toán về nhị thức niu tơn toán về nhị thức niu tơn i xác định số hạng trong khai triển của nhị thức niu tơn bài 1 tìm số hạng không chứa x trong khai triển giải a ta có do nên số hạng không chứa x tro

Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức hoặc dùng phương pháp đánh giá.. Cộng các vế của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm..[r]

TOÁN VỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN I.Xác định số hạng khai triển nhị thức Niu-tơn: Bài 1: Tìm số hạng không chứa x khai triển: a /(2 x  3/ x )10 ; b /(1/ x  x )17 10 Giải: a/ Ta có: (2 x  3/ x ) 10 k 10 10 k  C (2 x ) k 0 10 k (3/ x )  C10k 210 k 3k x 20 k k 0 Do 20  5k 0  k 4 nên số hạng không chứa x khai triển C10 1.088.640 b/ Ta có: (1/ 17 17 k 17 x  x )  C ( x / 17  k ) 17 3/ k )  C17k x (136 17 k ) /12 (x k 0 k 0 Do 136  17 k 0  k 8 nên số hạng không chứa x khai triển C17 24.310 Bài 2: Biết hệ sô số hạng thứ khai triển nhị thức ( x x  x / x) n 36 Tìm số hạng thứ Giải: Từ GT  Cn n(n  1) / 36  n 8 Vậy số hạng thứ khai triển C86 ( x5 / )2 ( x  / )6 28 x Bài 3: Tìm hệ số x khai triển của: (1  x  x )10 Giải: Ta có: 10 10 10 k 10 k 10 k (1  x  x )  (1  x)  3x   C (1  x) (3 x ) k 0  0 l k 10 10 k 10  C k 0 k l k l 10 k  C (2 x) (3x )  l 0 C10k Ckl 310 k 2l x 20l  2k 20  l  2k 4  l 2k  16 Có số (k;l) thỏa mãn hệ thức 2 4 là: (8;0), (9;2) (10;4) Vậy hệ số x bằng: C10  C10 C9  C10 8.085 Bài 4: Tìm hệ số x10 khai triển của: (1  x  x  x )5 5 Giải: Ta có: (1  x  x  x ) (1  x) (1  x )   0k ;l 5 10 thỏa mãn là: (0;5), (2;4) (4;3) Vậy hệ số x C5k C5l x k 2 l k  2l 10 có cặp (k;l) khai triển bằng: C50 C55  C52 C54  C54 C53 101 Bài 5: Trong khai triển P(x) = (1  x)8 thành đa thức: P(x) = a0  a1 x1  a2 x   a8 x8 Tìm max (a1 ,a2 , ,a8 ) Giải: Ta có: (1  x)  k C 3k x k Giả sử ak 1 lớn thì: k 0 C8k  3k  C8k 3k 1/(9  k ) 3/ k   23/ 27 /  k 6  k 1 k 1  k k 3/( k  1)  1/(8  k )  C8 C8 6 Vậy max (a1 ,a2 , ,a8 ) = a7 C8 20.412 II Tính tổng: ak ak 1   a  a k 1  k 2 Bài 6: Khai triển (x-2)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100 a) Tìm a97 c) S=a0-a1+a2-a3+….+a100 d/P=a1+2a2+3a3+…+100a100 100 Giải: a/ Do ( x  2) b) T= a0+a1+…+a100 100 k  C100 x100 k ( 2) k  a97 C100 ( 2)3  1.293.600 k 0 100 b/ T (1  2) 1 c/ S (  2)100 3100 d/ Từ khai triển trên, đạo hàm hai vế ta được: 100( x  2)99 a1  2a2 x  3a3 x   100a100 x99  P 100(1  2)99  100 Bài 7: Khai triển: (1+2x+3x2)10= a0+a1x+….+a20x20 a) Tìm a1, a20 , a4 b) Tính S = a0+a1+…+a20 Giải: a/ Ta có: 10 10 10 k 10 k 10 k (1  x  x )  (1  x)  3x   C (1  x) (3 x )  k 0 10 10 10 0 l k 10 10 k 10  C k 0 k l k l 10 k  C (2 x) (3x )  l 0 C10k Ckl 310 k 2l x 20l  k  a1 C C 20; a20 310 ; a4 C108 32  C109 C92 22.3  C104 24 8.085 b/ Ta có: S (1  2.1  3.12 )10 610 Bài 8: Khai triển (1+x+x2)1996=a0+a1x+…+a3992x3992 a/Tính T=a0+a1+…+a3992 ; b) H= a0-a1+a2-….+a3992 ; c) CMR a0+2a1+22a2+…+23992a3992 chia hết 2401 Giải: a/ Ta có: T (1   12 )1996 31996 1996 b/ Ta có: H   ( 1)  (  1)  1 3992 1996 c/ Ta có: a0  2a1  a2   a3992 (1   ) 71996 7 2401 n Bài 9: Tính giá trị biểu thức: a / S1 Cn  2Cn a  3Cn a   nCn a n ; b / S2 Cn1  2Cn2  3Cn3   n( 1) n Cnn ; c / S3 2Cn2  2.3Cn3a  3.4Cn4 a   n(n  1)Cnn a n n Giải: Ta có: (1  x)  n k n C k x  n(1  x) k 0 a/ Cho x = a ta được: S1 n(a  1) n n  kCnk x k  k 1 n b/ Cho x = -1 ta được: S 0 c/ Đạo hàm hai vế hệ thức ta được: n(n  1)(1  x) n n  Cnk k (k  1) x k   S3 n(n  1)(1  a ) n k 2 2  1 23  2n1  n Bài 10: Tính: S C  Cn  Cn   Cn n 1 n n 2 ( x  1)n1 3n1  2n1 n k k k k n Giải: Ta có: ( x  1)  Cn x  S  Cn x dx ( x  1) dx   n  n  k 0 k  1 n 2001 1001 1 ; b / S2  Bài 11: Tính: a / S1  k 1 k !(2002  k )! k 1 (2 k  1)!(2003  k )! 2001 k 22002  1001 k  22001 C2002  Giải: Ta có: a / S1   C2002  2002! ; S2  2002!  2002! k 1 2002! k 1 BÀI TẬP TỰ GIẢI: n   1/Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức niwtơn  x   ,biết n số x  22 23 n1 n 6560 nguyên dương thảo mản: 2Cn0  Cn1  Cn2   ĐS: n = ; hs = 21/4 Cn  n 1 n 1 n  3 2/Tìm số hạng chứa x khai triển  x   n nghiệm nhỏ bất x  phương trình: Cn0  Cn1   Cnn  512 ĐS: n = 10 ; hs = C10 210 n 3/Với số tự nhiên n tính tổng: S  Cn  1 n 1 n  n Cn  Cn   Cn n 1 4/Khai triển đa thức P(x)=   x  x  ta có P(x)= a21 x 21  a20 x 20   a1 x  a0 Tìm hệ số a11 n 5/Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức NiuTơn (  x ) , biết x Cnn41  Cnn3 7(n  3) (n số nguyên dương, x > ) n = 12; hs = 495 6/ Với n số nguyên dương, gọi a3n  hệ số x3n  khai triển thành đa thức ( x  1) n ( x  2) n Tìm n để a3n  26n ĐS: n = 10 10 7/ Giả sử: (  x ) = a0  a1 x  a2 x   a10 x Tìm max ( a1 ,a2 , ,a10 ) ĐS: a7 3 n1 ĐS: 3/  (3/ 2)  1 /( n  1) ; 4/ a11 315 8/ Tìm giá trị x cho số hạng thứ ba khai triển: ( x  x lg x )5 1.000.000 a3 C52 x3 x 2lg x 10 x 32lg x 1.000.000  (3  2lg x)lg x 5  lg x 1;  5/ x 10; 10 /103 sử dụng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn Bài toán 1: T×m L = lim ( x  2009)  x  2009 x x Gi¶i : §Ỉt f ( x) ( x  2009)  x  2009 ; f ( x) 0 nªn 9( x  2009) f ( x)  f (0) L = lim  f '(0) Ta cã: f '( x) 2 x  x  x x (1  x) 9.2009  L  f '(0) 3616,2 Bài toán 2: T×m L = lim x   x  x sinx 2x  Giải : Đặt f ( x ) x   x  th× f(x) = vµ f '( x)  x  3 ( x  1) f ( x)  f (0) f '(0) x x  f '(0) 1  L   1 sinx lim x x Bài toán 3: T×m L = lim  x   s inx x 3x   x Giải: Đặt f ( x) x   s inx ; g ( x)  3x    x  f (0) 0; g (0) 0 f ( x)  f (0) lim f '(0) x x  L   0 g ( x)  g (0) g '(0) 1/ lim x x sin x sinx Bài toán 4: Tìm L = lim e  e x sinx sin x sinx Giải:Đặt f ( x) e e  f (0) 0; f '( x) 2cos xesin x  cos xe sinx  f '(0) 1 f ( x)  f (0) lim f '(0) x x Tõ ®ã: L   1 sinx lim x x tanx  Bài toán 5: Tìm L = lim x  sin x  lim 4 Giải: Đặt f ( x) tanx 1; g ( x) 2sin x   f (  ) 0; g (  ) 0 ; 4 f '( x)  tan  / x(1  tan x); g '( x) 2sin x  f '( / 4) 2/ & g '( / 4) 2 f ( x)  x  / x  L g ( x)  lim x  / x lim f ( / 4) f '( / 4) /  /4    g ( / 4) g '( / 4)  /4 NhËn xét: không sử dụng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn phức tạp Sau ta xét số toán giới hạn mà không sử dụng định nghĩa đạo hàm không giải đợc x 23 x Bài toán 6: Tìm L = lim x 2 x 21 x Giải: Đặt f ( x) 2 x  23 x  6; g ( x )   x  21 x  f (2) 0; g (2) 0 ; f '( x) 2 x ln  23 x ln 2; g '( x)  f ( x)  x x  L g ( x)  lim x x lim  x/2 ln 2 ln  21 x ln  f '(2) 2ln 2; g '(2)  f (2) f '(2) 2ln 2   8 g (2) g '(2) (ln 2) / 2  2x Bài toán 7: Tìm L = lim e  x x ln(1  x) 2 Giải: Đặt f ( x) e x   x  f (0) 0; f '( x)  xe  x  x(1  x )  / f ( x)  f (0) f '(0) x x  L  0 ln(1  x) lim x x e x t anx Bài toán 8: Tìm L = lim x ln(1 x ) lim ex Giải: Đặt f ( x) e t anx  f '( x) e t anx  ; f (0) 0; f '(0) 1 cos x f ( x)  f (0) lim f '(0) x x  L   ln(1  x) 2 lim x 2x x x BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Để chứng minh BĐT ta sử dụng số bất đẳng thức dùng phương pháp đánh giá I.Sử dụng số BĐT bản: Các BĐT BĐT Cô-Si: Với n số khơng âm bất kì: a1 ; a2 ; an (n 2) ta ln có: a1  a2   an n  a1a2 an ( I ) ; dấu xảy khi: a1 a2  an n BĐT Bunhiacôpxki: Với hai số thực ( a1 ; a2 ; an ),(b1 ; b2 ; bn ) ta ln có: (a1b1  a2b2   anbn ) (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 )( II ) ; dấu xảy a a1 a2    n BĐT: a  b  c ab  bc  ca ( III ) ; dấu xảy a b c Khi: b1 b2 bn 1 n2     ( IV ) ; a1 , a2 , an số dương; dấu BĐT: a1 a2 an a1  a2   an xảy số Bài 1: Cho a  b  Chứng minh: a/a  3; b / a   3; c / a  2 b( a  b) (a  b)(b  1) b( a  b) Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có: b  (a  b)  1 3 b.(a  b) 3 (đpcm) b( a  b) b( a  b ) Dấu xảy b 1; a 2 Bài 2: Cho a > 1; b > Chứng minh: a b   b a  ab (b  1)  ab Giải: Theo BĐT (I) ta có: a b  a (b  1).1 a  ; tương tự ta có: 2 ab b a   Cộng vế BĐT lại ta đpcm Dấu xảy a = b = 2 Bài 2’: a,b,c ba số khơng âm có tổng Chứng minh: ab  bc  ca  abc 8/ 27 (1  a)  (1  b)  (1  c) Giải: Theo BĐT (I) ta có: (1  a )(1  b)(1  c )   3   a  b  c  ab  bc  ca  abc ab  bc  ca  abc 8/ 27 (đpcm) Dấu xảy a = b = c =1/3 Bài 3: Cho ba số không âm a,b,c Chứng minh: a  b3  c a bc  b ca  c ab   Giải: Theo BĐT (I) ta có: 4a  b3  c 6 a b3c 6a bc ; tương tự ta có: 4b3  c  a 6b ca ;4c  a  b3 6c ab cộng vế BĐT lại đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c Bài 3’: Cho ba số dương x,y,z Chứng minh: ( x  y  z )6 / xy z 432 Bài 4: Tìm GTNN biểu thức P ( x  y )9 / x y x,y số dương 9 x y x y ( x  y )     Giải: Theo BĐT (I) ta có: x  y 3  9      P   6 6 6 x y 36     Vậy GTNN P 39 / 26 y = 2x Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: a  b6  c 3 Hãy tìm GTLN biểu thức S a  b  c Giải: Theo BĐT (I) ta có: a   3a ; b6   3b2 ; c   3c  3S  S Vậy GTLN S a = b = c = Bài 6: x,y số thực thỏa mãn điều kiện:  x 3;0  y 4 Tìm GTLN biểu thức: A (3  x )(4  y )(2 x  y ) Giải: Theo BĐT (I) ta có: 2(3  x).3(4  y ).(2 x  y )  (6  x)  (12  y )  (2 x  y ) 6  A 63  A 36 Vậy GTLN A 36 x = y = Bài 7: x,y,z số khơng âm có tổng Tìm GTLN biểu thức: P  xyz ( x  y )( y  z )( z  x) a m  n b m n c m n Bài 8: a,b,c số dương Chứng minh: m  m  m a n  b n  c n (m, n  N * ) b c a n  a mn  n m a mn n Giải: Theo BĐT (I) ta có: n  mb (m  n) mn  m  (b ) (m  n)a n Tương tự m b  b  b m n c m n n n ta có: n m  mc (m  n)b ; n m  ma n ( m  n)c n Cộng BĐT lại đơn c a giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c a b2 c Chú ý: Nếu m n 1 ta BĐT:   a  b  c b c a a3 b3 c3 a b c    Bài 9: Cho số thực dương a,b,c Chứng minh: b(c  a ) c(a  b) a (b  c) a3 b ca a b c  a 3a Giải: Theo BĐT (I) ta có:   3  Tương tự ta b (c  a ) b (c  a ) có: b3 c a  b 3b c3 a b  c 3c    ;    Cộng vế BĐT lại đơn c ( a  b) a(b  c) giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a = b = c Bài 10: Các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: x  y  z 6 Tìm GTNN biểu thức: x3 y3 z3 S   yz xz yx Bài 11: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a  b  c 6 Tìm GTNN biểu thức: 1 P (1  )(1  )(1  ) a b c Bài 12: Cho x,y,z ba số thực thoả mãn hệ thức: x  y  z 0 Chứng minh: S   x   y   z 6 Giải: Theo BĐT (I) ta có:  x     x  4 x 2.2 x / Tương tự ta có:  y 2.2 y / ;  z 2.2 z /  S 2(2 x /  y /  z / ) 2.3 2( x  y z ) / 6 (đpcm) Dấu xảy x  y  z 0 Bài 13: Cho hai số thực dương x,y có tổng Tìm GTNN biểu thức: x y S  1 x 1 y x2 y2  xy  Giải: Dễ thấy S dương Theo BĐT (I) ta có: S  x  y   xy  y x x2 y2 3 xy  xy 3( x  y )  S 2  S  Vậy MinS  x = y = 1/2 y x Bài 14: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a  b  c 3 Tìm GTNN biểu thức: a b c S   b c a Bài 15: Cho số dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: a  b  c 1 Chứng minh: ab bc ca S     c a b Bài 16: Cho số dương x,y,z có tổng Chứng minh BĐT: xy yz zx    xy  z yz  x zx  y Giải: Do xy  z xy  z ( x  y  z ) ( x  z )( y  z ) nên theo BĐT (I) ta có: xy x y 1 x y       Tương tự ta có: xy  z x  z y  z 2 x  z y  z  yz 1 y z     ; yz  x  x  y x  z  xz 1 x z      xz  y  x  y y  z  Cộng BĐT ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy x  y  z 1/ Bài 17: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện: x  y 6 Tìm GTNN biểu thức: P 3 x  y  Giải: Theo BĐT (I) ta có: P   x y 3x y 3x y 3x y      2   x y 2 x y 6   19 Vậy MinP = 19 x = y = Bài 18: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: xy  xz 1 Tìm GTNN biểu thức: S yz xz xy   x y z  yz xz   yz xy   xy xz            2 z  y  x  y z   z y  x  x Giải: Theo BĐT (I) ta có: S  2( x  z )  4( x  y ) 4 xz  xy 4 Vậy MinS = x = y = z = 1/3 Bài 19: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn điều kiện: x  y 4;3x  y 6 Tìm GTLN biểu thức: P 9 x  y 2 y.3 3( x  2)  ( y  3) Giải: Theo BĐT (I) ta có: P 3.3 x.1.1  3 3 9 a ( x  y )  b(3x  y )   4a  6b   4  62 9  ( Do a  3b 3 & a  b 2 /  a (2  3) / & b (9  3) / ) Vậy MaxP 9  x 1& y 3 Bài 20: Cho số dương a,b,c Chứng minh BĐT: 1 1 1 1        2a  b  c a  2b  c a  b  2c  a b c  1 1 1       a  b  c ( a  b)  ( a  c )  a  b a  c   1      Tương tự ta có: 16  a b c  Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta có:   1   1             a b   a c   1  1 2 1     ;      Cộng vế BĐT lại a  2b  c 16  a b c  a  b  2c 16  a b c  đơn giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c Bài 21: Cho hai số dương a,b có tổng Chứng minh BĐT sau: 1 a/   6; b /  14 ab a  b ab a  b Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có: 1 1      ab a  b 2ab 2ab a  b 2  2  6 (đpcm) Dấu xảy a b 1/ (a  b) 2ab  a  b a b 1/ Bài 22: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn điều kiện: a  b  c 3/ Chứng minh: a  b  c  1/ a  1/ b  1/ c 15/ Bài 23: Ba số dương x,y,z có tích Chứng minh: x  y  z  x  y  z ( x  y  z )2 2 Giải: Áp dụng BĐT (II) (I) ứng với n = ta có: x  y  z  ( x  y  z ) x yz ( x  y  z ) xyz x  y  z (đpcm) Dấu xảy x  y  z 1 a b2 c a b c Chú ý: Từ BĐT ta suy BĐT:      với a,b,c số dương b c a b c a Bài 24: Cho a  c  0; b  c  Chứng minh: c(b  c)  c(a  c)  ab Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai số ( c ; a  c ) & ( b  c ; c ) ta được: ( c(b  c)  c(a  c)) (c  a  c)(b  c  c) ab từ suy BĐT ccm Dấu xảy ab c(a  b) Bài 25: Cho số dương x,y,a,b thỏa man điều kiện: a  x; a  b  x  y Chứng minh: x2 (a  x) a2   x  y a b  x  y a b 10  x a x ;  & ( x  y ; a  b  x  y ) ta  x  y a b  x  y   Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai số    x2 (a  x)   được:   ( x  y  a  b  x  y ) ( x  a  x) từ suy BĐT ccm Dấu  x  y a b  x  y  xảy bx = ay Bài 26: Bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức: a  b  c  d 1; x số thực Chứng minh: ( x  ax  b)  ( x  cx  d ) (2 x  1)2 Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = ta có: ( x  ax  b) ( x  x  12 )( x  a  b ); ( x  cx  d ) ( x  x  12 )( x  c  d )  ( x  ax  b)2  ( x  cx  d )  (2 x  1)( x  a  b  x  c  d ) (2 x  1) (đpcm) Dấu xảy b=d=1&x=a=c x y z    Bài 27: Cho số dương x,y,z,p,q Chứng minh: py  qz pz  qx px  qy p  q Giải: Theo BĐT (III) ta có: x( py  qz )  y ( pz  qx )  z ( px  qy ) ( p  q )( xy  yz  zx )    x y z ; ; ( p  q )( x  y  z ) / (*) Áp dụng BĐT (II) cho hai số   py  qz pz  qx px  qy   ( x( py  qz ); y ( pz  qx); z ( px  qy )) ta được:  x y z       x( py  qz )  y ( pz  qx)  z ( px  qy )  ( x  y  z )  py  qz pz  qx px  qy  Kết hợp với BĐT (*) ta BĐT ccm Dấu xảy khi; py  qz  pz  qx  px  qy Bằng cách giải tương tự ta chứng minh BĐT sau: 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ a b c    với a,b,c số dương bc a c b a a b c d    2 với a,b,c,d số dương b c d c d a a b a2 b2 c2 a b c với a,b,c số dương    bc a c ba a2 b2 c2   a  b  c với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác bc a a c b ba  c a b c   3 với a,b,c độ dài ba cạnh tam giác b c  a a c  b b a  c 11 Bài 28: Cho số thực x,y,u,v thỏa mãn điều kiện: x  y u  v 1 Chứng minh: u ( x  y )  v( x  y )  Giải: Theo BĐT (II) : y )  v( x  y )  (u  v )  ( x  y )  ( x  y )  2( x  y ) 2 Từ suy BĐT cần chứng minh Dấu xảy u ( x  y ) v ( x  y ) Bài 29: Cho a,b,c số dương thỏa mãn điều kiện: a  b  c 1 Chứng minh: a3 b3 c3    bc a c ba  a b3 c3    Giải: Theo BĐT (II) ta có:    a(b  c )  b(a  c )  c(b  a )   b  c a  c b  a    u( x  (a  b  c )2 (a  b  c ) ab  bc  ca Từ ta suy BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c  / Bài 30: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x( x  1)  y ( y  1)  z ( z  1) 4 / Chứng minh:   x  y  z 4 Giải: Từ điều kiện ta suy ra: ( x  1/ 2)  ( y  1/ 2)  ( z  1/ 2) 25/12 Áp dụng BĐT (II) ta được:  1.( x  1/ 2)  1.( y  1/ 2)  1.( z  1/ 2)  3  ( x  1/ 2)  ( y  1/ 2)  ( z  1/ 2)  25/  x  y  z  3/ 5 /   5/  x  y  z  3/ 5/    x  y  z 4 (đpcm) Dấu xảy x  y  z 4 / Bài 31: Hai số a,b thỏa mãn điều kiện: a  b  16 8a  6b Chứng minh: a /10 4a  3b 40; b / 7b 24a Giải: a/ Từ điều kiện ta suy ra: ( a  4)  (b  3) 9 Áp dụng BĐT (II) ta được:  (a  4)  (b  3)  (4  32 ) 9.25  4a  3b  25 15   15 4a  3b  25 15  10 4a  3b 40 (đpcm) Dấu xảy a = 24/5,b = 24/3  4(a  4)  3(b  3) a = 16/5, b = 6/5 Bài 32: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: x  y  z  x  z 0 Tìm GTNN GTLN biểu thức: S 2 x  y  z Bài 33: Cho a,b,c ba số không âm thỏa mãn hệ thức: a  b  c  Tìm GTNN biểu thức: S  a  ab  b  c  cb  b  a  ac  c 12 Giải: Theo BĐT (II) ta có: 2 2    b 3b       b b  2 (a  ab  b )   a      a    ( a  b )    1            2        a  ab  b  3(a  b) / Tương tự ta có: c  cb  b  3(c  b) / ; c  ca  a  3(c  a ) /  S  3(a  b  c) 3 Vậy MinS = a b c  / II.Sử dụng phương pháp đánh giá: Bài 34: Cho số dương a,b,c Chứng minh BĐT sau: 1 1 a/    ; a  b3  abc c  b3  abc a  c  abc abc 1 a b c b/    a  bc b  ac c  ab 2abc Giải:a/Ta có: a  b3  abc (a  b)(a  ab  b )  abc (a  b)ab  abc ab(a  b  c )  1 c    Tương tự ta có BĐT: a  b3  abc ab (a  b  c ) abc (a  b  c ) 3 c  b  abc  a b ;  Cộng vế BĐT abc(a  b  c ) c  a  abc abc (a  b  c ) lại giản ước ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c 1 bc b  c    a  bc 2a bc 2abc 4abc ac ba Tương tự ta có:  ;  Cộng vế BĐT lại đơn b  ac 4abc c  ab 4abc giản ta BĐT cần chứng minh Dấu xảy a b c Bài 35: Cho số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: x  y  z 3 Tìm GTNN biểu thức: 1 P    xy  zy  zx ab cb ac   1 Bài 36: Cho số dương a,b,c có tổng Chứng minh: S  2 c 2 a 2 b Bài 37: Cho số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1/ a  1/ b  1/ c 3 Tìm GTLN biểu b/ Theo BĐT (I) ta có: a  bc 2a bc   thức: 13 S ab cb ac   a  b3 c  b3 a  c Bài 38: Cho ba số dương x,y,z có tích Tìm GTNN biểu thức: S  log 22 x   log 22 y   log 22 z  Giải: Ta có: (log x  1) (log x  1) (log x  1) S    ( log x   log y   log z  1) 2 2   log xyz  3 Vậy MinS 3 x  y  z 2 2 Bài 39: Cho số thực x,y,z có tổng Tìm GTNN biểu thức: S  x  y  z  xyz 11  Giải: Theo BĐT (II) ta có: x  y  z  ( x  y  z )   ( x  y  z )   Áp 33 27  4 dụng x4  y4  z  1 1/ 27 xyz BĐT (I) ta được: S    x  y4  z4     xyz   4 4  4.27 4   xyz  xyz  xyz 0 Vậy MinS 0 x  y  z 1/ 4.27 Bài 40: Cho số dương x,y,z bất kì.Tìm GTNN biểuthức: x2 y2 z2 S   x  yz y  yx z  yx Bài 41: Cho số dương x,y,z Chứng minh: 2x 2y 2z 1 S      6 y z z x x y x y z III.Chứng minh BĐT hoặctìm cực trị phương pháp đổi biến: Bài 42: Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: ab  bc  ca abc Chứng minh BĐT: b  2a c  2b a  2c S    ab cb ac Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c điều kiện trở thành: x  y  z 1 BĐT trở thành: S  x  y  y  z  z  x  Theo BĐT (II) ta có: S  ( x  y )2 /  ( y  z ) /  ( z  x) / 3( x  y  z ) /  (đpcm) Dấu xảy x  y  z 1/ hay a b c 3 14 Bài 43: Cho số thực dương x,y,z có tích Chứng minh BĐT: 1 S    x ( y  z ) y ( x  z ) z ( y  x) Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c điều kiện trở thành: abc 1 BĐT trở thành: a2 b2 c2 S    Áp dụng BĐT (II)&(I) ta có ngay: bc a c ba (a  b  c) a  b  c S   2(a  b  c) 2 Dấu xảy a b c 1 hay x  y  z 1 Bài 44: Cho số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: 1/ x  1/ y  1/ z 1 Chứng minh BĐT: x  yz  y  xz  z  yx  xyz  x  y  z Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c điều kiện trở thành: a  b  c 1 BĐT trở thành: a  bc  b  ac  c  ab 1  ab  bc  ca Ta có: a  bc  a (a  b  c)  bc  a  2a bc  bc  (a  bc ) a  bc Tương tự ta có: b  ac b  ac ; c  ab c  ab Cộng BĐT lại ta BĐT ccm Dấu xảy a b c 1/ hay x  y  z 3 Bài 45: Cho hai số thực x,y khác thỏa mãn điều kiện: x  y 2 x y  y x Tìm GTNN GTLN biểu thức: S 2 / x  1/ y Giải: Đặt u 1/ x & v 1/ y điều kiện trở thành: u  v u  2v  (u  1/ 2)  (v  1) 5 / Theo BĐT (II) ta có: ( S  2)2  2(u  1/ 2)  v  1 (22  12 )  (u  1/ 2)2  (v  1)  25/   5/ S  5/   0,5 S 4,5 Vậy MinS = - 0,5 x = - 2; y = MaxS = 4,5 x = y = 2/3 Bài 47: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x  y 1 Tìm GTNN biểu thức: S ( x  1)(1  1/ y )  ( y  1)(1  1/ x) Bài 46: Hai số thực x,y thỏa mãn điều kiện: y 0 & x  x  y  12 Tìm GTNN GTLN biểu thức: A  xy  x  y  17 Giải: Từ điều kiện ta suy ra: y  x  x  12 0    x 3 ; đồng thời A  f ( x)  x  3x  x  Từ BBT hàm số ta suy ra: x f’(x) MaxA Maxf ( x)  f ( 3)  f (3) 20   4;3 MinA Minf ( x)  f (1)  12 -4 + -3 - 20 13 + 20 f(x) 15 -12   4;3 Bài 48: Cho số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x  y 1 Tìm GTNN GTLN x  xy  biểu thức: T  xy  y  3 x  xy  y 2 y 0 đặt Giải: Từ điều kiện ta suy ra: T  2 Nếu y 0  x 1  T 1 Nếu x  xy  y 3t  2t  t x / y  T   (3T  3)t  2(T  1)t  T  0(*) (*) khơng có nghiệm 3t  2t  T=1 Với T 1,(*) có  ' (T  1)( 2T  4) 0  T  Kết hợp với ta có: MinT=-2 x  10 /10; y 3 10 /10 MaxT=1 x 1 y = Bài 49: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: x  y 5 / Tìm GTNN biểu thức: S 4 / x  1/ y Bài 50: Cho hai số khơng âm x,y có tổng Tìm GTNN GTLN biểu thức: S   x 2008   y 2008 1004 x 2007 1004(1  x )2007 2008 2008   (1  x) f '( x)   Giải: Ta có: S  f ( x)   x 2008 1 x  (1  x) 2008 f '( x) 0  x 2007  (1  x) 2008 (1  x) 2007  x 2008  x 4014 1  (1  x) 2008   (1  x) 4014 (1  x 2008 )   x 4014  (1  x)4014   x 2008 (1  x) 2008  x 2006  (1  x)2006  0  (2 x  1) P1 ( x)  x 2008 (1  x) 2008 (2 x  1) P2 ( x) 0  x  0  x 1/ ( Vì x  x khơng đồng thời nên P1 ( x)  0; P2 ( x)  ) Do f (0)  f (1) 1  2; f (1/ 2) 2  1/ 2008  MaxS 1  2; MinS 2  1/ 2008 16 ... 6: Khai triển (x- 2 )10 0 =a0 +a 1x+ a 2x2 +… +a1 0 0x1 00 a) Tìm a9 7 c) S =a0 -a1 +a2 -a3 +…. +a1 00 d/P =a1 + 2a2 + 3a3 +… +10 0a1 00 10 0 Gi? ?i: a/ Do ( x  2) b) T= a0 +a1 +… +a1 00 10 0 k  C100 x1 00 k ( 2) k  a9 7 C100... n ? ?1 4 /Khai triển ? ?a thức P (x) =   x  x  ta có P (x) = a 21 x 21  a2 0 x 20   a1 x  a0 Tìm hệ số a 11 n 5 /Tìm hệ số số hạng ch? ?a x8 khai triển nhị thức NiuTơn (  x ) , biết x Cnn 41 ... 7: Khai triển: (1+ 2x+ 3x2 )10 = a0 +a 1x+ …. +a2 0x2 0 a) Tìm a1 , a2 0 , a4 b) Tính S = a0 +a1 +… +a2 0 Gi? ?i: a/ Ta có: 10 10 10 k 10 k 10  k (1  x  x )  (1  x)  3x   C (1  x) (3 x )  k 0 10 10