ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN LỚP (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1: (5,0 điểm) Cho A = 550 – 548 + 546 − 544 + … +56 - 54 + 52 − a) Tính A b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A + = 5n c) Tìm số dư phép chia A cho 100 Bài 2: (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x ,biết: a ) + + + + +…+ ( x –1) = 225 b) x + x +1 + x + + x + + … +2 x + 2015 = 2019 − Bài 3: (5,0 điểm) a) Cho số abc chia hết cho 37 Chứng minh số cab chia hết cho 37 b) Tìm số x, y nguyên biết x.y + 12 = x + y Bài (3,0 điểm): Tìm số tự nhiên a nhỏ cho: a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư Bài 5: (4,0 điểm) Cho 30 điểm phân biệt có a điểm thẳng hàng, qua điểm ta vẽ đường thẳng Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành 421 đường thẳng Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm Lấy hai điểm C D nằm A B cho AC + BD = 9cm a) Chứng tỏ D nằm A C b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ? - Hết - HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN LỚP Bài 1: (4,0 điểm) Đáp án Điểm a A = 5 – + − + … +5 - + − 50 48 46 44 ⇒ 25A = 52 ( 550 – 548 + 546 − 544 + … +56 - 54 + 52 − 1.) = 552 – 550 + 548 − 546 + … +58 - 56 + 54 − 52 0,25 0,50 0,25 Suy 25A + A = 552 − Vậy 0,25 A = ( 552 − 1) : 26 b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A + = 5n Ta có 26.A + = 5n mà 26A = 552 − nên 552 − + = 5n Suy 552 = 5n ⇒ n = 52 Vậy n = 52 c) Tìm số dư phép chia A cho 100 A = 550 – 548 + 546 − 544 + … +56 - 54 + 52 − ( có 26 số hạng) = ( 550 – 548 ) + ( 546 − 544 ) + … + ( 56 - 54 ) + 52 − = ( 550 – 548 ) + ( 546 − 544 ) + … + ( 56 - 54 ) + ( 52 − 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 = 548 ( 52 – 1) + 544 ( 52 –1) + … +54 ( 52 –1) + ( 52 − 1) 0,25 = 548.24 + 544.24 + … +54 24+ 24 0,25 0,50 0,25 = 546.25.24 + 542.25.24 + … +52 25.24+ 24 = 546.600 + 542.600 + … +52 600+ 24 = 6.100 ( 546 + 542 + + 52 ) + 24 Suy A chia cho 100 dư 24 0,25 Bài 2: (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x ,biết: Đáp án a) + + + + +…+ ( x –1) = 225 Điểm Với x ∈ N ta có 2x – số lẻ Đặt A = + + + + +…+ ( x – 1) 0,25 ⇒A tổng số lẻ liên tiếp từ đến 2x – Số số hạng A là: ( 2x –1 –1) : + = x (Số hạng) 0,25 ⇒ A = ( 2x – 1) + 1 x : = x Mà A = 225 ⇒ x = 225 = 15 ⇒ x = 15 Vậy x = 15 2 0,25 0,25 0,25 0,25 b) 2x + x +1 + x + + x +3 + … +2 x + 2015 = 2019 − 2x + x + x.2 + x.23 + … +2 x.2 2015 = 2019 − 23 0,25 x ( + + 2 + 23 + … +2 2015 ) = 23 ( 22016 − 1) Đặt M = + + + + … +2 Ta 2.M = + 2 + 23 + … +2 2016 Suy M = 22016 − x ( Vậy ta có 2016 0,25 0,25 − 1) = 23 ( 2016 − 1) 0,25 ⇒ = ⇒ x = Vậy x = x 0,25 2015 0,25 Bài 3: (5,0 điểm) Đáp án a) Cho số abc chia hết cho 37 Chứng minh số cab chia hết cho 37 Điểm Ta có abcM 37 ⇒ 100.abc M 37 ⇒ abc00M 37 0,50 ( ) ⇒ ab 1000 + c00 M 37 ( ) ⇒ ab 999 + c00 + ab M 37 ( ) ⇒ ab 999 + cab M37 Mà ab 999 = ab 37.27 M37 ⇒ cab M 37 Vậy abcM 37 cabM37 b) Tìm số x, y nguyên biết x.y + 12 = x + y Ta có x.y + 12 = x + y ⇒ x.y − x − y + 12 = ⇒ x ( y − 1) − y + 12 = ⇒ x ( y − 1) − ( y − 1) + 11 = ⇒ ( x − 1) ( y − 1) = −11 ( 1) Vì x, y ∈ Z nên x − ∈ Z; y − ∈ Z Do từ ( 1) ⇒ x − 1; y − ước -11 Các ước -11 -11; -1;1;11 +) Với x − = −11 y − = Suy +) Với x − = −1 y − = 11 Suy +) Với x − = y − = −11 Suy +) Với x − = 11 y − = −1 Suy x = −10; y = ( Thỏa mãn) x = 0; y = 12 ( Thỏa mãn) x = 2; y = -10 ( Thỏa mãn) x = 12; y = ( Thỏa mãn) Vậy ( x; y ) ∈ { ( −10; ) ; ( 0;12 ) ; ( 2; −10 ) ; ( 12;0 ) } Bài 4: (3,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Đáp án Vì a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư ;a − 1M ; a − 4M ; a − 3M7 Nên a − 1M ⇒ a + 1M2 ;a + 2M ; a + 1M ; a + M7 ⇒ a + 11M2 ; a + 11M3 ; a + 11M5 ; a + 11M7 ⇒ a + 11 ∈ BC ( 2;3;5;7 ) Mà a số tự nhiên nhỏ ⇒ a + 11 = BCNN ( 2;3;5; ) Mà số 2; 3; 5; nguyên tố ⇒ BCNN ( 2;3;5;7 ) = 2.3.5.7 = 210 ⇒ a + 11 = 210 ⇒ a = 199 Vậy số tự nhiên cần tìm 199 Điểm 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 5: (4,0 điểm) Đáp án – Giả sử 30 điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng : + Chọn điểm 30 điểm cho Qua điểm điểm 29 điểm lại ta vẽ 29 đường thẳng + Làm với 30 điểm ta vẽ tất 29.30 đường thẳng + Nhưng đường thẳng tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ ( 29.30 ) : = 435 đường thẳng Vậy qua 30 điểm phân biệt mà khơng có điểm thẳng hàng ta vẽ 435 đường thẳng – Tương tự trên, giả sử a điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng ta vẽ a ( a − 1) : đường thẳng Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta vẽ đường thẳng nên số đường thẳng bị giảm a ( a − 1) : − đường thẳng Theo ta có : a ( a − 1) : − = 435 − 421 = 14 ⇒ a ( a − 1) = 30 = 6.5 Vì a-1 a hai số tự nhiên liên tiếp a − < a nên a = Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Hình vẽ : a) Chứng tỏ D nằm A C Vì D nằm A B nên: AD + DB = AB Thay AB = cm ta có AD + DB = cm Lại có AC + DB = cm ⇒ AD + DB < AC + DB hay AD < AC Trên tia AB có : AD < AC suy D nằm A C b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ? 0,25 0,25 0,25 0,25 Vì D nằm A C suy AD + DC = AC Lại có AC + DB = cm , suy AD + DC + DB = 9cm 0,25 0,25 0,25 Thay AD + DB = cm , ta có 6cm + DC = ( cm ) Vậy DC = ( cm ) 0,25 Hay ( AD + DB ) + DC = 9cm Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà cho điểm tương ứng với câu, theo hướng dẫn trên./ Hết - ... ⇒ abc00M 37 0,50 ( ) ⇒ ab 1000 + c00 M 37 ( ) ⇒ ab 999 + c00 + ab M 37 ( ) ⇒ ab 999 + cab M37 Mà ab 999 = ab 37 .27 M37 ⇒ cab M 37 Vậy abcM 37 cabM37 b) Tìm số x, y nguyên biết x.y + 12... = 23 ( 2016 − 1) 0,25 ⇒ = ⇒ x = Vậy x = x 0,25 2015 0,25 Bài 3: (5,0 điểm) Đáp án a) Cho số abc chia hết cho 37 Chứng minh số cab chia hết cho 37 Điểm Ta có abcM 37 ⇒ 100.abc M 37 ⇒ abc00M 37 ... +1 + x + + x +3 + … +2 x + 2015 = 2019 − 2x + x + x.2 + x. 23 + … +2 x.2 2015 = 2019 − 23 0,25 x ( + + 2 + 23 + … +2 2015 ) = 23 ( 22016 − 1) Đặt M = + + + + … +2 Ta 2.M = + 2 + 23 + … +2 2016