[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM HC 2010 Môn: Toán ( Thời gian: 180 phút )
I.Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y=2 x +1
x+2 có đồ thị (C) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
2.Chứng minh đờng thẳng d: y = x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
C©u II (2 điểm)
1.Giải phơng trình 9sinx + 6cosx 3sin2x + cos2x = 8 2.Giải bất phơng trình √log22x − log2x2− 3>√5 (log4x2− 3) C©u III (1 điểm) Tìm nguyên hàm I=dx
sin3x cos5x
Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A
1B1C1) thuộc đờng thẳng B1C1 Tính khoảng cách hai đờng thẳng AA1 B1C1 theo a.
C©u V (1 điểm) Xét ba số thực không âm a, b, c tháa m·n a2009 + b2009 + c2009 = Tìm giá trị lớn của biểu thức P = a4 + b4 + c4
II.Phần riêng (3 điểm) 1.Theo chơng trình chuẩn Câu Via:
1.Trong mt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x-1)2 + (y+2)2 = đờng thẳng d: x + y + m = Tìm m để đờng thẳng d có điểm A mà từ kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông.
2.Cho điểm A(10; 2; -1) đờng thẳng d có phơng trình
¿
x=1+2 t y=t z=1+3 t
{ {
Lập phơng trình mặt phẳng
(P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn nhất.
Câu VIIa: 1) Có số tự nhiên có chữ số khác khác mà số luôn có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ.
2) Giải phơng trình: (z +i z i)
4
=1,(zC)
2.Theo chơng trình nâng cao (3 điểm) Câu VIb (2 ®iĨm)
1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - = đờng thẳng d có phơng trình x + y + m = Tìm m để đờng thẳng d có điểm A mà từ kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông.
2.Cho điểm A(10; 2; -1) đờng thẳng d có phơng trình x −1
2 =
y
1=
z −1
3 LËp ph¬ng trình mặt
phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn nhất.
Câu VIIb (1 điểm) Có số tự nhiên có chữ số khác mà số luôn có mặt hai chữ số chẵn ba chữ số lẻ.
I.Phần dành cho tất thí sính
Câu Đáp án Điểm
I (2 ®iĨm)
1 (1,25 ®iĨm)
(2)+
x+2¿2 ¿ ¿
y '=3¿
Suy hàm số đồng biến khoảng (− ∞;−2) (−2 ;+∞)
0,25
+Bảng biến thiên
x − ∞ -2 +∞
y + +’
+∞ 2 y
− ∞
0,25
c.Đồ thị:
Đồ thị cắt trục Oy điểm (0;
2 ) cắt trục Ox điểm(
2 ;0)
Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng 0,25
2 (0,75 ®iĨm)
Hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đờng thẳng d nghiệm phơng trình
2 x +1
x +2 =− x +m⇔ x ≠ −2
x2+(4 −m) x +1− 2m=0(1)
¿{
Do (1) cã −2¿
+(4 − m).(−2)+1− 2m=− ≠ 0∀ m
Δ=m2
+1>0 va¿ nên đờng thẳng d
luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B
0,25
Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA– xB)2 + (yA– yB)2 = 2(m2 + 12) suy AB ngắn AB2 nhỏ m = Khi AB=√24
0,5 II
(2 ®iĨm)
1 (1 ®iĨm)
Phơng trình cho tơng đơng với
9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + – 2sin2x = 6cosx(1 sinx) (2sin– – 2x – 9sinx + 7) = 6cosx(1 sinx) (sinx 1)(2sinx 7) = 0– – – –
0,5
(1-sinx)(6cosx + 2sinx 7) = 0–
1− sin x=0
¿
6 cos x +2 sin x −7=0(VN)
¿ ¿ ¿ ¿
0,25
x=π
2+k π
0,25
2 (1 ®iĨm)
y
O -2
(3)§K:
¿
x >0
log22x − log2x2− ≥0
¿{
¿
Bất phơng trình cho tơng đơng với √log22x − log 2x
2− 3>
√5 (log2x −3)(1) đặt t = log2x,
BPT (1) √t2−2 t −3>√5(t −3)⇔√(t −3)(t+1)>√5(t − 3)
0,5
⇔
¿t>3
t −3¿2 ¿ ¿ ¿
⇔
¿
t ≤− 1
¿
3<t <4
¿
⇔
¿
t ≤− 1
¿ ¿ ¿{
¿
(t+1)(t − 3)>5¿
0,25
⇔
0<x ≤
¿
8<x <16
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy BPT cho có tập nghiệm là: ¿∪(8 ;16)
III
1 ®iĨm I=∫dx
sin3x cos3x cos2x=8∫
dx
sin32 x cos2x đặt tanx = t
⇒dt=dx
cos2x ; sin2 x=
2t 1+t2 2 t
1+t2¿
3
¿
t2+1¿3 ¿ ¿t3
¿ ¿ ¿ ¿
dt
¿
⇒ I=8∫¿
(4)¿∫t
6
+3 t4+3t2+1
t3 dt ∫(t3+3 t+3
t+t
−3)dt=1 4tan
4x +3
2tan
2x +3 ln|tan x|−
2 tan2x+C
0,5
Câu IV
1 điểm Do AH( A B1C1) nên góc AA1H là góc AA1 (A1B1C1), theo giả thiết góc AA1H bằng 300 Xét tam giác vuông AHA
1 cã AA1 = a, gãc ∠AA1H =300 ⇒ A
1H= a√3
2 Do tam giác A1B1C1 tam giác
c¹nh a, H thuéc B1C1 vµ A1H =a√3
2 nên A1H vuông góc với B1C1 Mặt
khác AH B1C1 nên B1C1(AA1H )
0,5
Kẻ đờng cao HK tam giác AA1H HK khoảng cách AA1 B1C1
0,25
Ta cã AA1.HK = A1H.AH ⇒HK=
A1H AH
AA1
=a√3
0,25
C©u V
1 điểm áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2005 số số a
2009 ta cã
1+1+ +1
⏟ 2005
+a2009+a2009+a2009+a2009≥ 2009.2009√a2009 a2009 a2009 a2009=2009 a4(1)
T¬ng tù ta cã
1+1+ +1
⏟ 2005
+b2009+b2009+b2009+b2009≥2009 2009√b2009 b2009 b2009 b2009=2009 b4(2)
1+1+ +1
⏟ 2005
+c2009+c2009+c2009+c2009≥ 2009.2009√c2009 c2009 c2009 c2009=2009 c4(3)
0,5
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta đợc
6015+4 (a2009
+b2009+c2009)≥ 2009(a4+b4+c4)
⇔6027 ≥ 2009(a4
+b4+c4)
Từ suy P=a4+b4+c4≤ 3
Mặt khác a = b = c = P = nên giá trị lớn nhÊt cđa P = 3.
0,5
C©u
A1
A B
C
C B1
K
(5)VIa 2 ®iĨm
1.Từ phơng trình tắc đờng trịn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn AB⊥ AC => tứ giác ABIC hình vuông cạnh 3 ⇒IA=3√2
0,5
⇔|m− 1|
√2 =3√2⇔|m− 1|=6⇔
m=− 5
¿
m=7
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0,5
2 (1 ®iĨm)
Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d (P) khoảng cách từ H đến (P).
G.sö điểm I hình chiếu H lên (P), ta cã AH ≥ HI => HI lín nhÊt khi
A I
Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ pháp tuyến.
0,5
H d H (1+2 t ;t ;1+3 t) vì H hình chiếu A d nên
u=(2 ;1;3)
AH⊥ d ⇒⃗AH ⃗u=0¿ lµ vÐc t¬ chØ ph¬ng cđa d)
⇒ H (3 ;1 ;4)⇒⃗AH(−7 ;− 1;5) VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 7x + y -5z -77 = 0
0,5
Câu VIIa 1 điểm
Từ giả thiết toán ta thấy có C24=6 cách chọn chữ số chẵn (vì số 0)và C52=10 cách chọn chữ số lẽ => cã C52 . C52 = 60 bé sè thỏa mÃn bài toán
0,5
Mi b số nh có 4! số đợc thành lập Vậy có tất C24 . C52 .4! = 1440 số
0,5
2.Ban n©ng cao Câu
VIa 2 điểm
1.( ®iĨm)
Từ phơng trình tắc đờng trịn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn AB⊥ AC => tứ giác ABIC hình vng cạnh bằng 3 ⇒IA=3√2
0,5
⇔|m− 1|
√2 =3√2⇔|m− 1|=6⇔
m=− 5
¿
m=7
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
0,5
2.Gọi H hình chiếu A d, mặt phẳng (P) qua A (P)//d, khoảng cách d (P) khoảng cỏch t H n (P).
Giả sử điểm I hình chiếu H lên (P), ta có AH ≥ HI => HI lín nhÊt khi A ≡ I
Vậy (P) cần tìm mặt phẳng qua A nhận AH làm véc tơ ph¸p tuyÕn.
0,5
H∈ d ⇒ H (1+2 t ;t ;1+3 t) vì H hình chiếu A trªn d nªn
⃗
u=(2 ;1;3)
AH d AH u=0 là véc tơ phơng cña d) ⇒ H (3 ;1 ;4)⇒⃗AH(−7 ;− 1;5)
VËy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) =
(6) 7x + y -5z -77 = 0 C©u
VIIa 1 ®iĨm
Từ giả thiết tốn ta thấy có C52=10 cách chọn chữ số chẵn (kể số có chữ số đứng đầu) C53 =10 cách chọn chữ số lẽ => có C52 . C53 = 100 số đợc chọn.
0,5
Mỗi số nh có 5! số đợc thành lập => có tất C52 . C53 .5! = 12000 số. Mặt khác số số đợc lập nh mà có chữ số đứng đầu C14 C53 !=960 Vậy có tất 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn toán