹ thuật

Đây chơng cuối mơn Tốn phần hồn tồn chơng trình Đại học kỹ thuật Mỹ (MIT) so với chơng trình từ khố 48 trở trớc trờng ta Chơng trình dành cho việc giới thiệu ứng dụng quan trọng Đại số tuyến tính kỹ thuật nh: Phơng pháp bình phơng tối thiểu, quy hoạch tuyến tính, phơng pháp giải gần hệ phơng trình tuyến tính, véc tơ phức, ma trận phức phép biến đổi Fourier nhanh

V1 Phơng pháp bình phơng tối thiểu

sát quan sát thực tiễn biểu diễn mối quan hệ y x Giả sử quan sát đợc n giá trị đo c:

y1, y2, y3, , yn

Tại điểm x1, x2, , xn

HÃy tìm hàm giải tích y = f(x) cho:





 

n

i i i

x f y E

1

2

)] (

[  cùc tiÓu

y

y1

y2

y3

Phơng pháp xác lập hàm f(x) nói gọi phơng pháp xấp xỉ bình ph-ơng tối thiểu Phph-ơng pháp cần dùng công cụ giải hệ Đại số chơng trớc Trớc hết ta đa khái niệm

V.1.1 Phép chiếu:

Bài toán: Cho véc tơ b không gian R3 Tìm hình chiếu P1 (vuông góc) b lên trục Oz hình chiếu P2 (vuông góc) b lên mặt phẳng xoy

x

x1 x2 x3 x4

Oz

b =          

z y x

p1 =

         

z

0 0

Ox

p2=

         

0

Gi¶i: Tìm ma trận chiếu P1 P2 cho p1 = P1b; p2 = P2b Cã thÓ thÊy P1 =

     0 0 0      0

; P2 =

     0 1    0

Thoả mÃn yêu cầu toán

V.1.2 Chiu lờn ng thng

Bài tốn: Tìm hình chiếu (vng góc) véc tơ b lên đờng thẳng a.

P = xa (với x cần tìm) Giải: Ta có e = b - p = b - xˆa

z b x a a a b a a x p T T   ˆ y O a

V× e a  a (b - xˆa) =

 ab - xˆa.a =  xˆ =

a a

b a

T T

Từ hình chiếu a a a

b a p TT

Chó ý:

1) Ma trËn phÐp chiÕu nµy P =aaTab T

(tù kiĨm tra) (V× ta sÏ cã p = Pb)

2) Hình chiếu vuông góc b a véc tơ a gần b

Bài toán: Cho a1, a2, …an n véc tơ độc lập tuyến tính Rm Tìm 1 véc tơ p tổ hợp tuyến tính xˆ a1 + xˆ a2 +… + xˆnan cho gần với véc tơ

b nhÊt

Giải: Gọi A ma trận cấp (m x n) tạo cột a1, a2, an Các tổ hợp tuyến tính cột A phần tử C(A) toán trở

thnh tìm véc tơ P  C(A) gần b Véc tơ có toạ độ xˆ =

   

 

   

 

n

x x x

ˆ ˆ ˆ

2

 vµ p

= Ax Véc tơ gần b hình chiếu vuông góc b lên C(A)

Và véc tơ sai số (b - Ax) trùc giao víi C(A) tøc lµ:

0 ) ˆ (

1 b Ax 

0 ) ˆ (b Ax 

aT

n     ˆ

2

      

 

    

 

xA b a a a

T n T T

Viết dới dạng ma trận AT(b - Axˆ) =  AT Axˆ = ATb  hệ Đại số tuyến tính với ma trận hệ số ATA, ẩn véc tơ xˆ, cét tù lµ ATb.

Vì a1, a2, …, an độc lập nên ma trận đối xứng ATA khả nghịch (xem chứng minh trang 246) Nghiệm xˆ giải : xˆ = (ATA)-1ATb

Kết luận: Hình chiếu cần tìm P = Ax = A(ATA)-1 ATb

VÝ dô: Cho A      1     

; b =

          0 0 6

T×m h×nh chiÕu b C(A) ma trận P

Gi: Tỡm đợc

ATA =

   3   

; ATb =

      0 6

x nghiệm phơng trình:

ATAx = ATb 

   3          ˆ ˆ x x =       0 6

Từ hình chiếu: p = Axˆ =           1 1 1 -           2 1 0 =            1 2 5

Sai sè e = b - p =

           1 2 1

Ma trËn chiÕu P = A(ATA)-1AT =

     1                

11   

= 61

Dễ dàng kiểm tra kết tính tốn phù hợp u cầu tốn (sai số e vng góc với cột A, Pb hình chiếu p)

V.3 Câu trả lời toán thực tế

Bây dùng phơng pháp bình phơng tối thiểu để trả lời câu hỏi đặt từ mục V.1 Để tìm đờng y = f(x) qua gần quan sát (x1, y1), (x2, y2)… (xm; ym) ta lựa chọn f(x) đờng thẳng f(x) đờng cong (ở xét tới đờng parabơn, đờng cong khác làm hồn tồn tơng tự)

Mở rộng ví dụ trớc cho m điểm Tìm đờng thẳng b = C +Dt cho:

C + Dt1 = b1 C + Dt2 = b2



C + Dtm = bm

(Phơng trình khơng có nghiệm đúng) Do đó, cực tiểu hố m sai số:

e1 = b1 - C - Dt1 e2 = b2 - C - Dt2



em = bm - C - Dtm  T×m  T

D C

xˆ  ˆ, ˆ cùc tiĨu c¸c sai sè

Ta cã hµm biÕn E = 2

1

2

) (

)

(b C Dt bm C Dtm

b

Ax      

chính dạng Ax = b với A =      

1 1



     

m

t t t



(Với giá trị bi (i = 1, m), ti (i = 1, m) cho hm bin)

V.3.2 Chọn f(x) parabôn

Tìm parabôn có dạng b = C + Dt + Et2 cho C + Dt1 + Et12 = b1

C + Dt2 + Et12 = b2



C + Dtm + Etm2 = b2

Phơng trình nghiệm, ta t×m xˆ =  T

E D

Cˆ, ˆ, ˆ cøc tiĨu ho¸ Ax  b

nãi từ việc giải hệ ATAx = ATb.

D¹ng Ax = b víi A =      

1 1



m

t t t



2

      

2 2

m

t t t

Tóm tắt ý chính

1 Phơng pháp bình phơng tối thiểu giải toán thực tế?

2. Thế hình chiếu (vuông góc) véc tơ b lên mặt phẳng,

lờn ng thng ? Th no ma trận chiếu.

3.ThÕ nµo lµ chiÕu véc tơ b lên không gian C(A), giải thích hƯ thøc P = Axˆ

4. ThÕ nµo véc tơ sai số - ý nghĩa phơng pháp bình phơng tối

thiu cn gii h Ax = b mà không giải đợc.

5. Cã phơng pháp tìm nghiệm xấp xỉ bình phơng tối thiĨu ?

6. Câu trả lời tốn thực tế chọn f(x) đờng thẳng