+ Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một diểm. Điểm đó gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. + Tứ giác cá hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc ... + Hình[r]
(1)ĐẠI SỐ
I PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A Phương trình bậc hai ẩn ax by c (a0 b 0)
Câu hỏi 1: phương trình bậc hai ẩn mặt phẳng toạ độ Oxy chúng được biểu diễn ?
Phương trình ln có vơ số nghiệm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập nghiệm phương trình biểu diễn đường thẳng ax + by = c
B Phương pháp giải hệ phương trình bậc hai ẩn
Câu hỏi 2: Hãy nêu cách giải hệ phương trình phương pháp thế Cách giải : Phương pháp thế:
*Phương pháp: Tìm x theo y y theo x phương trình hệ thay vào phương trình cịn lại
Câu hỏi 3: Hãy nêu cách giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Cách giải :Phương pháp cộng đại số
Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình cho để phương trình mới. Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ giữ
nguyên phương trình
*Phương pháp: Biến đổi hai phương trình hệ cho hệ số x y hai phương trình đối
Phương pháp đặt ẩn phụ: ( Nếu hệ phương trình có )
*Phương pháp: Đặt ẩn phụ biến đổi hệ phương trình cho thành hệ phương trình mới, sau giải phương pháp cộng đại số
C Phương pháp giải hệ phương trình đồ thị
Câu hỏi : Hãy nêu phương pháp giải hệ phương trình đồ thị
*Phương pháp: Vẽ đồ thị hai phương trình hệ trục toạ độ
a) Nếu đồ thị hai phưong trình cắt điểm toạ độ giao điểm nghiệm hệ. b) Nếu đồ thị hai phương trình khơng cắt hệ phương trình vô nghiệm.
c) Nếu đồ thị hai phương trình trùng hệ phương trình có vơ số nghiệm. D Phương pháp giải toán cách lập hệ phương trình bậc hai ẩn: Câu hỏi : Hãy nêu bước giải toán cách lập hệ phương trình
Bước 1: Lập hệ phương trình:
- Chọn hai ẩn (Thường x y)
- Nêu rõ đơn vị cho ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết. - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình trên
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thích
hợp với toán kết luận
Chú ý: *Loại toán chuyên động: S = v.t S: quãng đường, đơn vị km (hoặc m) v: vận tốc, đơn vị km/h (hoặc m/s)
t: thời gian, đơn vị (h) (hoặc giây (s)
Ngoài ra, cần đọc kỹ đề để hiểu chuyển động động tử chuyển động
(2)+ Nếu động tử chuyển động dòng nước chảy thì: vxi dịng = v động tử + vdịng nước
vngược dòng = vđộng tử - vdịng nước
* Loại tốn cơng việc đồng thời (Hoặc vòi nước chảy)
Trong loại tốn này, khối lượng cơng việc tương tự qng đường tốn
chuyển động Thời gian có ý nghĩa thời gian toán chuyển động Năng suất làm việc đội (Hoặc suất chảy vịi nước) có ý nghĩa tương tự vận tốc động tử toán chuyển động
E KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax2 (a 0)
Câu hỏi :Hãy nêu bước vẽ đồ thị y = ax2 (a 0): Bước 1: Tìm tập xác định hàm số
Bước 2: Nêu tính chất biến thiên (Đồng biến, nghịch biến, x = 0) Bước 3: Lập bảng giá trị.
Bước 4: Dựa vào bảng giá trị vẽ đồ thị Bước 5: Nhận xét đồ thị vẽ được:
+ Trường hợp a > 0: Đồ thị hàm số y = ax2 Parapol có đỉnh O(0;0) cực tiểu,
Parapol có bề lõm quay phía y dương, nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Trường hợp a < 0: Đồ thị hàm số y = ax2 Parapol có đỉnh O(0;0) cực đại,
Parapol có bề lõm quay phía y âm, nhận trục Oy làm trục đối xứng
F CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ax2 + bx +c = 0
Câu hỏi : Hãy nêu cách giải phương trình bậc hai ax2 + bx +c = theo phương trình
tích
Phương pháp giải theo phương trình tích:
Có thể biến đổi tương đương để phương trình bậc hai thành phương trình tích ( tích thừa số bậc nhất) Để giải phương trình :f(x) = ax2 + bx + c = , ta biến đổi phương trình dạng
q(x).g(x) = q(x), g(x) đa thức bậc nhất, giải phương trình để tìm nghiệm phương trình cho:
0
0
0
q x
f x q x g x
g x
Chú ý: Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ( lớp 8)
Phương pháp dùng công thức nghiệm:
Câu hỏi : Hãy nêu bước giải phương trình bậc hai ax2 + bx +c = công thức
nghiệm
Phương pháp dùng công thức nghiệm: Bước 1: Lập biệt số Δ=b2− ac
Bước 2: Xét dấu Δ :
* Nếu Δ > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x=−b+√Δ
2 a ; x2=
−b −√Δ
2 a
* Nếu Δ = phương trình có hai nghiệm kép: 2
b
x x
a
* Nếu Δ < phương trình vơ nghiệm
3)Phương pháp dùng công thức nghiệm thu gọn
Bước 1: + Xác định b’: Ta có b = 2b’ '2
b
(3)+Lập biệt số thu gọn: Δ'=b' 2−ac
Bước 2: Xét dấu của:
* Nếu Δ ’ > phương trình có hai nghiệm phân biệt: x=−b '+√Δ'
a ; x2=
−b ' −√Δ' a
* Nếu Δ ’ = phương trình có hai nghiệm kép:
'
b
x x
a
* Nếu Δ ’ < phương trình vơ nghiệm
4) Tính nhẫm nghiệm phương trình bậc hai: a) Biết S = x1 + x2 =
b
a
; P = x1.x2 =
c
a Suy ra: x1 = x2 =
b) Biết được: a + b + c = 0 Suy ra: x1 = ; x2 =
c a
c) Biết được:
a b c
0
Suy ra: 1 ; cx x
a
Chú ý: So sánh a + c với b
* Nếu a + c = b sử dụng
a b c
0
* Nếu a + c b hai số đối sử dụng a + b + c = 0 5) Phương pháp đồ thị:
Phương pháp: Tách phương trình bậc hai thành hai phần hai vế khác nhau: Một vế có dạng: y = ax2 (D)
Một vế có dạng: y = ax + b (P)
Sau vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ
a) Nếu đồ thị đường thẳng (D) cắt đồ thị parapol (P) hồnh độ giao điểm hai đồ
thị nghiệm phương trình cho
b) Nếu đồ thị đường thẳng (D) tiếp xúc đồ thị parapol (P) hồnh độ tiếp điểm là
nghiệm phương trình cho
c) Nếu đồ thị đường thẳng (D) không cắt đồ thị parapol (P) pt cho vơ nghiệm. Chú ý: Có thể sử dụng phương pháp để giải toán tương giao đường thẳng(D) Parapol (P): {Tìm giá trị tham số m để đường thẳng (D) cắt parapol (P) hai điểm phân biệt điểm(Tiếp xúc) đường thẳng (D) không cắt parapol (P)}
(D): y = a1x + b1
(P): y = a2x2 Lược giải:
Bước 1: Phương trình hồnh độ giao điểm (D) (P) là: a2x2 = a
1x + b1
ax2 + bx + c = (1) {Phương trình (1) có chứa tham số m} Bước 2:
* (D) cắt (P) hai điểm phân biệt Δ >
Suy giá trị m
* (D) tiếp xúc với (P) Δ = 0 Suy giá trị m
* (D) không cắt (P) Δ < 0 Suy giá trị m
Bước 3: Kết luận
(4)a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Δ 0 (hoăc Δ ' 0)
Từ suy giá trị tham số m
b) Phương trình (1) có nghiệm kép Δ =0 (hoăc Δ ’= 0) Từ suy giá trị tham số m
c) Phương trình (1) vơ nghiệm Δ < (hoăc Δ ’< 0) Từ suy giá trị
tham số m
7) Giải biện luận (về số nghiệm) phương trình bậc hai Phương pháp:
Bước 1: Lập biệt số Δ Δ ’ phương trình bậc hai cho theo m
Bước 2: Biện luận trường hợp Δ (hoặc Δ ’)
a) Nếu Δ > ( Δ ’ > ) : Suy m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Tính nghiệm phân biệt theo m
b) Nếu Δ = ( Δ ’ = ) : Suy m để phương trình có nghiệm phân kép Tính nghiệm kép theo m
c) Nếu Δ < ( Δ ’ < ): Suy m để phương trình vơ nghiệm
G.PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PT BẬC HAI 1) Phương trình có ẩn mẫu:
Bước 1: Thu tất vế, vế lại 0
Bước 2: Đặt điều kiện mẫu khác Từ suy điều kiện ẩn phương trình Bước 3: Giải phương trình cách quy đồng mẫu thức
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện ẩn kết luận nghiệm
2) Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = (a0) (1) Bước 1: Đặt x2 = t, t0
Bước 2: Giải phương trình bậc hai trung gian Ta có: Phương trình (1) at2 + bt + c = (2) Bước 3: Với giá trị không âm t, ta giải phương trình x2 = t để tìm x
Lược giải:
* Nếu Δ < phương trình (2) vơ nghiệm
phương trình (1) vơ nghiệm
* Nếu Δ = phương trình (2) có nghiệm kép: t0
b a
+ S < t0 < 0: phương trình (1) vơ nghiệm
+ S = t0 = 0: phương trình (1) có nghiệm kép x = 0
+ S > t0 > : phương trình (1) có hai nghiệm kép x t0
* Nếu Δ > pt (2) có hai nghiệm phân biệt: t=− b+√Δ
2a ;t2=
− b −√Δ
2 a
+ P < t1 < < t2 : Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x t2
+
0
P S
t1 < t2 = : Phương trình (1) có nghiệm x = 0
+
0
P S
0 = t
1 < t2 : Phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x = ; x t2
+
0
P S
(5)+
0
P S
0 < t1< t2 : Phương trình (1) có nghiệm: x t1 ; x t2
Tóm lại: Phương trình: ax4 + bx2 + c = 0 (a0) (1)
Đặt t = x2
Phương trình (1) at2 + bt + c = (a0) Δ=b2− ac
,
b a
S
,
c
a
P
+ Phương trình(1) có nghiệm phân biệt ⇔ Δ>0 P>0 S >0 ¿{ {
+ Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ Δ>0 P=0 S>0
¿{ {
+Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ ¿Δ=0
S>0 ¿ ¿ P<0
¿ ¿{
¿ ¿
+ Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ¿Δ=0
S>0 ¿ ¿ ¿ P=0
¿ ¿ S<0
¿ ¿ ¿
+ Phương trình (1) vơ nghiệm
¿Δ=0 S<0
¿ ¿ ¿ Δ>0
¿ P>0
¿ S<0
¿ ¿ ¿ ¿ Δ<0
¿
(6)1) Tính giá trị biểu thức nghiệm pt bậc hai cách không giải phương trình Phương pháp:
Bước 1: Xét biệt số Δ = b2 – 4ac > Δ ’= b’2 – ac P = ac < phương trình
có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
Bước 2: Tìm tổng S tích P phương trình thay vào biểu thức.
Chú ý: Một số biểu thức đối xứng nghiệm phương trình bậc hai Giả sử phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = (a0) có hai nghiệm x
1 , x2 Ta có hệ thức
sau: a)
2
2 2
1 2 2x
x x x x x S P
b)
2 2
2 2
1 4
x x x x x x S P
c)
3
3 3
1 2 2
x x x x x x x x S SP
d)
1
1 2
1 x x S
x x x x P
e)
3 2
1 2 2
x x x x x x x x
x1 x2
2. x1x2
2 x x1 2 S2 4P
S2 P
f)
2
4 2 2 2 2 2 2
x x x x x x S P P
g)
2 2
1 2
2 1
2
x x x x S P
x x x x P
h)
x1
x2
x x1 2
x1x2
2 P2S2i)
1
2
1 2
2
1 x x S
x x x x P S
2) Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 , x2 Bước 1: Lập tổng S = x1 + x2 tích P = x1x2
Bước 2: Kiểm tra điều kiện: S2 - 4P 0 ?
Bước 3: + Nếu S2 – 4P x1 , x2 hai nghiệm phương trình: X2 – SX + P =
+ Nếu S2 – 4P < 0: Khơng có phương trình có hai nghiệm x1, x2 3) Tìm giá trị tham số m phương trình bậc hai thoả hệ thức cho trước
Bước 1: Lập biệt số Δ (hoặc Δ ’) cho Δ Δ để suy điều kiện tham số
m cho phươngtrìnhcónghiệm
Bước 2: Tìm m hệ thức cho trước Sau đó, chọn giá trị m thích hợp với điều kiện
trả lời
4) Giá trị lớn nhất:
“ Nếu hai số có tổng khơng đổi tích hai số lớn hai số nhau” Giả sử x1 + x2 =s khơng đổi, cịn P = x1x2 thay đổi
Do điều kiện: S2 – 4P Suy P
4
S
Vậy maxP =
2
4
S
khi
1
2
2
S
x
x
5) Giá trị nhỏ nhất:
“ Nếu hai số dương có tích khơng thay đổi tổng hai số nhỏ hai số bằng
nhau”
Giả sử: x1 ,x2 >0 x1x2 = P không đổi, x1 + x2 = S thay đổi
Do điều kiện: S2 – 4P 0 Suy ra:
S P S
2 P
0 S P 0 (7)6) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình bậc hai phụ thuộc tham số m Bước 1: Lập biệt số Δ (hoặc Δ ’)
Bước 2: Cho Δ (hoặc Δ 0) để suy điều kiện tham số m cho phương trình có nghiệm
Bước 3: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình
Theo định lý Vi-ét tính
1 2
1
x x x x
theo m
Bước 4: Thay m từ (1) vào (2) ta hệ thức cần tìm.
7) Phương pháp giải tốn cách lập phương trình bậc hai Bước 1: Chọn ẩn, ghi rõ đơn vị điều kiện ẩn.
Bước 2: Lập phương trình:
+ Biểu diễn đại lượng chưa biết qua ẩn đại lượng biết + dựa vào mối liên hệ đại lượng để lập phươnh trình
Bước 3: Giải phương trình
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện bước để trả lời
8) Tìm giá trị tham số m để hai phương trình tương đương:
ax2 + bx + c = (1)
a’x2 + b’x + c’ = (2) Lược giải:
* Phương trình (1) tương đương với phương trình (2) Hai phương trình vơ nghiệm
¿
x1<0
x2<0
¿{
¿
* Tồn nghiệm x1 , x2 (1) x3 , x4 (2) để hai phương trình tương đương thì:
1
1
x x x x
x x x x
1 2
S S
P P
9) Lập phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện toán
Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình : ax2 + bx + c = (1)
a) Lập phương trình bậc hai có nghiệm gấp đơi nghiệm phương trình (1):
*Gọi y1 , y2 hai nghiệm phương trình cần tìm
*Tính S P phương trình (1) Theo đề, ta có y1 = 2x1 y2 = 2x2
Suy y1 + y2 = 2( x1 + x2 ) = 2S
y1.y2 = 4x1.x2 = 4P
Vậy y1 ,y2 nghiệm phương trình: y2 – (y1 + y2 )y + y1.y2 =
b) Lập phương trình bậc hai có tổng hai nghiệm tích nghịch đảo hai nghiệm phương
trình (1) có tích hai nghiệm tổng nghịch đảo nghiệm phương trình (1):
1 2
1 2
1 1. ; . 1
y y y y
x x x x
(8)* Tính 2
1
1 1.
x x P
y y
x x
1 2
1 2
1
x x S
y y
x x x x P
* Do đó: y1 , y2 nghiệm phương trình : y2 – (y1 + y2 )y + y1.y2 = c)Lập phương trình bậc hai có nghiệm : 1
1
y
x
2
y
x
{ số }
* Tính S P phương trình (1)
* Tính:
2
1 2
1 2
1
x
x x S
y y
x x x P S
1 2
1 2
1 1
y y
x x x x P S
* Do đó: y1 , y2 nghiệm phương trình : y2 – (y1 + y2 )y + y1.y2 =
10) Tìm giá trị tham số m thoả mãn điều kiện nghiệm phương trình bậc hai chứa tham số m: ax2 + bx + c = (1)
a) Phương trình (1) có hai nghiệm dấu
⇔ a ≠ 0 Δ≥ 0 P>0 ¿{ {
b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
⇔ a ≠ 0 Δ≥ 0 P<0 ¿{ {
c) Phương trình (1) có hai nghiệm dấu phân biệt
⇔ a ≠0 Δ>0 P>0 ¿{ {
d) Phương trình có hai nghiệm dương
⇔ a ≠ 0 Δ≥ 0 S>0 P>0 ¿{ { {
{0 < x1 x2 }
e) Phương trình có hai nghiệm âm ⇔ a ≠ 0 Δ≥ 0 S< 0 P>0
¿{ { {
{ x1 x2 < }
f) Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt
⇔ a ≠ 0 Δ>0 S<0 P>0 ¿{ { {
(9)g) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương
⇔ a ≠ 0 Δ>0 S>0 P>0
¿{ { {
{0 < x1 < x2 }
h) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a ≠ 0 Δ ≥ 0 S< 0 P<0
¿{ { {
i) Phương trình (1)có hai nghiệm trái dấu , có giá trị tuyệt đối
⇔ a ≠ 0 Δ≥ 0 S=0 P<0 ¿{ { {
j) Phương trình (1) có nghiệm dương
⇔ Δ=0 S >0 ¿{
Xét trường hợp:
* Trường hợp 1: a = Phương trình (1) có dạng pt bậc nhất Tìm nghiệm x
Kiểm tra nghiệm có dương hay khơng Sau kết luận
* Truờng hợp 2: a 0: phương trình (1) phương trình bậc hai Muốn xác định tham số m để
phương trình có nghiệm dương, ta xét khả sau:
+ Phương trình có nghiệm kép dương ⇔ Δ=0
S >0 →
¿{
Tìm m
+ Phương trình có nghiệm nghiệm lớn
⇔ Δ>0 P=0 S>0
→
¿{ {
Tìm m + Phương trình có hai nghiệm trái dấu a c 0 Tìm m
Kết hợp khả Tìm m
Kết luận: Tổng hợp trường hợp chọn giá trị thích hợp m k) Phương trình (1) có nghiệm không dương:
* Trường hợp 1: a = Phương trình (1) có dạng phương trình bậc Tìm nghiệm x
Kiểm tra nghiệm có dương hay khơng Sau kết luận
* Truờng hợp 2: a0: phương trình (1) phương trình bậc hai Muốn xác định tham số m để
phương trình có nghiệm dương, ta xét khả sau: + Phương trình có nghiệm kép không dương
⇔ Δ=0 S <0 → ¿{
(10)+ Phương trình có nghiệm nghiệm nhỏ ⇔ Δ>0 P=0 S<0
→ ¿{ {
Tìm m
+ Phương trình có hai nghiệm trái dấu a c 0 Tìm m
Kết hợp khả Tìm m
Kết luận: Tổng hợp trường hợp chọn giá trị thích hợp m l) Phương trình (1) có nghiệm không âm
* Trường hợp 1: a = Phương trình (1) có dạng phương trình bậc nhất Tìm nghiệm x
Kiểm tra nghiệm có dương hay khơng Sau kết luận
* Truờng hợp 2: a0: phương trình (1) phương trình bậc hai. Phương pháp 1: Phương trình (1) có nghiệm khơng âm
Phương trình (1) có nghiệm dương
Phương trình (1) có nghiệm âm nghiệm không âm ¿Δ≥ 0
S >0 ¿ ¿ ¿ Δ≥0
¿ P ≤ 0
¿ ¿ S <0
¿ ¿ ¿
( Giải hai TH tìm m )
Phương pháp 2:
Phương trình (1) có nghiệm không âmPhương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Phương trình (1) có nghiệm Phương trình (1) có nghiệm dương
0
×
0
×m
0
0
×m
0
P
T m
P
T
P
T
S
m
m
m
(11)
Phương pháp 3: Với m (Thoả mãn a0 ) Phương trình (1) có nghiệm
0 (Từ tìm m)Các nghiệm phương trình (1) là: x=−b+√Δ
2 a ; x2=
−b −√Δ
2 a
Cho x1 0(Tìm m) (2)
Cho x2 0(Tìm m) (3)
Kết hợp (2), (3) điều kiện m (Thoả a0) Suy giá trị tham số m cần tìm Phương pháp 4: Phương trình (1) có hai nghiệm âm
⇔ Δ≥ 0 P>0 S<0 ¿{ {
Giải tìm giá trị m (*)
Vậy pt (1) có nghiệm khơng âm m nhận giá trị trái với giá trị m (*)
HÌNH HỌC A CÁC ĐỊNH NGHĨA:
1 Góc tâm : Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.
2 Số đo cung: - Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung đó.
- Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ ( Có chung hai mút với
đường tròn)
- Số đo nửa đường tròn 1800.
3 Góc nội tiếp: Góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây cung đường trịn
4 Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung: Góc có đỉnh tiếp điểm, cạnh tiếp tuyến cạnh chứa dây cung
5 Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn.
6 Đường tròn qua đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác gọi đa giác nội tiếp đường tròn
7.Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh đa giác gọi đường tròn nội tiếp đa giác đa giác gọi đa giác ngoại tiếp đường tròn
B.CÁC ĐỊNH LÝ:
1 Định lý cộng số đo cung: Nếu C điểm nằm cung AB sđAB sđAC sđCB
(12)- Hai cung gọi chúng có số đo - Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn
3 Định lý hệ cung dây: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn
bằng nhau:
- Hai cung căng hai dây ngược lại. - Cung lớn căng dây lớn ngược lại.
(Trong đường tròn hai cung bị chắn hai dây song song nhau.)
4 Định lý liên hệ đường kính, cung dây:
- Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung
Trong đường tròn, đường kính qua trung điểm dây cung ( khơng phải đường kính ) qua điểm cung
- Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại
5 Định lý góc nội tiếp: Số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn. 6 Hệ góc nội tiếp: Trong đường trịn:
+ Các góc nội tiếp chắn cung
+ Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung + Góc nội tiếp ( nhỏ 900 ) có số đo nửa số đo góc tâm cùng
chắn cung
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng
7 Định lý góc tạo tia tiếp tuyến dây cung:
Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn
8 Hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung: Trong đường trịn, góc tạo tia tiếp
tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung
9.Định lý góc có đỉnh bên đường trịn: Góc có đỉnh bên đường trịn có số đo
bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn
10 Định lý góc có đỉnh bên ngồi đường trịn: Góc có đỉnh bên đường trịn có số
đo nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
11.Quỹ tích (tập hợp ) điểm nhìn đoạn thẳng cho trước góc
Khơng đổi hai cung chứa góc
dựng đoạn thẳng (00 <
< 1800 ). 12 Định lý tứ giác nội tiếp:+ ( Thuận ) : Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 1800.
+ ( Đảo) : Nếu tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 tứ giác nội tiếp
đường trịn
13 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường trịn:
+ Tứ giác có tổng hai góc đối 1800.
+ Tứ giác có góc ngồi tải đỉnh góc đỉnh đối diện
+ Tứ giác có đỉnh cách diểm Điểm gọi tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác + Tứ giác cá hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc
+ Hình thang cân nội tiếp đường trịn có tâm giao điểm đường trung trực hai cạnh bên + Hình vng , hình chữ nhật nội tiếp đường trịn có tâm giao điểm hai đường chéo
14 Định lý đường tròn ngoại tiếp, đường trịn nội tiếp: Bất kì đa giác có một
(13)15 Độ dài
l
cung n0 bán kính R: 180
Rnl
16 Độ dài đường trịn bán kính R: C 2Rd 17 Diện tích hình trịn bán kính R: S R2 18 Diện tích hình quạt trịn cung n0 bán kính R:
2
360
quat R n R
S l
19 Hình trụ bán kính r, chiều cao h: + Diện tích xung quanh: Sxq 2rh
+ Diện tích tồn phần: Stp 2rh2r2 + Thể tích: V Shr h2 ( S diện tích đáy)
20 Hình nón bán kính đáy r, đường sinh
l
+ Diện tích xung quanh: Sxq rl + Diện tích tồn phần: Stp 2rh2r2 + Thể tích:
2 ón 13 13
n tru
V V r h
21 Hình nón cụt bán kính đáy r1, r2 , đường sinh
l
:+ Diện tích xung quanh: Sxq
r1r l2
+ Thể tích:
2 21
V h r r r r
22 Hình cầu bán kính R: + Diện tích mặt cầu: S 4R2d2
+ Thể tích hình cầu:
3
4
V R
*BÀI TẬP I GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
a)
y 2x
y x
b)
2x y
x y
c)
2x y
4x 2y
d)
2x 5y
2
x y
5 e) 1 x y x y
f)
2
2x 3y
3x 2y
h)
2x y 13
3x y
II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
a) x2 2x0 b) x24x0 c)x2 90
d) 4x2 50 e)
x 160 f) x2 40 g)
2
2x 1 40 h) 4x2 4x 0
i) x2 4x 4 j) x25x 6 0 k) 2x2 x 10 0 l)
2
x x
6
m)
2
x x
4
n) x2 6x 9 0 o)4x2 20x 16 0 p)x
x
(14)q)
2
3x x 1 2 9x 6x 1
r) 5x4 2x2 1610 x2 s)
x
3
x x
t)
2
2x 3x 10 x
x x 4 x u)
2
2x x 11x
x x 9
v)
x
1
x 2x
III GIẢI VÀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
a) x2 2xm0 b) x2 4x m 2 5 c) x2 m x 3
0IV VẬN DUNG HỆ THỨC VI-ÉT TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC THEO CÁC NGHIỆM
x x
1;Bài 1: Khơng giải phương trình: x2 5x 6 0 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm gấp
đơi nghiệm phương trình
Bài 2: Cho phương trình: x22m x m 2 160
a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt x vµ x1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = – tính nghiệm
c) Tìm m để tổng hai nghiệm phương trình – 11 Tìm hai nghiệm
Bài 3:Khơng dùng cơng thức nghiệm áp dụng vào phương trình sau: x2 x 12 0.
a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm phân biệt x vµ x1
b) Tính: b ) x1 12x22
1 2
2
x x
b )
x x
1
3
2
x x
b )
x x
4
b ) x x b ) x5 12 x víi x22 1x2 b 6)
1
x1+
1
x2
Bài 4: Cho phương trình: x2 4xm 0
a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x vµ x1 2thoả mãn:
1
b ) x x 2 b ) x2 12x22 10
1
2
x x 10
b )
x x b ) x x4 12 22 16
5
b ) x x đối b ) x6 12x22 0 b ) x x7 1 2
x1x2
2Bài 5: Cho phương trình: x22 m
3 x
m 1 0 Gọi x vµ x1 hai nghiệm phươngtrình Xác định m để :
a)Phương trình có hai nghiệm phân biệt x vµ x1 b)Phương trình có nghiệm kép
c) Phương trình vơ nghiệm e) Phương trình có hai nghiệm dấu d) Phương trình có hai nghiệm trái dấu f) Phương trình có hai nghiệm dương g) Phương trình có hai nghiệm âm
h) Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà giá trị tuyệt đối nghiệm âm lớn nghiệm dương
Bài 6: Cho phương trình: x4 m x
24m0a) Giải phương trình m =
b) Định m để phương trình có nghiệm phân biệt
(15)a) Vẽ (P) (d) mặt phẳng toạ độ Oxy
b) Chứng minh rằng: (P) (d) cắt điểm c) Xác định toạ độ giao điểm (P) (d)
Bài 2: Cho (P ) : ymx (m2 0), m tham số (d): y = ax + b a) Tìm a b biết (d) qua A( –1; 3) B(2 ;0)
b) Tìm m cho (P) tiếp xúc với (d) vừa tìm Tìm toạ độ giao điểm tiếp xúc (P) (d)
Bài 3: Cho (P ) : yx ; (d) : y2 m x
a) Vẽ (P)
b) Tìm giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Vẽ (d),xác định toạ độ A B m =
c) Tìm giá trị m để (d) tiếp xúc với (P)
Bài 4: Cho (P ) : yax vµ (d) : y2 x m (m lµ tham sè)
a) Xác định a để (P) qua điểm A( 2; 1) Vẽ (P) với a vừa tìm b) Tìm m để (d) khơng cắt (P)
c)Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt d) Tìm m để (d) cắt (P) điểm e) Xác định toạ giao điểm tiếp xúc (P) (d) f) Xác định m để (P) (d) cĩ điểm chung g) Xác định toạ độ giao điểm (P) (d) m = –
Bài 5: Cho (P ) : y x ; (d) : y2 2xm2 ( mlµ thamsè )
a) Tìm toạ độ giao điểm (P) (d) m =
b) Tìm m để (P) (d) có điểm chung
Bài 6: Trong mặt phẳng toạ Oxy cho parabol (P ) : yx đư êngth¼ng(d) : y2 x
a) Vẽ đồ thị (P) (d) hệ trục toạ độ
b) Tìm toạ độ giao điểm A B (P) (d) phương pháp đại số c) Từ A B vẽ AH xx’;BK x’x.Tính diện tích tứ giác AHBK
Bài 7: Cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P)
a) Tìm a biết (P) qua A(1 ; –1) Vẽ (P) với a vừa tìm
b) Trên (P) lấy B có hồnh độ –2 Viết phương trình đường thẳng AB tìm toạ độ giao điểm D đường thẳng AB trục tung
c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua O song song với AB, xác định toạ độ giao điểm C đường thẳng (d) (P) ( C khác O)
VI GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Hai giá sách có 450 Nếu chuyển 50 từ giá thứ sang giá thứ hai số
sách giá thứ hai
4
5số sách giá thứ Tính số sách lúc đầu giá.
Bài 2: Quãng đường AB gồm đoạn lên dốc dài km đoạn xuống dốc dài km.
Một người xe đạp từ A đến B hết 40 phút từ A B hết 41 phút ( vận tốc lên dốc, xưống dốc lúc ) Tính vận tốc lúc lên dốc lúc xuống dốc
Bài 3: Một ô tô từ C đến D, tăng thêm vận tốc 20 km/ h đến nơi sớm 1
(16)Bài 4: Hai ca nô khởi hành từ hai điạ điểm A,B cách 85 km, ngược chiều nhau,
sau 40 phút gặp Tính vận tốc thực ca nơ Biết vận tốc ca nơ xi dịng vận tốc ca nơ ngược dịng km/h vận tốc nước km/h
Bài 5: Hai người cách quãng đường AB dài 120 km khởi hành mộ lúc Nếu hai
người chiều, gặp sau Nếu hai người ngược chiều, gặp sau Tính vận tốc người
Bài 6: Chữ số hàng chục số có hai chữ số lớn chữ số hàng đơn vị Nếu đổi
chỗ hai chữ số cho số
3
8 số cho ban đầu Tính số cho ban đầu.
Bài 7: Trong tháng giêng, hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy Trong tháng 2, tổ vượt mức
15%, tổ vượt mức 12%, nên sản xuất 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy?
Bài 8: Hai đội xây dựng làm chung công việc dự định làm 12 ngày Họ
cùng làm với ngày đội điều động làm việc khác, đội tiếp tục làm Do cải tiến kĩ thuật, suất tăng gấp đôi nên đội làm xong phần việc lại ngày rưỡi Hỏi đội làm ngày xong cơng việc ( với suất bình thường )
VII GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
Bài 1: Liên đội trường giao cho lớp 9A nhặt 105 kg giấy vụn Vì bạn góp nhiều chỉ
tiêu giao kg Nên dù có bạn chưa nộp số giấy vụn vượt tiêu 19 kg Hỏi lớp 9A có học sinh.
Bài 2: Một ca nơ xi dịng 44 km ngược dòng 27 km Hết tất 30 phút Biết vận
tốc thực ca nơ 20 km/h Tính vận tốc dịng nước
Bài 3: Một ca nơ xi dịng khúc sơng dài 90 km ngược dòng 36 km Biết rằng
thời gian xi dịng nhiều thời gian ngược dòng hai vận tốc xi dịng vận tốc ngược dịng km/h Tính vận tốc ca nơ lúc xi dịng lúc ngược dịng
Bài 4: Một người xe đạp từ A đến B dài 12,5 km Một sau, người mô tô đuổi theo
với vận tốc lớn vận tốc xe đạp 40 km/h Hai xe đến nơi lúc Tính vận tốc xe
Bài 5: Hai địa điểm Avà B cách 30 km Một ô tô khởi hành từ A đến B, 12 km.
thì B người xe đạp ngược chiều A Ơ tơ đến B nghỉ lại 18 phút quay trở A đến nơi sớm người xe đạp 30 phút Tính vận tốc xe Biết ô tô nhanh xe đạp 25 km/h
Bài 6: Một người xe đạp dự định từ A đến B dài 20 km với vận tốc không đổi, sau
khi giờ, ngưịi giảm vận tốc km, nên đến B chậm dự định 15 phút Tính vận tốc lúc đầu người xe đạp
HÌNH HỌC
Bài 1: Cho đường trịn tâm O đường kính EF Trên EF lấy điểm N vẽ đường tròn tâm
O’đường kính NF Gọi M trung điểm EN Từ M kẻ dây AB vng góc với EN, AF cắt
(O’) K.
(17)c) Cho EF = 10cm, AFE 300 Gọi cung (O) bị chắn góc AnE Tính diện tích hình quạt trịn OEnA
Bài 2: Cho tam giác ABC có góc B 900 có BC > BA, đường cao BH Trên nửa mặt
phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính CH cắt BC M, vẽ nửa đường trịn tâm O’ đường kính HA cắt AB N Chứng minh:
a) BMHN hình chữ nhật
b) Tứ giác CMNA tứ giác nội tiếp c) BM BC = BN BA
d) Cho C ^H M=600 , CH = cm Tính diện tính hình quạt COM.
Baøi 3: Cho (O;R), kẻ hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn OA lấy điểm
E ( E nằm O, A ) Qua E kẻ đường thẳng d CD, CE cắt đường tròn F Kẻ tiếp tuyến Fx cắt d I
a) Chứng minh tứ giác OEFI nội tiếp b) Tứ giác OIEC hình gì?
c) Cho góc FCD = 300, CD = 10 cm Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây FD và
cung FD
d) Khi di chuyển AB I di chuyển đường nào?
Baøi 4: Cho tam giác ABC (AB = AC) nội tiếp (O) Các đường cao AG, BE,CF gặp H.
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác
b) Chứng minh AF AC = AH AG c) Chứng minh GE tiếp tuyến (I)
d) Cho bán kính đường trịn tâm I cm,góc BAC = 500 Tính diện tích hình quạt
IFHE
Bài
5: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O;R) Gọi D, E hai tiếp điểm AB, BC Tia
OB cắt (O) I Chứng minh: a) Tứ giác BDOE nội tiếp
b) I tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác
c) Cho R = cm Tính diện tích hình phẳng giới hạn đoạn thẳng BD, BE DIE Bài 6: Cho A điểm ngồi (O, R ) Vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE với (O).
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b) AC2 = AD AE VÀ AD AE = OA2 – R2.
c) Biết B ^A C=600 Tính diện tích hình quạt OBC theo R
Bài 7: Cho nửa (O) đường kính AB Hai điểm C, D nằm nửa đường tròn ấy, cho C
nằm A D AC BD cắt E, AD BC cắt F Chứng minh: a) Bốn điểm E, C, F, D thuộc đường trịn
b) Góc AEF góc ABC
Bài 8: Cho nửa đường trịn đường kính AB Một dây cung AC bất kì, kẻ tiếp tuyến Ax Vẽ tia
phân giác góc CAx cắt đường trịn E, cắt BC D Chứng minh rằng: a) Tam giác ABD cân, OE⊥ BD
b) Gọi I giao điểm AC BE CMR: DI⊥ AB ;DI ⊥ Ax c) Tìm quỹ tích điểm D C di động nửa đường trịn
Bài 9: Cho hai đường trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi A đường thẳng (d) tiếp xúc
(18)b) OMO M
c) Gọi E, F giao điểm OM AB, O’M AC Chứng minh tứ giác MEAF
là hình chữ nhật
Baøi 10: Cho (O) (O’) cắt A B Kẻ hai đường kính AC AD.
a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng
b) Một cát tuyến di động qua A cắt (O) (O’) M N Chứng minh rằng: CMND hình thang vng
c) Gọi P, Q trung điểm MN CD CMR: Bốn điểm A, P, Q, B thuộc đường trịn
Bài 11: Cho (O) đường kính AB, dây cung AC Trên AC lấy điểm D cho CD = CA.
a) Chứng minh Δ ABD cân
b) Vẽ đường thẳng vng góc với AD A cắt đường tròn E Trên AE lấy điểm F cho EF = EA Chứng minh ba điểm C, O, E thẳng hàng; F, B, D thẳng hàng
Bài 12: Cho nửa đường trịn đường kính CD Lấy E thuộc nửa đường tròn Kẻ hai
tiếp tuyến Cx Dy Tiếp tuyến E nửa đường tròn cắt tiếp tuyến C A cắt tiếp tuyến D B
a) Các tam giác CED, AOB tam giác ? Vì sao? b) Chứng minh AB = AC + BD
c) Tìm vị trí E cho AC + BD nhỏ
d) Cho E ^C D=600 CMR: Tam giác EBD tam giác
Baøi 13: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax, By hai tiếp tuyến với nửa
đường tròn A B Lấy tia Ax điểm M vẽ tiếp tuyến MP cắt By N a) CMR:
b) Chứng minh: AM BN = R2.
c) Tính tỉ số
MON APB
S R
khi AM
S
d) Tính thể tích hình nửa hình trịn APB quay quanh AB sinh
Baøi