Chuong_4_DTphang_Tomau

Thuật toán SequentialColor tô màu 1 đồ thị với k màu Xem các đỉnh theo thứ tự từ 1 đến |V|, tại mỗi đỉnh v gán màu đầu tiên có sẵn mà chưa được gán cho 1 đỉnh nào liền v. 1.[r]

Chương 4

Đồ thị phẳng – Bài toán

Đồ thị phẳng – Bài toán

tô màu đồ thị

Đồ thị phẳng

 Bài toán mở đầu:

 Có gia đình, nhà cung cấp điện, nước, gas

 Các gia đình cần điện, nước, gas muốn dây riêng

 Cần nối dây từ gia đình đến nhà cung cấp cho không dây cắt dây

04/20/21

Lý thuyết đồ thị

A B C

Đồ thị phẳng

 Định nghĩa: Đồ thị vô hướng G đồ thị phẳng

ta biểu diễn mặt phẳng cho khơng có cạnh cắt

VD:

Đồ thị phẳng

Đồ thị phẳng (tt)

 Các đồ thị không phẳng tiếng

04/20/21

Lý thuyết đồ thị

Đồ thị K5 – đồ thị đầy đủ

Công thức Euler

 Xét đồ thị sau:

 Định lý: Cho G đồ thị phẳng, liên thông với n đỉnh m cạnh Gọi r số miền biểu diễn phẳng G Khi đó, ta có:

r = m - n + 2 1

4 3

2

5

Công thức Euler (tt)

 Chứng minh công thức Euler:

04/20/21

Công thức Euler (tt)

 Hệ Nếu G đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh, v đỉnh, v  Khi ta có:

e  3v – 6  Chứng minh:

 Gọi r số miền

 Mỗi miền tương ứng với cạnh  Mỗi cạnh tướng ứng với miền

 Gọi bậc miền số cạnh tương ứng với

 Suy ra, tổng bậc miền lần số cạnh

 Áp dụng công thức Euler suy điều phải chứng minh

2. deg( ) 3.

R

Phép chia cạnh

 Để nhận biết xem đồ thị có phải đồ thị phẳng

có thể sử dụng định lý Kuratovski, mà để phát biểu ta cần số khái niệm sau : Ta gọi phép chia cạnh (u,v) đồ thị việc loại bỏ cạnh khỏi đồ thị thêm vào đồ thị đỉnh w với hai cạnh (u,w), (w, u) Hai đồ thị G(V,E) H=(W,F) gọi đồng phôi hay đồng cấu chúng thu từ đồ thị nhờ phép chia cạnh

a

u v

b c

a

u w v

b c

Định lý Kuratowski

 Định lý: Đồ thị G đồ thị phẳng G

không chứa đồ thị đẳng cấu với K5 K3x3

Ví dụ

Hình Hình Hình

 Đồ thị hình đồ thị phẳng Các đồ thị có

6 đỉnh, khơng chứa đồ thị K3,3 có đỉnh

bậc 2, tất đỉnh K3,3 có bậc 3;

cũng chứa đồ thị K5 có

đỉnh bậc nhỏ 4, tất đỉnh K5 có bậc

 Đồ thị hình đồ thị khơng phẳng xố đỉnh

b cạnh (b,a), (b,c), (b,f) ta đồ thị K5

Tô màu đồ thị (tt)

04/20/21

Lý thuyết đồ thị 13

Phải dùng màu để tổ

?

Tô màu đồ thị (tt)

04/20/21

Lý thuyết đồ thị 15

Bài tốn tơ màu đồ thị

 Định nghĩa. Tô màu đồ thị vô hướng

gán màu cho đỉnh cho hai đỉnh kề phải khác màu

 Định nghĩa. Số màu (sắc số) đồ thị số

màu tối thiểu cần thiết để tô màu đồ thị

Bài tốn tơ màu đồ thị (tt)

 Định lý (Định lý màu) Số màu đồ thị phẳng không lớn

hơn

 Một số thông tin liên quan:

 Bài toán đưa năm 1850

 Có nhiều chứng minh sai tốn

 Chứng minh sai tiếng Alfred Kempe vào năm 1879

 Percy Heawood phát chứng minh sai vào năm 1890  Dựa vào đó, năm 1976 Appel Haken chứng minh

cách sử dụng máy tính

 Đối với đồ thị khơng phẳng số màu tuỳ ý lớn  Để chứng minh đồ thị G n-màu ta phải

 Chỉ cách tô màu G với n màu

 CMR khơng thể tơ màu G với n màu

04/20/21

Các tốn tơ màu đồ thị

 Cho đồ thị G số nguyên k Xây dựng thuật

toán để kiểm tra xem tơ màu G k màu, thực việc

 Cho đồ thị G xác định số màu k đồ thị

Nhận biết đồ thị 2-màu

 Định lý

Một đồ thị G 2-màu G không chứa chu trình lẻ nào.

 Chứng minh

 Giả sử G đồ thị 2-màu ta phải CMR G khơng chứa chu trình lẻ

Thật G có chu trình lẻ C = (v1, v2, …, v2n+1, v1) Do C tô màu đỉnh lẻ tô màu Nhưng lúc ⇒

đó v1và v2n+1là đỉnh kề có màu vơ lý !!! (ĐPCM)

 Giả sử G khơng chứa chu trình lẻ.Ta CMR G đồ thị 2-màu

 Chọn đỉnh r làm gốc tơ màu đỏ x V tô màu ∀ ∈

đỏ đường ngắn từ x tới r có số cạnh chẵn Trái lại tô x màu xanh

 Ta chứng minh đỉnh x, y cạnh (x,y) tô

hai màu khác

 Trái lại giả sử x y đỉnh cạnh (x,y) tơ

Nhận biết đồ thị 2-màu Trường hợp :

Px Py khơng có chung cạnh Ta có Px + (x,y) + Py chu trình có số cạnh lẻ (Mâu thuẫn giả

thiết)

Trường hợp :

Px Py có chung k cạnh từ đỉnh a tới đỉnh b Ta nhận hai chu trình Ca , Cb k cạnh chung Ta có Px + (x,y) + Py có số lẻ cạnh mà : | Px + (x,y) + Py | = |Ca| + |Cb| + 2k Do hai chu trình Ca Cb có số cạnh lẻ

Vô lý !!! (ĐPCM) Vậy G -màu

Thuật toán SequentialColor

Thuật tốn SequentialColor tơ màu đồ thị với k màu Xem đỉnh theo thứ tự từ đến |V|, đỉnh v gán màu có sẵn mà chưa gán cho đỉnh liền v

1 Xếp đỉnh theo thứ tự 1,2,…n

2 Tạo tập Li - tập màu gán cho đỉnh i Bắt đầu tô từ đỉnh1

4 Với đỉnh k {1,…,n} tô màu củaL∈ kcho k

5 j > k j kề k loại bỏ L∀ j màu tô cho k

 Ví dụ

Các màu: X: Xanh Đ: Đỏ T: Tím V: Vàng Thứ tự tơ đỉnh: 1, 2, 3,

Các bước L1 L2 L3 L4 Màu tô

Khởi tạo X, Đ, T, V X, Đ, T, V X, Đ, T, V X, Đ, T, V

B1 X X, Đ, T, V X, Đ, T, V Đ, T, V - Xanh

B2 X Đ, T, V Đ, T, V - Xanh

B3 Đ T, V - Đỏ

 Ví dụ

Các màu: X: Xanh Đ: Đỏ T: Tím V: Vàng Thứ tự tô đỉnh: 4, 3, 2,

Các bước L4 L3 L1 L2 Màu tô

Khởi tạo X, Đ, T, V X, Đ, T, V X, Đ, T, V X, Đ, T, V

B1 X Đ, T, V Đ, T, V X, Đ, T, V - Xanh

B2 Đ Đ, T, V X, T, V - Đỏ

B3 Đ X, T, V - Đỏ

B4 X - Xanh

13

Thuật toán Welch-Powell

 Sắp xếp đỉnh G theo bậc giảm dần.

 Dùng màu để tô đỉnh

dùng màu để tô màu đỉnh liên tiếp trong danh sách mà không kề với đỉnh đầu tiên.

 Bắt đầu trở lại đầu danh sách, tô màu thứ

Ví dụ Thuật tốn Welch-Powell

Sắp xếp bậc giảm dần Đỉnh 2 6 Bậc 4 3 2 1

 Tô màu xanh cho đỉnh đỉnh không kề đỉnh

mà chưa tô (đỉnh 6)

 Tô màu đỏ cho đỉnh đỉnh không kề mà

chưa tô (đỉnh 4)

 Tô màu vàng cho đỉnh đỉnh không kề mà

Thuật toán Greedy

 Ý tưởng:

Đầu tiên ta cố tô cho nhiều đỉnh với màu đầu tiên, dùng màu tô đỉnh chưa tô cho tô nhiều đỉnh tốt.Và trình lặp lại với màu khác đỉnh tơ màu

 Thuật tốn :

 Bước 1: Chọn đỉnh chưa tô màu tơ màu cho Với

đỉnh cịn lại mà khơng có cạnh chung với đỉnh xét tơ đỉnh màu với đỉnh xét

 Bước : Duyệt danh sách đỉnh chưa tô màu, lấy đỉnh

số chúng tô màu quay lại bước Lặp lại trình tất đỉnh tô màu

 Nhận xét :

Ví dụ Thuật tốn Greedy

 Tô màu xanh cho đỉnh đỉnh không kề đỉnh mà

chưa tô (đỉnh 4)

 Tô màu đỏ cho đỉnh đỉnh không kề mà chưa

được tô (đỉnh 6)

 Tô màu vàng cho đỉnh đỉnh không kề mà chưa

được tô màu

 Tơ màu tím cho đỉnh đỉnh không kề mà chưa

được tô màu

Bài tốn tơ màu đồ thị (tt)

Ứng dụng

 Bài toán lập lịch thi: Hãy lập lịch thi

trường đại học cho khơng có sinh viên thi hai môn lúc

 Giải pháp:

 Biểu diễn đồ thị:

 Mỗi môn học đỉnh

 Nếu môn học dự thi sinh viên nối cạnh

 Cách lập lịch tương ứng với tốn tơ màu đồ thị

04/20/21

Ứng dụng (tt)

 VD: Có mơn thi với thông tin sau:

 Môn 1: có sinh viên A, B, C D thi  Mơn 2: có sinh viên A, E, F, G H thi  Mơn 3: có sinh viên B, E, I, J K thi  Môn 4: có sinh viên B, F, L M thi  Mơn 5: có sinh viên G, L, N O thi  Mơn 6: có sinh viên J, M, N P thi

 Môn 7: có sinh viên D, H, K, O P thi

Ứng dụng (tt)

04/20/21

Lý thuyết đồ thị 31

 VD: Có mơn thi với thơng tin sau:

 Mơn 1: có sinh viên A, B, C D thi  Mơn 2: có sinh viên A, E, F, G H thi  Môn 3: có sinh viên B, E, I, J K thi  Mơn 4: có sinh viên B, F, L M thi  Mơn 5: có sinh viên G, L, N O thi  Môn 6: có sinh viên J, M, N P thi  Mơn 7: có sinh viên D, H, K, O P thi

1 2 3 4 5 6 7

Đợt thi Môn thi

1 1,

2 2,

3

Ứng dụng (tt)

 Bài toán phân chia tần số.

 Các kênh truyền hình từ số đến số 13 phân chia

cho đài truyền hình cho khơng có đài cách không 150 dặm lại dùng chung kênh

 Hãy tìm cách phân cho số kênh dùng

 Giải pháp:

 Biểu diễn đồ thị:

 Mỗi đỉnh đài phát

 Hai đỉnh nối cạnh hai đài phát cách 150 dặm

Ứng dụng (tt)

 Bài toán ghi số:

 Trong lập trình ghi thường dùng để lưu trữ giá trị biến tạm thời

 Tìm số ghi cần sử dụng chương trình

 Giải pháp:

 Biểu diễn đồ thị:

 Mỗi biến tương ứng với đỉnh

 Hai đỉnh nối với hai biến ghi xuống

tại thời điểm

 Số ghi cần sử dụng số màu đồ thị

04/20/21