[r]
(1)ĐỀ LUYỆN THI HOC SINH GIỎI LỚP 12 S 04 Môn thi: Toán - bảng A
(Thêi gian lµm bµi: 180 phót) Bµi 1: (4 ®iĨm)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau:
x
4 x x y
2
2 TÝnh tÝch ph©n:
0
2
x cos
xdx sin x
I
Bài 2: (4 điểm)
Cho phơng trình: a x3 1 x2 2
1 Giải phơng trình a = Tìm a để phơng trình có nghiệm Bài 3: (4 điểm)
1 Giải phơng trình: tgx – 3cotg3x = 2tg2x Chứng minh ABC thoả mãn:
tgA + tgB + tgC =
2 C g cot B g cot A g
cot
Bài 4: (2 điểm)
Tìm giới hạn: 3x x x 2)
3 x (
lim
Bài 5: (2 điểm)
Giải bất phơng trình: 2
) x (
1 x log x x
Bài 5: (4 điểm)
Trong mt phng với hệ toạ độ oxy Cho elip (E) có phơng trình:
9 y 16 x2
; điểm I(-1;-2) đờng thẳng (d): x + y – =
(2)Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12
ý Néi dung
T
h
an
g
®
iĨ
m
B
µi
1 Tập xác định: R\{1} Sự biến thiên:
y’=
0 ) x (
x x
2
[xx 02,,yy(0) 40
) (
+,
y ;
y lim
lim
1 x
x
-> đờng thẳng x=1 tiệm cận đứng
+,
y ;
y lim
lim
x x
)] x ( y [ x
1 x x
1
4 x x
y lim
x
=
1 x
1 lim
x
đờng thẳng y= - x+3 tiệm cận xiên Bảng biến thiên:
x - + y - + + -y’ + +
4
0
- - Đồ thị:
0.5
0.25
0.25
0.25
0.75
2
y
3
x
(3)B
µi
TÝnh: I =
01 cos2x
xdx sin x Đặt x t
x
t
dx = - dt
I = - dt I
t cos
t sin dt
t cos
t sin ) t (
0
2
2
dt t cos
t sin
I
0
Đặt u = cost -> du = - sintdt
t
u -1
1
1
u
du I
Đặt u = tgv víi v ) ; (
, du = (1+tg2v)dv
u -1
v
-4
4
4 ) 4 (
v dv I dv v
tg
dv ) v tg ( u
du
2
4
4
4
2
0.75
0.5
(4)B
µi
1
2
§iỊu kiƯn: x1
Phơng trình cho tơng đơng với :
) x x ( ) x x
1 x ( 1 x x
1 x a
) x ( ) x x ( ) x x )( x ( a
2
2
2
đặt t =
1 x x
1 x
2
®iỊu kiƯn
3 3 t
0
phơng trình trở thµnh: f(t) = t2 + at – = (1) Với a = ta có: phơng trình (1) lµ: t2 + 4t – = 0
[t 5(lo¹i)
]
3 ; [ t
Víi t =- + 5 ta cã: t =
1 x x
1 x
2
<=> t2x2 + t2x +t2 = x – <=> t2x2 + (t2 – 1)x +t2 + = 0
1 x n · m ả tho n ê nhi hiển t
2
1 t t t
1 x
2
Vậy với a = phơng trình cho có nghiệm:
2 t víi , t
2
1 t t t
1 x
2
2 ,
1
Phơng trình cho có nghiệm phơng trình: t2 + at – = (1) có nghiệm
D ]
3 ; [
t
dễ thấy phơng trình (1) ln có nghiệm t1, t2 thoả mãn: t1 < < t2 , phơng trình có nghiệm <=> t2D
3
) ( a )
3 ( f
Vậy tập giá trị cần tìm a là:
; 2
) (
[ )
0.25
0.75
0.75
0.5 0.5
0.25
(5)B
µi
1
2
§iỊu kiƯn: cos2x 0; cosx0; sin3x 0 tgx – 3tg3x = 2tg2x
<=> tgx – cotg3x = 2(tg2x + cotg3x)
) x sin
x cos x cos
x sin ( x sin
x cos x cos
x sin
<=> - cos4x cos2x = cos2x
<=> (2cos22x - 1)(cos2x) +1 +cos2x = 0 <=> cos32x =
-2
đối chiếu điều kiện: cosx0 <=> cos2x 0 <=> 0
2 x cos
<=> cos2x -1
sin3x 0 <=> sinx(3 – 4sin2x) 0 <=> sin2x 0 sin2x
4
{ { 2cos 1x
2 1 x2 cos 0 2
x2 cos 1
4 3 2
x2 cos 1
=> cos32x =
-2
(thoả mÃn điều kiện) <=> cos2x = - k
2 x cos
3
Vậy phơng trình cho có nghiệm là:
Z k , k
x víi
3
2 cos
Vì tgA, tgB, tgC xác định nên ABC không vuông
1 B g cot A g cot
2 B g cot A g cot ) B A ( tg C g cot
tgC tgB tgA tgC tgB tgA tgC
tgAtgB
tgB tgA
2 C g cot B g cot A g cot C g cot B g cot A g
cot
0.25
1
0.5
0.25
0.25
(6)-> giả thiết đề cho tơng tơng với: tgA.tgB.tgC =
2 C g cot B g cot A g
cot >
ABC nhän -> tgA, tgB, tgC lµ số dơng ta có: tgA.tgB =
C cos ) B A cos(
C cos ) B A cos( B
cos A cos
B sin A sin
ta chứng minh đợc:
(*) C cos
C cos C cos ) B A cos(
C cos ) B A cos(
thËt vËy: 1- cosC > 0; cos(A-B) – cosC = 2cosA.cosB >
do (*) <-> cos(A-B) - cos(A-B)cosC + cosC – cos2C cos(A-B) + cos(A-B)cosC – cosC – cos2C
<-> cosC cos(A-B) – cosC 0
<-> cos(A-B) – 0 ln (vì cosC > 0) Vậy:
2 C g cot C cos
C cos tgB
tgA
t¬ng tù: tgA.tgC cotg2 2
B
tgB.tgC cotg2 2
A
2 C g cot B g cot A g cot tgC tgB
tgA
dÊu “=” x¶y khi: cos(A - B) =
cos(B - C) = <=> A = B = C cos(C - A) =
VËy nÕu
2 C g cot B g cot A g cot tgC tgB
tgA
thì ABC tam giác
0.25
0.25
0.25
0.25 0.25 0.25
B
µi
3x 1
x x
x x 2 1)
1 ( lim )
2 x
3 x (
lim
đặt t = x + ta có x t
3
t t
1 x
x } e
) t 1 (
1 ] ) t 1 {[( lim )
2 x
3 x (
lim
(7)B
µi
2
2
) x (
1 x log x x
(®iỊu kiÖn
{ 2
1 x
1 x
)
2 log ) x (
1 x log ) x ( ) x (
2 2 2 2
1 x ) x ( log ] ) x ( [ log ) x (
2 2 2
XÐt hµm sè: f(X) = X + log2X
0 x ln X
1 ) X (
f'
-> f(X) đồng biến R*
đặt: X1=2x +
X2= 2(x-1)2 => X1, X2 R*
víi
{ 2
1 x
1 x
Khi bất phơng trình trở thành f(X2)f(X1) X 2 X1
tøc lµ: 2(x-1)2 2x+1
2x2 6x [
7 x
2 x
Vậy bất phơng trình cho có tập nghiệm là:
) ;
7 [ ]
7 ;
(
0.25
0.5
0.5
0.5
0.25
B
µi
1 Giả sử đờng thẳng Vì qua I(-1; -2) nên có phơng trình tham số: đờng thẳng có phơng trình cần tìm
{xy 12atbt (a2+b2
0
Vì A, B giao điểm (E)
nên: A(-1 + at1; -2 + bt1); B(-1 + at2; -2 + bt2) víi t1, t2 nghiệm phơng trình:
1
) bt ( 16
) at
( 2
0 16
1 t )
b 16
a ( t ) b 16 a
(
2
(*)
0.25
(8)2
0 ) 16
1 )( b 16 a (
2
v× a2 + b2 0
nên phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 I trung điểm AB nên:
1
) t t ( a
2 1 2
vµ 2
2 ) t t ( b
4 1 2
<=>
0 ) t t ( a
0 ) t t ( b
2
2
<=> t1 + t2 = (v× a2 + b2 0) t1 + t2 = <=>
9 b 16
a
<=> 9a = -32b, chọn b = -9 => a=32 => đờng thẳng có phơng trình:
9 y 32
1 x
Gi¶ sư M(x0; y0) M(E)nên:
1 16
y x
2
0
đặt cost
3 y vµ t sin
x0 0
, Khi đó: {
t sin 4 x
t cos 3 y
0 0
2 ) t cos(
6 t cos t sin
d(M,d)
víi { 5
3 cos
5 4 sin
->
2 ) t cos( d(M,d)
=> d(M, d) nhá nhÊt <=> cos(t - ) = tk2
5 cos ) k cos( y
5 16 sin ) k sin( x
0
Vậy điểm cần tìm là: M(
5 ; 16
)
0.25
0.5 0.25 0.25
0.5
0.75
0.5