Tong hop hinh hoc 12 On thi dai hoc

* Chứng minh AM vuông góc với BP. Gọi H là trung điểm của AD. * Tính thể tích của khối tứ diện CMNP. * Tính thể tích khối tứ diện CMNP.. - Kĩ năng chứng minh, tính toán. - Phạm vi liên k[r]

Hình học mặt phẳng tọA độ

Cách giải toán tam giác: viết pt cạnh tam giác, tìm đỉnh chú ý: - 2 đg thẳng // thì có véc tơ pháp tuyên véc tơ phương

- đg thẳng vng góc pháp tuyến đường phương đg kia, phương đường pháp tuyến đg

Loại 1: cho đỉnh đường cao khơng qua đỉnh đó: cách giải: - viết phương trình cạnh AB qua A vng góc với CK - viết phương trình cạnh AB qua A vng góc với BH

Loại 2: cho đỉnh đường trung tuyến khơng qua đỉnh

cách giải: - Lấy điểm M thuộc BM theo tham số, theo công thức trung điểm tìm

toạ độ C , thay toạ độ C vào PT đường CN tìm tham số t  điểm C - Lấy điểm N thuộc CN theo tham số, từ CT trung điểmtìm toạ độ B

thay voµ PT đường BM tìm tham số t điểm B

loại 3: cho đỉnh đường phân giác khơng qua đỉnh cách giải: - gọi A’ A’’ diểm đối xứng A qua đường phân giác

BB’ vµ CC A A thuộc cạnh BC

- viết PT cạnh BC, tìm giao với đường CC, BBta có điểm B C

chó ý :

các tốn kết hợp đường cao phân giác; đường cao trung tuyến; trung tuyến phân giác ta dựa vào cách giải toán

loại 4: Bài tốn cho diện tích, cho điểm đoạn thẳng theo tỉ số cho trước

cách giải: Ta dùng cơng thức diện tích, cơng thức tìm toạ độ điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k

Bµi tËp:

1/ Cho A ( ; ) , B( 1; 4) ,C( ;

), D (- 2; 2)

a/ Chứng minh A , B, C không thẳng hàng : A , B , D thẳng hàng b/ Tìm điểm E đối xứng với A qua B

c/ Tìm điểm M cho tứ giác ABCM hình bình hành d/ Tìm tọađộ trọng tâm G tam giác ABC

2/ Cho A ( -1 : ) ,B (1 ; ) , C ( ; )

a/ Xác định tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b/ Xác định tọa độ trọng tâm G, trực tâm H tam giác ABC suy ba điểm G,H,I thẳng hàng 3/ Cho hai điểm A( 1; -2 ) B( ; )

a/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua trục hoành

b/ Tìm điểm M trục hồnh cho MA +MB nhỏ c/ Tìm điểm N trục tung cho NA + NB nhỏ d/ Tìm điểm I trục tung cho |IAIB | ngắn e/ Tìm J trục tung cho JA –JB dài

A B

C(x;y)

A(x;y) B

C

A’ B’

B’

C’

A(x;y) C

A’

I

J B

4/Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1;1) Hãy tìm điểm B đường thẳng y =3 điểm C trục hoành cho ABC tam giác

5/Trong mặt phẳng Oxy cho điểm B đường thẳng x + = điểm C đường thẳng x–3 =0 a) Xác định tọa độ B C cho tam giác OBC vuông cân đỉnh O

b) Xác định tọa độ B;C cho OBC tam giác

CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Lập phương trình đường thẳng:

Bài : Viết phương trình tham số phương trình , tắc suy phương trình tổng qt đường thẳng trường hợp sau:

1/ Qua điểm M(2 ; -5) nhận vectơ u=( 4; -3) làm vectơ phương 2/ Qua hai điểm A(1 ; - ) B( -3 ; )

3/ Qua điểm N ( ; -2 ) nhận vectơ n= ( ; - ) làm vectơ pháp tuyến

Bài 2: Viết Phương trình tham số , phương trình tắc đường thẳng có phương trình tổng quát là: 3x – 2y + =

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A( ; 5) , B( ; 0) , C( 0; 3) Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau :

a) d qua A cách B khoảng b) d qua A cách hai điểm B , C c) d cách ba điểm A; B ; C

d) d vng góc với AB A e; d trung tuyến vẽ từ A tam giác ABC Bài 4: Cho tam giác ABC M ( ; - ) , N ( ; ) , P ( -1 ; ) trung điểm cạnh AB , BC

, CA 1/ Viết phương trình tổng quát cạnh tam giác ABC 2/ Viết phương trình đường trung trực cạnh tam giác ABC Bài 5: Cho đường thẳng (d) có phương trình : 4x – 3y + =

1/ Lập phương trình tổng quát đường thẳng ( d’) qua điểm A (1 ; -2 ) song song với (d) 2/ Lập phương trình đường thẳng (d’’) qua điểm M( ; ) (d’’) vng góc với (d)

Bài : Cho hai đường thẳng d: 2x + 7y – = d’ : 3x + 2y + = Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm d d’và thoả mản mợt điều kiện sau :

1/ Đi qua điểm ( ;- 3) 2/ Song song với đường thẳng x – 5y + = 3/ Vng góc với đường thẳng x- y + =

Bài :Tam giác ABC có A( -1 ; - ) , đường cao có phương trình : BH: 5x + 3y –25 = 0; CH : 3x + 8y – 12 = Viết phương trình cạnh tam giác ABC đường cao lại

Bài :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (5 ; ) , N (1 ; ), P( ; ) Viết phương trình đường thẳng d mổi trường hợp sau :

1/ d qua M cách N khoảng 2/ D qua M vàcách hai điểm N, P Bài 9: Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC biết A( 1; 3) hai trung

tuyến có phương trình x – 2y + = 0, y – =

Bài 10: Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC cho điểm B(-4;-5) hai đường cao có phương trình :5x + 3y – = , 3x + 8y +13 =

Bài 11 : Cho điểm P( 3; 0) hai đường thẳng d1: 2x – y – = , d2:x + y + = Gọi d đường thẳng qua

P cắt d1 , d2 A B Viết phương trình d biết PA = PB

Bài 12 : Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết C(4 ; -1 ) đường cao trung tuyến kẻ từ đỉnh có phương trình : 2x – 3y +12 = , 2x + 3y =

Bài 14 : Cho hai đường thẳng d1: x – y = , d2 :x – 2y – = Tìm điểm A d1, C d2 B , D

trục hoành cho ABCD hình vng Dạng : Hình chiếu điểm đường thẳng

1 /Phương pháp :Xác định hình chiếu vng góc H điểm M đường thẳng d: Viết phương trình đường thẳng d’ qua diểm M vng góc với d

 Giải hệ gồm hai phương trình d d’ ta có tọa độ điểm H 2/ Phương pháp :Xác định điểm N đối xứng điểm M qua d

 Dùng phương pháp để tìm hình chiếu vng góc H điểm M đường thẳng d

 Điểm N đối xứng với M qua d nên H trung điểm đoạn MN , từ điều kiện ta tìm tọa độ điểm N

Bài tập :

Bài : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(-6 ; ) đường thẳng d: 4x – 5y + = 1/ Tìm tọa độ hình chiếu H M đường thẳng d

2/ Tìm điểm N đối xứng với điểm M qua d

Bài : Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho hai đểm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) đường thẳng d : 2x – y – = 1/ Chứng minh A , B nằm phía đường thẳng d

2/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

3/ Tìm điểm M đường thẳng d cho MA + MB bé Dạng : Các tốn vị trí tương đối hai đường thẳng

Bài 1: Xác định a để đường thẳng sau đồng quy:2x–y+3 = ,x+y+3= , ax + y – = Bài : Cho hai đường thẳng d: mx –2y – = , d’: 2x – 4y + m = Với giá trị m :

1/ d d’ cắt 2/ d // d’ 3/ d trùng với d’

Bài 3: Với giá trị m hai đường thẳng sau cắt điểm trục hoành d: ( m -1) x + my – = , d’: mx +( 2m – 1) y + =

Dạng : Các toán Sử dụng cơng thức tính góc khoảng cách Bài : Tính góc cặp đường thẳng sau :

1/ 4x + 3y +1 = , x+ 7y – = 2/ 6x – 8y –15 = , 12x + 9y + =

Bài : Tính khoảng cách từ điểm M ( ; 2) đến đường thẳng sau đây:

1/ 12x – 5y – 13 = , 2/ 3x – 4y –16 = , 3/ x + 2y +8 =

Bài 3: Cho đường thẳng d: 3x – 2y +1 = điểm A(1;2) Lập phương trình đường thẳng  qua A hợp với d góc 450

Bài : Cho tam giác ABC cân đỉnh A Cho bieát BC: 2x – 3y –5 = ,

AB :x + y + = Lập phương trình cạnh AC biết qua điểm M(1;1)

Bài 5: Lập phương trình đường thẳng qua điểm M( 2;7 ) cách điểm A(1;2) khoảng bằng1 Bài : Lập phương trình đường thẳng qua điểm P( : -1) cho đường thẳng với hai đường

thaúng : (d1):2x – y + = , (d2) : 3x + 6y – = taïo tam giác cân có đỉnh giao điểm

(d1) (d2)

Bài : Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết B( ;- ),đường cao qua đỉnh A có phương trình 3x – 4y +27 = phân giác góc C có phương trình x + 2y – =

Bài 8: Viết phương trình đường thẳng song song với d:3x –4y +1=0 cách d khoảng

CÁC BAØI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI

1/ Trong mặt phẳng Oxy tam giác có phương trình hai cạnh 5x-2y + =0 4x +7y – 21 =0 Viết phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm tam giác trùng với góc tọa độ

3/ Chgo tam giác ABC ,cạnh BC có trng điểm M(0; 4) hai cạnh có phương trình : 2x + y – 11 =0 vaø x + 4y – =0

a Xác định tọa độ điểm A

b Gọi C điểm đường thẳng x – 4y – = , N trtrung điểm AC Tìm N suy tọa độ B , C

4/ Cho tam giác ABC có M(-2 ;2) trung điểm BC , cạnh AB có phương trình x –2y–2=0 cạnh AC có phương trình 2x + 5y + =0 Xác định tọa độ đỉnh tam giácABC

5/ Cho A(-1; 2)và B(3;4).Tìm điểm Ctrên đường thẳng x –2y +1=0 cho tam giác ABC vuông C 6/ Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5),đường cao vẽ từ A có phương trình 2x –5y +3 = ,trung tuyến vẽ từ

C có phương trình x + y – =0

a Tìm tọa độ điểm A b, Viết phương trình cạnh tam giác ABC

7/ Cho tam giaùc ABC có trọng tâm G(-2;1)và có cạnh AB:4x+y 15 = AC :2x+5y +3 =

a,Tìm tọa độ A trung điểm M cạnh BC b,Tìm tọa độ điểm B viết phưng trình đường thẳng BC 8/ Cho A(1;1), B(-1;3)và đường thẳng d:x+y+4 =0

a, Tìm điểm C d cách hai điểm A,B Với C vừa tìm Tìm D s/cho ABCD hbh tính Shbh

9/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3)

a Biết đường cao BH:5x+3y –35=0, đường cao CK:3x+8y – 12 =0 Tìm B,C

b Biết trung trực cạnh AB có phương trình x+2y –4=0 trọng tâm G(4;-2).Tìm B,C

10/ Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao trung tuyến vẽ từ đỉnh có phương trình 2x-3y +12 =0,2x+3y =0

11/Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết A(1;3) hai trung tuyến có phương trình x-2y+1 =0, y -1=0

12/ Cho tam giác ABC có A(2;-1) phương trình hai phân giác góc B C d:x – 2y+1=0 , d’:x+y+3 = Tìm phương trình cạnh BC

13/ Cho tam giác ABC có A(2;-3) ,B(3;-2)trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng 3x –y – =0,diện tích tam giác ABC 3/ 2.Tìm C

14 / Cho tam giác cân ABC có phương trình cạnh đáy AB:2x –3y+5=0cạnh bên AC:x+y+1=0 Tìm phương trình cạnh bên BC biết qua điểm D(1;1)

15/ Cho hình chử nhật ABCD có tâm I(1/ 2;0),phương trình đường thẳng AB x –2y+2=0,AB=2AD Tìm tọa độ đỉnh A,B,C,D biết A có hồnh độ âm

16/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1:x-y=0,d2:2x+y+1=0.Tìm tọa độ đỉnh

hình vng ABCD biết A thuộc d1, C thuộc d2và hai đỉnh B,D thuộc trục hoành

17/ Cho A(2;-3) , B(3;-2) Trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng d: 3x – y -8 = 0, diện tích tam giác ABC 3/2 Tìm C

18/ Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao trung tuyến ke û từ đỉnh có phương trình 2x -3y +12 = 2x + 3y =

20/ Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết A(1;3) hai đường trung tuyến có phương trình x -2y+1= y-1 =0

21/ Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE) 4x+13y-10 = Lập phương trình ba caïnh

22/ Cho tam giác ABC biết A(2;-1) phương trình hai đường phân giác góc B C d: x-2y+1=0 x+y+3=0 Tìm phương trình đường thẳng chứa cạnh BC 23/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm đường thẳng y= x , phân giác góc C nằm đường thẳng x+3y+2=0 Viết phương trình cạnh BC

ĐƯỜNG TRÒN

A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ I phương trình đường trịn:

* Đường trịn ( C ) có tâm I ( a; b) ,bán kính R có phương trình : (x – a )2 + ( y – b)2 = R2

* Phương trình : x2+ y2 –2ax – 2by + c = , a2+ b2 – c > phương trình đường trịn có tâm I ( a ; b ) ,bán kính R = a2 b2 c

II Phương tích điểm đường tròn

Cho đường trịn ( C ) có phươngtrình : F ( x ; y ) = x2+y2 – 2ax – 2by + c = vá điểm M0(x0 ;y0)

PM / (C ) = F (x0 ; y0 ) = x02 +y02 –2ax – 2by + c III Trục đẳng phương hai đường tròn :

Cho hai đường trịn khơng đồng tâm ( C1) : x2 + y2 – 2a1x – 2b1y + c1 = ,

( C2 ) : x2 + y2 – 2a2x - 2b2y + c2 =

Trục đẳng phương hai đường tròn ( C1) , ( C2) có phương trình :

2( a1- a2) x + 2( b1- b2) y – c1+ c2 = IV Tiếp tuyến đường tròn

1/Dạng 1: Cho đường tròn ( C ) : ( x – a )2 + ( y –b)2 = R2 Tâm I ( a ;b) , bán kính R Tiếp tuyến với ( C ) điểm M0( x0 ; y0) ( C ) có phương trình :

(x0 – a) (x – a ) + ( y0 – b)( y – b) = R2

Chú ý: Tiếp tuyến với ( C ) M0 nhận vectơ M0I làm vectơ pháp tuyến từ suy phương trình

tiếp tuyến với ( C ) M0

2/ Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết hệ số góc tiếp tuyến k * Đường thẳng  có hệ số góc k có phương trình : y = kx + m

*  tiếp xúc với ( C )  d( I ,  ) = R.Từ điều kiện ta tìm m 3/ Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) qua M( xM ; yM)

* Đường thẳng  qua M có phương trình : A ( x – xM ) + B ( y – yM) =

*  tiếp xúc với ( C )  d( I ,  ) = R.Từ điều kiện ta tìm A B B CÁC DẠNG BAØI TẬP

Bài :Xác định tâm bán kính đường tròn sau : 1/ x2 + y2 – 2x + 4y + = 2/ 2x2 + 2y2 + 4x - 8y - = 3/ x2 + y2 – 6x – 16 = 4/ x2 + y2 - 8y - =

Bài :Lập phương trình đường trịn ( T ) trường hợp sau: 1/ ( T ) có tâm I ( ; - 1) có bán kính R =

2/ ( T ) có đường kính AB với A ( ; ) , B( - ; )

3/ ( T ) có tâm I ( ; - ) tiếp xúc với đường thẳng : 4x –3y + = 4/ ( T ) qua ba điểm A ( - ; - ), B ( ; - ) , C ( ; -1 )

5/ ( T )tiếp xúc với hai trục tọa độ có tâm nằm đường thẳng :2x – y – =

6/ ( T ) qua hai điểm A(1;2 ),B(3; ) tiếp xúc với đường thẳng  có phương trình : 3x +y–3 =

Bài : Cho đường trịn ( C ) có phương trình x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = Lập phương trình tiếp tuyến d với ( C ) : 1/ Tại điểm M ( ; ) 2/ Biết d song song với  : 3x – 4y – 2004 =

3/ Bieát d ñi qua ñieåm A ( ; )

Bài 4: Cho đường trịn ( T ) có phương trình : x2 + y2 – 4x – 2y = 1/ Tính phương tích điểm M ( ; -2) đường tròn ( T )

3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( T ) kẻ từ N (– ; ) Bài : Cho hai đương tròn ( C1 ) ( C2 ) có phương trình :

x2 + y2 + 4x + 4y –13 = , x2 + y2 - 2x + y + = Viết phương trình trục đẳng phương hai đường trịn

Bài : Cho ( Cm) có phương trình : x2 + y2 – 2mx – 4my + 2m2 – =

1/ Tìm giá trị m cho (Cm ) đường trịn 2/ Tìm tập hợp tâm I ( Cm )

Bài : Cho đường trịn (T) có phương trình : x2 + y2 – 2x + 4y – 20 =

a) Viết phương trình tiếp tuyế (T) điểm A(4 ;2) , B(-3 ; -5) b) Viết phương trình tiếp tuyế (T) qua C( ; 5)

c) Viết phương trình tiếp tuyến chung (T) (T’) có pt : x2 +y2 -10x + = d) Với giá trị m (T) tiếp xúc với đường trịn (T’’) có pt: x2 + y2 – 2my =

CÁC BAØI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI

1/ Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh A(1;1),B(-1;2),C(0; -1) 2/ Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm ba đường thẳng : (d1) :

5 5  x

y , (d2) : y = x+2 , (d3): y = – x

3/ Lập phương trình đường trịn nội tiếp tam giác có ba đỉnh A(-1;7),B(4;-3)C(-4;1)

4/ Lập phương trình đường trịn qua điểm A( -1;1) , B(1;-3) có tâm nằm đường thẳng (d) :2x – y + =

5/ Lập phương trình đường trịn qua điểm A(-1;-2) tiếp xúc với đường thẳng (d) : 7x-y-5= điểm M(1;2)

6/ Lập phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng (d1) : 2x +y = tiếp xúc với đường

thẳng (d2): x -7y+10 = điểm M(4;2)

7/ Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng (d1) : 4x + 3y – = tiếp xúc với hai

đường thẳng (d2) : x +y+4 = ,(d3) :7x – y+4 =

8/ Viết phương trình đường tròn qua A( 2;-1) tiếp xúc với hai trục toạ độ 9/ Cho hai đường tròn (C1): x2+y2 -10x = , (C2): x2+y2+4x – 2y – 20 =

a Viết phương trình đường trịn qua giao điểm (C1) ,(C2) có tâm (d):x+6y – =

b Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn (C1) ,(C2)

10/ Cho (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = đường thẳng (d) : x – y – = Viết phương trình đường tròn ( C’) đối xứng với ( C) qua (d)

11/ Cho hai đường tròn (C1) : x2+y2 – 4x – = , (C2): x2+y2 – 6x +8y +16 = Viết phương trình tiếp

tuyến chung hai đường tròn

12/ Cho hai đường tròn : (C1) : x2+y2 – 4x +2y –4 = , (C2): x2+y2 – 10x – 6y +30 = có tâm I, J

a Chứng minh (C1) (C2) tiếp xúc với , tìm tọa độ tíêp điểm H

b Gọi (d) tiếp tuyến chung (C1) (C2) khơng qua H Tìm tọa độ giao điểm K (d) với

IJ Viết phương trình đường trịn (C) qua K tiếp xúc với (C1) (C2) H

13/ Cho điểm M(6;2) đường tròn (C) :x2+y2 – 2x – 4y = Viết phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C ) hai điểm A,B cho AB = 10

14/Cho đường tròn (C ) : x2+y2 – 2x – 6y – = điểm M(2;4) a Chứng tỏ M nằm đường trịn

b Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C ) hai điểm phân biệt A B cho M trung điểm đoạn AB

c Viết phương trình đường trịn (C’) đối xứng với (C ) qua AB

(d2)  (d3) =B , (d3)  (d1) = C

a Viết phơng trình phần giác góc BAC b Tính diện tích tam giác ABC

c Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC

16/ Cho đường tròn (C) :x2 + y2 -8x -6y = điểm A(14;8) Qua A kẻ tiếp tuyên AM,AN với (C) Lập phương trình đường thẳng MN

17/ Cho (Cm) : x2+y2 +2(m – 1)x – 2(m – )y +m2 -8m +13 = a.Xác định m để (Cm) đường trịn

b Tìm quỹ tích tâm I (Cm)

18/ Cho (C) : x2 + y2+2x – 4y – 20 = A(3 ; 0) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A cắt (C) theo dây cung có độ dài nhỏ

19/ Cho hai đường tròn (C1) :x2 + y2 – 2x – 9y – 2= vaØ (C2) : x2 + y2 – 8x – 9y +16 = a Chứng minh (C1) (C2) tiếp xúc

b Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn 20/ Viết phương trình tiếp tuyến chung cặp đường tròn sau : a (C1): x2 + y2 -10x = , (C2): x2 + y2 +4x -2y -20 =

b (C1): x2 + y2 - 4x - = , (C2): x2 + y2 - 6x +8y +16 =

Cơng thức E-Líp Phương trình tổng quát:

2 2

2 2

x y

+ = 1

a b (a,b>0) NÕu a>b th×: b2

= a2 - c2

trôc lín lµ 2a trơc nhá lµ 2b tiêu cự 2c tâm sai e=c/a

tiêu điểm ( thuộc Ox) F1=(-c;0) F2=(c;0) Với điểm M(x;y) thuộc (E) bán kính qua tiêu

2

c

MF a ex a x

a c

MF a ex a x

a

   

   

NÕu b>a th×: a2 = b2

- c2 trơc lín lµ 2b trơc nhỏ 2a tiêu cự 2c tâm sai e=c/b

tiêu điểm ( thc Oy) F1=(0;-c) F2=( 0;c) Víi ®iĨm M(x;y) thc (E) bán kính qua tiêu

2

c

MF b ex a x

b c

MF b ex a x

b

   

   

CÁC DANG BÀI TẬP:

Bài : Tìm tiêu điểm , tọa độ đỉnh , tiêu cự , độ dài trục tâm sai elip (E ) cho phương trình sau :

1/ 16x2 + 25y2 = 400 ; 2/ 4x2 + 9y2 = 144 ; 3/ 9x2 +25 y2 = 225 ; 4/ 4x2 + 9y2 = 25

Bài : Lập phương trình tắc elip ( E ) trường hợp sau : 1/ ( E ) có tiêu cự ; trục lớn 10

2/ ( E ) có trục lớn 20 tâm sai 3/5,

3/ ( E ) có tiêu cự qua điểm M ( 15; - ) 4/ ( E ) có tiêu điểm F2 ( ; ) qua điểm N ( ;

5 12

)

5/ ( E ) qua hai điểm A ( ; ) vaø B ( ; 2)

7/ ( E ) coù tâm sai

, khoảng cách hai đườg chuẩn 32

Bài : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) :4x2 + 25y2 = 100

1/ Tìm điểm trê ( E ) có hồnh độ tính khoảng cách giửa hai điểm

2/ Tìm điểm M ( E ) cho bán kính qua tiêu điểm bên trái hai lần bán kính qua tiêu điểm bên phải

Bài : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 2x2 + 6y2 = 12 1/ Xác định tọa độ tiêu điểm độ dài trục ( E )

2/ Tìm điểm M ( E ) nhìn hai tiêu điểm góc vng Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 16x2 + 25y2 = 400

1/ Tìm điểm M ( E ) cho 3F1M = F2M

2/ Cho A , B hai điểm thuộc ( E ) cho AF1+ BF2 = Hãy tính AF2 + BF1

Bài : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) 16x2 + 25y2 = 100 1/ Tìm tọa độ tiêu điểm , tọa độ đỉnh , tính tâm sai ( E )

2/ Đường thẳng d qua tiêu điểm ( E ) cắt ( E ) hai điểm A , B Tính độ dài AB 3/ Tìm giá trị m để đường thẳng y = x + m cắt (E )tại hai điểm phân biệt

Bài 7: Cho elip ( E ) : x2 + 4y2 =25 ; (d) : 7x – 2y – 25 = 1/ Tìm tọa độ giao điểm (d) ( E )

2/ Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm

3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( E ) biết tiếp tuyến qua M( 5; ) Bài : Viết phương trình tiếp tuyến với (E) : 9x2+ 16y2 = 144 biết tiếp tuyến :

1/ song song với đường thẳng :3x – 2y +1 = 2/ vng góc với đường thẳng :x + 2y – =

Bài 9: Viết phương trình tắc elip (E) biết (E) nhận đường thẳng: 3x – 2y – 20 = x + 6y – 20 = làm tiếp tuyến

Baøi 10 : Cho elíp (E) có hai tiêu điểm F1(- 3;0) ,F2( 3;0) đg chuẩn có phương trình x =

3

1/ Vieát phương trình tắc (E)

2/ M điểm thuộc (E) Tính giá trị biểu thức :P = F1M2 + F2M2 – 3OM2 – F1M.F2M

3/ Viết phương trình đường thẳng (d) // Ox cắt (E) hai điểm A,B cho OA  OB Bài 11:1/ Lập pt tắc elíp (E) có tiêu điểm F1( - 15;0), tiếp xúc với (d) : x + 4y – 10 =

2/ Viết phương trình tiếp tuyến (E) vng góc với (d’) : x + y + = Bài 12 : Cho (E) : 4x2 + 9y2 =36 đường thẳng (d) có phương trình mx – y – =

1/ Chứng minh đường thẳng (d) cắt (E) hai điểm phân biệt với m 2/ Viết phương trình tiếp tuyến (E) biết tiếp tuyến qua điểm A(1;3)

Bài 13: 1/Lập phương trình tắc elíp (E) có tiêu điểm F2( 10;0) độ dài trục lớn 18

2/ Đường thẳng (d) tiêp xúc với(E) M cắt hai trục tọa độ A, B Tìm M để diện tích tam giác OAB nhỏ

Baøi 14 : Cho (E) :

2

  y x

.Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) a,b hai số thay đổi

1/ Xác định tọa độ giao điểm I AN BM

2/ Chứng minh điều kiện cần đủ để đường thẳng MN tiếp xúc với (E) ab = Bài 15 : mặt phẳng tọa độ cho hai elíp (E1) :

1 16

2

  y x

vaø (E2):

4

2

  y x

I.TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN 1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

                                                                    2 1 3 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3 2 1 2 , , a 10 a // a a a a , , a k , , ) , , ( b b a a b b a a b b a a b b a b a b a b a b b a b a b a b a b k a b b a b a b a b b a b a b a b a a a ka ka ka b a b a b a b a z z y y x x AB AB z z y y x x AB A B A B A B A B A B A B c b, , a

11 đồng phẳng ab.c0

c b, , a

12 không đồng phẳng ab.c0 13 M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠

            k kz z k ky y k kx x

M A B A B A B

1 , ,

14 M trung điểm AB

         , , B A B A B

A x y y z z

x M

15 G trọng tâm tam giác ABC

            , , , C B A C B A C B

A x x y y y z z z

x G

16 Véctơ đơn vị cña trôc: e1 (1,0,0);e2 (0,1,0);e3 (0,0,1) 17 M(x,0,0)Ox;N(0,y,0)Oy;K(0,0,z)Oz

18 M(x,y,0)Oxy;N(0,y,z)Oyz;K(x,0,z)Oxz

19 12 22 32

2 a a a AC AB

SABC     

20 VABCD (AB AC).AD

6

 

21 /

/ / / / (AB AD).AA

2.CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Chứng minh A,B,C ba đỉnh tam giác

 A,B,C ba đỉnh tam giác  [AB ,AC ] ≠ 0

 SABC =

2

1  

AC] , [AB  Đường cao AH =

BC SABC

 Shbh =

 

AC] , [AB

Dạng 2: Tìm D cho ABCD hình bình hành

 Chứng minh A,B,C khơng thẳng hàng  ABCD hbh  ABDC

Dạng 3: Chứng minh ABCD tứ diện:

 [AB ,AC ]



AD ≠  Vtd =

6

1   

AD AC] , [AB

*Đường cao AH tứ diện ABCD

AH S V BCD

3

 

BCD

S V AH

 Thể tích hình hộp :

  /

/ / / / AB;AD.AA

V

D C B A

ABCD 

Dạng4:Hình chiếu điểm M H hình chiếu M mp

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc mp : ta có ad n  Tọa độ H nghiệm hpt : (d) ()

2 H hình chiếu M đường thẳng (d)

*Viết phương trình mp qua M vng góc với (d): ta có n ad *Tọa độ H nghiệm hpt : (d) ()

Dạng : Điểm đối xứng

1.Điểm M/ đối xứng với M qua mp

*Tìm hình chiếu H M mp (dạng 4.1) *H trung điểm MM/

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG

1: Viết tọa độ vectơ say đây: a 2i j

  

   ; b 7i 8k

  

  ; c 9k

 

  ; d 3i 4j 5k

   

  

2: Cho ba vect¬ 

a = ( 2;1 ; ), 

b = ( 1; -1; 2) ,



c= (2 ; 2; -1 ) a) Tìm tọa độ vectơ :



u = 

a- 

b + 

c b) Chøng minh r»ng vect¬ 

a , 

b, 

c không đồng phẳng

c) H·y biĨu diĨn vect¬ 

w= (3 ; ; -7 ) theo ba vect¬  a,



b , 

c

3: Cho vect¬ 

a= (1; m; 2), 

b= (m+1; 2;1 ) , 

c = (0 ; m-2 ; ) Định m để vectơ đồng phẳng

4: Cho: a 2; 5;3 , b 0; 2; , c 1; 7; 2

  

     Tìm tọa độ vectơ: a)

2

d a b c

   

   b) e a 4b 2c

   

  

5: Tìm tọa độ vectơ x 

, biÕt r»ng: a) a x

  

  vµ a 1; 2;1 

  b) a x 4a

  

  vµ a 0; 2;1 

 

c) a 2x b

  

  vµ a 5; 4; 1 

  , b 2; 5;3 



 

6:Cho ba điểm không thẳng hàng: A(1;3; 7), B( 5; 2;0), C(0; 1; 1). HÃy tìm trọng tâm G cđa tam gi¸c ABC

7:Cho bốn diểm khơng đồng phẳng : A(2;5; 3), (1;0;0), B C(3;0; 2), D( 3; 1;2).  Hãy tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD

8:Cho điểm M(1; 2; 3) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M:

a) Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz b) Trên trục tọa độ: Ox, Oy, Oz 9: Cho điểm M(1 ; ; 3) Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm M:

a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy 10:Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5) Tìm tọa độ đỉnh lại

11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz điểm M a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số ? b) Tìm tọa độ điểm M. 13 Cho ba vectơ a 1; 1;1 , b 4; 0; ,

 

    c 3; 2; 



  T×m:

2 2

) ; ) ; ) ;

a a b c b a b c c a b b c c a

           

   

 

   

   

2 2

) ; )

d a a b b c b e a c b c

        

     

 

14.Tính góc hai vectơ a

b 

: a a) 4;3;1 , b  1; 2;3

 

   b a) 2;5; , b 6; 0; 

 

  

15 a) Trên trục Oy tìm điểm cách hai điểm: A(3; 1; 0) B(-2; 4; 1)

b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) C(3; 1; -1) 16 Xét đồng phẳng ba vectơ a b c, ,

  

trường hợp sau đây: a) a 1; 1;1 , b 0;1; , c 4; 2;3

  

    b a) 4;3; , b 2; 1; , c 1; 2;1

  

   

c a) 4; 2;5 , b 3;1;3 , c 2; 0;1

  

   d) a  3;1; , b 1;1;1 , c  2; 2;1 

  

     

17 Cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1)

a) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác b) Tính chu vi diện tích ABC

18. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) a) Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện b) Tìm góc tạo cạnh đối diện tứ diện ABCD

c) Tính thể tích tứ diện ABCD tính độ dài đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A

19 Cho  ABC biết A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3) Hãy tìm độ dài đường phân giác góc B 20.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1)

a) Chứng minh A, B, C, D tạo thành tứ diện Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh C tứ diện

c) Tính độ dài đường cao tam giác ABD hạ từ đỉnh B d) Tính góc ABC góc hai đường thẳng AB, CD 21 Cho điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 )

a) Xác định điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành b) Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo

c) Tính diện tích tam giác ABC, độ dài BC từ đường cao tam giác ABC vẽ từ A Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC

22 Cho ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; ) , C( 0; 0; ), D ( 2; ;6 )

a) Chứng minh điểm A, B , C , D khơng đồng phẳng.Tính thể tích tứ diện ABCD b) Tìm tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD

c) Tính diện tích tam giác ABC , từ suy chiều cao tứ diện vẽ từ D d) Tìm tọa độ chân đường cao tứ diện vẽ từ D

23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4) a) Tìm độ dài cạnh tm giác ABC b) Tính cosin góc A,B,C c) Tính diện tích tam giác ABC

II PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1. Vectơ pháp tuyến mp :

n≠0 véctơ pháp tuyến   n

2. Cặp véctơ phương mp :

a b cặp vtcp   a,b cuøng // 

Quan hệ vtpt n cặp vtcp a,b: n = [a,b]

Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n = (A;B;C) A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = () : Ax + By + Cz + D = 0 ta coù n = (A; B; C)

5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :

c z b y a x

  

Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:

điểm véctơ pháp tuyến 6.Phương trình mặt phẳng tọa độ

(Oyz) : x = ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z =

7 Chùm mặt phẳng : giả sử 12 = d

(1): A1x + B1y + C1z + D1 =

(2): A2x + B2y + C2z + D2 =

Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) =

8 Vị trí tương đối hai mp (1) (2) :

° caétA1:B1:C1A2:B2:C2

°

2 2 //

D D C C B B A A

      °

2 2

D D C

C B B A A

     

ª  A1A2 B1B2 C1C2 0

9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D =

2 2

o o o

C B A

D Cz By Ax

 

   

) d(M,

10.Góc hai mặt phẳng :

2

2

n n

n n

 

 



) , cos( 

2.CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1: Mặt phẳng qua điểm A,B,C :

° Cặp vtcp:AB ,AC °

] ) (

  [AB ,AC n

vtpt qua



C hay B hay A



Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :

° 

 AB vtpt

AB điểm trung M qua

n



Dạng 3: Mặt phẳng  qua M  d (hoặc AB)

°

) (AB n



 

d a vtpt nên (d) Vì

M qua







Daïng 4: Mp qua M vaø // : Ax + By + Cz + D =

°

  





n n vtpt nên // Vì

M qua

 

Dạng 5: Mp chứa (d) song song (d/)

 Điểm M ( chọn điểm M (d))

 Mp chứa (d) nên ad a

Mp song song (d/) neân a b

d/ 

■ Vtpt  , / d d a

a n

Daïng Mp qua M,N vaø  :

■ Mp qua M,N neân MN a

■ Mp mp neân n b

°

] , [





n n

vtpt

N) (hay M qua

  

 MN

Dạng Mp chứa (d) qua

■ Mp chứa d nên ad a

■ Mp qua M (d)và A nên AM b

°

] ,

[ AM

n vtpt

A qua

 

d a





3.BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài tốn Phương trình mặt phẳng

Bài 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M có vtpt n biết

a, M 3;1;1 , n     1;1;2 b, M2;7; , n  3; 0;1 c, M 4; 1; , n    0;1;3



d, M 2;1; , n   1; 0; 0 

Bài 2: Lập phương trình mặt phẳng trung trực AB biết:

a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c, A 1; 1; , B 1; 1;5

2

   

 

   

    d,

2 1

A 1; ; , B 3; ;1

3

   



   

   

Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng   qua điểm M song song với mặt phẳng   biết:

a, M 2;1;5 ,      Oxy b, M1;1; ,   :x 2y  z 100 c, M 1; 2;1 ,     : 2x  y Bài 4 Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(2;3;2) cặp VTCP a(2;1; 2); (3; 2; 1)b  Bài 5: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M(1;1;1)

a) Song song với trục 0x 0y b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z

Bài 6: Lập phương trình mặt phẳng qua điểm M(1;-1;1) B(2;1;1) :

a) Cùng phương với trục 0x b) Cùng phương với trục 0y c) Cùng phương với trục 0z Bài 7: Xác định toạ độ véc tơ n vng góc với hai véc tơ a(6; 1;3); (3; 2;1) b

Bài 8: Tìm VTPT mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP a(2,7,2); b(3,2,4) Bài 9: Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (P) biết :

15 b) (P) qua điểm M(-1;3;-2) song song víi (Q): x+2y+z+4=0

Bài 10: Lập phương trình tổng quát mặt phẳng qua I(2;6;-3) song song với mặt phẳng toạ độ Bài 11: (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,

(Q) : y-z-1=0 Viết phương trình mặt phẳng (R) qua điểm A vng góc với hai mặt phẳng (P),(Q) Bài 12: Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (P) trường hợp sau:

a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) có cặp VTCP a3; 2;1 b3;0;1 b) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) C(3;1;-1) phương với trục với 0x Bài 13: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6)

a) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD)

b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua cạnh AB song song vói cạnh CD Bài 14: Viết phương trình tổng qt (P)

a) §i qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3)

b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0 c) Chứa 0x qua A(4;-1;2) , d) Chứa 0y qua B(1;4;-3) Bài 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) không gian 0xyz

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) trung trực AB

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vng góc vơi (P) vng góc với mặt phẳng y0z c) Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A song song với mặt phẳng (P)

III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN 1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1.Phương trình tham số đường thẳng (d) qua

M(xo ;yo ;zo) coù vtcp a



= (a1;a2;a3)

;t R

t a z z

t a y y

t a x x (d)

3 o

2 o

1 o

 

   

 

 

  :

2.Phương trình tắc cuûa (d)

3

2 a

z -z a

y y a

x x

(d) o

1

o

:    

3.PT tổng quát (d) giao tuyến mp 1 và2

  

   

   

0 D z B

x A

0 D z B

x A (d)

2 2

1 1

C y

C y

:

Véctơ phương 

  

   

2

1 2

1 2

1

, ,

B A

B A A C

A C C B

C B a

4.Vị trí tương đối đường thẳng :

16 (d) qua M coù vtcp ad; (d’) qua N coù vtcp /

d a

 d cheùo d’ [ad,ad/ ].



MN≠ (không đồng phẳng)

 d,d’ đồng phẳng  [ad,ad/ ].

 MN= 0

 d,d’ caét [ad, /

d

a ]0 vaø [ad, /

d

a ].MN =0

 d,d’ song song nhau { ad // /

d

a M(d/) }  d,d’ trùng nhau  { ad // /

d

a vaø M (d/) }

5.Khoảng cách :

Cho (d) qua M coù vtcp ad; (d’) qua N coù vtcp /

d a Kc từ điểm đến đường thẳng:

d d

a AM a d A d

] ; [ ) ,

( 

Kc đường thẳng :

] ; [

] ; [ ) ; (

/ /

/

d d

d d

a a

MN a

a d

d

d 

6.Goùc : (d) coù vtcp ad; ’ coù vtcp /

d

a ; ( ) có vtpt n Góc đường thẳng :

/ /

'

d d

d d

a a

a a

 



) d cos(d,

Góc đường mặt :

n a

n a

d d

 

 



) sin(d,

2.CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: : Đường thẳng (d) qua A,B

  

 AB a

Vtcp

hayB quaA

d

d

) (

) (

Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A song song ()

 

 a

d a vtcp neân ) ( // (d) Vì qua

 

A d ) (

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A vng góc mp



 n

d a vtcp nên ) ( (d) Vì qua

 

 

A d)

(

17

 Viết pt mp chứa (d) vng góc mp

 

   

      

 

  

  



] ; [ ) ( ) (

) (

 

 



   

n a n

b n

a a d

d quaM

d d

ª   

) (

) ( ) ( /

 

d

Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A vng góc (d1),(d2)

] d a , d a [ a vtcp qua

1

)

(   



A d

Daïng 6: PT d vuông góc chung d1 d2 : + Tìm ad = [ad1, ad2]

+ Mp chứa d1 , (d) ; mp chứa d2 , (d)

 d = 

Dạng 7: PT qua A d cắt d1,d2 : d =  với mp = (A,d1) ; mp = (A,d2)

Dạng 8: PT d //  cắt d1,d2 : d = 12 với mp1 chứa d1 //  ; mp2 chứa d2 // 

Dạng 9: PT d qua A  d1, cắt d2 : d = AB với mp qua A,  d1 ; B = d2 

Daïng 10: PT d  (P) caét d1, d2 : d = 

với mp chứa d1 ,(P) ; mp chứa d2 ,  (P)

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1:Lập phương trình đường thẳng (d) trường hợp sau : a) (d) qua điểm M(1;0;1) nhận a(3; 2;3)làm VTCP b) (d) qua điểm A(1;0;-1) B(2;-1;3)

Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phương trình tổng quát giao tuyến mặt phẳng ( ) : - 3P x y2 - 6z 0 mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(2;3;-5) song song với đường thẳng (d) có phương trình:  

R t ,

2

: 

    

 

 

 

t z

t y

t x d

Bài 4: Cho đường thẳng (D) mặt phẳng (P) có phương trình :

  , t R

2

: 

    

 

 

 

t z

t y

t x

d vµ (P): x+y+z+1=0

Tìm phương trình đường thẳng (t) qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng (D)

18 Bài6:Lập phương trình tham số, tắc đường thẳng (d) qua điểm A(2;1;3) vng góc với mặt phẳng (P) trường hợp sau:

a) ( ) : P x2y3 - 4z 0 b)  P :x2y3z 1

Bài 7:Lập phương trình tham số, tắc đường thẳng (d) qua điểm A(1;2;3) song song với đường thẳng () cho :

 

2

: t

3

x t

y t R

z t              

Bài8: Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) mặt phẳng (P) ,biết: a)   , t R

2 :             t z t y t x

d (P): x-y+z+3=0 b)   , t R

1 12 :             t z t y t x

d (P): y+4z+17=0

Bài 9: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d) có phương trình (P): 2x+y+z=0

  2 :    

 y z

x

d

a) Tìm toạ độ giao điểm A (d) (P)

b) Lập phương trình đường thẳng (d1) qua A vng góc với (d) nằm mặt phẳng (P) Bài 10: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho :

  1 1 :    

 y z

x

d    

t 2 : R t z t y t x d             

a) CMR hai đường thẳng cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2)

Bài 11: (ĐHNN-96): cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho :

  4 :             t z t y t x

d    R

t z t y t x d               1 1

2 t,t

12 :

a) Chøng tá r»ng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo

b) Vit phng trình đường thẳng vng góc chung (d1),(d2)

III.MẶT CẦU 1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R

     

R c z b y a x : R)

S(I,       (1)

S(I,R): x2y2 z22ax2by2czd0 (2)

(với a2 b2 c2 d

  

 )

 Tâm I(a ; b ; c) R a2b2c2d 2.Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu

Cho (S):x a 2 y b 2 z c2 R2

     

vaø  : Ax + By + Cz + D =

Gọi d = d(I,) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp :

 d = R :  tiếp xúc (S) H (H: tiếp điểm, : tiếp diện) *Tìm tiếp điểm H (là hchiếu tâm I mp)

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I vng góc mp : ta có ad n  Tọa độ H nghiệm hpt : (d) ()

 d < R :  cắt (S) theo đường trịn có pt       

 

    

    



0 D Cz By Ax :

R c z b y a x :

(S) 2

*Tìm bán kính r tâm H đường trịn: + bán kính r R2d2(I,)

+ Tìm tâm H ( hchiếu tâm I mp)

 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I vng góc mp : ta có ad n  Tọa độ H nghiệm hpt : (d) ()

3.Giao điểm đường thẳng mặt cầu

    

 

 

 

t a z z

t a y y

t a x x d

3 o

2 o

1 o

: (1) vaø

(S):xa 2 yb 2 zc2 R2 (2) + Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t, + Thay t vào (1) tọa độ giao điểm 2.CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1: Mặt cầu tâm I qua A

ª S(I,R): xa2 yb2 zc2 R2(1)

 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2

Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB

 Tâm I trung điểm AB

 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)

 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2

Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp

2 2

) (

C B A

D I z C I y B S

 

 

 

 I

A.x ) d(I, R

I tâm cầu mặt Pt



Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Duøng (2) S(I,R): x2y2 z22ax2by2czd0 A,B,C,D  mc(S) hệ pt, giải tìm a, b, c, d

Dạng 5:Mặt cầu qua A,B,C tâm I € (α) S(I,R): x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d

     

 (2)

Giải hệ phương trình tìm a, b, c, d Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu A

Tiếp diện  mc(S) A :  qua A,vtptnIA

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Trong phương trình sau ,phương trình phương trình mặt cầu ,khi rõ toạ độ tâm bán kính ,biết:

a)  S :x2 y2z2 2x4y6z20 b)  S :x2 y2z22x4y2z90 c)  S :3x23y2 3z2 6x3y9z30 d)  S :x2y2 z24x2y5z70 Bài 2: Cho họ mặt cong (Sm) có phương trình:  :

2

2

      

y z mx my z m m

x

Sm

a) Tìm điều kiện m để (Sm) họ mặt cầu

b) CMR tâm (Sm) nằm đường thẳng cố định

Bài 3: Cho họ mặt cong (Sm) có phương trình:  :

2

2

2 y z  mx m y m  

x

Sm

a) Tìm điều kiện m để (Sm) họ mặt cầu

b) Tìm quĩ tích tâm họ (Sm) m thay đổi c) Tìm điểm cố định M mà (Sm) qua Bài 4: Cho họ mặt cong (Sm) có phương trình:  : sin cos

2 2

  

 

y z x m y m

x

Sm

a) Tìm điều kiện m để (Sm) họ mặt cầu

b) CMR tâm (Sm) chạy đường tròn (C) cố định mặt phẳng 0xy m thay đổi c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y A B Đường thẳng y=m(-1<m<1 ,m0) ,cắt (C) T, S , đường thẳng qua A , T cắt đường thẳng qua B ,S P Tìm tập hợp điểm P m thay đổi

Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) ,bit :

a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4 b) Đi qua điểm A(2;1;-3)

tâm I(3;-2;-1)

c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) tâm I thuộc 0x d) Hai đầu đường kính A(-1;2;3), B(3;2;-7)

Bài 6: Cho đường thẳng (d1),(d2), (d3) có phương trình :  

1

2

2 :

1

     y z x

d ,  

1

3

7 :

2

      y z x

d ,  

1 2

3

1 :

3

   

 

 y z

x d

a) LËp pt®t (d) cắt (d1),(d2) song song với (d3)

b) Giả sử      d  d1  A ,     d  d2  B Lập phương trình mặt cầu đường kính AB Bài 7: Cho đường thẳng (d1),(d2) có phương trình :  

R t

z t y

t x

d 

    

  

 

t 2 :

1

, 

1

3

7 :

    

 y z

x d

a) CMR (d1) (d2) chéo b) Viết phương trình đường vng góc chung (d1) (d2)

c) Lập mật cầu (S) có đường kính đoạn vng góc chung (d1) (d2) d) Viết pttq mp cách đều(d1) (d2) Bài 8: Viết phương trình mặt cầu (S) bit :

a) Tâm I(1;2;-2) tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0

b) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1;4;-7) tiếp xúc với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0 c) Bán kÝnh R = vµ tiÕp xóc víi (P): x+2y+2z+3=0 điểm M(1;1;-3)

Bi 9: (H Hu-96): Trong khụng gian với hệ toạ 0xyz ,cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5) a) Viết phương trình tham số đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng (ABC)

b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài10: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)

a) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA

b) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vng góc với cạnh 0A Gọi K giao điểm hình chiếu với 0A Hãy xác định toạ dộ K

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

d) (ĐHKT-99): Gọi P,Q điểm cạnh S0,AB Tìm toạ độ điểm M SB cho PQ KM cắt

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD d) Tính thể tích tứ diện ABCD

Bµi 12: Cho ®iĨm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1)

a) (HVNHTPHCM-99):Viết phương trình tham số đường thẳng BC Hạ AH vng góc BC Tìm toạ độ điểm H

b) (HVNHTPHCM-99):Viết pttq (BCD) Tìm kc từ A đến (BCD) c) Viết ptmc ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài 13: Trong khơng gian 0xyz, cho hình chóp biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4), D(3;1;0)

a) Lập pt mặt hình chóp b) Lập pt mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp c) TÝnh V SABCD Bµi 14: (HVKTMM-97) Cho ®iĨm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2)

a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện b) Xác định toạ độ trọng tâm G tứ diện

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Chọn hệ trục tọa độ Oxyz khơng gian

Ta có : Ox Oy Oz, , vng góc đơi Do đó, mơ hình chứa cạnh vng góc ta ưu tiên chọn đường thuộc trục tọa độ Cụ thể :

Với hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'

Với hình lập phương

Chọn hệ trục tọa độ cho :

(0; 0; 0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)

A B a C a a a

'(0; 0; ) ; '( ; 0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )

A a B a a C a a a a a

Với hình hộp chữ nhật.

Chọn hệ trục tọa độ cho :

(0; 0; 0) ; ( ;0; 0) ; ( ; ; 0) ; D(0; ;0)

A B a C a b b

'(0; 0; ) ; '( ; 0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)

A c B a c C a b c b



Với hình hộp đáy hình thoi ABCD.A'B'C'D'

Chọn hệ trục tọa độ cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD - Trục Oz qua tâm đáy

Với hình chóp tứ giác S.ABCD

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Giả sử cạnh hình vng a đường cao SOh

Chọn O(0;0;0) tâm hình vng

Khi : 

  

       

  

 ;0;0

2 ;

0 ; ;

2 a

C a

A

2

0; ; ; 0; ; ; (0; 0; )

2

a a

B   D  S h

   

   

Với hình chóp tam giác S.ABC

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ

A

B C

D D’

C A’

B’

O O’

x

y

B’

A D

C B

D’ A’

C’

y

z

x

z

B

D

C A

O

S

x

y

z

S

Giả sử cạnh tam giác a đường cao h Gọi I trung điểm BC

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0)

Khi : ; 0; ; ; 0;

2

a a

A  B 

   

0; 3; ; S 0; 3;

2

a a

C   h

   

Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA (ABCD)

ABCD hình chữ nhật ABa AD; b

chiều cao h

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0)

Khi : B a ; 0; ;  C a b ; ; 0

D0; ; ; (0;0; )b  S h

Với hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA (ABCD)

ABCD hình thoi cạnh a

chiều cao h

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O(0;0;0)

Với hình chóp S.ABC có SA (ABC)  ABC vng A

Tam giác ABC vuông A có

;

ABa AC b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0)

Khi : B a ; 0;0 ; C 0; ;0  b 

S 0; 0; h

B

D

C A

O

S

x

y

z

B

D

C A

O

S

x

y

z

B C A

S

x

y

Với hình chóp S.ABC có SA (ABC)  ABC vuông B

Tam giác ABC vng B có

;

BAa BCb đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho B(0;0;0)

Khi : A a ; 0;0 ; C 0; ;0  b 

Sa; 0;h

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân S

và  ABC vuông C

 ABC vuông C CAa CB; b

chiều cao h

H trung điểm AB

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho C(0;0;0)

Khi : A a ; 0;0 ; B 0; ; 0  b 

( ; ; ) 2

a b

S h

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân S

và  ABC vuông A

 ABC vuông A ABa AC; b

chiều cao h

H trung điểm AB

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0)

Khi : B a ; 0;0 ; C 0; ;0  b 

(0; ; )

a

S h

Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC),  SAB cân S

và  ABC vuông cân C

z

B C A

S

x y

B

C

A H

S

x y

z

B C A

H

S

x

y

Tam giác ABC vng cân C có

CACBa đường cao h H trung điểm AB

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0)

Khi : ;0; ; A 0; ;

2

a a

C   

   

B 0; ; ; S 0; 0; 

a

h

 



 

 

b Bài tập áp dụng

Bài toán 1. Cho tứ diện OABC có tam giác OAB,OBC,OCA tam giác vuông đỉnh O Gọi

 

 , , góc hợp mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh : cos2 cos2cos2 1

( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc

Oxyznhư sau : O(0;0;0) ; A(a;0;0);

) ; ; ( b

B C(0;0;c);

) ; ; ( a b AB 

) ; ;

( a c

AC  

Tìm vectơ pháp tuyến :

 Mặt phẳng (ABC)   Mặt phẳng (OBC)   Mặt phẳng (OCA)

 Mặt phẳng (OAB)

nAB,AC(bc;ac;ab)

) , , ( 

i : Ox(OBC)

) , , ( 

j : Oy(OCA)

) , , ( 

k : Oz(OAB)

Sử dụng cơng thức tính góc hai

mặt phẳng:

( ),( )

cos

cos  OBC ABC

( ),( )

cos

cos  OBC ABC

( ),( )

cos

cos  OBC ABC

 2 2 2

cos

b a a c c b

c b

  



 2 2 2

cos

b a a c c b

a c

  



2 2 2

cos

b a a c c b

b a

  



H

B

C A

S

x

y

z

x

y

z



A B

C

C’

Kết luận cos cos cos 1 2 2 2 2 2 2 2         b a a c c b b a a c c b   

Bài toán 2 Bằng phương pháp toạ độ giải tốn sau :

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh a

a.Chứng minh đường chéo A'C vng góc với mặt phẳng (AB'D')

b.Chứng minh giao điểm đường chéo A'C mặt phẳng (AB'D') trọng tâm tam giác AB'D'

c.Tìm khoảng cách hai mặt phẳng (AB'D') (C'BD)

d.Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng (DA'C) (ABB'A')

( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyznhư sau : O A(0;0;0) ;

) ; ; ( ' a A ) ; ; (a

B ; B'(a;0;a)

) ; ; (a a

C ; C'(a;a;a)

) ; ; ( a

D ; D'(0;a;a)

a Chứng minh : A'C (AB'D')

Nếu ' ( ' ')

' ' ' ' D AB C A AD C A AB C A       

Ta có :            ) ; ; ( ' ) ; ; ( ' ) ; ; ( ' a a AD a a AB a a a C A Vì                    ' ' ' ' 0 ' ' 0 ' ' 2 2 AD C A AB C A a a AD C A a a AB C A

Nên A'C mp(AB'D')

b Chứng minh : G trọng tâm tam giác AB'D' Phương trình

tham số đường thẳng A'C

) ( :

' t R

t a z t y t x C A           

Phương trình tổng quát mặt phẳng (AB'D')

0 :

) ' '

(ABD x yz 

Gọi G A'C(AB'D') Toạ độ giao điểm G đường thẳng A'C mặt phẳng

) ' '

(AB D nghiệm hệ :

                           3 a z a y a x z y x t a z t y t x       ; ; a a a

G (1) 

B’ A B C D D’ A’ C’ G 

x

y

Trong vectơ pháp tuyến mặt phẳng (AB'D')

 ,' ' ( 2; 2; 2)

1 AB AD a a a

n     Mặt khác :

        

   

   

   

3

3

3

' '

' '

' '

a z

z z z

a y y y y

a x x x x

D B A G

D B A G

D B A G

(2)

So sánh (1) (2), kết luận

Vậy giao điểm G đường chéo A'C mặt phẳng (AB'D') trọng tâm tam giác AB'D'

c Tính d(AB'D'),(C'BD)

Phương trình tổng qt mặt phẳng

) '

(C BD (C'BD):x yza0 Trong vectơ pháp tuyến mặt phẳng

) '

(C BD n2 C'B,C'D(a2;a2;a2)

Ta có : (AB'D'):x yz 0 (C'BD):xyza 0

(AB'D') // (C'BD)

    

3 ) ' ' ( , )

' ( ), ' '

(AB D C BD d B AB D a

d  

d Tính cos(DA'C),(ABB'A') 

(ABB'A')

Oy Vec tơ pháp tuyến

) ' '

(ABB A j (0;1;0)

Vectơ pháp tuyến (DA'C):

 ,'  (0; 2; 2) 2(0;1; 1)  DA DC  a a a  n

Vec tơ pháp tuyến của(ABB'A')là j (0;1;0)

Vectơ pháp tuyến (DA'C): n3 (0;1;1)



 

2 ) ' ' ( ), ' (

cos DAC ABB A 

(DA'C),(ABB'A')45o

Bài tốn 3 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'có cạnh a

Chứng minh hai đường chéo B'D'và A'Bcủa hai mặt bên hai đường thẳng chéo Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo B'D'và A'B

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyznhư sau :

) ; ; ( A

O  ; A'(0;0;a) ;

) ; ; ( a

B ; B'(0;a;a) )

0 ; ; (a a

C ; C'(a;a;a)

) ; ; (a

D ; D'(a;0;a)

Chứng minh B'D'và A'B chéo nhau, ta chứng minh ba vectơ

' , ' ;'

'D AB BB

B không đồng

phẳng

Cần chứng minh

Ta có : B'D'(a;a;0)

A'B(0;a;a); BB'(0;0;a)

B'D,'A'B(a2;a2;a2)

A B

C D

D’ A’

B’

C’

x

y

tích hỗn hợp ba vectơ

' , ' ;'

'D AB BB

B khác  

0 '

' ,'

'D AB BB a3  B

ba vectơ B'D;'A'B,BB' không đồng phẳng hay B'D'và A'B chéo

Tính dB'D',A'B

 

] ' ,' ' [

' ] ' ,' ' [ ' , ' '

B A D B

BB B A D B B A D B

d 

 

3 3

' , ' '

2

4

3

a a

a a

a a

a B

A D B

d  

  

Bài tốn 4. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyzcho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi

AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A(2;0;0); B(0;1;0); S(0;0;2 2) Gọi M trung điểm SC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM

2 Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 )

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyznhư sau : O(0;0;0);

) ; ; (

A ; B(0;1;0); S(0;0;2 2)

Ta có :

) ; ; (

C ; D(0;1;0); M(1;0; 2) 2;0;2 2



SA ; BM 1;1; 2

1a.Tính góc SA BM

Gọi  góc SA BM Sử dụng cơng thức tính góc hai đường thẳng

Ta có :

 

2

, cos

cos   

BM SA

BM SA BM

SA



o

30 



1b Tính khoảng cách SA BM

Chứng minh SA BM chéo Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo

) ; ; 2 ( ] ,

[SA BM    ; AB (2;1;0)

2 ]

,

[SA BM AB 

3

2 ]

, [

] , [ ) ,

( 

  

AB SA

AB BM SA BM

SA d

Tính thể tích khối chóp S.ABMN MN//AB//CDN trung điểm SD

A

C D

S

N M

O

B

x

y

Dễ dàng nhận thấy :

) ( )

(ABM SCD

MN  

AMN S ABM S ABMN

S V V

V.  .  .

Trong đó :

SB SM SA

VSABM [ , ]

6  SN SM SA

VSAMN [ , ]

6 

Toạ độ trung điểm N    

 

 ;

2 ; ) 2 ; ; (  

SA ; SM(1;0; 2)

) 2 ; ; (  

SB ; SM(1;0; 2) ) ; ; ( ] , [ 

 SA SM

3 2 ] , [

 SA SM SB  

VSABM

3 2 ] , [

 SA SM SN  

VSAMN

Kết luận

Vậy VS.ABMN VS.ABM VS.AMN  (đvtt)

Bài tốn 5 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyzcho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;3;0);

) ; ; (

B ; C(0;3;0); B1(4;0;4)

Tìm toạ độ đỉnh A1;C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng

)

(BCC1B1 Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2005 )

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc

Oxyznhư sau :O(0;0;0);

Với : ) ; ; ( 

A ; B(4;0;0); C(0;3;0); B1(4;0;4)      ) ; ; ( ) ; ; ( 1 C A

Toạ độ trung điểm M A1B1

     

 ;4) ; M

Toạ độ hai đỉnh A1;C1 Ta có : A1(0;3;4)mp(Oyz) C1(0;3;4)mp(Oyz)

Phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng

) (BCC1B1 

Viết phương trình mp (BCC1B1)  Tìm bán kính mặt cầu (S)

A,(BCC1B1)

d R 

Vectơ pháp tuyến mp (BCC1B1)

) ; 16 ; 12 ( ] ,

[ 1 

 BC BB

n

Phương trình tổng quát mp (BCC1B1): (BCC1B1):3x4y120

Bán kính mặt cầu (S) :

5 24 

R

Phương trình mặt cầu (S) : (S) 25

576 )

3 (

:x2  y z2  Phương trình mặt phẳng (P) : 



Vectơ pháp tuyến (P) :

) 12 ; 24 ; ( ] ,

[ 1   

 AM BC

nP

A

B C

C1

O

B1 

M A1

z

x

Tìm vectơ pháp tuyến (P)

] , [ )

( //

) (

1

BC AM n

P BC

P AM

P 

 



 

   

 

 ;4

2 ;

AM ; BC1 (4;3;4)

Phương trình mặt phẳng (P) :

0 12 : )

(P x y z 

Bài tốn 6 Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng(ABC); AC  AD 4cm ;

cm

AB 3 ; BC 5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

ABC

 có : AB2 AC2 BC2 25 nên vuông A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau

) ; ; ( A

O  ; B(3;0;0); C(0;4;0) )

4 ; ; (

D ;

Tính : AH  dA,(BCD)

Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD)

Phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD)

0 12 3 4 : )

(BCD x y  z   x y z 

Sử dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

 

17 34 34 12 9 16

12 )

(

,  

    BCD A d

Bài toán 7 Cho hai nửa đường thẳng Axvà Byvng góc với nhận ABa (a 0)là đoạn

vng góc chung Lấy điểm M Axvà điểm N By cho AM  BN 2a Xác định tâm I tính theo abán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BI

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Dựng Ay'//By Ax Ay' Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Axy'znhư sau :

) ; ; (

A ; B(0;0;a) ; M(2a;0;0) )

; ; ( a a

N

A

B

C D

H

I x

y

z

y

B

N

M I

A

z

Toạ độ trung điểm I MN       ; ;a a a

I

1a Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Chú ý :

     ' Ay Ax By Ax

Hai tam giác AMN BMN hai tam giác vuông nhận MN cạnh huyền nên

trung điểm 

     ; ;a a a

I MN tâm

của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN

1b.Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN

Ta có : MN a(2;2 ;1)

Bán kính mặt cầu :

2

a MN

R 

Tính d(AM,BI)

Chứng minh AM BI chéo

Sử dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo

Ta có : AM (2a;0;0) ;         ; ;a a a

BI ; AB (0;0;a) ) ; ; ( ] ,

[AM BI  a2 a2

5 ] , [ ] , [ ) , ( a BI AM AB BI AM BI AM

d  

Bài toán 8 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Gọi O tâm hình vng ABCD  SO(ABCD)

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyznhư sau :

) ; ; (

O ; S0;0;h ;

A 2; 0;0

2 a         

; C 2;0;0 a        

D 

      ; 2 ;

0 a ; B 

     

 ;0

2 ;

0 a

Toạ độ trung điểm P SA

P 2; ;

4 a h         

; E 2; 2;

2 a a h          

;0; ; (0; 2;0)

4

a h

MN    BD a

 

 

 

Vì : MN.BD0MN  BD

M 2; 2;

2

a a h

 

 

 

 

 

N 2; 2;

4

a a

 



 

 

 

Tính (theoa) khoảng cách hai đường thẳng MN AC

Chứng minh MN AC chéo Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo

Ta có : , 0; 2;

2 ah

MN AC  

    

   

 

 

2

0; ;

4

a h

AM   

 



Vì :

2

,

4 a h MN AC AM

   

 

  

 MN AC chéo

 

4

2 ]

, [

] , [ ,

2 2

a h a

h a AC

MN

AM AC MN AC

MN

d   

Bài tốn 9 Cho tứ diện ABCD, có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vng

A; ADa AC, b AB, c

a Tính diện tích S tam giác BCD theo a b c, ,

b Chứng minh : 2S  abc a b c   

Hướng dẫn Bài giải

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0)

Khi : B c ;0;0 ; C 0; ; 0  b 

D 0;0; a

Ta có : BC  c b; ; 0

BD  c; 0;a

 

, ; ;

BC BD ac ac bc

  

 

 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi : 2 2

2 a b b c  ab c

2 2 2

2 b c c a  abc

2 2 2 c a a b  a bc

a Tính diện tích S tam giác BCD 2 2 2

1

,

2

S  BC BD  a b a c b c

 

 

b

Chứng minh : 2S abc a b c   

Ta có :

  2

abc a b c   a bc b ac c ab 

2 2 2

2 2

2 2

b c a c a b

a    b    c   

      

     

2 2 2

2 BCD

a b a c b c S

   

B C A

D

x

y

Bài tốn 10 Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC)

Hướng dẫn Bài giải

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Gọi I trung điểm BC

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0)

Khi : 0; 3;0 ; ;0;

2

a a

A  B 

 

 

3

; 0; ; S 0; ; ; 0; ;0

2 6

a a a

C   h H 

   

     

3

; ; ; ; ;

4 12 12

a a h a a h

M  N 

   

   

5

; ;

4 12

a a h

AM    

 



5

; ;

4 12

a a h

AN   

 

 

 + Pháp vectơ mp (AMN) :

1

5

, 0; ;

4 24

ah a

n AM AN  

   

 

  

3

; ;

4

a a

SB   h

 

 



3

; ;

2

a a

SC  h

 



AMN  SBCn1n2 n n1 0    

2 4

2

15 15

0

4 24.6 16 24

a h a a h a

     

+ Pháp vectơ mp (SBC) : 2

3

, 0; ;

6 a n SB SC ah 

 

  

Diện tích tam giác AMN :

2

2

1 75

,

2 16 24

AMN

a h a

S   AM AN  

4

4

2

1 15 75 10

90

2 24 24 48 16

a a a

a

    đvdt

Bài tốn 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a; SAa; SBa

mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo athể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN (

trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 )

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Gọi H hình chiếu vng góc

C

H

A B

I

S

x

y

z

M

N

S

34

của S AB  SH (ABCD)

Ta có : SA2SB2 a2 3a2  AB2  SABvuông S SM a

Do : SAM

2 a SH

 

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyznhư sau :H(0;0; 0); S 0;0;

2 a

 

 

 

 

; A ; 0; a

 



 

  ; B ; 0;

2 a

 

 

  ; D 2; ;0 a

a

 



 

  ;

M ; 0; a

 

 

 

; N ; ;

2 a

a

 

 

 

3 ;0;

2

a a

SM   

 

 



3

; ;

2

a a

SN  a  

 

 



3

; 0;

2

a a

SB  

 

 



3 ; ;

2

a a

SD  a  

 

 



2 ; ; 0

DN  a a 

+ Thể tích khối chóp S.BMDN

S BMDN SMNB SMND

V V V

2 2

3

, ; ;

2 2

a a a

SM SN  

    

   

 

 

3 ,

2 a SM SN SB

  

 

  

;

3

3

,

2 a SM SN SD

  

 

  

1

,

6 12

SMNB

a

V  SM SN SB 

 

  

1

,

6

SMND

a

V  SM SN SD 

 

  

3 3

3 3

12

S BMDN SMNB SMND

a a a

V V V   

+ Cơng thức tính góc SM, DN

 

cos ,

SM DN SM DN

SM DN



   

+ Tính cosin góc SM, DN

 

2

2

2

cos ,

5

4

4

a SM DN

a a

a a

 

 

Bài toán 12 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, ABBC a, cạnh bên

'

AA a Gọi M trung điểm BC Tính theo athể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 )

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc

Oxyznhư sau :

(0; 0; 0) B

A0; ; 0a  ; Ca; 0; 0; B’0; 0;a 2

A’

C’

z

B’

M ; 0; a

 

 

 

; ;0 a

AM  a 

 



; B C' a; 0;a 2

 

' 0; ;

AB  a a 

Chứng minh AM B’C chéo

2

, ' 2; ;

2

a

AM B C a a 

    

 

 

 

+ Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

' ' '

1

'

2

ABC A B C ABC

V  AA S  a đvtt + Khoảng cách AM B’C Vì :

3

, ' '

2 a AM B C AB

  

 

  

 AM B’C chéo

 , '  , ' '

, '

AM B C AB d AM B C

AM B C

 

 



 

 

    

3

4 4

7

7

2 a

a

a a a

 

 

Bài toán 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang ,  

90

BADABC  ABBC a,

2

AD a, SA vng góc với đáy SA2a Gọi M,N trung điểm SA SD Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 )

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc

Oxyznhư sau :

(0; 0; 0)

A ; Ba; 0; 0 ; Ca a; ; 0;

D0; ; 0a  ; S0; 0; 2a

M0; 0;a ; N0; ;a a

0; ; 0

MN  a



; BC0; ; 0a   ; 0; 

MB a a

 + Chứng minh BCNM hình chữ nhật

MN BC

MN MB

 



 

 



 

  BCNM hình chữ nhật

B

M

x

z

C

A y

N

0; 0; 

SM  a



; SCa a; ;a

 ; 0; 

SB a  a 

; SN0; ;a a

 2 

, ; ;

SM SC a a

   

 

 

3 ,

SM SC SB a

  

 

   ,

SM SC SN a

   

 

  

+ Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a

S BCNM SMCB SMCN

V V V

3

,

6

SMCB

a

V  SM SC SB 

 

  

3

,

6

SMCN

a

V  SM SC SN 

 

  

3

3

S BCNM SMCB SMCN

a

V V V  đvtt

Bài tốn 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA(ABCD); SA2a Mặt

phẳng   qua BC hợp với AC góc 300 , cắt SA, SD M, N Tính diện tích thiết diện BCNM

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc

Oxyznhư sau :

(0; 0; 0)

A ; Ba; 0; 0 ; Ca a; ; 0;

D0; ; 0a  ; S0; 0; 2a

Đặt AM h 0 h2a

 M0; 0;h

Xác định vị trí điểm M

 ;0; 

BM  a h 

; BC0; ; 0a 

 2  

, ;0; ; 0;

BM BC ah a a h a

      

 

 

 ; ; 0 1;1; 0

AC  a a a 

Ta có :

  ( )

/ / / / / /

MN SAD

MN BC AD

BC AD



  



 

 

( )

BC SAB BCBM

Pháp vectơ mặt phẳng   :

,

n BM BC    

n h; 0;a

Vectơ phương đường thẳng AC :

 ; ; 0 1;1;0  1;1; 0

AC a a a u

 

mặt phẳng   hợp với AC góc 300

2

1. 1.0 0.

sin 30

1 0

n u h a

n u h a





 

  

   

   

2 2

1

2

2 h

h h a

h a

    



h a

   M trung điểm SA

+ MN/ /BC

BM BC



 

 

BCNM hình thang vng

B

M

x

z

C

A y

N

ABM

 vuông cân A BM a

2

a

MN  AD

+ Diện tích thiết diện BCNM :

 

2

1

2

BCNM

a

S  BM MNBC 

Bài tốn 15 Cho hình chóp O.ABC có OAa OB; b OC; c đơi vng góc Điểm M cố định

thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB) 1; 2; Tính a b c; ; để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc

Oxyznhư sau :O(0; 0; 0)

Aa; 0; 0 ; B0; ; 0b ; C0; 0;c  , ( ) M

d M OBC  x 

 , ( ) M

d M OCA   y 

 , ( ) M

d M OAB  z 

 M1; 2;3

Aa;0; 0OA( ; 0; 0)a B0; ;0b OB(0; ; 0)b C0; 0;cOC(0; 0; )c

+Thể tích khối chóp O.ABC

1

,

6

O ABC

V  OA OB OC  abc

 

  

Giải hệ :

1 3

6

1

1

a

a b c

b c

a b c

  

 



 

 

 

     

 



+ Phương trình mặt phẳng (ABC) : (ABC) : x y z

abc 

1

( )

M ABC

a b c

    

Áp dụng bất đẳng thức Côsi :

3

1 3

1

a b c a b c abc

    

1

27 6abc

 

3

1

27

9

O ABC

a

MinV b

a b c

c

  

     

  

Bài tốn 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a

a Tính thể tích khối chóp S.ABCD

A

M

x

z

B

O y

H

b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

c. Tính góc SB mặt phẳng (SCD)

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Gọi OACBD

 SO(ABCD)

2

2 2

2

a a

SO SC OC  a  

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyznhư sau :

) ; ; (

O ; S 0;0;

2 a

 

 

 

 

;

A 2; 0;0

2 a

 



 

 

 

; C 2;0;0 a

 

 

 

 

D 

  

  

0 ;

2 ;

0 a ; B 

  

  

 ;0

2 ;

0 a

Phương trình mặt phẳng (SCD)

(SCD):

2 2

2 2

x y z

a  a  a 

2 a

x y z

    

a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD

1

3

S ABCD ABCD

a a

V  SO S  a 

b Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)

Phương trình mặt phẳng (SCD)

(SCD):

2 a xy z 

 

2

2 2 6

, ( )

3

3

a a

a a

d A SCD

 

  

Bài tốn 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ,  

90

ABCBAD ABBC a,

2

AD a, SA vng góc với đáy SAa Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo akhoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 )

Hướng dẫn Bài giải

Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc

Oxyznhư sau :

(0; 0; 0)

A ; Ba; 0; 0 ; Ca a; ; 0;

D0; ; 0a  ; S0; 0; 2a

z

S

A

B C

D

O

x

y

I

z

A

y H

 ;0; 2

SB a a 

 ; ; 2

SC a a a 

0; ; 2

SD a a



 2 2

, 2; 2;

SC SD a a a

  

 

 

  1;1; a



+ Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc A SB

Phương trình tham số SB :

SB :

2

x a at

y

z a t

   

  

 

(tR)

+ Viết phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) qua điểm S nhận vectơ

1;1; 2

n làm pháp vectơ

(SCD) : 1(x0) 1( y0) 2(za 2)0

+ Chứng minh tam giác SCD vuông

 ; ; 

SC a a  a 

; CD  a a; ; 0

SC CD SCCD  

Tam giác SCD vng C

+ Tính ( theo a) khoảng cách từ H đến (SCD) Tọa độ điểm H :

 

( ; ; ) ; 0;

H x y z SBH aat a t

( ;0; )

AH  aat a t



AH SB AH SB

2

3

3

a t a t

     

2

; 0;

3

a a

H 

  

 

 

+ Khoảng cách từ H đến (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) : xy 2z2a0

 

2

2

3

, ( )

2

a a

a a d H SCD

 

 

II MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HAI CÁCH GIẢI CHO CÙNG MỘT BÀI TOÁN

Bài 1.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N hai điểm nằm hai cạnh B’C’ CD cho B’M =

3

B’C’, CN =

3

CD Chứng minh AMBN

Giải:

Cách giải (phương pháp tổng hợp) Cách giải (phương pháp toạ độ)

B

x

A S B C D N M I

E K

A S B C D N M I E x y z O

- Dựng ME // CC’(E thuộc BC) Nối AE - Hai tam giác vng ABE BCN nhau, góc AEB góc BNC

AEBN (1) Mặt khác: Vì ME // CC’(ABCD)

nên ME (ABCD) ME BN (2) Từ (1) (2)  BN(AEM)

 BN  AM (đpcm)

- Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ (O A’) Đặt AA’= a Ta có:

A(0;0;a), B(a;0;a), (a;

3 2a

;0),N( ; ;0 a

a

)

 ( ).0

3 ) (

.BN a  a  a a a 

AM BN

AM 

 (đpcm)

Bài 2 (TSĐH - khối B năm 2006)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB

Giải:

Cách giải (phương pháp tổng hợp) Cách giải (phương pháp toạ độ)

*) Chứng minh: (SBM) (SAC) - Gọi K trung điểm CD,

E giao điểm AC

và BD Ta có MK//

AC

Mặt khác:

Tam giác vng BAM có

2 2 a AM BA

BM   

Tam giác vng MDK có

2 2 a DK MD

MK   

Tam giác vng BCK có:

2 2 a CK BC

BK   

Dễ thấy BM2+ MK2 = BK2 nên tam giác BMK vuông M,

=> MKBM => ACBM

Hơn BMSA Từ ta có BM(SAC)

* Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ (OA)

Gọi E giao điểm AC BD Ta có:

A(0;0;0), B(a;0;0),

) ; 2 ; ( ), ; 2 ; ( ), ; 2 ; ( ), ; ; ( ), ; ; ( ), ; ; ( a M a a E a a a N a S a D a a C

và ;0)

3 ; (a a

I , I trọng tâm ABD *) Chứng minh: (SBM) (SAC)

- Ta có ;0), ( ; 2;0)

2 ;

( a a AC a a

BM   

AC BM AC

BM   



Vậy (SBM) (SAC) (đpcm)

*) Tính thể tích khối tứ diện ANIB - Ta có NE // SA

=> NE(AIB) NE = a/2

- Vì I trọng tâm tam giác ABD

3

3

3 AE a AI a

a

AC     

Tam giác ABI vng I có

3

2 a

AI AB

BI   

Vậy thể tích khối tứ diện ANIB

36

1 a3

NE IA BI NE

S

V  AIB   (đvtt)

Mặt khác: SA(ABCD) nên BMSA Từ suy BM(SAC)

=> (SBM) (SAC) (đpcm)

*) Tính thể tích khối tứ diện ANIB

Ta có ;0)

3 ; ( ), ; ;

(a AI a a

AB 

) ;

2 ;

(a a a

AN  =>  )

2 ; ; ( ,

2

a a AN

AB  

Vậy thể tích khối tứ diện ANIB

 

36

,

1 a3

AI AN AB

V   (đvtt)

Bài (TSĐH - khối A năm 2007)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP

Giải

Cách giải (phương pháp tổng hợp) Cách giải (phương pháp toạ độ)

* Chứng minh AM vng góc với BP Gọi H trung điểm AD

Do ΔSAD nên SH  AD Do(SAD)(ABCD)nên

SH (ABCD) SH  BP (1)

Xét hình vng ABCD ta cóΔCDH = ΔBCP  CH  BP (2) Từ (1) (2)suy BP (SHC) Vì MN // SC AN // CH

nên (AMN) // (SHC) Suy BP (AMN)  BP  AM

* Tính thể tích khối tứ diện CMNP Kẻ MK  (ABCD), K(ABCD) Ta có:

CNP

CMNP MKS

V

3 

* Gọi H trung điểm AD Do ΔSAD nên SH  AD

Do(SAD)(ABCD)nênSH (ABCD)

- Dựng đường thẳng Az vng góc với (ABCD), ta có AD, AB, Az ba tia đơi vng góc Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ (O A) Ta có:

A(0;0;0), S(

2 ; ;

a a

), M(

4 ; ;

a a a

) B(0;a;0), P( ;0)

2 ;a

a , C(a;a;0), ; ;0) (a a

N * Chứng minh AM vng góc với BP

Ta có: 0

4

2

  

 a a

BP

AM  BP  AM

* Tính thể tích khối tứ diện CMNP

M

P

N S

H

B

A

C

D

M

P

N

S

x

y z

H

B

D

C

A

42

Vì

4

1 a

SH

MK   , SCNP =

2

.CN.CP =

8 a

Nên VCMNP = 96

3 a

Ta có:   )

4 ; ; ( ,

2 a CN

CP   )

4 ; ;

( a a a

CM   

Nên:  

96

,

1 a3

CM CN CP

VCMNP  

II SO SÁNH

Cách giải (phương pháp tổng hợp) Cách giải (phương pháp toạ độ)

1) Kiến thức:

- Cần có kiến thức rộng đầy đủ hình học (hình học phẳng hình học khơng gian)

- Nhớ định lý, hệ

- Đôi cần phải dựng thêm hình vẽ phụ

2) Kĩ năng:

- Kĩ vẽ hình, dựng hình - Kĩ chứng minh, tính tốn

3) Tư duy:

- Đòi hỏi khả tư cao - Phạm vi liên kết kiến thức rộng

1) Kiến thức:

- Cần có kiến thức vững vectơ toạ độ vectơ không gian

- Nhớ công thức, phương trình đường thẳng, mặt phẳng mối quan hệ đường thẳng mặt phẳng

- Khơng cần dựng hình vẽ phụ

2) Kĩ năng:

- Kĩ tính tốn

3) Tư duy:

- Khả tư bình thường

- Phạm vi liên kết kiến thức hẹp (Chủ yếu tập trung vào việc chọn hệ trục tọa độ thích hợp)

* Nhận xét

Trong hai toán 2, từ giả thiết ta có sẳn ba đường thẳng đơi vng góc nhau, điều kiện lý tưởng để chọn hệ trục tọa độ Oxyz, việc cịn lại cịn vấn đề tính tốn Đối với bài 3, để chọn hệ trục tọa độ thích hợp có khó khăn chút Với ý: SH (ABCD), ta chọn hệ trục khác, hệ gồm ba trục HD, HN HS đơi vng góc tương ứng Ox, Oy, Oz.(O H)

III MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ CÁCH CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ KHI GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN

VÍ DỤ 1 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC cân với AB = AC = a

góc BAC= 1200 , cạnh bên BB’= a Gọi I trung điểm CC’ a) Chứng minh tam giác AB’I vng A

b) Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) c) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC’

 Nhận xét : Từ giả thiết toán , khơng có ba đường thẳng xuất phát từ điểm đơi một vng góc , nên ta phải cố gắng tìm mối liên kết thích hợp , để từ chọn hệ trục

tọa độ Oxyz cho xác định tọa độ tất

các điểm liên quan đến vấn đề mà ta cần giải Để

làm điều cần ý , lăng trụ cho lăng trụ

đứng tam giác đáy tam giác cân Từ , gọi O

, O’ lần lược trung điểm B’C’ BC ta có ngay

ba tia OO’, OB’ OA’ đơi vng góc

* Gọi O, O’ trung điểm B’C’ BC Ta có : OO’ OA’ , OO’B’C’

Tam giác A’B’O nửa tam giác có cạnh A’B’ = a nên A’O =

2 a

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ

A

A’

B

B’

C’ C

I

y z

O’

Ta có :

) ; ;

3 ( ' a

B , ;0;0)

2 (

' a

C  , ; )

2 ;

( a a

A 

) ; ;

3

(a a

B , ;0; )

2

( a a

C  , )

2 ; ;

3

( a a

I 

* Từ ta dễ dàng chứng minh tam giác AB’I vng A tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Riêng câu c, sử dụng phương pháp tổng hợp để giải tốn hồn tồn khơng dễ một chút Cịn dùng phương pháp tọa độ hồn tồn ngược lại

VÍ DỤ 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a , BC = 2a ,

cạnh SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC Chứng minh tam giác AMB cân M tinh diện tích tam giác AMB theo a

 Nhận xét : Với nhận xét tương tự toán VD1, ta cần tạo ba tia đơi vng góc Dễ dàng nhận thấy , từ B dựng tia Bz vng góc với mp(ABC) ba tia BA,BC,Bz đơi vng góc , từ đây ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ( gốc tọa độ O trùng với B)

Ta có A(a;0;0) , C(0;2a;0) , S(a;0;2a) , ; ; )

2 (a a a

M

* Từ đây, cơng việc cịn lại thực dễ dàng

Khèi ®a diƯn- thĨ tÝch khèi ®a diƯn

- - 1/ Tính chất thể tích:

* Hai khối đa diện tích

* Nếu khối đa diện phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thể tích tổng thể khối đa diện nhỏ

* Khối lập phương có cạnh tích 2/ Cơng thức tính thể tích khối đa diện:

a/ Thể tích khối lập phương: cho khối lập phương cạnh a Lúc đó:

b/ Thể tích khối hộp chữ nhật: cho khối hộp chữ nhật có kích thước ba cạnh lần lược a b c, , Lúc đó:

c/ Thể tích khối lăng trụ: cho khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h Lúc đó:

d/ Thể tích khối chóp: cho khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h Lúc đó:

A S

z

M

C B

O

x

y

3

V  a

.

V  a b c

.

V  B h

1 . 3

e/ Thể tích khối chóp cụt: cho khối chóp cụt có diện tích hai đáy B B’ , chiều cao h Lúc đó:

Bµi tËp

B 1: Tính thể tích : a,Khối tứ diện có cạnh a b, khối mặt có cạnh a c, Khối lập phương có đỉnh trọng tâm mặt khối tám mặt cạnh a

Baì 2: Cho khối lăng trụ tứ giác

1 1

ABCD A B C D có khoảng cách hai đường thẳng AB

A D

bằng độ dài đường chéo mặt bên a,Hạ AK  A D1  

1

KA D Chứng minh AK 2 b,Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D 1 1 Bi 3: Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Tính thể tích khối chóp, biết:

a.Góc mặt bên đáy  b, Góc cạnh bên đáy 

B 4: Tính thể tích khối chóp cụt tam giác có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ a góc mặt bên mặt đáy 600

Baì 5: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' Tìm tỉ số thể tích khối tứ diện C ABC' khối lăng trụ cho

Baì 6: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' Gọi M N, lần lược trung điểm hai cạnh AA' BB'

Mặt phẳng C MN'  chia khối lăng trụ cho thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

B 7: Cho khối chóp tam giác S ABC Trên đoạn SA SB SC, , lần lược lấy ba điểm A B', ', C' khác với

S Chứng minh rằng:  

 

' ' '

' ' '

S A B C S ABC

V SA SB SC

V  SA SB SC

Baì 8: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành Gọi B D', ' lần lược trung điểm SB SD, Mặt phẳng AB D' ' cắt SC C' Tìm tỉ số thể tích hai khối chóp S AB C D ' ' ' S ABCD

Baì 9: Đáy khối lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' tam giác Mặt phẳng A BC'  tạo với đáy góc 300 tam giác A BC' có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ

Baì 10: Cho khối lăng trụ đứng ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy hình bình hành BAD 450 Các đường chéo

' AC

và DB' lần lược tạo với đáy góc 450 600 Hãy tính thể khối lăng trụ, cho biết chiều cao

Baì 11: Cho khối tứ diện SABC có ba cạnh SA AB SC, , vng góc với đơi một, SA3,SBSC4

a.Tính thể tích khối tứ diện SABC b, Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC

B 12: Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B, cạnh SA vng góc với đáy Biết

, ,

ABa BC b SAc Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC

Baì 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có ABa BC, 2 , a AA'a Lấy điểm M cạnh AD cho MA3MD

a.Tính thể tích khối chóp M AB C ' b, Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng AB C'  Baì 14: Cho khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy hình chữ nhật với AB 3, AD Hai mặt bên

ABB A' ' ADD A' ' lần lược tạo với đáy góc 450 600 Hãy tính thể tích khối hộp biết

cạnh bên

Baì 15: Hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vuông A, ˆ

, 60

AC b C  Đường chéo BC' mặt bên BB C C' ' tạo với mặt phẳng AA C C' '  góc 300

a.Tính độ dài đoạn AC' b, Tính thể tích khối lăng trụ

Bi 16: Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A' cách điểm A B C, , Cạnh bên AA' tạo với mặt phẳng đáy góc 600

 

1

' '

3

a.Tính thể tích khối lăng trụ b,Chứng minh mặt bên BCC B' ' hình chữ nhật c, Tính tổng diện tích mặt bên khối lăng trụ

Baìi 17: Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' ', đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A Mặt bên ABB A' ' hình

thoi cạnh a, nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt bên ACC A' ' hợp với đáy góc  Tính thể

tích lăng trụ

B 18: Cho hình chóp tứ giác S ABCD

a.Biết ABa góc mặt bên mặt đáy  Tính thể tích khối chóp

b.Biết trung đoạn d góc cạnh bên đáy  Tính thể tích khối chóp

B 19: Cho khối chóp S ABC. có đáy tam giác vng B Cạnh SA vng góc với đáy, góc

60 ,

ABC BC a



  SAa Gọi M trung điểm cạnh SB

a.Chứng minh: SAB  SBC b, Tính thể tích khối tứ diện MABC

B 20: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAa vng góc với đáy Gọi Mlà

trung điểm SD

a.Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC b, Tính thể tích khối tứ diện MACD B 21: Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác SAC

khoảng cách từ G đến mặt bên SCD

a Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt bên SCD thể tích khối chóp S ABCD

B 22: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 

 0

0 90 Tính tan góc hai mặt phẳng SAB ABCD theo  Tính thể tích khối chóp

S ABCD theo a 

B 23: Cho khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy

6

a

SA a, Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

b, Tính thể tích khối chóp S ABC diện tích tam giác SBC

B 24: Cho tam giác vng cân ABC có cạnh huyền BC a Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng

ABC A lấy điểm S cho góc hai mặt phẳng ABC SBC 600 Tính thể tích khối

chóp S ABC

B 25: Khối chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh C SAABC, SC a Hãy tìm góc hai mặt phẳng SCB ABC để thể tích khối chóp lớn

Baì 26: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, ABa,

AC a hình chiếu vng góc đỉnh A’ mặt phẳng ABC trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp 'A ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA B C', ' ' (KA – 2008)

Baì 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SAa, SBa mặt phẳng

SAB vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích

của khối chóp S BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN (KB – 2008)

Baì 28: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ', đáy ABC tam giác vuông, ABBC a, cạnh bên AA'a

Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' khoảng cách

giữa hai đường thẳng AM, B’C