BAI GIANG;GIẢI TÍCH TỔ HỢP

CHƯƠNG 0: GIẢI TÍCH TỔ HỢP I.Nguyên lý đếm I.1.Nguyên lý cộng Một công việc thực theo k khả đó: Khả có n1 cách thực Khả có n2 cách thực …………………………………………………… Khả k có nk cách thực Khi số cách thực hiên cơng việc n1 + n2 +…+ nk I.2.Nguyên lý nhân Một công việc tiến hành qua k giai đoạn, giai đoạn thứ i có ni ( i=1, 2,…k) cách thực Khi số cách thực cơng việc n1 nk … nk Ví dụ 1.Số điện thoại thành phố gồm chữ số a)Có thể cung cấp số thuê bao cố định cho thành phố này? b)Có thể cung cấp số thuê bao cố định mà số th bao khơng có số cho thành phố này? c)Có thể cung cấp số thuê bao cố định mà số thuê bao chữ số khác cho thành phố này? Giải Ta có số điện thoại thành phố có dạng a1 a2 a3a a5a6 a7 a)Vì a1 chọn từ số: 0,1,2,…9 nên có 10 cách chọn Tương tự a2 , a3 , a , a5 , a6 , a7 có 10 cách chọn Vậy theo nguyên lý nhân cung cấp 10.10.10.10.10.10.10 = 10000000 số thuê bao b)Để số thuê bao mà chữ số số lẻ a1 , a2 , , a7 phải chọn từ số lẻ 1, 3, 5, 7, nên a1 , a2 , , a7 có cách chọn.Vậy theo nguyên lý nhân cung cấp 5.5.5.5.5.5.5=57 số th bao cố định mà khơng có số c)Để đươc số thuê bao gồm chữ số khác a1 có 10 cách chọn, a2 có cách chọn, a3 có cách chọn, a4 có cách chọn, a5 có cách chọn, a6 có cách chọn, a7 có cách chọn nên theo nguyên lý nhân cung cấp 10.9.8.7.6.5.4 = 604.800 số thuê bao mà chữ số khác II.Giải tích tổ hợp II.1.Chỉnh hợp *Định nghĩa chỉnh hợp:Một chỉnh hợp chập k n nhóm gồm k phần tử lấy từ n phần tử ban đầu ( ≤ k ≤ n) cho nhóm k phần tử thỏa tính chất: khơng lặp quan tâm đến thứ Ví dụ Cho điểm A,B,C phân biệt mặt phẳng Một véc tơ khác không tạo thành từ điểm chỉnh hợp chập véctơ khác không tạo thành từ điểm nhóm phần tử(1phần tử trường hợp điểm) lấy từ phần từ ban đầu thoả tính chất chất:khơng lặp(vì xét véctơ khác khơng)và quan tâm thứ tự( đảo thứ tự điểm véctơ tạo véctơ khác) * Số chỉnh hợp chập k n phần tử Ank = n.(n-1).(n-2)…(n-k+1)= n! (n − k )! Ví dụ 3.Từ ví dụ ta có véctơ khác khơng tao thành từ điểm chỉnh hợp chập nên số véctơ khác không đuợc tạo thành từ điểm số chỉnh hơp chập uuu r uuu r uuur uur uuur uuu r A3 =3.2=6.Cụ thể ta có chỉnh hợp là: AB, BA, AC , CA, BC , CB II.2.Tổ hợp *Định nghĩa tổ hợp.Một tổ hợp chập k n nhóm gồm k phần tử lấy từ n phần tử ban đầu ( ≤ k ≤ n) cho nhóm k phần tử thỏa tính chất: khơng lặp khơng quan tâm đến thứ tự Ví dụ Cho điểm A,B,C phân biệt mặt phẳng Một đoạn thẳng tạo thành từ điểm tổ hợp chập đoạn thẳng nhóm phần tử lấy từ phần từ ban đầu thoả tính chất chất:khơng lặp (nếu điểm trùng khơng thể gọi đoạn thẳng) không quan tâm thứ tự( đảo thứ tự điểm đoạn thẳng khơng tạo thành đoạn thẳng khác) k *Số tổ hợp chập k n phần tử Cn = n! k !( n − k )! Ví dụ 5.Từ ví dụ ta có đoạn thẳng tao thành từ điểm tổ hợp chập nên số đoạn thẳng đuợc tạo thành từ điểm số tổ hơp chập C3 =3.Cụ thể ta có tổ hợp là:AB, AC,BC Ví dụ 6.Một lơ hàng có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên sản phẩm a)Có cách lấy? b)Có cách lấy để sản phẩm tốt? c)Có cách lấy để sản phẩm tốt, sản phẩm xấu? d)Có cách lấy để sản phẩm tốt, sản phẩm xấu? Giải a)Một cách lấy sản phẩm từ nhóm từ khơng lặp khơng quan tâm thứ tự ( sản phẩm phân biệt có thay đổi xếp sản phẩm sản phẩm lấy) nên tổ hợp chập ⇒ Số cách lấy = số tổ hợp chập = C9 = 84 b) Để lấy sản phẩm tốt sản phẩm phải lấy từ sản phẩm tốt lô,nên cách lấy tổ hợp chập ⇒ Số cách lấy = C4 =4 c)Để sản phẩm tốt, phế phẩm ta có giai đoạn: + Giai đoạn 1: Lấy sản phẩm tốt có C4 = cách + Giai đoạn 1: Lấy sản phẩm xấu có C6 = cách Theo nguyên lý nhân số cách lấy sản phẩm tốt, 1sản phẩm xấu 6.6 = 36 cách II.3.Hoán vị *Định nghĩa hoán vị Một chỉnh hợp chập n n gọi hoán vị n *Số hoán vị n phần tử Pn = n! Ví dụ7 Cho tập hợp S = { 1,2,3, 4,5} a) Có tập có phần tử S? b) Có tờ vé số có chữ số khác tạo từ S? c) Có tờ vé số có chữ số khác tạo từ S? Giải a) Một tập có phần tử S nhóm gồm phần tử từ phần tử có tính chất khơng lặp khơng quan tâm thứ tự nên tổ hợp chập ⇒ số tập có phần tử S = số tổ hợp chập = C5 =10 b) Một tờ vé số gồm chữ số khác tạo từ S nhóm phần tử từ phần tử có tính chất không lặp(3 chữ số khác nhau) quan tâm thứ tự(đảo thứ tự chữ số tờ vé số ta tờ vé số khác) Vậy tờ vé số gồm chữ số khác tạo từ S chỉnh hợp chập ⇒ số tờ vé số gồm chữ số khác tạo từ S = số chỉnh hợp chập = A5 =60 c) Tương tự câu b ta có tờ vé số gồm chữ số khác chỉnh hợp chập nghĩa hoán vị phần tử S Do Số tờ vé số có chữ số khác tạo từ S= P5 = 5! = 120 CHƯƠNG ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT I.CÁC KHÁI NIỆM I.1.Phép thử, không gian mẫu, biến cố *Phép thử thí nghiệm cho nhiều kết qủa khác mà ta trước kết chắn xảy Ví dụ 1.Tung đồng xu quan sát xem mặt phép thử Tung xúc xắc quan sát xem nút phép thử *Không gian mẫu Không gian mẫu tập hợp trường hợp xảy phép thử Ký hiệu Ω Ví dụ Khơng gian mẫu phép thử tung đồng xu quan sát xem mặt Ω = { S, N} Không gian mẫu phép thử tung xúc xắc quan sát xem nút là: Ω = { nút 1,nút 2, nút 3, nút 4,nút 5, nút 6,} *Biến cố Biến cố tập không gian mẫu.Các biến cố thường ký hiệu chữ in hoa A,B,C… Mỗi tập gồm phần tử Ω gọi biến cố sơ cấp Một biến cố gọi xảy kết qủa phép thử phần tử biến cố Biến cố tất yếu.Vì Ω chứa kết qủa phép thử nên Ω chắn xảy ra, ta gọi Ω biến cố tất yếu Biến cố bất khả.Vì Φ tập Ω Φ không chứa phần tử nên Φ không xảy ra, ta gọi Φ biến cố bất khả Ví dụ *Đối với phép thử tung đồng xu trên, ta có biến cố sau: A = “được mặt sấp”(A = { S } ) (Để ký hiệu A biến có mặt sấp ta có ta làm sau: Gọi A biến cố mặt sấp) B = “được mặt ngửa”(B = { N } ) **Đối với phép thử tung xúc xắc trên, ta có biến cố sau: A=“Được nút 1” (A = { nút 1} ) , B= “Được nút chẵn”(B= { nút 2, nút 4, nút 6} , C= “Được nút chia hết cho 3”(C = { nút 3, nút 6} ) Ví dụ 4.Một lơ hàng có sản phẩm tốt ( T1 , T2 , T3 ) sản phẩm xấu( X , X ).Lấy ngẫu nhiên sản phẩm quan sát xem sản phẩm lấy phép thử Không gian mẫu phép thử Ω = { T1T2T3 , T1T2 X , T1T2 X , T1T3 X , T1T3 X , T2T3 X , T2T3 X , T1 X X , T2 X X , T3 X X } ta có biến cố sau: Gọi A biến cố sản phẩm tốt( A = { T1T2T3 } ) Gọi B biến cố sản phẩm tốt,1 sản phẩm xấu ( B = { T1T2 X , T1T2 X , T1T3 X , T1T3 X , T2T3 X , T2T3 X } ) Gọi C biến cố sản phẩm tốt,2 sản phẩm xấu ( C = { T1T2 X , T1T2 X , T1T3 X , T1T3 X , T2T3 X , T2T3 X } ) I.2 Phép toán quan hệ biến cố *Tổng, tích hai biến cố Với biến cố A, B ●Tổng A B ký hiệu A+B biến cố cho: A+B xảy ⇔ A xảy B xảy nghĩa có biến cố xảy ●Tích A B ký hiệu AB biến cố cho: AB xảy ⇔ A xảy B xảy Chú ý: Khi diễn đạt biến cố lời có từ tổng biến cố, có từ tích biến cố Ví dụ 5.Với A,B ví dụ 3phần ** ta có A+B biến cố nút nút AB biến cố nút nút nghĩa AB= ɸ Với A,B ví dụ ta có A+B biến cố sản phẩm tốt sản phẩm tốt sản phẩm xấu.Nói cách khác A+B biến cố sản phẩm tốt A.B biến cố sản phẩm tốt sản phẩm tốt,1 sản phẩm xấu Vậy AB= ∅ * Hai biến cố xung khắc Hai biến cố A, B xung khắc chúng không đồng thời xảy ra, nghĩa AB = ∅ *Biến cố đối lập _ _ _ Biến cố đối lập A ký hiệu A đối lập A+ A = Ω A A = ∅ Ví dụ 6.Một hộp có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Gọi M i = “ i sản phẩm tốt” (i=0,1,2,3,4) A= “ sản phẩm tốt”, B= “ sản phẩm loại” _ _ Hãy biểu diễn biến cố A, A , B, B thông qua biến cố M i Giải Khi lấy ngẫu nhiên sản phẩm,biến cố A sản phẩm tốt nghĩa sản phẩm tốt,2 sản phẩm xấu sản phẩm tốt,1 sản phẩm xấu sản phẩm tốt, A = M + M + M _ A biến cố không sản phẩm tốt nghĩa sản phẩm tốt sản _ phẩm tốt, A = M + M Sản phẩm hộp có loại: tốt xấu, biến cố B sản phẩm loại nghĩa sản phẩm tốt sản phẩm xấu, B = M + M _ _ Ta có B = “được sản phẩm khác loại” ⇒ B = M + M + M Ví dụ 7.Có xạ thủ bắn vào mục tiêu độc lập Gọi M = “ xạ thủ bắn trúng”, N = “ xạ thủ bắn trúng” A = “ người bắn trúng”,B = “ có người bắn trúng” C = “có người bắn trúng” _ _ Hãy biểu diễn biến cố A, B, C thông qua biến cố M, N, M , N Giải _ _ Ta thấy M = “ người bắn không trúng(bắn trật)”, N = “ người bắn không trúng(bắn trật)” Biến cố A= “ người bắn trúng” = “ người bắn trúng” “ người bắn trúng” A = M.N Biến cố B = “có người bắn trúng”= “ người bắn trúng” “người bắn trật” “người bắn trật” “người bắn trúng”, _ _ B =M N + M N Biến cố C có người bắn trúng nghĩa có người bắn trúng ( B) có người _ _ bắn trúng (A), C= A+ B = M N + M N+MN Nhận xét Biến cố C có người trúng có nghĩa người trúng người trúng ta biểu diễn C = M+ N II.Định nghĩa xác suất Định nghĩa xác suất cổ điển Xét phép thử gồm n biến cố sơ cấp đồng khả biến cố A tổng mA biến cố sơ cấp đồng khả Xác suất biến cố A ký hiệu P(A) định nghĩa sau: P(A) = mA Trong đó: n + mA số trường hợp để A xảy hay gọi số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A, số phần tử A, +n tổng số trường hơp xảy hay gọi số kiện đồng khả năng, số phần tử Ω Nhận xét Để tìm P(A) ta cần tìm số mA n thường phải sử dụng công cụ tổ hợp Đối với nhiều bạn đọc, tính P(A) định nghĩa cổ điển tốn khó họ thường chưa định hướng cách giải Ở tơi xin nêu cách phân tích để định hướng toán sau: Tổng số trường hợp xảy phép thử (n ) phụ thuộc vào phép thử, nhiều người tính số khơng quan tâm đến phép thử gì.Đó sai lầm Vì để tìm n bạn trả lời cho phép thử gì.Thực phải dung giải tích tổ hợp để tìm n phép tốn rơi vào loại Đó lần (giai đoạn)thực hay nhiều lần thực hiện? Bạn đọc đề cho kỹ để xác định điều này.(Bạn cần phân biệt số lần thực với số cách thực Ví dụ lơ hàng có 10 sản phẩm lấy ngẫu nhiên k sản phẩm( nghĩa bốc lúc k sản phẩm) số lần thực 1, cịn số cách thực k C10 ) Nếu lần thực thường khơng lặp khơng quan tâm thứ tự nên để tìm n ta dung tổ hợp Cịn nhiều lần lặp khơng quan tâm thứ tự khơng số cách thực tính nguyên lý nhân( số chỉnh hợp, số chỉnh hợp lặp, số hốn vị tính dựa vào ngun lý nhân) Như bạn xác định phép thử phép thử rơi vào loại loại bạn cần dùng tổ hợp nguyên lý nhân tìm n.Để tìm mA ta phải xem biến có A biến cố Ràng buộc A với phép thử, hạn chế bớt số trường hợp xày ta có mA Ví dụ 8.Một hộp có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên sản phẩm a)Tính xác suất sản phẩm tốt b)Tính xác suất sản phẩm tốt, sản phẩm xấu c)Tính xác suất sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Giải a)Gọi A= “được sản phẩm tốt” Ở phép thử là: Lấy lúc sản phẩm (1 lần thực hiện) nên cách lấy sản từ hộp tương ứng với tổ hợp chập 5(3 sản phẩm khác nhau, không quan tâm thứ tự) Vậy n = C5 =10 Tương tự lấy sản phẩm tốt tổ hợp chập nên mA = C3 =1 ⇒ P(A)= mA = n 10 b) Gọi B= “được sản phẩm tốt, sản phẩm xấu” Để lấy sản phẩm có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu ta chia giai đoạn: +∞ +∞ ∫ p( x )dx = ⇔ ∫ p( x )dx + b −∞ −∞ ∫ ∫ 0dx +k p( x )dx =1 ⇔ a ∫e −5 x ∫e −∞ lim ( 0dx )+k lim ⇔ a→−∞ ∫ b→+∞ +∞ −5 x dx =1 b lim 0+k lim ( −1 e −5 x )=1 ⇔ 0+k lim ( − e −5b + dx =1 ⇔ a→−∞ b→+∞ b→+∞ 5 )=1 ⇒ k=5 *Hàm phân phối X Do giá trị p(t) đuợc cho công thức khoảng ranh giới khoảng nên để xác định F(x) ta có trường hợp sau: ●Với giá trị x nhỏ 0, p(t) = ∀ t ∈ (- ∞ ,x] nên x x −∞ −∞ ∫ p(t )dt = ∫ 0dt =0 F(x) = ●Với giá trị x lớn 0, khoảng (- ∞ ,x] ta có p(t) = ∀ t ∈ (- ∞ ,0) ,còn p(t) = 5e = x ∫ 0dt + ∫ 5e −∞ −5t ∀ t ∈ [0 ,x] nên F(x) = −5 t x x −∞ −∞ ∫ p(t )dt = ∫ p(t )dt + ∫ p(t )dt dt = e −5x -1 0 Vậy F(x) =  −5 x e x ≤ 010) = ∫ p( x )dx =5 lim b→+∞ 10 b ∫e −5 x 10 lim ( −1 e −5 x )= lim ( − e −5b + e −50 )= e −50 dx =5 b→+∞ b→+∞ 10 b Tuổi thọ trung bình: +∞ E(X) = ∫ −∞ +∞ +∞ −∞ −∞ lim xp ( x )dx = ∫ xp( x )dx + ∫ xp ( x )dx = ∫ x 0dx + ∫ xe −5 x dx = = + b→+∞ b ∫ xe −5 x dx b Để tính I = ∫ xe b ⇒ ∫ xe −5 x −5 x  du = dx u = x  dx ta đặt  ⇒ −5 x −5x  dv = e dx  v = − e b b b 1 b b 1 dx = − x e −5 x + ∫ e −5 x = − −5b − e −5 x = − −5b − + 5b 0 50 5e 25 5e 25e 25 LOPITAN  lim ( − b − + ) =1/25 ( Lim  b5b ÷ = Lim  5b ÷ =0) Vậy E(X) = b→+∞ −5b 5b b→+∞ 5e b→+∞ 25e 5e 25e 25     BÀI TẬP 3.1 Một cơng ty có nhân viên nam, nhân viên nữ Chọn ngẫu nhiên người công tác Gọi X số người nam người công tác.Hãy lập bảng phân phối xác suất cho X, xác định hàm phân phối xác suất X tính số người nam trung bình người 3.2 Một doanh nghiệp vận tải có xe ơtơ hoạt động độc lập,xác suất ôtô bị hỏng ngày 0,3; 0,4;0,2 Lập bảng phân phối xác suất số ôtô bị hỏng ngày, tính số ơtơ bị hỏng ngày 3.3 Cho biến ngẫu nhiên X nhận giá trị Hãy lập bảng phân phối xác suất X, biết E(X)=0,6 E( X ) = 0,8 3.4 Hộp I có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Hộp II có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu a)Lấy ngẫu nhiên từ hộp I sản phẩm từ hộp II sản phẩm.Tìm luật phân phối xác suất số sản phẩm tốt sản phẩm lấy b) Chọn ngẫu nhiên hộp lấy sản phẩm.Tìm luật phân phối xác suất số sản phẩm tốt sản phẩm lấy c) Lấy ngẫu nhiên từ hộp I sản phẩm bỏ v hộp II sau từ hộp II lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tìm luật phân phối xác suất số sản phẩm tốt sản phẩm lấy từ hộp II 3.5 Có kiện hàng: Kiện I có tốt, xấu Kiện II có tốt,5 xấu.Nhân viên cửa hàng lấy ngẫu nhiên từ kiện sản phẩm a)Hãy lập bảng phân phối xác suất số sản phẩm tốt sản phẩm đem trưng bày b)Sau đem sản phẩm trưng bày người ta bỏ chung sản phẩm kiện vào hộp, khách hàng lấy ngẫu nhiên từ hộp sản phẩm để mua Hãy lập bảng phân phối xác suất số sản phẩm tốt sản phẩm khách mua 3.6Tuổi thọ(tháng) loại côn trùng biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ 0 x gọi biến ngẫu có phân phối chuẩn Ký hiệu X ~ N(a, σ ) IV.2.Cơng thức tính xác suất khoảng phân phối chuẩn β −a α − a  α − a  P( α < X < β ) = Φ  ÷- Φ  ÷ ; P( α < X ) =0,5- Φ  ÷  σ   σ   σ  Trong Φ (x) hàm LAPLACE định nghĩa sau: Φ (x)= 2π x ∫e − t2 dt Giá trị hàm LAPLACE tra bảng hàm LAPLACE, chẳng hạn Φ (0,21)= 0,0793(lấy giá trị dòng 0,2 cột 3) Chú ý: Đối với biến ngẫu nhiên liên tục P(X= k) = P( α < X < β ) =P( α ≤ X < β ) =P( α < X ≤ β ) =P( α ≤ X ≤ β ) Ví dụ 7.Thời gian đợi phục(phút) khách hàng ngân hàng biến ngẫu nhiên X có phân phối: X~N( 6; 0,25) Tính tỷ lệ khách hàng đợi từ 4,8 đến 6,4 phút để phục vụ Giải P(4,8< X< 6,4) = Φ ( 6,4 − 4,8 − )- Φ ( )= Φ (0,8)- Φ (-2,4) 0,5 0,5 =0,28814+0,4918=0,77994 IV.3.Các đặc trưng phân phối chuẩn Cho X ~ N(a, σ ) Khi E(X) = a , D(X) = σ Ví dụ Lãi suất đầu tư vào thị trường A B biến ngẫu có phân phối chuẩn với trung bình 10% 9%; độ lệch chuẩn 4% 3% a)Nếu muốn có lãi suất 8% nên đầu tư vào thị trường nào? b)Nếu muốn rủi ro lãi suất nhỏ nên đầu tư vào dự án nào? Giải a)Gọi X lãi suất đầu tư vào dự án A, Y lãi suất đầu tư vào dự án B Ta có X~N(10,16); Y~N(9,9)  − 10  Xác suất lãi suất 8% đầu tư vào dự án A: P(X>8)=0,5- Φ  ÷ =0,5- Φ   ( −0,5) =0,6915 8−9 Xác suất lãi suất 8% đầu tư vào dự án B: P(Y>8)=0,5- Φ  ÷ =0,5- Φ   ( −0,33) =0,6293 Vậy nên đầu tư vào thị trường A b)Độ rủi ro lãi suất đầu tư vào thị trường A :D(X)= 16 Độ rủi ro lãi suất đầu tư vào thị trường B :D(Y)= Vậy để rủi ro lãi suất bé đầu tư vào dự án B V.Luật phân phối bình phương Cho X , X , , X n biến ngẫu nhiên độc lập có phân chuẩn N(0,1) n Biến ngẫu nhiên X = ∑X i =1 i gọi biến ngẫu nhiên có phân phối bình phương với bậc tự n ký hiệu X~ χ (n ) Với xác suất α ta tra bảng phân vị bình phương xác định giá trị kα cho P(X< kα )= α Ví dụ Cho biến ngẫu nhiên X~ χ (7) a)Tính P(X>1,239) b) Tìm t cho P(X< t) = 0,95 Giải a) Từ bảng phân vị χ dòng 7, ta thấy giá trị 1,239 tương ứng với cột 0,01.Vậy P(X>1,239)= 0,01 b) Từ bảng phân vị χ dịng 7, cột 0,95 ta có t = 14,0671 VI.Luật phân phối Student Z Cho biến ngẫu nhiên Z~N(0,1) Y~ χ ( n ) Biến ngẫu nhiên X = Y gọi biến n ngẫu nhiên có phân phối Student với bậc tự n ký hiệu X~ Tn Với xác suất α ta tra bảng phân vị Student xác định giá trị tα cho P(X> tα )= α Ví dụ 10.Cho biến ngẫu nhiên X ~ T15 Tìm t cho a)P(X> t) = 0,025 b) P(X< t) = 0,99 Giải a)Từ bảng phân vị Student dịng 15 cột 0,025 ta có t = 2,1315 b)P(X< t) = 0,99 ⇒ 1- P(X ≥ t)=0,99 ⇒ P(X ≥ t)=0,01 ⇒ P(X> t)=0,01 tương tự ta có t =2,6025 Ví dụ 11.Cho biến ngẫu nhiên X ~ T24 Tính P(X>2,3069),P(X2,3069)=0,015 P(X1,974)=1-0,03=0,97 VII.Các định lý giới hạn ●Cho X~B(n;p) *Nếu n lớn p bé(n>30, p5, nq>5) X≈N(a= np; σ =npq) a) P(X = k) =  k − np  ϕ  ÷ với ϕ ( x ) = npq  npq ÷  − 12 x2 e (hàm Gausse) 2π  k − np   k1 − np  b) P( k1 ≤ X ≤ k ) = Φ  ÷- Φ  ÷  npq   npq  Ví dụ 12.Xác suất chai CoCa bị vỡ vận chuyển 0,002 Người ta vận chuyển 1000 chai a) Tính xác suất có chai bị vỡ b) Tính xác suất có chai bị vỡ Giải Gọi X số chai CoCa bị vỡ 1000 chai vận chuyển X~ B(1000;0,002) Vì n=1000 lớn p bé nên X ≈ P(2) a)P(X=4)= e −2 = 0,09 4!  e −2 20 e −2 21 e −2 22  − − b)P(X ≥ 3) = 1- P(0 ≤ X ≤ )= 1-  1! 2! ÷  0!  Ví dụ 13.Một máy sản xuất sản phẩm với xác suất đuợc sản phẩm tốt 0,2.Cho máy sản xuất 100 sản phẩm a) Tính xác suất có 40 sản phẩm tốt b)Tính xác suất có 25 sản phẩm tốt Giải Gọi X số sản phẩm tốt 100 sản phẩm máy sản xuất Ta có X~B(100,0,2) Vì np=20>5,nq=80>5 nên X ≈ N(20,16) nên a) P(X=40)=  40 − np   40 − 100.0,  1 ϕ  ϕ = ÷  ÷ = 0, 25.ϕ (5) = npq  npq ÷ 100.0, 2.0,8  100.0, 2.0,8    100 − 20   25 − 20  b) P(25 nên X ~ N(75;56,25)  80 − 75   60 − 75  ⇒ P(60 ≤ X ≤ 80) = Ф  ÷− Ф  ÷  56, 25   56, 25  =Ф ( 0,67 ) − Ф ( −2 ) =0,7528 b)+Xác suất hạt cho hoa màu đỏ,0 hạt cho hoa màu hồng, hạt cho hoa màu trắng:  p1 = C85  ÷  ÷ =0,00036    16  +Xác suất hạt cho hoa màu đỏ,1 hạt cho hoa màu hồng, hạt cho hoa màu trắng: 3 p2 = C85  ÷ C31   ÷ ÷ =0,0032 4  16  16  +Xác suất hạt cho hoa màu đỏ,2 hạt cho hoa màu hồng, hạt cho hoa màu trắng: p3 = C85  ÷ C32  ÷  ÷ =0,0097 4  16   16  ⇒ Xác suất hạt cho hoa màu đỏ,không hạt cho hoa màu hồng: p = p1 + p2 + p3 =0,01326 Ví dụ 15.Sản phẩm sản xuất xong đóng thành kiện, kiện có 15 sản phẩm có 10 sản phẩm loại I Người nhận hàng qui định cách kiểm tra sau: Từ kiện lấy ngẫu nhiên sản phẩm, thấy sản phẩm loại I nhận kiện hàng đó.Kiểm tra 120 kiện hàng nhiều kiện hàng a) Tính xác suất có 30 kiện nhận b) Tính xác suất có không 30 kiện nhận Giải Gọi A = “ kiện hàng nhận” C103 24 Ta có P(A)= = =0,264 C15 91 Ta coi kiểm tra kiện hàng phép thử, kiểm tra 120 kiện hàng lập lại - phép thử 120 lần, phép thử A xảy A xảy Nếu gọi X số kiện hàng nhận 120 kiện kiểm tra X~B(120;0,264) Vì n lớn p khơng q bé không lớn nên X ≈ N(31,68;23,316) a)P(X=30)=  30 − np   30 − 120.0, 264  1 ϕ  ϕ = ÷  ÷ npq  npq ÷ 120.0, 264.0,736  120.0, 264.0,736   =0,207 ϕ ( −0,34 ) =0,207.0,3765=0,0779  120 − 31,68   30 − 31,68  b) P(30 ≤ X ≤ 120) = Φ  ÷- Φ  ÷= Φ ( 18, 29 ) - Φ ( −0,34 ) = 0,5+  23,316   23,316  0,1331=0,6331 Ví dụ 16.Tuổi thọ chip máy tính biến ngẫu nhiên có hàm mật độ x1)= +∞ ∫e − x b 1 − x dx = lim ∫ e dx = =0,152 b→+∞ 4e Gọi Y số chip hoạt động tốt mạng Ta có Y~B(90;0,152) Vì n lớn p không bé không lớn nên Y~N(13,68;11,6) ⇒ Xác suất mạng hoạt động P(30 ≤ Y ≤ 90 )= Φ ( 90 − 13,68 30 − 13,68 )- Φ ( )= Φ (22,4)11,6 11,6 Φ (4,79)=0,5-0,4999991=0,0000009 BÀI TẬP 4.1Một công ty cung cấp nguyên vật liệu gửi giấy địi nợ tới xí nghiệp yêu cầu toán cho đợt hàng vừa qua(mỗi giấy viết cho đợt).Trong giấy đòi nợ có giấy ghi sai số tiền tốn Do đến hạn phải trả trả nợ ngân hàng công ty u cầu xí nghiệp phải tốn cho đợt đợt giao hàng Kế tốn xí nghiệp lấy ngẫu nhiên giấy làm phiếu chi.Tính xác suất để giấy lấy có giấy ghi sai số tiền phải tốn 4.2 Có chứng từ xếp lẫn lộn có chứng từ chưa kiểm tra.Lấy ngẫu nhiên chứng từ.Gọi X số chứng từ chưa đuợc kiểm tra chứng từ lấy a)Hãy lập bảng phân phối xác suất X b)Tính kỳ vọng độ lệch chuẩn X 4.3Bưu điện dung máy tự động đọc địa bì thư để phân loại theo khu vực gởi đi.Xác suất đọc sai địa bì thư 0,01 Dùng máy phân loại bì thư, xác định luật phân phối xác suất số bì thư bị phân loại sai bì thư 4.4Số gọi đến tổng đài phút biến ngẫu nhiên có phân phối Poision.Biết trung bình phút có gọi đến tổng đài Tính xác suất có khơng q gọi đến tổng đài phút 4.5 Xác suất để sản phẩm bị hỏng 0,3.Kiểm tra 3600 sản phẩm.Tính xác suất để số sản phẩm hỏng từ 342 đến 378 4.6 Trọng lượng sản phẩm(đơn vị: gam) máy sản xuất biến ngẫu nhiên X với X~N(100,2).Sản phẩm coi đạt kĩ thuật có trọng lượng từ 98 đến 103gam a)Tìm tỷ lệ sản phẩm khơng đạt kĩ thuật máy b) Cho máy sản suất 100 sản phẩm Tính xác suất có khơng qúa 15 sản phẩm khơng đạt kĩ thuật 100 sản phẩm 4.7 Tỷ lệ phân ly hình dạng trái loại Dưa đời F2 sau: Tròn: Dẹp: Dài = 6: 1: a) Giả sử đem gieo 400 hạt đời F2(tỷ lệ nẩy mầm 100%) Tính xác suất để có từ 140 đến 170 hạt cho dưa trái trịn b) Giả sử đem gieo hạt đời F2(tỷ lệ nẩy mầm 100%) Tính xác suất để có hạt cho trái trịn, khơng q hạt cho trái dẹp