toan4Bai4PTVPC1Phan1

Vaän toác nguoäi ñi tyû leä thuaän vôùi hieäu nhieät ñoä vaät vaø nhieät ñoä khoâng khí.[r]

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-TOÁN – HK2 0506

CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

• BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP

(PHẦN 1)

NOÄI DUNG

-1 – TỔNG QUAN

2 – CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

3 – NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

4 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

5 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SỐ

6 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP TUYẾN TÍNH

7 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

TOÅNG QUAN

-Mô hình Vật Lý, Cơ, Điện …  Phương trình vi phân!

Vận tốc nguội tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ vật nhiệt độ khơng khí Biết nhiệt độ khơng khí 20C

vật giảm nhiệt độ từ 100C xuống 60C sau 20 phút Sau

bao lâu từ thời điểm đầu, nhiệt độ vật 30C?

R L V C i C q U dt di L U iR

UR  , L  , C 

Kirchhoff:   0

Phương trình vi phân (thường – ODE): hàm ẩn y = y(x), biến x & đạo hàm (hoặc vi phân) y(k), k = 0, … n

VD: 3x 0

dx dy

 x ex y

y

y ''4 '3   x  ydx   x  ydy 0

KHÁI NIỆM CƠ BẢN

-Caáp 1 Caáp 2 Caáp 1

Phương trình vi phân cấp n: chứa đạo hàm cao cấp n Dạng tổng quát PT vi phân cấp 1:

        

x, y x , y' x , y '' x , , y x  0

F  n

Dạng tổng quát cấp n:

   

 x, y x , y' x  0

NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

-Nghiệm PTVP: Hàm số y = y(x),

x  khoảng I  R (c) Dạng tham số

(a) Daïng hiện: y = f(x) (b) Dạng ẩn: H(x, y) = 0

    

 

 

t y y

t x x

VD: y ex dx

dy

 

Nghieäm: y e2x



Nghieäm: y Cex e2x



 nghiệm tổng quát

VD: xdx + ydy = 0: dạng nghiệm hiện, aån VD: y' 1 y2

 

Nghiệm PTVP cấp n THÔNG THƯỜNG chứa n số: Đồ thị nghiệm: đường cong tích phân

 x, C1, , Cn

PHƯƠNG TRÌNH PHÂN LY BIẾN SỐ

-Phương pháp: Phân ly x & dx vế, y & dy vế Tích phân vế  Nghiệm (nói chung dạng ẩn)

VD: Kiểm tra dạng phân ly ptrình a / y'xy

 1  1

/ x2 y  dx  y2 x  dy 

b c / xdy 4y  xdx 0

   

   

       

    

 

 



0

'

2

1

1 x g y dx f x g y dy f

dy y g dx

x f

y g x f y

Tổng quát: dạng phương trình vi phân phân ly biến số

Nhận dạng: Biến x y phân ly (separable)

 Có thể tách rời vế biến! VD: 0



 y dx

GIẢI PT VI PHÂN PHÂN LY BIẾN SOÁ

-VD (SGK, 23/tr190): Vận tốc nguội vật tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ vật nhiệt độ khơng khí Biết nhiệt độ khơng khí 20C vật giảm nhiệt độ

từ 100C xuống 60C sau 20 phút Hỏi sau kể từ

thời điểm đầu, nhiệt độ vật 30C?

VD: a / y' sin3 x

 b / y'ey

x y y

c / '2

VD: / 2 cos  5 0

 

 x dx y dy

x a

   

/ y2  xy2 dx  x2  yx2 dy 

ĐỔI BIẾN ĐƯA VỀ PHÂN LY

-VD: (x2 + y2)dx – xydy = 0: Chú ý P(x, y) = (x2 + y2), Q = xy!

Chứa tổng: y’ = f(ax + by + c)  Đổi biến: u = ax + by + c

VD: y’ = (2x + 3y + 1)2 – 2(2x + 3y + 1)

Tỷ số:  Đổi biến:

      

x y f

y' y ux y u x u

x y

u     ' ' 

Đặc biệt: P(x, y), Q(x, y) – tổng xy,  +  = n  Phương

trình đẳng cấp Pdx + Qdy = 0: Dạng y’ = f(y/x)! VD:

xy xy y

y

b / '

2

 

x y y

PT VI PHAÂN CẤP TUYẾN TÍNH

-y’ = a(x)y + b(x) (E): không (có vế phải) 

PT (khơng vế phải) tương ứng: y’ = a(x)y (E0) Nhận dạng: y’ = f(x, y): Vế phải chứa y bậc (ở tử số) y’ = f(x, y) = a(x)y + b(x): tuyến tính (bậc 1) theo y

Tuyến tính theo x = x(y)! VD: Xác định phương trình tuyến tính:

x e xy

y

c / '3 

3

2 '

/ y x

x y

a  

 

2

/

 

 y x dy

ydx d

3

'

/ y e y x

NGHIỆM TỔNG QUÁT THUẦN NHẤT

-VD: Giải PTVP nhất:

x y y

a / ' b / y'y tgx

PT cấp tuyến tính nhất: y’ + a(x)y = (E0) có nghiệm tổng quát dạng:   , : hằng số

0 x C Cy

y 

VD: Từ nghiệm tổng quát PT trên, tìm nghiệm riêng (nghiệm đặc biệt) PT không nhất

3

3 '

/ x

x y y

a  

x e x

y y

b

x

cos tg

'

/   

N0 rieâng yr = C(x)y0(x): biến thiên số ytq.tn = Cy0(x) Thay yr = C(x)y0(x) vaøo (*)  C    x y x b x

0

TỔNG KẾT

-Cơng thức nghiệm tổng quát PTVP cấp tuyến tính:

  

  

   

  



 

 

 



p x y q x y Ce p x dx f x e p x dxdx e p x dx

y' ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

PTVP cấp t/tính (E):

2/ Biến thiên số C = C(x) 1/ PT nhất:

3/ Nghiệm sau cùng: Tổng nghiệm bước & bước 2

 x y b x y p x y q x a

y'  ' 

 x y y p x y y Cy  x a

y' ' 0   0

      

 C' y0 b x C x 

VÍ DỤ

-VD: Giaûi    4

1

'

1   

 y y x

x

1/ Phương trình nhất: y y Cy  x

x

y 0

1

'   

 

2/ Biến thiên số: C C x  C  x y  x  3  C x

0

'

3/ Nghiệm sau cùng:  2  4

1

1

1  



C x x

y

VD: Giải phương trình

x x y x dx dy

a /  sin

x y  y

y

b / '  

VD: Tính y(2) với hàm y thoả: ' 3x , y 1 1

x y y

 13

1

'  

 

 y x