[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
CỤM HÀ ĐƠNG – HỒI ĐỨC KỲ THI OLYMPIC
Năm học 2009-2010 Môn: Tốn 10
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang gồm 05 câu
Câu 1 (2điểm)
Giải hệ phương trình
3
7
x y
y x
= +
= +
Câu 2 (7điểm)
a)Cho góc 0o <α β γ, , <180o α β γ+ + =360o Chứng minh rằng: sinα+sinβ >sinγ
b) Cho phương trình: 2x-4 = x−m (m tham số)
Xác định m để phương trình có hai nghiệm Câu (4điểm)
Biết số a,b,c thoả mãn:
2
2
1
2 ( )
a c
b b a c
+ =
+ + =
Hãy tìm giá trị lớn biểu thức M=b(c-a) Câu 4 (4điểm) Cho x, y,z>0 thoả mãn hệ thức x+y+z=
3 yz
x
Chứng minh 2 3( )
6
x≤ − y+z
Câu 5 (3điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(2;-5), B(-4;-2) đường thẳng d có
phương trình x-2y+3=0
a) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho khoảng cách từ B tới
∆ lớn
b) Tìm M d cho MA + MB nhỏ …….HẾT……
Họ tên thí sinh……… Số báo danh………
(2)KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2009-2010
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN LỚP 10
Câu ý Nội dung Điể
m 2đ Hệ cho tương đương với
+ = = + + + − ⇔ + = = − + − ) )( ( ) ( 2 3 y x y xy x y x y x y x y x
TH1 3 3
7
x y x y
x y x x
= = ⇔ = + − − = = + − + = ⇔ ) )( )(
(x x x y x − = = − = = − = = ⇔ y x y x y x TH2 + = = + + + 7 2 y x y xy x hệ vơ nghiệm 2+ + 2+7
y xy
x =(x+
4 )
2 + y + >
y
y x,
∀
Vậy hệ cho có nghiệm (x;y)=(-1;-1),(-2;-2),(3;3)
0.5
0.75
0.75 a)
4đ
Đặt A=1800 −α;B=1800 −β;C =1800−γ
Khi sinα =sin ;sinA β =sin ;sinB γ =sinC
Suy A+B+C=180 00 o , , 180o
α β γ < <
⇒A,B,C góc một tam giác
Xét tam giác ABC có góc tương ứng A,B,C
Ta có a+b>c
⇔sinA+sinB>sinC
sinα sinβ sinγ
⇔ + >
1.5 1.0 1.5
7điểm
b) 3đ
+Phương trình cho tương đương với
= + + − ≥ ⇔ − = − ≥ − (*) 16 25 ) ( ) ( 2 m x x x m x x x
+Đặt t=x-2 (t≥0), phương trình (*) trở thành
−9 +9 −18=0
m t
t (**)
+Phương trình cho có nghiệm (**) có
nghiệm khơng âm
(3)⇔
≥ − ≥
≥ −
0 18
0
0 144 369
m
m
⇔
16 41 2≤m≤
Vậy với
16 41
2≤m≤ phương trình cho có nghiệm
0.5
4đ
Từ giả thiết ta có ( )2 ( )2
2
b b
a+ + +c =
Xét ( ; ) | |
2
b b
x= a+ +c ⇒ x =
r r
;ury=( ;c −a)⇒| | 1ury =
Khi M= 2x yr ur, M lớn khix yr urlớn
Mặt khác x yr ur≤| || | 2x yr uur= hay M≤4
Dấu “=” xảy 2 ( ) 2( 2)
b b
a c
b a c a c
c c
+ +
= ⇔ + = − +
−
Kết hợp với giả thiết ta có (a;b;c)=( ; 10; )
10 10
± ± ±
Vậy max M=4 (a;b;c)=( ; 10; )
10 10
± ± ±
1.0 1.0
1.5 0.5
4đ
Ta có yz
2
( )
4 y+z ≤
Do x>0 suy
2
( )
3 12
yz y z
x x
+ ≤
2
2
( )
12 12 ( ) ( ) 12
y z
x y z x x y z y z
x +
⇒ + + ≤ ⇒ + + − + ≤ (*)
Đặt f(x)=12x2 +12 (x y+z) (− y+z)2 Ta có ' 48( )2
x y z
∆ = + >0⇒ ∆ ='x 3(y+z) (do y+z>0) Tam thức f(x) có nghiệm
1
3 2 2
( ); ( )
6
x = − − y+z x = − + y+z (x1< x2) Do từ (*) suy x1≤ ≤x x2 (đpcm)
0.5
1.0
1.0 0.5 1.0 a)
1.0đ
Gọi H hình chiếu vng góc B ∆, ta có BH≤BA Do BH lớn H≡ A
Khi ∆ đường thẳng qua A có véc tơ pháp tuyến )
3 ; (−
AB có phương trình: -6(x-2)+3(y+5)=0⇔2x−3y−9=0
0.5 0.5
(3đ)
(4)2.0 Gọi A’ điểm đối xứng với A qua d ta có
MA+MB=MA'+MB≥ A'B
Do MA+MB nhỏ M giao điểm A’B
và đường thẳng d
Gọi I hình chiếu A đường thẳng d, phương trình đường thẳng AI qua A nhận véc tơ phương d làm
véc tơ pháp tuyến có phương trình: 2x+y+1=0
I=AI∩d, I(-1;1) suy A’(-4;7)
Đường thẳng A’B: x+4=0 M(-4;-2 1)
0.5 0.5
0.5 0.5