Sử dụng phương pháp biến đổi để giải hệ phương trình hai ẩn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HƯỜNG SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỂ GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH HAI ẨN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – năm 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HƯỜNG SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỂ GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH HAI ẨN Chuyên ngành : Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số : 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - năm 201 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN i.1 Hệ phương trình đối xứng loại I i.2 Hệ phương trình đối xứng loại II i.3 Hệ phương trình bậc hai tổng quát 1.2 GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT 1.3 GIẢI MỘT SỐ PHƢƠNG TRÌNH BẬC BỐN i.1 Giải phương trình trùng phương ax4  bx2  c  i.2 Giải phương trình có dạng  x  a  x  b  x  c  x  d   ex i.3 Giải phương trình có dạng  x  a  x  b  x  c  x  d   m i.4 Giải phương trình dạng  x  a    x  b   c 4 1.4 CÁC BIỂU THỨC LIÊN HỢP 1.5 HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CHƢƠNG MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐỂ SÁNG TÁC VÀ GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH 10 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI THÀNH HẰNG ĐẲNG THỨC 10 Bài tập tự luyện 18 2 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH CỘNG ĐẠI SỐ 19 Bài tập tự luyện 30 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ DENTA LÀ BÌNH PHƢƠNG CỦA MỘT BIỂU THỨC 30 Bài tập tự luyện 39 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH BIẾN ĐỔI TẠO NHÂN TỬ CHUNG 40 Bài tập tự luyện 51 2.5 GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG LIÊN HỢP 52 Bài tập tự luyện 63 CHƢƠNG III MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 65 KẾT LUẬN 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 LỜI NÓI ĐẦU Hệ phƣơng trình nội dung lâu đời quan trọng Toán học Ngay từ đầu, đời phát triển hệ phƣơng trình có sức hút mạnh mẽ ngƣời u tốn, khơng vẻ đẹp hình thức mà bí ẩn mang đến ln thơi thúc ngƣời làm tốn phải tìm tịi, sáng tạo Ngày nay, hệ phƣơng trình ln chiếm vai trị quan trọng thƣờng xuất dày đặc kì thi quốc gia, quốc tế Giải hệ phƣơng trình hầu hết học sinh thƣờng biết sử dụng kinh nghiệm giả toán nhờ vào việc gặp hƣớng giải trƣớc mà quên thứ có nguyên Chúng ta bắt gặp nhiều tài liệu nói phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình nhƣng có tài liệu nguồn gốc vào hệ phƣơng trình ? Ai ngƣời nghĩ nghĩ nhƣ để có giải hệ phƣơng trình Chính lí tác giả lựa chọn đề tài “Sử dụng phƣơng pháp biến đổi để giải hệ phƣơng trình hai ẩn” Trong luận văn tác giả trình bày chi tiết cách biến đổi để sáng tạo giải hệ phƣơng trình với loại phƣơng pháp giải Từ đó, ta xây dựng đƣợc nhiều tốn giải hệ phƣơng trình với mục đích khác Luận văn gồm chƣơng Chương Các kiến thức Trong chƣơng này, tác giả nhắc lại cách giải số hệ phƣơng trình nhƣ hệ phƣơng trình đối xứng loại I loại II, cách giải phƣơng trình bậc ba, bậc bốn mà ngƣời đọc cần nắm vững Chương Một số phương pháp biến đổi để sáng tác giải hệ phương trình Nội dung chƣơng gồm hai phần sáng tác giải hệ phƣơng trình cách biến đổi Với phần tác giả lấy tốn minh họa phƣơng pháp sau ta vận dụng để sáng tác toán theo mong muốn Sau hiểu ý tƣởng sáng tác tốn ta đứng góc nhìn ngƣời đề để dự đoán ý tƣởng đề tác tác giả khác để có lời giải toán cách tự nhiên Chương Một số toán đề thi học sinh giỏi Trong chƣơng tác giả hệ thống lại số toán xuất đề thi học sinh giỏi tỉnh đề thi học sinh giỏi quốc gia Cuối chƣơng cịn có số tập để bạn đọc tự luyện Để hoàn thành đƣợc luận văn này, tác giả xin đƣợc gửi lời cảm ơn sâu sắc tới T.S Phạm Văn Quốc , thầy dành thời gian hƣớng dẫn, bảo, tận tình giúp đỡ trình xây dựng đề tài, giúp tác giả giải vấn đề nảy sinh trình làm luận văn hoàn thành luận văn định hƣớng ban đầu Qua tác giả xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô đọc, kiểm tra, đánh giá cho ý kiến quý báu để luận văn đƣợc hoàn thiện phong phú Tác giả xin đƣợc gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phịng Sau Đại học, khoa Tốn – Cơ – Tin trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trƣờng Cuối biết ơn sâu sắc tới gia đình, lời cảm ơn tới bạn bè thông cảm, động viên giúp đỡ cho tác giả có đủ nghị lực để hồn thành luận văn Tuy có nhiều cố gắng nhƣng thời gian trình độ cịn hạn chế nên vấn đề luận văn chƣa đƣợc trình bày sâu sắc khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận đƣợc bảo thầy cô bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, năm 2016 Nguyễn Thị Hƣờng CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN i.1 Hệ phương trình đối xứng loại I Hệ phƣơng trình đối xứng hai ẩn loại I hệ phƣơng trình chứa hai ẩn x, y mà ta thay đổi vai trị x, y cho hệ phƣơng trình khơng thay đổi  f  x; y     f  x; y   f  y; x  ,  Ta có phƣơng pháp giải tổng quát  g  x; y     g  x; y   g  y; x  Tức  nhƣ sau Bƣớc 1: Đặt điều kiện biến ( có) Bƣớc 2: Đặt S  x  y ; P  xy ( với S  4P ) Khi , ta đƣa hệ phƣơng trình hệ chứa S , P Bƣớc : Giải hệ tìm S , P Chọn S , P thỏa mãn điều kiện S  4P Bƣớc : Với S , P tìm đƣợc x, y nghiệm phƣơng trình X  SX  P  i.2 Hệ phương trình đối xứng loại II Hệ phƣơng trình đối xứng loại II hệ chứa hai ẩn x, y mà đổi vị trí x, y cho   f  x; y     f  y; x   phƣơng trình trở thành phƣơng trình Tức hệ có dạng  Phương pháp giải: Trừ vế với vế hai phƣơng trình biến đổi dạng phƣơng trình tích số i.3 Hệ phương trình bậc hai tổng quát a1 x  b1 y  c1 xy  d1 x  e1 y  f1  Một 2 a2 x  b2 y  c2 xy  d x  e2 y  f  Xét hệ phƣơng trình đối xứng bậc hai dạng  phƣơng trình muốn có phân tích đƣợc nhân tử hay xem biệt thức denta theo biến x y có phải số phƣơng hay không Nếu hai biệt thức denta hai phƣơng trình số phƣơng trình cách giải đơn giản, ta cần tìm nghiệm phân tích nhân tử đƣợc mối liên hệ hai biến vào phƣơng trình cịn lại Thế nhƣng hai phƣơng trình cho denta khơng phƣơng ta cần phải sử dụng tới phƣơng pháp tìm hệ số bất định – UCT Ta lựa chọn số thích hợp nhân vào phƣơng trình cộng đại số với phƣơng trình cịn lại ép đƣợc cho biệt thức denta phƣơng Tức tìm số k cho  PT 1  k.PT    Ta làm theo bƣớc sau Đặt a  a1  ka2 ; b  b1  kb2 ; c  c1  kc2 ; d  d1  kd2 ; e  e1  ke2 ; f  f1  kf Khi k nghiệm phƣơng trình sau cde 4abf  ae2  bd  fc2 với a  1.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT Xét phƣơng trình bậc ba có dạng tổng qt x3  ax2  bx  c  1 Tác giả xin trình bày vắn tắt cách tìm nghiệm phƣơng trình phƣơng pháp Cardano a Đặt x  t  Khi phƣơng trình đƣợc biến đổi thành t  pt  q  ,   p  b  a2 2a3  9ab q  c  27 Ta tìm số u, v cho qua hệ u  v3  q uv  p  3 Một nghiệm đƣợc tìm từ việc đặt t  v  u , kiểm tra trực tiếp thay giá trị t vào   nhờ đẳng thức  v  u   3uv  v  u    u  v3   Hệ  3 giải từ phƣơng trình thứ hai cách rút v  phƣơng trình thứ  3 ta có u  p3  q Phƣơng trình tƣơng đƣơng 27u với phƣơng trình bậc hai với u Khi ta u  Vì t  v  u t  x  p p Thay v  vào 3u 3u q q p3   27  4 a p a ta tìm đƣợc x   u  3u Chú ý có sau giá trị u tìm đƣợc từ   , có hai bậc ba ứng với  bậc ba có ba giá trị Tuy nhiên dấu phải chọn cho tính x , khơng gặp trƣờng hợp chia cho khơng Nếu p  , chọn dấu bậc hai cho u khác 0, i, e, u  q Nếu q  p  x  a GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN 1.3 i.1 Giải phương trình trùng phương ax4  bx2  c  Giải Đặt t  x2 , t  Khi phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với at  bt  c  Đây phƣơng trình bậc hai với biến t , ta dễ dàng tìm t suy đƣợc x i.2 Giải phương trình có dạng  x  a  x  b  x  c  x  d   ex có ad  bc  m Giải Trƣờng hợp x  có phải nghiệm khơng ? m  ad  bc  Trƣờng hợp Với x  , đặt  p  a  d Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với n  b  c  x m m   px  m  x  nx  m   ex   x   p   x   n   e x x    Đặt u  x  m Phƣơng trình trở thành  u  p  u  n   e x Đây phƣơng trình bậc hai với biến u , ta dễ dàng tìm u suy x i.3 Giải phương trình có dạng  x  a  x  b  x  c  x  d   m có a  b  c  d  p Giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với  x2  px  ab  x2  px  cd   m Đặt t  x  px, t   p2 Phƣơng trình trở thành  t  ab  t  cd   m Đây phƣơng trình bậc hai với biến t , ta dễ dàng tìm t suy x i.4 Giải phương trình dạng  x  a    x  b   c với c  4 a b   a b  ab  Giải Đặt x  y  Phƣơng trình cho trở thành  y    y  c      y  3 a  b  a b  y  2   c   2 Giải phƣơng trình trùng phƣơng ta tìm đƣợc biến y suy biến x i.5 Giải phương trình x4  ax2  bx  c Giải Ta đƣa phƣơng trình dạng A2  B2 để giải Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với phƣơng trình  x  m    2m  a  x  bx  c  m2 Ta tìm m để vế phải phƣơng trình bình phƣơng biểu thức Khi biệt thức denta vế phải không, tức    b2   c  m2   2m  a    8m3  4am  4ac  b2  Đây phƣơng trình bậc ba với biến m , ta có cách giải CÁC BIỂU THỨC LIÊN HỢP 1.4 Trong luận văn tác giả chủ yếu đề cập tới biểu thức liên hợp sau + a b a b + a3b a b a b a  ab  b a b + a b + a3b a b ab a  ab  b 2 Ngoài số biểu thức liên hợp khác nhƣng luận văn mà tác giả không đề cập tới + n + n + a 1  n anb  n 1 1.5 a 1 a n 1   n a  a b n a n 1  n a n  2b   n abn   n bn 1 a  n 1 b  ab n 1 a n  n 1 a n 1b   n 1 ab2 n 1  n 1 b2 n HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng f  x  hàm số xác định K Giả sử hàm số f  x  có đạo hàm K Định lí 1: a, Nếu đạo hàm f '  x   với x  K dấu xảy số hữu hạn điểm hàm số đồng biến K b, Nếu đạo hàm f '  x   với x  K dấu xảy số hữu hạn CHƯƠNG III MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bài tốn Giải hệ phƣơng trình: 3   x  y  y  2( x  y)  12   2    x  y   x  y  10 x  y  22 (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Bến Tre) Giải Điều kiện xác định: x   y Phƣơng trình đầu đƣợc viết lại thành: x3  x  y3  y  14 y  12  x3  x  ( y  2)3  2( y  2) x  y   ( x  y  2)( x2  x( y  2)  ( y  2)2  2)    2  x  x( y  2)  ( y  2)   Vì x2  x( y  2)  ( y  2)2  >0 với x, y  Nên với x  y  thay vào phƣơng trình sau rút gọn, ta đƣợc:  y  y   y  19 y  46(3  y  5) Trừ hai vế phƣơng trình cho 2: ( y  4)( 1  )  ( y  4)(2 y  11) y  1  y 1 Nếu y  suy x  Nếu y  thì: 1   y  11 y  1  y 1 Vì 3;5 vế trái hàm nghịch biến nên khơng nhỏ 2  đạt đƣợc y  đoạn 3;5 vế phải làm hàm đồng biến nên khơng lớn 2.5  11  1  2  Vậy phƣơng trình có nghiệm  x; y    2;4  Bài toán Giải hệ phƣơng trình:   y  3x   y  x      y   x   x   y (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hịa Bình năm học 2016-2017) 65  x   3  Giải Điều kiện xác định:  y    y  3x    y  x    Theo điều kiện xác định, x  nên với phƣơng trình đầu, ta có: y  3x   y  5x  Thực nhân liên hợp 8x 4 y  x   y  3x   y  x   y  3x   x  y  x   x   y  x  x Thay vào phƣơng trình sau ta đƣợc: 5x2  5x   x   x   4( x  x)  5x2  5x   x   4 x  x    x  x   ( x  1)   (2 x  x  2)  (4 x  x  2)    (4 x  x  2)( x  x   ( x  1) Để ý với điều kiện x    1)  2x  x  2 số hạng thừa số thứ hai dƣơng nên đẳng   17 x  thức tƣơng đƣơng: x2  x       17 x      17  17 ; 32   Vậy hệ có nghiệm ( x; y)      17 3 17 ;  ;  32         Nhận thấy nhân liên hợp tìm nghiệm phƣơng trình sau Khi nhẩm nghiệm ,nhận thấy phƣơng trình sau nhiều khả khơng có nghiệm nguyên hay hữu tỉ.nên ta nghĩ đến khả có nghiệm vơ tỉ, tức nhân liên hợp với biểu thức để xuất biểu thức bậc hai làm thừa số chung Gọi ax  b, cx  d biểu thức đƣợc nhân liên hợp với hai số hạng vế trái Khi đó, ta thu đƣợc biểu thức bậc hai: 66 5x2  5x   (ax  b)2 ,(cx  d )2  (7 x  2), 4 x  x 1  (cx  d )  (ax  b) Cho biểu thức đối ta tìm đƣợc a  b  1, c  2, d  Bài toán Giải hệ phƣơng trình: ( x  1) y  y   ( y  1) x  x   x  y  2 ( x  x) x  y   x  x  y  ( Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Lào Cai năm học 2016-2017) Giải Điều kiện xác định: x  y  Khai thác phƣơng trình đầu khơng dễ, ta cho cho biến nhận mội giá trị đặc biệt, giải giá trị biến cịn lại Mục đích để tìm quan hệ hai biến, ý tƣởng phân tích nhân từ trở lên rõ ràng Viết lại phƣơng trình thứ hai dƣới dạng: ( x2  x) x  y   x  x  ( x  y  1)  ( x  x)  ( x  y  1) x2  x   x  y  x y 3 2 Để ý x  x   ( x  )2  nên x  y 1  ( x  y  1)  x y3 2 0 x2  x   x  y  x y3 2  Suy y  x  Thay vào phƣơng trình , ta có ( x  1) x2  x   ( x  2) x  x   x   (2 x  1) x2  x   ( x  2)( x  x   x  x  2)  x    x2  (2 x  1)  x  x    1  x2  x   x2  x    x2  1  x x2 2 x  x   x  x    x   Với x  1 suy y   2 67 x2  x   Với x2 x2  x   x2  x  1  ( x  x  2)( x  x  1)  x  x   x   x  x   x  x  Đặt a  x2  x  1, b  x  x  x  Phƣơng trình trở thành ab  a  b2  a  b2   a  b  (a  b)2  2(a  b)   Vì a  b  nên suy a  b  3, suy x2  x   x2  x       1  1   x2  x    x     x2  x    x       3       1  (8 x  7)( x  1)   0 5 2  x  x 1  x  x x2 x  3 3  Vì x2  x   3 x  ( x  2)  x  ( x) suy 4 x2  x   x   3 3 x  ( x  2)2  x  x 4 Lại có x2  x   x2  x   Suy  x  x  x   x   Nên từ phƣơng trình (*) suy  3  x  1 Với x  1 suy y  2 Với x  1 suy y  8 1 1  );( 1; 2);( ; )  8   2 Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm ( x; y)  ( ; Bài tốn Giải hệ phƣơng trình 2   y  x y  3xy  x  3x  x    x   y   (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm học 2016-2017) 68 (*) Giải Điều kiện xác định: y  1 Ta nhận thấy hệ số tƣơng ứng hạng tử hai vế đối xứng nên ta nhận đƣợc mối quan hệ hai vế đƣợc “che giấu” phƣơng trình đầu Nếu x  thay vào phƣơng trình đầu ta tìm đƣợc y  Nhƣng cặp số khơng thỏa mãn phƣơng trình sau Nếu x  , phƣơng trình tƣơng đƣơng  y  x  y 2  ( x  3x) y  x  x  x   Xét f ( y)  y  ( x2  3x) y  x4  3x3  x tam thức bậc hai theo biến y, ta có   ( x2  3x)2  4( x4  3x3  x2 )   x (3x  x  7)  Suy f ( y)  Tức phƣơng trình đầu cho ta có y  x Thay x  y vào phƣơng trình ta có phƣơng trình sau y   y   Vế trái hàm số đồng biến theo biến y nên phƣơng trình có tối đa nghiệm.lại có y  thỏa đẳng thức nên nghiệm phƣơng trình Đối chiếu điều kiện, hệ phƣơng trình có nghiệm  x; y   1;1 Bài toán Giải hệ phƣơng trình: 2  2 x  x   x   y  y  xy  y  x   3  x  y  3x  y   y  (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2016-2017) Giải Điều kiện xác định  x  y  x  1, y   3x Từ phƣơng trình đầu ta cho hai để tìm mối quan hệ kiểm tra lại mối quan hệ hai phƣơng trình Từ ta có cách nhân liên hợp phƣơng trình đầu, viết lại phƣơng trình đầu dƣới dạng  x  x  3  ( y  y  xy)    x   y  x        (2 x   y)( y  x  3)  (2 x   y) x 1  y  x 69  Từ điều kiện xác định, y  x  1 nên y  x   Kết hợp với  , suy x 1  y  x đẳng thức cho ta y = 2x+1 Thay vào phƣơng trình sau, ta đƣợc  x  5x   x  (điều kiện:  x5 )  5  x  5x   (5  x)(5x  4)   x  28 x  49  18 (5  x)(5x  4)  x2  x  40  (5  x)(5 x  4)  x2  x  20  81(5  x)(5x  4)  (2 x2  x  20)2  ( x  1)( x  4)(4 x  x  505)  Với  x  x2  x  505  nên suy phƣơng trình có nghiệm x  x  Với x  suy y  Với x  suy y  Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm ( x; y)  1;3 , 4;9  Bài toán Giải hệ phƣơng trình:   3x (1  x  y )     y.(1  )   x y ( Đề thi HSG Quốc Gia năm 1995-1996-Bảng A) Giải Điều kiện xác định: x  0, y  x  y  Dễ thấy x,y nghiệm hệ cho phải có x  0, y  Do đó,hệ cho   1    x  y  tƣơng đƣơng  1     x  y   3x 7y  1 2    3x 7y x y   1   2  3x 7y  70 Nhân hai phƣơng trình theo vế ta đƣợc 1    21xy  ( x  y )(7 y  3x)  ( y  x)(7 y  x)   y  x x  y 3x y x  0; y  0) Thay vào phƣơng trình thứ hai giải ta đƣợc , x  11  22  ,y 21 Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ  11  22   ;   21  Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm ( x; y)   6 x  y  z   Bài tốn Giải hệ phƣơng trình  x  y  z  1 6 x  y  y  z   (VMO 2016) Giải Từ giả thiết ,suy (6 x2  y  y  z )  3( x  y  z  1)  (6 x  y  z  3)  x  z  ( x  z )( x  z  2)     x  z  Trƣờng hợp 1: x  z Khi đó, hệ phƣơng trình cho viết dƣới dạng  x  x  y   2  x  x  y  1  y  x 1 Từ phƣơng trình thứ hai ,ta suy y  ( x  1)2    y    x  1 Thay trở lại phƣơng trình đầu,ta tìm đƣợc nghiệm (x,y,z) hệ  5  33 7  33 5  33   5  33 7  33 5  33  , , , ,   ;   ; 2 2 2      7  65  65 7  65   7  65  65 7  65  , , , ,   ;   2 2 2     Trƣờng hợp 2: x  z  71 (vì  x  2x 1 y  2   x  x  y   Thay z   x vào,ta viết đƣợc hệ phƣơng trình dƣới dạng  Trừ hai vế hai phƣơng trình, ta đƣợc y  y   Phƣơng trình vơ nghiệm Do đó, trƣờng hợp vơ nghiệm Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm (x,y,z)  5  33 7  33 5  33   5  33 7  33 5  33  , , , ,   ;   ; 2 2 2      7  65  65 7  65   7  65  65 7  65  , , , ,   ;   2 2 2     Bài tốn Giải hệ phƣơng trình  ( x  y)2  2x 1  y 1   ( x  y )( x  y )  3x  y   ( Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Phƣớc năm học 2013-2014) 1  x   Giải Điều kiện xác định:   y  1    x  y 1   x  y   Từ phƣơng trình thứ hai tƣơng đƣơng x  (3 y  3) x  y  y     Vì theo điều kiện suy x  y   nên x  y   (vơ nghiệm) Từ phƣơng trình thứ tƣơng đƣơng  ( x  y )  xy  ( x  y )2  xy  2( x  y )   xy  2( x  y)    2x 1  y 1    2   2  xy    xy   (4 xy  3)(4 xy  5)   (4 xy  5) xy   Vì  ( x  y)2  xy  xy   nên phƣơng trình (4 xy  5) xy   vô 72 nghiệm 1   x x  y  x      Hệ cho tƣơng đƣơng   3   xy   y   y  1     1   1   ;  ,  ;   2   2   Đối chiếu với điều kiện ta có hệ phƣơng trình có nghiệm  x; y    Bài Giải hệ phƣơng trình 8   x  3x  13x  15  y  y   y   y ( x  x  2)  (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam năm học 2013-2014)   2 ( x  1)( x  x  15)     y y   Giải Điều kiện xác định : y  Hệ tƣơng đƣơng  1    x  12  1     y y Đặt a  x  1, b  (b  0) a(a  16)  b(b  4) a3  b3  16a  4b   2 2 (1) 1  b  5(a  1) b  5a  Hệ trở thành   a   b 3 2 2 Suy a  b  (b  5a )(4a  b)  21a  5a b  4ab    a    4b a    x  1  y  1 Thay a  vào (1) ta đƣợc b2  tìm đƣợc hai nghiệm   x  1  y   x  2  y   b Thay a  vào (1) đƣợc b2  tìm đƣợc hai nghiệm   x   y   73 4b 31b Thay a  vào (1) đƣợc  (vô nghiệm) 49   2  2   Thử lại ta thấy hệ có bốn nghiệm  x; y    1;1 ;  1;1 ;  2;  ;  0;         x  y  240 Bài 10 Giải hệ phƣơng trình  3 2  x  y  3( x  y )  4( x  y ) ( VMO 2010) Giải Nhân phƣơng trình thứ hai với -8 cộng với phƣơng trình thứ ta đƣợc x4  8x3  24 x2  32 x  16  y  16 y3  96 y  256 y  256 x  y  4   x  2   y  4    x   y Thay x  y  vào phƣơng trình đầu ta đƣợc: 8 y3  24 y  32 y  16  240  y3  y  y  28   y  2  ( y  2)( y  y  14)     y  2  y  y  14  Với y  2 suy x  4 Với x   y thay vào phƣơng trình đầu ta đƣợc 24 y3  216 y  864 y  1296  240  y3  y  36 y  44   ( y  2)( y  y  22)  y    y  y  y  22   Suy x  Thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy hệ cho có hai nghiệm  x; y    4; 2 ; 4;2  Bài 11 Giải hệ phƣơng trình  x  x3  y  5x2  y   x 1   x3  x  y  x y  xy  y x   ( Học sinh giỏi tỉnh Nam Định năm 2015-2016) 74  x  1 Giải Điều kiện xác định  5 x  y   x   y  x Từ phƣơng trình thứ hai ta đƣợc ( x  1)( x  y)2    Với x  thay vào phƣơng trình thứ ta đƣợc   65 y  4 y   y  11   y  y  11    y 2 y  y    Với x  y thay vào phƣơng trình đầu ta đƣợc x4  x3  x  ( x  1) 5x2  x   ( x  2)2  ( x3  x  x  4)  ( x  1) ( x  2)( x  1)  ( x3  x  x  4)  u  x  Đặt  Ta có v  x  x    u  ( x3  x  x  4)  ( x  1)v  v  ( x  1)u  ( x  x  x  4) u  v u  v  x   Suy u  v  ( x  1)(v  u )  (u  v)(u  v  x  1)   Với u  v  x   ta có: 5x2  x   x  x   (vơ nghiệm x2  x   0, x ) Với u  v ta có x2   5x2  x   x4  x2   5x2  x   x  x  x    ( x  1)2  3( x  1)2  x   1 Thử lại ta thấy hệ phƣơng trình có ba nghiệm   65               ;  ; ;  x, y   1;  ;      2 2       Bài 12 Giải hệ phƣơng trình 2   x  1 ( y  6)  y  ( x  1  2  ( y  1)( x  6)  x( y  1) (Olimpic Austria năm 1997-1998) Giải Cộng hai phƣơng trình cho nhau, sau rút gọn đƣa bình phƣơng 75 2 5 hiệu ta đƣợc phƣơng trình  x     x    2  2  (*) Trừ phƣơng trình thứ hai cho phƣơng trình thứ nhóm lại ta đƣợc phƣơng trình xy( y  x)  6( x  y)  ( x  y)( x  y)  xy( x  y)  ( y  x)  ( x  y)( xy   x  y  xy  1)  x  y  ( x  y)( x  y  xy  7)     x  y  xy   Với x  y thay vào phƣơng trình (*) ta đƣợc x  y  x  y  1  15 Với x  y Ta có x  y  xy     x    y     2  2 Đặt a  x  , b  y  Do đó,ta đƣợc hệ 1   a  b2  a  b2      2   (a  2)(b  2)  15 2ab  4(a  b)  1     (3) (4) a  b   a  b  4 Cộng (3) (4) ta đƣợc (a  b)2  4(a  b )    Lấy (4) trừ (3) ta đƣợc (a  b)2  4(a  b)  (5) Nếu a  b  4  (a  b)2  15 (loại) a  b   a  b  1 Nếu a  b   (a  b)2    1 1 1    Kết hợp a  b  1, a  b  ta đƣợc cặp ( (a, b)  ;  ;  ;  2 2 Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm  x; y    2;2  ;  3;3 ;  2;3 ; 3;2  Bài tập tự luyện 76  x3  3xy  49 (VMO, 2004 - B) 2  x  xy  y  y  17 x Bài Giải hệ phƣơng trình  Bài Giải hệ phƣơng trình 2 2 y ( x  y )  3x  2  x( x  y )  10 y (Chọn đội tuyển THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa năm học 2010-2011 )  1  Bài Giải hệ phƣơng trình   1    12   x 2 y  13  12   y  y  3x  (VMO, 2007) Bài Giải hệ phƣơng trình  (3x  y )( x  y ) xy  14  2  ( x  y )( x  14 xy  y )  36 ( Đề Nghị Olympic 30/4/2011) Bài Giải hệ phƣơng trình 9x  x  y  xy  0   ( Lithuanian Mathematical Olympiad 2006)   y  x  yx  y    Bài Giải hệ phƣơng trình log ( x  y )   log ( xy)   x2  xy  y2  81  3 77 (Đề ĐH - 2009A - Nâng cao) KẾT LUẬN Luận văn đạt đƣợc số kết sau: Luận văn nêu lên đƣợc cách giải số phƣơng trình nhƣ phƣơng trình đối xứng loại I, loại II, phƣơng trình đẳng cấp kiến thức liên quan tới vấn đề trình bày luận văn Luận văn nêu lên phân tích, nhận xét, đánh giá tác giả trƣớc tốn giải hệ phƣơng trình giúp độc giả có cách nhìn tự nhiên hƣớng giải tốn để từ chọn lời giải phù hợp Giới thiệu hệ phƣơng trình đề thi thử tốt nghiệp Trung học phổ thông trƣờng tồn quốc, đồng thời có lớp câu hỏi chia theo phƣơng pháp để độc giả tự luyện Trình bày chi tiết cách sáng tác tốn giải hệ phƣơng trình Từ kết luận văn này, ta thấy việc sáng tác tốn giải hệ phƣơng trình việc khơng q khó Tác giả hy vọng với ý tƣởng sáng tác giúp cho độc giả xây dựng đƣợc nhiều hệ phƣơng trình khác làm phong phú thêm toán giải hệ phƣơng trình Tác giả mong nhận đƣợc góp ý thầy cô đồng nghiệp để đề tài tiếp tục đƣợc hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 11 năm 2016 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Nguyễn Tài Chung (2013), “ Sáng tạo giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình”, NXB Tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh Hà Văn Chƣơng (2013), “ Tuyển chọn giải hệ phương trình, phương trình khơng mẫu mực”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Phú Khánh, Nguyễn Tất Thu (2013), “Phương pháp giải toán chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bất đẳng thức”, NXB Đại học sƣ phạm, Hà Nội Nguyễn Vũ Lƣơng (chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng (2009), “Các giảng bất đẳng thức Bunhiacopxki”, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội Lê Hoành Phị (2015), “ Tổng ơn tập chun đề hệ phương trình”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Danh sách Website www.diendantoanhoc.net www.math.vn www.mathscope.org 79 ... phƣơng trình Chính lí tác giả lựa chọn đề tài ? ?Sử dụng phƣơng pháp biến đổi để giải hệ phƣơng trình hai ẩn? ?? Trong luận văn tác giả trình bày chi tiết cách biến đổi để sáng tạo giải hệ phƣơng trình. .. CHUẨN BỊ 1.1 CÁCH GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN i.1 Hệ phương trình đối xứng loại I Hệ phƣơng trình đối xứng hai ẩn loại I hệ phƣơng trình chứa hai ẩn x, y mà ta thay đổi vai trò x, y cho hệ. .. trọng phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình Ta sử dụng biến đổi giúp ta đơn giản hệ phƣơng trình phức tạp qua lời giải toán trở nên dễ dàng Trong cách biến đổi đó, tác giả trình bày phép biến đổi tạo thành