THI TH I HC, CAO NG NM 2010 Mụn thi : TON ( 7) I:PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) Cõu I: Cho hm s 3 2 2 ( 3) 4y x mx m x= + + + + cú th l (C m ) 1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C 1 ) ca hm s trờn khi m = 1. 2) Cho (d ) cú phng trỡnh y = x + 4 v im K(1; 3). Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m sao cho (d) ct (C m ) ti ba im phõn bit A(0; 4), B, C sao cho tam giỏc KBC cú din tớch bng 8 2 . Cõu II: 1) Gii phng trỡnh: cos2 5 2(2 - cos )(sin - cos )x x x x+ = 2) Gii h phng trỡnh: =++ =+++ yyxx yyxyx )2)(1( 4)(1 2 2 (x, y R ) Cõu III: 1) Tớnh tớch phõn I = 2 2 6 1 sin sin 2 x x dx ì + 2) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s thc m sao cho phng trỡnh sau cú nghim thc: 2 2 1 1 1 1 9 ( 2)3 2 1 0 x x m m + + + + + = Cõu IV: Cho hỡnh chúp S. ABC cú gúc ((SBC), (ACB)) = 60 0 , ABC v SBC l cỏc tam giỏc u cnh a. Tớnh theo a khong cỏch t B n mt phng (SAC). II. PHN RIấNG (3.0 im) Câu V.a: 1. Cho parabol (P): xxy 2 2 = và elip (E): 1 9 2 2 =+ y x . Chứng minh rằng (P) giao (E) tại 4 điểm phân biệt cùng nằm trên một đờng tròn. Viết p.trình đờng tròn đi qua 4 điểm đó. 2.Cho mặt cầu (S) có phơng trình 011642 222 =+++ zyxzyx và mặt phẳng ( ) có phơng trình 2x + 2y - z + 17 = 0. Viết phơng trình mặt phẳng ( ) song song với ( ) và cắt (S) theo giao tuyến là đờng tròn có chu vi bằng 6. Câu VI.a Tìm hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển nhị thức Niutơn của n x x + 4 2 1 biết rằng n là số nguyên dơng thỏa mãn: 1 6560 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 1 2 0 + = + ++++ + n C n CCC n n n nnn ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) CõuVb: 1. Cho im A(10; 2; -1) v ng thng d cú phng trỡnh 3 1 12 1 == zyx . Lp phng trỡnh mt phng (P) i qua A, song song vi d v khong cỏch t d ti (P) l ln nht. 2. Cho im A(2;3), B(3;2), ABC cú din tớch bng 3 2 ; trng tõm G ca ABC thuc ng thng (d): 3x y 8 = 0. Tỡm bỏn kớnh ng trũn ni tip ABC. CõuVIb : Tỡm cỏc s thc b, c phng trỡnh z 2 + bz + c = 0 nhn s phc z = 1 + i lm mt nghim. HNG DN GII ( S 7) I:PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7,0 im) CõuI.1.(Hc sinh t gii) 2)Phng trỡnh honh im chung ca (C m ) v d l: = + + + + = + + + + = = + + + = 3 2 2 2 0 2 ( 3) 4 4 (1) ( 2 2) 0 ( ) 2 2 0 (2) x x mx m x x x x mx m g x x mx m (d) ct (C m ) ti ba im phõn bit A(0; 4), B, C phng trỡnh (2) cú 2 nghim phõn bit khỏc 0. = > = + / 2 1 2 2 0 ( ) 2 (0) 2 0 m m m m a m g m . Mt khỏc: + = = 1 3 4 ( , ) 2 2 d K d Do ú: = = = = 2 1 8 2 . ( , ) 8 2 16 256 2 KBC S BC d K d BC BC 2 2 ( ) ( ) 256 B C B C x x y y + = vi , B C x x l hai nghim ca phng trỡnh (2). + + + = = + = 2 2 2 2 ( ) (( 4) ( 4)) 256 2( ) 256 ( ) 4 128 B C B C B C B C B C x x x x x x x x x x 2 2 1 137 4 4( 2) 128 34 0 2 m m m m m + = = = (tha K (a)). Vy 1 137 2 m = CõuII:1. Phng trỡnh (cosxsinx) 2 - 4(cosxsinx) 5 = 0 cos - sin -1 cos - sin 5( cos - sin 2) x x x x loai vi x x = = 2 2 2 sin( ) 1 sin( ) sin ( ) 4 4 4 2 x k x x k Z x k = + = = = + 2) Hệ phơng trình tơng đơng với 2 2 1 ( 2) 2 1 ( 2) 1 x x y y x x y y + + + = + + = Đặt 2yxv, y 1x u 2 += + = Ta có hệ 1vu 1uv 2vu == = =+ Suy ra =+ = + 12yx 1 y 1x 2 . Giải hệ trên ta đợc nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (-2; 5) CõuIII:1. Ta cú: I = 2 2 6 1 sin sin 2 ì + x x dx = 2 2 6 3 sin cos 2 x x dx ì . t 3 cos cos 2 x t = ì i cn: Khi 2 x cos 6 2 4 t t = = = ; khi x cos 0 2 2 t t = = = . Do vy: 2 2 4 3 sin 2 I tdt = ì = ( ) 3 2 16 + . 2. Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s thc m sao cho phng trỡnh sau cú nghim thc: 2 2 1 1 1 1 9 ( 2)3 2 1 0 x x m m + + + + + = (1) * k [-1;1]x , t t = 2 1 1 3 x+ ; [-1;1]x [3;9]t Ta cú: (1) vit li 2 2 2 2 1 ( 2) 2 1 0 ( 2) 2 1 2 t t t m t m t m t t m t + + + + = = + = Xột hm s f(t) = 2 2 1 2 t t t + , vi [3;9]t . Ta cú: 2 / / 1 4 3 ( ) , ( ) 0 3 ( 2) t t t f t f t t t = + = = = Lp bng bin thiờn t 3 9 f / (t) + f(t) 48 7 4 Cn c bng bin thiờng, (1) cú nghim [-1;1]x (2) cú nghim [3;9]t 48 4 7 m CõuIV:Gi M l trung im ca BC v O l hỡnh chiu ca S lờn AM. Suy ra: SM =AM = 3 2 a ; ã 0 60AMS = v SO mp(ABC) d(S; BAC) = SO = 3 4 a Gi V SABC - l th tớch ca khi chúp S.ABC V S.ABC = 3 3 1 . 3 16 ABC a S SO = (vtt) Mt khỏc, V S.ABC = 1 . ( ; ) 3 SAC S d B SAC SAC cõn ti C cú CS =CA =a; SA = 3 2 a 2 13 3 16 SAC a S = Vy: d(B; SAC) = . 3 3 13 S ABC SAC V a S = (vd). II. PHN RIấNG (3.0 im) Câu V.a 1Viết phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của(E) và (P) Hoành độ giao điểm của (E) và (P) là nghiệm của phơng trình 09x37x36x91)x2x( 9 x 23422 2 =+=+ (*) Xét 9x37x36x9)x(f 234 += , f(x) liên tục trên R có f(-1)f(0) < 0, f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < 0 suy ra (*) có 4 nghiệm phân biệt, do đó (E) cắt (P) tại 4 điểm phân biệt Toạ độ các giao điểm của (E) và (P) thỏa mãn hệ =+ = 1y 9 x x2xy 2 2 2 09y8x16y9x9 9y9x y8x16x8 22 22 2 =+ =+ = (**) (**) là phơng trình của đờng tròn có tâm = 9 4 ; 9 8 I , bán kính R = 9 161 Do đó 4 giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đờng tròn có phơng trình (**) 2.Viết phơng trình mặt phẳng ( ) Do () // () nên () có phơng trình 2x + 2y z + D = 0 (D 17) Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 5 Đờng tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 3. Khoảng cách từ I tới () là h = 435rR 2222 == C S O M A B Do đó = = =+= ++ ++ (loại) 17D 7D 12D54 )1(22 D3)2(21.2 222 Vậy () có phơng trình 2x + 2y z - 7 = 0 Câu VI.a Tìm hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển nhị thức Niutơn của n x x + 4 2 1 , biết rằng n là số nguyên dơng thỏa mãn: 1 6560 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 1 2 0 + = + ++++ + n C n CCC n n n nnn BG: Ta cú ( ) ++++=+= 2 0 nn n 22 n 1 n 0 n 2 0 n dxxCxCxCCdx)x1(I 2 0 1nn n 32 n 21 n 0 n xC 1n 1 xC 3 1 xC 2 1 xC + ++++= + suy ra I n n 1n 2 n 3 1 n 2 0 n C 1n 2 C 3 2 C 2 2 C2 + ++++= + (1) Mặt khác 1n 13 )x1( 1n 1 I 1n 2 0 1n + =+ + = + + (2) Từ (1) và (2) ta có n n 1n 2 n 3 1 n 2 0 n C 1n 2 C 3 2 C 2 2 C2 + ++++= + 1n 13 1n + = + Theo bài ra thì 7n65613 1n 6560 1n 13 1n 1n == + = + + + Ta có khai triển ( ) = = + 7 0 4 k314 k 7 k k 7 0 4 k7 k 7 7 4 xC 2 1 x2 1 xC x2 1 x Số hạng chứa x 2 ứng với k thỏa mãn 2k2 4 k314 == Vậy hệ số cần tìm là 4 21 C 2 1 2 7 2 = CõuVb *1.Gi H l hỡnh chiu ca A trờn d, mt phng (P) i qua A v (P)//d, khi ú khong cỏch gia d v (P) l khong cỏch t H n (P). Gi s im I l hỡnh chiu ca H lờn (P), ta cú HIAH => HI ln nht khi IA Vy (P) cn tỡm l mt phng i qua A v nhn AH lm vộct phỏp tuyn. Mt khỏc, )31;;21( tttHdH ++ vỡ H l hỡnh chiu ca A trờn d nờn . 0 ( (2;1;3)AH d AH u u = = uuur r r l vộc t ch phng ca d) )5;1;7()4;1;3( AHH Vy: (P): 7(x 10) + (y 2) 5(z + 1) = 0 7x + y 5z 77 = 0 2.*Gi C(a; b) , (AB): x y 5 =0 d(C; AB) = 5 2 2 ABC a b S AB = 8(1) 5 3 2(2) a b a b a b = = = ; Trng tõm G ( ) 5 5 ; 3 3 a b+ (d) 3a b =4 (3) T (1), (3) C(2; 10) r = 3 2 65 89 S p = + + T (2), (3) C(1; 1) 3 2 2 5 S r p = = + . CõuVIb: Vỡ z = 1 + i l mt nghim ca phng trỡnh: z 2 + bx + c = 0 ( b, c R), nờn ta cú : ( ) ( ) ( ) 2 0 2 1 1 0 2 0 2 0 2 b c b i b i c b c b i b c + = = + + + + = + + + = + = = ------------------------Ht------------------------ -2 1 . vi bằng 6. Câu VI.a Tìm hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển nhị thức Niutơn của n x x + 4 2 1 biết rằng n là số nguyên dơng thỏa mãn: 1. z - 7 = 0 Câu VI.a Tìm hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển nhị thức Niutơn của n x x + 4 2 1 , biết rằng n là số nguyên dơng thỏa mãn: 1