DAO ĐỘNG PHI TUYẾN YẾU CỦA HỆ CẤP BA CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - BÙI THỊ THUÝ DAO ĐỘNG PHI TUYẾN YẾU CỦA HỆ CẤP BA CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ HỌC HÀ NỘI – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ …… ….***………… BÙI THỊ THUÝ DAO ĐỘNG PHI TUYẾN YẾU CỦA HỆ CẤP BA CÓ ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SỸ CƠ HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Văn Khang TS Trần Đình Sơn Hà Nội – 2017 i DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT LỜI CAM ĐOAN số nguyên dương Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng chưa số p, q, r , ,  , Q công bố cơng trình khác Các số liệu, kết nêu luận án đạo hàm cấp n hàm f f  n  t  trung thực đạo hàm tích phân cấp phân số p hàm f Dap f  t  n, N G Dap f  t  R Dap f  t  đạo hàm tích phân cấp phân số theo Grünwald - Letnikov Tác giả luận án đạo hàm tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville C Dap f  t  đạo hàm cấp phân số theo Caputo W p D f t  tích phân cấp phân số theo Weyl Bùi Thị Thuý đạo hàm cấp phân số theo Davision – Essex D_E D0p f  t     hàm Gamma    hàm Beta  . hàm Mittag – Leffler tham số E ,  . hàm Mittag – Leffler hai tham số Trung bình theo thời gian x Đạo hàm theo thời gian x MPS Mô số MỤC LỤC ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Văn Khang TS Trần Đình Sơn tận tình hướng dẫn bảo tơi suốt thời gian thực luận án Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo tham gia giảng dạy đào tạo trình học nghiên cứu sinh Tôi xin cảm ơn Viện Cơ học, Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn Lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam tạo điều kiện giúp tơi hồn thành luận án Tơi xin bày tỏ cảm ơn tới đơn vị công tác Bộ môn Cơ lý thuyết, Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Mỏ - Địa chất ủng hộ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình làm nghiên cứu sinh Xin cảm ơn ThS Dương Văn Lạc Kỹ sư Trương Quốc Chiến, cảm ơn gia đình bạn bè khích lệ, động viên giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt luận án iii DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT n, N số nguyên dương p, q, r , ,  , Q số f  n  t  đạo hàm cấp n hàm f Dap f  t  đạo hàm tích phân cấp phân số p hàm f Dap f  t  G đạo hàm tích phân cấp phân số theo Grünwald – Letnikov R Dap f  t  đạo hàm tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville C Dap f  t  đạo hàm cấp phân số theo Caputo W p D f t  tích phân cấp phân số theo Weyl D_E D0p f  t  đạo hàm cấp phân số theo Davision – Essex    hàm Gamma    hàm Bêta  . hàm Mittag – Leffler tham số E ,  . hàm Mittag – Leffler hai tham số Trung bình theo thời gian x Đạo hàm theo thời gian x MPS Mô số MỤC LỤC Lời cam đoan ………………………………………….……………………………i Lời cảm ơn …………………………………………………………… ii Danh mục từ viết tắt iii Mục lục Danh mục hình Mở đầu Chương Mơ hình đàn nhớt cấp phân số 11 1.1 Một số kiến thức bổ trợ ……………………………………………………… 11 1.1.1 Khái niệm định nghĩa mở đầu đạo hàm tích phân cấp nguyên 11 1.1.2 Hàm Gamma 12 1.1.3 Hàm Mittag – Leffler 16 1.1.4 Biểu thức hợp đạo hàm tích phân cấp nguyên 18 1.2 Định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số …………………………… 21 1.2.1 Định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số theo Riemann – Liouville 21 1.2.2 Định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số theo Grünwald – Letnikov 22 1.2.3 Định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Caputo 24 1.2.4 Định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số theo hàm biến phức 25 1.2.5 Một số định nghĩa đạo hàm tích phân cấp phân số khác 28 1.3 Mơ hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính …………………………………… 29 1.3.1 Mơ hình Kelvin – Voigh cấp phân số (3 tham số c, k, α) 30 1.3.2 Mơ hình Maxwell cấp phân số (3 tham số c, k, α) 31 1.3.3 Mơ hình tuyến tính tiêu chuẩn cấp phân số (4 tham số c, k1, k2, α) 32 1.3.4 Mơ hình đàn nhớt hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 33 1.4 Mơ hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến …………………………………… 35 1.5 Kết luận chương …………………………………………………………… 38 Chương Tính tốn dao động hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số phương pháp số 39 2.1 Phương pháp Newmark tính tốn dao động hệ động lực cấp ba………… 39 2.1.1 Ý tưởng phương pháp Newmark 39 2.1.2 Tính tốn dao động tuyến tính hệ cấp ba 41 2.1.3 Tính tốn dao động phi tuyến hệ cấp ba 41 2.1.4 Tính tốn dao động hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 42 2.2 Phương pháp Runge – Kutta tính tốn dao động hệ động lực cấp một… 51 2.2.1 Ý tưởng phương pháp Runge – Kutta 51 2.2.2 Tính tốn dao động hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 52 2.3 Kết luận chương 2…………………………………………………………… 62 Chương Tính tốn dao động cộng hưởng hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số phương pháp tiệm cận 64 3.1 Dao động cộng hưởng hệ mơ tả phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số …………………………………………………… 64 3.1.1 Dao động cộng hưởng cưỡng hệ Duffing cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 64 3.1.2 Dao động cộng hưởng hệ van der Pol cưỡng cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 73 3.2 Dao động cộng hưởng tham số hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số ……………………………………………………………………… 82 3.2.1 Dao động cộng hưởng hệ có ma sát Coulomb cản nhớt theo luật đạo hàm cấp phân số 82 3.2.2 Dao động cộng hưởng hệ có ma sát động cản nhớt theo luật đạo hàm cấp phân số 95 3.3 Kết luận chương ………………………………………………………… 108 Kết luận chung đóng góp luận án 109 Danh mục cơng trình cơng bố 111 Tài liệu tham khảo 112 DANH MỤC HÌNH Hình 1.1 Chu tuyến L 26 Hình 1.2 Chu tuyến tích phân gồm L1, L2 γ .27 Hình 1.3 Mơ hình đàn hồi tuyến tính   E.D 0  30 Hình 1.4 Mơ hình nhớt tuyến tính cấp nguyên    D1  30 Hình 1.5 Mơ hình nhớt tuyến tính cấp phân số   c.Dt   30 Hình 1.6 Mơ hình Kelvin – Voigh 30 Hình 1.7 Phân tích lực .30 Hình 1.8 Mơ hình Maxwell .31 Hình 1.9 Phân tích lực .31 Hình 1.10 Mơ hình tuyến tính tiêu chuẩn 32 Hình 1.11 Phân tích lực 32 Hình 1.12 Mơ hình tô 33 Hình 1.13 Phân tích lực 33 Hình 1.14 Mơ hình giá treo tơ 34 Hình 1.15 Phân tích lực 34 Hình 1.16 Mơ hình cổ điển 35 Hình 1.17 Mơ hình 35 Hình 1.18 Hệ dao động chịu kích động va đập .36 Hình 1.19 So sánh mơ hình lý thuyết IIa thực nghiệm với h = 30mm .37 Hình 1.20 So sánh mơ hình lý thuyết IIIc thực nghiệm với h = 60mm 38 Hình 2.1 Dịch chuyển theo thời gian hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số p  0.5, a  1.3, b  0.5, c  0.25, f  .45 Hình 2.2 Dịch chuyển theo thời gian hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp   phân số p  0.5, a  1.3, b  0.5, c  0.25, f  sin  t   .46 3  Hình 2.3 Dịch chuyển theo thời gian hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số p  0.5, a  10, b  1, c  10 46 Hình 2.4 Dịch chuyển theo thời gian hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số p  1.5, a  1, b  1, c  1, f  49 Hình 2.5 Dịch chuyển theo thời gian hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp   phân số p  1.5, a  1, b  1, c  1, f  sin  t   50  3 Hình 2.6 Dịch chuyển theo thời gian hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số p  1.5, a  10, b  1, c  10 51 Hình 2.7 Xấp xỉ tích phân cơng thức hình thang 54 Hình 2.8 Dịch chuyển theo thời gian hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số p  0.5, a  1.3, b  0.5, c  0.25, f  .56 Hình 2.9 Dịch chuyển theo thời gian hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp   phân số p  0.5, a  1.3, b  0.5, c  0.25, f  sin  t   .57 3  Hình 2.10 Dịch chuyển theo thời gian hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số p  1.5, a  1, b  1, c  1, f  .61 Hình 2.11 Dịch chuyển theo thời gian hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm   cấp phân số p  1.5, a  1, b  1, c  1, f  sin  t   61  3 Hình 2.12 Dịch chuyển theo thời gian hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số p  1.5, a  10, b  1, c  10 62 Hình 3.1 Đường cong biên độ tần số  p thay đổi .70 Hình 3.2 Đường cong biên độ tần số  p  0; p  0.25 .71 Hình 3.3 Đường cong biên độ tần số  p  1; p  71 Hình 3.4 Đường cong biên độ tần số  p  1; p  0.25 71 Hình 3.5 Đường cong biên độ tần số  p  1; p  72 Hình 3.6 Đường cong biên độ tần số E thay đổi .72 Hình 3.7 Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS  p  0.5; p  0.5 73 Hình 3.8 Đường cong biên độ tần số  p thay đổi .79 Hình 3.9 Đường cong biên độ tần số p thay đổi 79 Hình 3.10 Đường cong biên độ tần số  p  0; p  0.5 80 Hình 3.11 Đường cong biên độ tần số  p  1; p  0.25 80 Hình 3.12 Đường cong biên độ tần số  p  1; p  0.5 81 Hình 3.13 Đường cong biên độ tần số  p  1; p  0.75 81 Hình 3.14 Đường cong biên độ tần số E thay đổi .82 Hình 3.15 Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS  p  1; p  0.5 82 Hình 3.16 Đường cong biên độ tần số  p thay đổi 92 Hình 3.17 Đường cong biên độ tần số p thay đổi 93 Hình 3.18 Đường cong biên độ tần số h0 thay đổi 93 Hình 3.19 Đường cong biên độ tần số  p  0.01; p  0.5 94 Hình 3.20 Đường cong biên độ tần số MPS  p  0.01; p  0.5 94 Hình 3.21 Đường cong biên độ tần số  p  0; p  0.5 94 Hình 3.22 Đường cong biên độ tần số MPS  p  0; p  0.5 .95 Hình 3.23 Đường cong biên độ tần số  p thay đổi 104 Hình 3.24 Đường cong biên độ tần số p thay đổi 105 Hình 3.25 Đường cong biên độ tần số h2 thay đổi 105 Hình 3.26 Đường cong biên độ tần số  p  0; p  0.5; h2  0.01 106 Hình 3.27 Đường cong biên độ tần số  p  0.01; p  0.5; h2  0.01 .107 Hình 3.28 Đường cong biên độ tần số  p  0.01; p  0.5; h2  0.1 107 Hình 3.29 Đường cong biên độ tần số MPS  p  0.01; p  0.5; h2  0.005 108 104 p   3ka0    ka02   p p cos    p 8 8    2     ha02   p p 1 sin  h2 a0   ha0  h2   3 3    (3.180) 3.2.2.4 Đồ thị đường cong biên độ tần số Ta chọn tham số sau để nghiên cứu ảnh hưởng tham số đạo hàm cấp phân số đường cong biên độ tần số   1,  1,   1,  p  0.01, p  0.5, k  0.1, h  0.01, h2  0.001, c  0.05,   2 Khi đó, phương trình vi phân dao động hệ có dạng x  x  x  x   0.1x3  0.01x3  0.001x sign x  0.01D1/2 x  0.05 x cos t   (3.181) Sử dụng phương trình đường cong biên độ tần số (3.171), ta có đường cong biên độ tần số biểu diễn hình 3.23 – 3.29 Trong đó, đường nét liền biểu diễn nghiệm ổn định, đường nét đứt biểu diễn nghiệm không ổn định miền gạch chéo miền không ổn định bất phương trình (3.179) (3.180) khơng thoả mãn Hình 3.23 Đường cong biên độ tần số  p thay đổi 105 Hình 3.24 Đường cong biên độ tần số p thay đổi Hình 3.25 Đường cong biên độ tần số h2 thay đổi Khi hệ số  p thay đổi, cấp phân số p  0.5 , đường cong biên độ tần số biểu diễn hình 3.23 Nếu hệ số  p  0.01 thay đổi cấp phân số p, ta đạt đường cong biên độ tần số hình 3.24 Ta nhận thấy cấp phân số p tăng biên độ dao động giảm, hệ số đạo hàm cấp phân số  p tăng biên độ dao động khơng tăng pha dao động thay đổi 106 Hình 3.25 đường cong biên độ tần số với giá trị khác hệ số ma sát h2  p  0.01, p  0.5 Từ đồ thị trên, thấy ảnh hưởng quan trọng hệ số ma sát đường cong biên độ tần số Khi hệ số ma sát h2 tăng biên độ dao động giảm Khi  p = 0; p = 0.5; h2 = 0.01, từ phương trình (3.170) (3.131) với tham số chọn trên, phương trình đường cong biên độ tần số có dạng 2 0.3   0.03 0.08  0.052  2 (3.182)    a     a0  a0   0   0   3   Khi  p = 0.01; p = 0.5; h2 = 0.01, phương trình đường cong biên độ tần số có dạng 2 0.3 0.03 0.08     0.05 a0  0.005   1    a0  a0  0.005   0 1    4 3     (3.183) Đặt 12    0.005 , phương trình (3.183) có dạng phương trình (3.182) Do đó, tịnh tiến đường cong biên độ tần số  p = sang phải đoạn 0.005 ta đồ thị đường cong biên độ tần số  p = 0.01 Ta nhận thấy hình 3.26 hình 3.27 Hình 3.26 Đường cong biên độ tần số  p  0; p  0.5; h2  0.01 107 Hình 3.27 Đường cong biên độ tần số  p  0.01; p  0.5; h2  0.01 Hình 3.28 Đường cong biên độ tần số  p  0.01; p  0.5; h2  0.1 Với giá trị  , ta có phương trình vi phân dao động tương ứng Áp dụng phương pháp số Runge – Kutta, ta tính tốn dao động hệ Sau đó, xác định biên độ dao động hệ giai đoạn dao động điều hòa tương ứng với giá trị  Trên hình 3.29, chấm trịn nghiệm tìm thông qua phương pháp số Sự phù hợp tốt kết giải tích kết số rõ ràng nhận thấy 108 Hình 3.29 Đường cong biên độ tần số MPS  p  0.01; p  0.5; h2  0.005 3.3 Kết luận chương Nhiều hệ động lực mô tả phương trình vi phân gồm số hạng tuyến tính với hệ số số hạng phi tuyến tương đối nhỏ so với số hạng tuyến tính Chương áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng hưởng hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số mơ tả phương trình vi phân có dạng Ưu điểm phương pháp tính đơn giản, đặc biệt việc tính tốn xấp xỉ bậc cao khả ứng dụng vào lớp lớn toán phi tuyến yếu Sử dụng phương trình biên độ tần số, đường cong biên độ tần số vẽ thông qua phần mềm Matlab, đường nét liền nghiệm ổn định, đường nét đứt nghiệm không ổn định miền gạch miền khơng ổn định Những chấm trịn ký hiệu nghiệm mơ số Ta thấy có phù hợp nghiệm số nghiệm giải tích Đường cong biên độ tần số ảnh hưởng quan trọng đạo hàm cấp phân số hệ động lực xem xét Ảnh hưởng hệ số cấp đạo hàm cấp phân số nghiệm minh hoạ thông qua đường cong biên độ tần số Do đó, hệ tối ưu hố thơng qua việc chọn tham số cấp phân số phù hợp 109 KẾT LUẬN CHUNG VÀ NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN Kết luận chung Tích phân đạo hàm cấp phân số lĩnh vực toán học quan tâm nghiên cứu Về phương diện học, số mơ hình vật liệu mà quan hệ ứng suất biến dạng mô tả đạo hàm cấp phân số số quy luật cản, thực nghiệm, thấy cần phải mô tả tích phân đạo hàm cấp phân số Do việc nghiên cứu dao động hệ có đạo hàm cấp phân số cần thiết có ý nghĩa thực tế Trong luận án áp dụng khái niệm đạo hàm tích phân cấp phân số nghiên cứu dao động số hệ cấp ba có phần tử cấp phân số Các phương pháp sử dụng luận án phương pháp số phương pháp tiệm cận Những đóng góp luận án Một số kết đạt sau: Dựa ý tưởng phương pháp tích phân Newmark định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Riemann – Liouville, thuật toán số tính tốn đáp ứng động lực hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số phát triển Áp dụng phương pháp Runge – Kutta định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Riemann – Liouville xây dựng thuật tốn tìm đáp ứng hệ động lực cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số Phương pháp có ưu điểm việc tính tốn lập trình phần mềm Matlab Áp dụng phương pháp tiệm cận tính tốn dao động cộng hưởng số hệ phi tuyến yếu cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số: hệ Duffing, hệ van der Pol, hệ có ma sát Coulomb hệ có ma sát động Nội dung phần: thiết lập biểu thức nghiệm phương pháp tiệm cận, đường cong biên độ - tần số, khảo sát ổn định dao động dừng, đồ thị đường cong biên độ - tần số 110 Những kết số mô số dao động hệ phi tuyến yếu cấp ba cho biết ảnh hưởng tham số đạo hàm cấp phân số tính ổn định, đường cong biên độ tần số hệ Một vài thí dụ: • Đạo hàm cấp phân số p tăng: biên độ dao động giảm • Hệ số  p đạo hàm cấp phân số tăng: biên độ dao động giảm trường hợp hệ Duffing; trường hợp hệ van der Pol, hệ có ma sát Coulomb hệ có ma sát động, biên độ dao động không giảm pha dao động thay đổi • Qua phân tích ảnh hưởng tham số đạo hàm cấp phân số tính ổn định, thấy rằng: tần số lực kích động lớn tham số đạo hàm cấp phân số nhỏ tính ổn định nghiệm dừng tốt Kết đóng vai trị quan trọng việc điều khiển tối ưu hoá hệ động lực Một số vấn đề tiếp tục mở rộng nghiên cứu - Nghiên cứu áp dụng phương pháp số phương pháp tiệm cận tính tốn dao động hệ kỹ thuật có sử dụng vật liệu silicon, cao su tổng hợp - Nghiên cứu áp dụng phương pháp số phương pháp tiệm cận nghiên cứu dao động đàn hồi có cản cấp phân số 111 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien (2016), “Resonance oscillation of third order forced van der Pol system with fractional order derivative”, ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol.11, Issue 4, pp 0410301-0410305 Nguyen Van Khang, Tran Dinh Son, Bui Thi Thuy (2012), “Numerical calculating linear vibrations of third order systems involving fractional operators”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol 34, No 2, pp 91 – 99 Nguyen Van Khang, Bui Thi Thuy, Truong Quoc Chien (2016), “Calculating resonance oscillation of third order Duffing system with fractional order derivative using the asymptotic method”, Journal of Science & Technology, No.112 (2016), pp 65 – 69 Bui Thi Thuy, Nguyen Van Khang, Truong Quoc Chien (2016), “Nonlinear oscillations in third order autonomous Duffing system involving fractional order derivatives”, Proceedings of the 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation – ICEMA4, Hanoi 25-26/08/2016, pp 165 -171 Bùi Thị Th (2015), “Tính tốn dao động cộng hưởng hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số phương pháp tiệm cận”, Tuyển tập Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng 03-05/08/2015, tr 247 – 254 112 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt Trương Quốc Chiến (2015), Dao động phi tuyến hệ Duffing có chứa đạo hàm cấp phân số, Đồ án tốt nghiệp đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Nguyễn Văn Khang (2009), “Bài giảng Động lực học hệ có đạo hàm cấp phân số”, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Nguyễn Văn Khang (2004), “Dao động kỹ thuật”, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội Dương Văn Lạc (2014), Tính tốn dao động móng máy đàn nhớt cấp phân số, Đồ án tốt nghiệp đại học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Dương Văn Lạc (2016), Phát triển phương pháp Runge – Kutta – Nystrӧm tính tốn dao động hệ có phần tử đàn nhớt cấp phân số, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Bùi Thị Thuý (2010), Góp phần nghiên cứu dao động phi tuyến hệ có đạo hàm cấp phân số, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội Tài liệu tiếng Anh Atanackovic, T M., Spasis, D T (2004), “On Viscoelastic Compliant Contact-Impact Models”, ASME J Appl Mech., Vol.71, pp 134-138 Bagley, R.L and Torvik, P.J (1983a), “A theoretical Basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity”, J of Rheology, Vol 27, pp 201210 Bagley, R.L and Torvik, P.J (1983b), “Fractional Calculus – A different approach to the analysis of viscoelastically damped structures”, AIAA J., Vol 21, No 5, pp 741 – 748 10 Baker, W.P., Eldred, L.B, and Palazotto, A.N (1996), “Viscoelastic material response with a fractional derivative constitutive model”, AIAA J., Vol 34, No 3, pp 596 – 600 113 11 Baleanu, D., et al.(eds) (2012), Fractional Dynamics and Control, Springer, New York 12 Caputo, M (1966), “Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent”, Annali Geofis., Vol 19, pp 383 – 393 13 Caputo, M (2008), “Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent – II”, Geophys J Roy Astron Soc., Vol 13, pp 529–539 (1967); reprinted in Fract Calc Appl Anal., Vol 11, pp 4–14 14 Caputo, M (1976), “Vibrations of an infinite plate with a frequency independent Q”, J Acoust Soc Am., Vol 60, No 3, pp 634 – 639 15 Caputo, M.Mainardi, F (2007), “A new dissipation model based on memory mechanism”, Pure Appl Geophys., 91, pp 134–147 (1971); reprinted in Fract Calc Appl Anal , Vol 10, pp 310–323 (2007) 16 Caputo, M., Mainardi, F (1971), “Linear models of dissipation in anelastic solids”, Rivista del Nuovo Cimento, Vol 1, pp 161–198 17 Chern, J.-T (1993), Finite element modeling of viscoelastic materials on the theory of fractional calculus, Ph.D thesis, Pennsylvania State University 18 Nguyen Van Dao (1979), Nonlinear oscillations of higher order systems, NCSR Vietnam, Hanoi 19 Nguyen Van Dao (1998), Stability of dynamic systems with examples and solved problems, VNU Publishing House, Hanoi 20 Diethelm, K (1997), “An Algorithm for the Numerical Solution of Differential Equations of Fractional Order”, IMA J Numer Anal., Vol.5, pp 1-6 21 Diethelm, K (2003), Fractional Differential Equations, Vorlesungsskript der TU Braunschweig 22 Diethelm, K., Freed, A.D (1999), “On the solution of nonlinear fractional differential equations used in the modeling of viscoplasticity”, In: Keil, F., Mackens, W., Voß, H., Werther, J (eds.) Scientific Computing in Chemical Engineering II: Computational Fluid Dynamics, Reaction Engineering, and Molecular Properties, pp 217–224 Springer, Heidelberg 23 Diethelm, K., Freed, A.D (1999), “The FracPECE subroutine for the numerical solution of differential equations of fractional order”, In: Heinzel, 114 S., Plesser, T (eds.) Forschung und wissenschaftliches Rechnen: Beitrӓge zum Heinz-Billing-Preis 1998, pp 57–71 Gesellschaftfür wissenschaftliche Datenverarbeitung, Gӧttingen 24 Freed, A.D., Diethelm, K., Luchko, Y (2002), Fractional-order viscoelasticity (FOV): constitutive development using the fractional calculus (first annual report) Technical Memorandum 2002-211914, NASA Glenn Research Center, Cleveland 25 Diethelm, K., Ford, N J (2003), “Numerical solution of Bagley Torvik equation, Departments of Mathematics”, Manchester Centre for Computational Mathematics, Numerical Analysis Reports, No 378 26 Fukunaga, M., Shimizu, N (2003), “Initial Condition Problems of Fractional Viscoelastic Equations”, Proceedings of the 2003 ASME Design Engineering Technical Conferences, September 2-6, 2003, Chicago Illinois, VSA 27 Fukunaga, M., Shimizu, N (2004), “Role of Prehistories in the Initial Value Problems of Fractional Viscoelastic Equations”, International Journal of Nonlinear Dynamics, Vol.38, No.1-2, pp 207-220 28 Fukunaga, M., Shimizu, N (2009), “Analysis of Impulse Response of Gel by Nonlinear Fractional Derivative Models”, Proceedings of the ASME 2009 International Design Engineering Technical Conferences, September 2, 2009, San Diego, California USA 29 Fukunaga, M., Shimizu, N., Nasuno, H (2009), “A nonlinear fractional derivative model of impulse motion for viscoelastic materials”, Physica Scripta T136 (2009) 014010 (6pp) 30 Fukunaga, M., Shimizu, N (2011), “Nonlinear fractional derivative models of viscoelastic impact dynamics based on Entropy elasticity and generalized Maxwell Law”, Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol 6, 021005 (6pp) 31 Gaul, L., Klein, P., Kempfle, S (1991), “Damping description involving fractional operators”, Mech Syst Signal Process., Vol 5, pp.81–88 115 32 Gaul, L and Chen, C.M (1993), “Modeling of viscoelastic elastomer mounts in multibody systems”, Advanced multibody system dynamics, pp 257 – 276 33 Gemant, A (1936), “A method of analyzing experimental results obtained from elasto-viscous bodies”, Physics (New York), Vol 7, pp 311 – 317 34 Gemant, A (1938), “On fractional differentials”, The London Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine, Ser 25, pp 540 – 549 35 Gil-Negrete N., Vinolas J., Kari L (2009), “A Nonlinear Rubber Material Model Combing Fractional Order Viscoelasticity and Amplitude Dependent Effects”, ASME J Appl Mech, Vol.76, pp 110091-110099 36 Gorenflo, R and Abdel-Rehim E (2004), “From power laws to fractional diffusion: the direct way”, Vietnam Journal of Mathematics, Vol 32, SI pp 65-75 37 Gradshteyn, I S and Ryzhik, I M (1980), Tables of Integrals, Series and Products, Academic Press, New York 38 Ingman, D., Suzdalnitsky, J (2008), “Response of viscoelastic plate to impact”, Journal of Vibration and Acoustics, 130: 011010, 39 Ingman, D., Suzdalnitsky, J., Zeifman, M (2000), “Constitutive dynamicorder model for nonlinear contact phenomena”, ASME J Applied Mechanics, Vol 67, pp 383-390 40 Nguyen Van Khang, Truong Quoc Chien (2016), “Subharmonic resonance of Duffing oscillator with fractional-order derivative”, ASME Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol 11, pp 051018 41 Koeller, R.C (1984), “Applications of fractional calculus and theory of viscoelasticity”, Transactions of the ASME, J of Applied Mechanics, Vol 51, pp 299 – 307 42 Lavoie, J L., Osler, T J and Tremblay, R (1976), Fractional derivatives and special functions, SIAM Rev., Vol 18, 240-268 43 Lee, E.H., Rodgers, T.G (1963), “Solution of viscoelastic stress analysis problems using measured crepp or relaxation functions”, ASME J Applied Mechanics, Vol 30, pp 127-133 116 44 Leibniz, G W (1962), Mathematische Schiften, Georg Ohns Verlagsbuchhandlung, Hildesheim 45 Li, W.Q and Tsai, C.S (1994), “Seismic mitigation of structures by using viscoelastic dampers”, Nuclear engineering and design, Vol 147, pp 263 – 274 46 Miller, K.S and Ross, B (1993), An introducation to the Fractional Calculus and Fractional Diffenential Equations, John Wiley & Sons Inc., New York 47 Mitropolskii, Yu.A and Nguyen Van Dao (1997), Applied Asymptotic Methods in Nonlinear Oscillations, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht 48 Nasuno, H., Shimizu, N and Fukunaga, M (2007), “Fractional derivative consideration on nonlinear viscoelastic body” In J Sabatier, O P Agrawal and J A T Machado, editors, Advances in Fractional Calculus, Theoretical Development and Applications in Physics and Engineering, pp 363-376 Springer, Dordrecht 49 Nutting P G (1921a), “A New General Law of Deformation”, J of the Frankin Inst, Vol 191, pp 679-685 50 Nutting P G (1921b), “A Study of Elastic Viscous Deformation Proceedings American Soc for a Testing Materials”, J of the Frankin Inst, Vol 21, pp 1162-1171 51 Nutting P G (1943), “A General Stress-Strain-Time Formula”, J of the Frankin Inst, Vol 235, pp 513-524 52 Nutting P G (1946), “Deformation in Relation to Time, Pressure and Temperature”, J of the Frankin Inst, pp 449-458 53 Oldham, K.B., Spanier, J (1974), The Fractional Calculus, Academic, New York 54 Papoulia, K D and Kelly, J.M (1997), “Visco-Hyperelastic Model for Filled Rubbers Used in Vibration Isolation”, Transactions of the ASME, J of Applied Mechanics, Vol 119, pp 292 – 297 55 Podlubny, I (1999), Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego 117 56 Podlubny, I (2002), “Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation”, Fract Calc Appl Anal, Vol 5, pp 367–386 57 Ross B (1975), A brief history and exposition of the fundamental theory of the fractional calculus, Lecture Notes in Mathematics, Vol 457, SpringerVerlag, New York, pp 1-36 58 Rossikhin Yu A and Shitikova M V (1997a), “Applications of fractional calculus to dynamic problems of linear and nolinear hereditary mechanics of solids”, Appl Mech Rev., Vol 50, No 1, January 1997, pp 15-67 59 Sackman, J.L and Kelly, J.M (1991), Constitutive Modeling of Nonlinear Damping Materials, Proc of Damping ’91, Vol 1, pp 13 -15, San Diego Ca., pp EBC-1-EBC-28 60 Sakakibara S (1997), “Properties of Vibration with Fractional Derivative Damping of Order 1/2”, International Journal of JSME, Series C, Vol 40, pp 393-399 61 Scott Blair, G.W and Caffyn, J.E (1949), “An application of the Theory of Quasi-Properties to the Treatment of Anomalous Stress-Strain Relations”, Philos, May, Ser 40, pp 80-94 62 Shaw, S., Warby, M.K., Whiteman, J.R (1997): A comparison of hereditary integral and internal variable approaches to numerical linear solid elasticity, In: Proceedings of the XIII Polish Conference on Computer Methods in Mechanics, Poznan 63 Shimizu, N., Zhang, W (1999), “Fractional Calculus Approach to Dynamic Problems of Viscoelastic Materials”, International Journal of JSME, Series C, Vol 42, No 4, pp 825-837 64 Shimizu, N., Nasuno, H (2007), “Modeling and Analysis of Nonlinear Viscoelastic Systems by means of Fractional Calculus – Numerical Integration Algorithms”, International Conference on Material Theory and Nonlinear Dynamics, Hanoi 65 Suarez, L E., Shokooh, A (1995), “Response of Systems with Damping Materials Modeled using Fractional Calculus”, ASME J Appl Mech, Vol 48, No 11, pp 1-9 118 66 Suarez, L E., Shokooh, A (1997), “An Eigenvector Expansion Method for the Solution of Motion Containing Fractional Derivatives”, ASME J Appl Mech, Vol 64, pp 629-635 67 Sugimoto, N., Yamane, Y and Kakutani, T (1984a), “Torsional Shock Waves in a Viscoelastic Rod”, Trans Of the ASME, Ser E., J of Applied Mechanics, Vol 51, pp 595 – 601 68 Sugimoto, N., Yamane, Y and Kakutani, T (1984b), “Oscillatory Structured Shock Waves in a Nonlinear Elastic Rod with Weak Viscoelasticity”, Trans Of the ASME, Ser E., J of Applied Mechanics, Vol 51, pp 766 – 772 69 Sugimoto, N and Kakutani, T (1985), “Generalized Burgers’ Equation for Nonlinear Viscoelastic Waves”, Wave Motion, Vol 7, pp 447 – 458 70 Sugimoto, N (1991), “Burgers Equation with a Fractional Derivative: Hereditary Effects on Nonlinear Acoustic Waves”, J of Fluid Mechanics, Vol 225, No 4, pp 631 – 653 71 Torvik, P.J., Bagley, R.L (1984), “On the appearance of the fractional derivative in the behavior of real materials”, J Appl Mech., Vol 51, pp 294–298 72 Tsai, C.S and Lee, H.H (1993), “Applications of Viscoelastic Dampers to High-Rise Buildings”, Journal of Structural Engineering, Vol 119, No 4, pp 1222-1233 73 Tseng C-C, Pei S-C, Hsia S-C (2000), “Computation of fractional derivatives using Fourier transform and digital FIR differentiator”, Signal Processing, 80:151-159 74 Zhang W., Shimizu N (1998a), “Numerical Algorithm for Dynamic Problems Involving Fractional Operator”, International Journal of JSME, Series C, Vol 41, No 3, pp.364-370 75 Zhang W., Shimizu N (1998b), “Damping of the Viscoelastic Materials Based on Silicone Gel”, Proceedings of D & D ’98 in Hokkaido, Japan, Vol A, pp.52-55 76 Zhang W., Shimizu N (1999a), “Damping Properties of the Viscoelastic Materials Described by Fractional Kelvin – Voigt Model”, International Journal of JSME, Series C, Vol 42, No 1, pp.1-9