de thi hoc sinh gioi huyen Cam Giang co dap an

[r]

Phòng giáo dục đào tạo

Cẩm Giàng Đề thi học sinh giỏi huyệnnăm học 2009 2010

Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 30 tháng năm 2009

Câu 1: (3 điểm)

a) Rút gọn biÓu thøc sau:

  





2 21 80 A

10 ; B 5  5  10

b) Tìm n *thoả mÃn:

1 1 2010

1 2 3 ( 1) 2010

A

n n n n



    

  

Câu 2: (2 điểm)

Giải phơng trình sau (x ẩn) a) x(x 2)(x 4)(x 6) 45

b) (m2 3m2)x m 2 5m6 Câu 3: (2 điểm)

Cho hình vuông ABCD Điểm O thuộc miền hình vuông thoả mÃn OB = 2.OA vµ AOB=135 o Chøng minh : OC = OA + OB

Câu 4: (2 điểm)

Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Biết BH = 18 AC = 40 a) Tính độ dài cạnh AB BC?

b) Kẻ phân giác AD ( D thuộc BC) Tính HD Câu 5: (1 điểm)

Chng minh bt ng thức sau:

4 4 ( )

27

a b c a b c   

Híng dÉn chÊm

a

     

 

 

 

 

 

 

   

  

  

 

  

 

2

2

2

2 (2 1) (2 1) A

10 10

2 ( 1)

10 10

2 5 2( 1) 5 ( 1)

1 5

5 7 10

B 

Đặt C 5  C0 ( 5 7 5 7 )2

5 7 (5 7)(5 7) 10 18 10

C

    

          

mµ C 0 C 10 2  C 10 2 0

VËy B = b

NhËn xÐt: Víi mäi n N *ta cã:

1

1 ( 1) ( 1)( 1)

1 1

( 1)( ) ( 1) ( 1)

1 1 1 1

1 2 1

n n n n n n n n

n n n n

n n n n n n n n n n

A

n n n



     

  

    

     

         

 

Mặt khác

2010 1

1 2010 2009

2010 2010

A      n  n

C©u 2

a x(x 2)(x 4)(x 6) 45 (x2 4x)(x24x 12) 45 Đặt x24xa Ta cã: a(a 12) 45



a 12a 45 0 (a 15)(a 3)   0 a15 hc a3

+ Víi a15

x 4x15 (x 2) 19  x 2  19  x 19 2 hc x 19

+ Víi a3 

x 4x3

x 4x 3 0  (x 1)(x 3)   0 x1 hc x3

VËy S   19; 1; 3   b

2

1) m1;m2 th× pt(*) cã nghiƯm nhÊt lµ:

3

m x

m

 



2) m1 pt(*) có dạng 0x2 (vơ nghiệm) 3) m2 pt(*) có dạng 0x0 (đúng với x)

VËy: NÕu m1;m2 th×

3

m S

m



 

 



 

NÕu m1 th× S Nếu m2 S Câu 3

Vẽ tia Ox nằm OB OA cho BOx 45

LÊy E trªn Ox cho BE  BO BEA BOC

  (c.g.c) Suy EA = OC (1)

BOE

vuông cân B EO = OB. 2

   90

AOEAOB EOB AOE vuông O theo Pitago ta cã:

2 2 ( 2. )2 8. 9. AE AO EO AO  BO AO  AO  AO

2 9. 3.

AE AO AE AO AE OA OB

       (2)

Từ (1) (2) OC OA OB (đ.p.c.m) Câu 4

a Đặt HC = x, x > XÐt tam gi¸c ABC cã:

 90 ;

A  AH BC nªn ta cã:

2 . 1600 .( 18) AC CH CB x x

2 18 1600 0 32 50 1600 0

( 32)( 50) 32; 50

x x x x x

x x x x

        

      

Do x > nên x32 HC 32 BC32 18 50 Lại cã AB2 BH BC 18.50 900  AB30.

VËy AB30;BC50 b

AD phân giác góc A nªn:

50 5 150

30

30 40 7

DB DC DB DC DB DC AB AC AB AC AB AC

DB



   





Mặt khác tam gi¸c ABC cã:

   

    

2

AB AC B C BAH CAH BAH BAH CAH BAH BAD

    

    

x

o e

d c b

a

d

h c

b

a

d

h c

b

Suy H nằm B D

150 24

18

7

HD BD BH

     

Câu 5

Cần chứng minh

4 4 ( )

27

a b c a b c   

Tríc hÕt ta c/m b®t phơ sau:

2 2 ( )

3

a b c a b c   

(1)

ThËt vËy :

2 2 2 2

2 2

(1) 3( ) ( ) 2( )

( ) ( ) ( ) (2)

a b c a b c a b c ab bc ca a b b c c a

            

      

bđt (2) với a, b, c Dấu đẳng thức xảy a = b = c áp dụng bđt (1) lần ta có:

2

2 2

4 4

4 4

( )

3

( ) ( )

3 27

( )

27

a b c

a b c a b c

a b c

a b c a b c

   

 

     

    

 

   