chuyên đề rút gọn biểu thức

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC A NỘI DUNG *Kiến thức lý thuyết cần ý: Những đẳng thức đáng nhớ: (A+B)2 = A2 +2AB +B2 (A – B)2 = A2 –2AB +B2 A2 –B2 = (A-B )(A+B) (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3 A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2) A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2) 2.Các công thức biến đổi thức: A có nghĩa A≥0 A2 = A AB = A = B A B A ( Với A ≥ ; B > ) B A B = A B A B = A B A B = - A2 B 10 A = B B A AB A B B B C C ( A mB ) = A − B2 A±B = C A± B ( Với A ≥ ; B ≥ ) = C( A m B ) A− B ( Với B ≥ ) ( Với A ≥ ; B ≥ ) ( Với A < ; B ≥ ) ( Với AB ≥ B ≠ ) ( Với B > ) (ví i A ≥ 0, A ≠ B ) (ví i A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B ) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung tử mẫu phân thức Các tính chất phân thức Sử dụng tính chất ta có thể nhân với biểu thức liên hợp tử ( mẫu) phân thức, giản ước cho số hạng khác 0, đổi dấu phân thức, đưa phân thức dạng rút gọn * Các dạng tập: - Rút gọn biểu thức số - Rút gọn biểu thức chứa chữ Sử dụng kết rút gọn đế: + Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến; + Giải phương trình, bất phương trình ( so sánh biểu thức với số); GV: Đinh Thị Thu Lê Trường THCS Tiên Yên Chuyên đề: Rút gọn biểu thức + Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức; + Tìm giá trị nguyên biểu thức ứng với giá trị nguyên biến DẠNG 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ: I.Các ví dụ: + Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: a/ 20 − 45 + 18 + 72 b/ ( 28 − + ) + 84 ( c/ ) + − 120 Giải: 20 − 45 + 18 + 72 = a/ 2.5 − 32.5 + 32.2 + 2.2 = −3 +9 +6 ( b/ 28 − + ) = ( − 3) + (9 + 6) = 15 − + 84 = 2.7 − + + 2.21 = 2.7 − 21 + + 21 c/ ( ) = 14 + + ( − ) 21 = 21 + − 120 = + 30 + − 2.30 = + + 30 − 30 = 11 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau: a/ A = 1 − 5+ 5− 4−2 6− 2 C= + − 2+ 3+ c/ b/ B = Giải: a/ A = 1 − = 5+ 5− = b/ B = ( ( ) ( + 3) 3) ( − 3) 5− − 5+ − − − −2 = =− 5−3 4−2 6− GV: Đinh Thị Thu Lê Trường THCS Tiên Yên Chuyên đề: Rút gọn biểu thức ( ) = = c/ C= ( − +1 ( = ) −1 −1 ) −1 = ( ( ) −1 ( −1 ) −1 = 2 = ) −1 2 1 + − 2+ 3+ = 2+ + − 3 +1 ( ) ( + 1) − ( + ) ( + 1) ( + ) ( + 2) 3+4 = = ( + 1) ( + ) ( + 1) ( + ) ( − 1) ( − 1) ( − 1) − = = = = = 1− ( − 1) 3 ( + 1) ( − 1) = ( ) ) ( +1 + + 3 Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau: a/ 2 ( − ) + ( + 2 ) − = b/ + + − = c/ ( − 5) − ( + 5) =8 Giải: a/ 2 ( − ) + ( + 2 ) − = BĐVT ta có : 2 ( ) ( − + 1+ 2 ) − = − + + + − = = VP Vậy đẳng thức chứng minh b/ + + − = BĐVT ta có : 2+ + 2− = = 4+2 + 4−2 = GV: Đinh Thị Thu Lê ( 2+ + 2− ) ( ) +1 + ( ) −1 2 Trường THCS Tiên Yên Chuyên đề: Rút gọn biểu thức +1 + −1 = +1 + −1 = = = VP 2 = Vậy đẳng thức chứng minh c/ ( − 5) − ( + 5) =8 BĐVT ta có : ( − 5) = = 2− − ( + 5) − = 2+ 22 = ( − 5) 22 − ( + 5) ( + 2) − ( − 2) = 5+2 ( + 2) ( − 2) − −2 2 +4−2 +4 = = VP 5−4 Vậy đẳng thức chứng minh Ví dụ 4: So sánh ( không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/ + 10 b/ 2003 + 2005 2004 c/ Giải: a/ + 10 Ta có: Và ( ( 2+ 10 ) ) = + + = + = + 24 = 10 = + = + 25 Vì 24 < 25 => 24 < 25 => + 24 < + 25 Hay ( 2+ ) 20042 − < 2004 2 Vì => 4008 + 2004 − < 4008 + 2004 => ( 2003 + 2005 ) 2003 + 2005 < 2004 c/ Ta có: = GV: Đinh Thị Thu Lê 52.3 = 75 Trường THCS Tiên Yên Chuyên đề: Rút gọn biểu thức Và 5= 32.5 = 45 Vì 75 > 45 => 75 > 45 => 75 > 45 => > *MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TỐN Nhận xét biểu thức Phán đốn phân tích nhanh để đưa hướng làm cho loại toán: + Vận dụng phép biến đổi cách hợp lý thành thạo + Phân tích biểu thức số, tìm cách để đưa số có bậc hai đưaAvề =hằng A đẳng thức + Luôn ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích + triệt để sử dụng phép biến đổi thức như: Nhân chia hai thức bậc hai, đưa thừa số vào hay dấu căn, khử mẫu thức, trục thức mẫu… II Bài tập: Thực phép tính: a/ ( 12 + 75 + 27 ) : 15 ; b/ 252 − 700 + 1008 − 448 ; c/ ( + − ) ( 72 − 20 − 2 ) Rút gọn biểu thức sau: a/ − 1− + ; 2 b/ + 2 + − ; c/ 2+  2+ 2+ : − +  2   ÷ ÷  3.So sánh ( khơng dùng bảng số hay máy tính bỏ túi ) a/ + 2 + ; ; 21 c/ 14 − 13 − 11 b/ 4.Cho A = 11 + 96 B = 2 1+ − Không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi, so sánh A B Chứng minh đẳng thức sau: a/ ( − ) ( −5 ) − ( − ) = 20 − 33 ; b/ + 10 + + − 10 + = + 10 ; c/ 1 + + + =9 1+ 2+ 99 + 100 DẠNG 2: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CHỮ I Các ví dụ: GV: Đinh Thị Thu Lê Trường THCS Tiên Yên Chuyên đề: Rút gọn biểu thức  a +1  + * Ví dụ 1: Cho biểu thức M =  với a >0 a ≠ ÷: a −1  a − a +1 a− a a/ Rút gọn biểu thức M b/ So sánh giá trị M với Giải: Đkxđ: a >0 a ≠ 1 a +1  a +1 = (  ) + : + : a/ M =  ÷ a a −1 a −1 a −1 a − 1 a − a +  a− a = 1+ a a ( ) a −1 ( ) a −1 a +1 a −1 b/ Ta có M = ( = =1 − a (1 + a )( a − 1) = a ( a − 1)( a + 1) ) a , a > => ( ) a −1 a a > => a > nên − a 0 x −1 ≥ − x ≠0 x −1 − ≠ x > x ≥1 x ≥1   ⇔ ⇔x ≠ x ≠ x ≠   x ≠ b/ Đkxđ : x ≥ 1; x ≠ 2; x ≠  P = −   x − x −1  =  ( (  x −3  −   x −1 −  − x x + x −1 x − x −1 )( GV: Đinh Thị Thu Lê ) x + x −1 − ) ( ( x − 3) ( x+ 2  2x − x   x −1 − )( )  −  x − +  − x x −1 + ) x (   2− x  x+ ) Trường THCS Tiên Yên Chuyên đề: Rút gọn biểu thức ( )  x + x − ( x − 3) x − +  x − x − = −  x − ( x − ) ( x − ) − x 2− x   ( ) ( ( )  x + x − ( x − 3) x − +  − − x  =  −  x 2− x x − x + x −   = ( ) − x1 = ( x + x −1 − x −1 − c/ Thay x = − 2 = P= 2− ( ( ) −1 ) −1 ( ) ( ) x − ( − 1) x ) ) = 2 − vào biểu thức P = = 2− −1 −1 = − +1 −1 2− x x 2− x x = , ta có: −1 = +1 * Nhận xét phương pháp giải: Theo thứ tự thực phép tính ta phải làm phép tính từ dấu ngoặc trước Đối với nhân tử thứ hai ta quy đồng mẫu, còn nhân tử thứ khơng Tại vậy? Bởi quy đờng mẫu tính tốn phức tạp Ta trục thức mỗi mẫu, kết nhanh chóng Ví dụ 3: Cho biểu thức 2x x + − 11x A= − − với x ≠ ±3 x + 3 − x x2 − a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tìm x để A < c/ Tìm x nguyên để A nguyên Giải: a/ Đkxđ: x ≠ ±3 A= 2x x + − 11x 2x x +1 − 11x − − = + − x + 3 − x x − x + x − ( x + 3)( x − 3) x( x − 3) + ( x + 1)( x + 3) − ( − 11x ) x − x + x + x + x + − + 11x = = ( x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) 3x + x x ( x + 3) 3x = = = ( x + 3)( x − 3) ( x + 3)( x − 3) x − 3x , A < tức x −3 3x 3x x − 2( x − 3) x = ( tm đkxđ ) • x – = - x = ( tm đkxđ ) • x – = < = > x = ( tm đkxđ ) • x – = - x = - ( tm đkxđ ) • x – = x = 12 ( tm đkxđ ) Vậy với x = - 6; 0; 2; 4; 6; 12 A nhận giá trị ngun Ví dụ 4: Cho biểu thức   2x +  1 + x3 x  . B =  − − x     x −1 x + x + 1  1+ x  với x ≥ x ≠ a/ Rút gọn B; b/ Tìm x để B = Giải: Đkxđ : x ≥ x ≠   2x +   + x3 x     B = − − x a/      x − x + x + 1  1+ x   2x + − x x −1  x + x − x + =  − x x −1 x + x +1  x +1  ( ) ( )( ) ( )( ) 2x + − x + x = ( x − 1)( x + x + 1) (1 − x + x ) x + x +1 = ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1) = x − b/ Ta có B = x − B = 3, tức x − = ⇔ x = ⇔ x = 16 ( t/m đkxđ) Vậy với x = 16 B = Ví dụ 5: Cho biểu thức 3  1  1 x + y x + x y + y  A=  + + + : với x > , y > 3 y  x + y x y   x x y + xy a/ Rút gọn A; b/ Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó Giải: Đkxđ : x > , y > GV: Đinh Thị Thu Lê Trường THCS Tiên Yên Chuyên đề: Rút gọn biểu thức  1  A = + + +  a/  y  x + y x  x 1 : y   x+ y x + y  = + :   xy xy x + y   (  x + y  = + :  xy  xy   ( = x+ y xy b/ Ta có   ) A= xy xy y = x+ xy y ≥ ( x+ y ) ( x+ y ) y ) xy ( x + y ) y  ≥ ⇔ x + y −  x− x+ )( x + y x − xy + y + xy ) ⇔ Do đó x y + xy y ( x + y) x+ xy x+ ( x3 + y x + x y + y3 xy xy = x+ 16 16 xy ≥ y ≥2 =1 xy ( xy = 16 )   x= y ⇔ x = y =  xy = 16   *MỘT SỐ BƯỚC KHI LÀM DẠNG TOÁN Bước 1: Điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác không… tốn chưa cho) Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử (áp dụng thành thạo phép biến đổi thức) + Áp dụng quy tắc đổi dấu cách hợp lý để làm xuất nhân tử chung + Thường xuyên để ý xem mẫu có bội ước mẫu khác không Bước 3: Tiến hành quy đồng rút gọn, kết hợp với điều kiện đề để kết luận Bước 4: Làm câu hỏi phụ theo yêu cầu toán + Tuân thủ nghiêm ngặt phép biến đổi phương trình, bất phương trình + Kết hợp chặt chẽ với điều kiện toán để nhận nghiệm, loại nghiệm kết luận II Bài tập: 1   x2  : +  ÷ ÷ Bài 1: Cho biểu thức A =  + 2 ÷  x + ÷  x − 3x   27 − 3x 1) Rút gọn A 2) Tìm x để A < –1  x  x − x x + x  − Bµi 2: Cho biĨu thøc A =  ÷ ÷ x + − x − ÷ ÷ 2 x    a) Rót gän biĨu thøc A; Vậy A = GV: Đinh Thị Thu Lê Trường THCS Tiên Yên Chuyên đề: Rút gọn biểu thc b) Tìm giá trị x để A > -  x   10 − x  + + Bµi 3: Cho biĨu thøc B =  ÷÷:  x − + ÷ x − − x x + x +2    a) Rót gän biĨu thøc B; b) Tìm giá trị x để A > Bài 4: Cho biÓu thøc C = − + x −1 x x +1 x − x +1 a) Rút gọn biểu thức C; b) Tìm giá trị cđa x ®Ĩ C < GV: Đinh Thị Thu Lê Trường THCS Tiên Yên Chuyên đề: Rút gọn biểu thức a) D = ; x + + x2 − x+2− x −4 + x + − x2 − x + + x2 −  x + x  x − x  1− b) P = 1 + ÷ ÷; ÷ x +  x − ÷  GV: Đinh Thị Thu Lê Yên Trường THCS Tiên Chuyên đề: Rút gọn biểu thức 2x − x − Bµi 7: Cho biểu thức P = Q = x −2 x − x + 2x − x +2 a) Rót gän biĨu thøc P vµ Q; b) Tìm giá trị x để P = Q  x−3 x   9− x x −3 x : Bài 8: Cho biểu thøc B = 1 − x −   x + x − − x x +   a) Rót gän biĨu thøc B b) Tìm x để B > c) Với x > ; x ≠ , Tìm giá trị lớn biểu thức B( x + 1)  3x + 9x − 1  + + Bài 9: Cho biểu thức P = ữ ÷: x −1 x + x − x − x + a) Tìm điều kiện ®Ĩ P cã nghÜa, rót gän biĨu thøc P; số tự nhiên; P c) Tính giá trị P víi x = – b) Tìm số tự nhiên x để Bài 10: Cho biÓu thøc :  x +2 x +3 x +2  x  P =  − − : − ÷  ÷ ÷ ÷ x − x + − x x − x +     a) Rót gän biĨu thøc P; b) Tìm x để P Bµi 11: Cho A = 2x x +1 x + 10 + + víi x ≥ Chøng x+3 x +2 x+4 x +3 x+5 x +6 minh giá trị A không phụ thuộc vào biến sè x Bµi 12: Cho biĨu thøc  a +1 + M =  ab +  a) Rót gän M   a +1  ab + a ab + a − 1 :  − + 1 ab − ab −   ab +  −1 1+ a+ b =4 b) Tính giá trị M a= b= c) Tìm giá trị nhỏ M nÕu 12 Chuyên đề: Rút gọn biểu thức 13 .. .Chuyên đề: Rút gọn biểu thức + Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức; + Tìm giá trị nguyên biểu thức ứng với giá trị nguyên biến DẠNG 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ: I.Các ví dụ: + Ví dụ 1: Rút gọn. .. Đinh Thị Thu Lê Trường THCS Tiên Yên Chuyên đề: Rút gọn biểu thức  a +1  + * Ví dụ 1: Cho biểu thức M =  với a >0 a ≠ ÷: a −1  a − a +1 a− a a/ Rút gọn biểu thức M b/ So sánh giá trị M với Giải:... biÓu thøc C = − + x −1 x x +1 x − x +1 a) Rút gọn biểu thức C; b) Tìm giá trị x ®Ĩ C < GV: Đinh Thị Thu Lê Trường THCS Tiên Yên Chuyên đề: Rút gọn biểu thức a) D = ; x + + x2 − x+2− x −4 + x +