Bài soạn Một cách giải Sáng tạo

G. Julbert và D. Mac Donnell đã giải bài toán 2 như thế nào ? Trong mục “Dành cho các nhà toán học nhỏ” (TTT2 số 1, 3/2003) đã giới thiệu và đề nghị bạn đọc tham gia giải bài toán sau. “Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong BE, CF. Chứng minh rằng : Nếu Đ B ≥ Đ C thì BE ≤ CF” (bài toán 2). Tòa soạn đã nhận được lời giải bài toán 2 của 17 bạn. Trừ một vài bạn giải sai và giải thiếu chính xác, các bạn còn lại đã giải bài toán 2 bằng một trong hai phương án sau đây. Xin giới thiệu tóm tắt hai phương án giải này. Phương án 1 : Phỏng theo phương pháp mà Stiener đã dùng để chứng minh bài toán 1. Đó là dùng công thức tính độ dài đường phân giác trong của tam giác. Phương án 2 : Trước hết, nhờ tính chất của đường phân giác trong của tam giác, chứng minh BF ≤ CE (hình 1). Sau đó, phỏng theo cách chứng minh bài toán 1 của W. Hegy, dựng hình bình hành BEDF và dùng các định lí so sánh độ lớn của góc và độ dài của cạnh đối với tam giác. Bạn đọc thân mến ! Nhờ hai phương án trên, ta sẽ có hai lời giải đúng cho bài toán 2. Tuy nhiên, đúng nhưng không mới và không đẹp. Tôi tin rằng, trước G. Julbert và D. Mac Donnell, đã có rất nhiều người nghĩ tới bài toán 2 và trong những người này, có lẽ cũng đã có rất nhiều người giải bài toán 2 bằng các phương án trên. Vậy mà, không ai nhớ tên họ cả. Nói đến bài toán 2, là người ta nói ngay đến lời giải của G. Julbert và D. Mac Donnell. Vì sao vậy ? Vì lời giải của hai tác giả này mới và đẹp, đó là mục đích tối cao của không chỉ những người làm toán. Xin giới thiệu để bạn đọc cùng thưởng thức lời giải đặc sắc này. Đặt I là giao điểm của BE và CF (hình 2) Theo giả thiết, Đ FBI ≥ Đ ECI. Vậy trong đoạn IF, tồn tại điểm K sao cho Đ KBI = Đ ECI. Đương nhiên, tứ giác BKEC nội tiếp (1) Mặt khác : Từ (1), (2), (3) => BE ≤ CK => BE ≤ CF (đpcm) Dễ thấy, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Đ B = Đ C. TS. Nguyễn Minh Hà (ĐHSP Hà Nội) . CF” (bài toán 2). Tòa soạn đã nhận được lời giải bài toán 2 của 17 bạn. Trừ một vài bạn giải sai và giải thiếu chính xác, các bạn còn lại đã giải bài toán. Donnell đã giải bài toán 2 như thế nào ? Trong mục “Dành cho các nhà toán học nhỏ” (TTT2 số 1, 3/2003) đã giới thiệu và đề nghị bạn đọc tham gia giải bài toán