Nghiên cứu và xây dựng một số thuật toán quy hoạch thực nghiệm tối ưu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Quang Đạt NGHIÊN CỨU VÀ XÂY DỰNG MỘT SỐ THUẬT TOÁN QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TỐI ƯU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN QUANG ĐẠT NGHIÊN CỨU VÀ XÂY DỰNG MỘT SỐ THUẬT TOÁN QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TỐI ƯU Chuyên ngành : Cơ sở toán cho tin học Mã số : 60460110 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộhướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Hải Vinh Hà nội – 2016 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Anh 1.1 Dette, H and Haines, L (1994) “E-optimal designs for linear and nonlinear models with two parameters”, “Biometrika” Dette, H and Studden, W J (1993) “Geometry of E-optimality”, “Ann Statist”, Elfving, G (1952), “Optimum allocation in linear regression theory” “Ann Math Statist” Holger Dett, Viatcheslav B Melas, Andrey Pepelyshev (2004), “Optimal Designs for a class of nonlinear regression models”, St Petersburg State University, Russia Imhof, L A and Studden, W J (2001) “E-optimal designs for rational models” “Ann.Statist.” Viatcheslav B Melas (2006), “Functional Approach to Optimal Experimental Design”, Springer Science+Business Media, Inc., USA 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 II Tiếng Nga 2.1 Ф е д о р о в В В (1971), “Теория оптимального эксперимента (планирование регрессионных экспериментов)”,изд-ва «Наука», Москва III Tiếng Việt 3.1 3.2 Lưu Lan Hương (1985), “Ứng dụng phép quy hoạch bố trí thí nghiệm”, luận án tốt nghiệp đại học, ĐH Tổng hợp, Hà Nội Phan Phương Loan, Bùi Minh Tâm, Phạm Thanh Liêm (2013) “Nghiên cứu số tiêu sinh lý cá rô biển”, Khoa Nông nghiệp Tài nguyên Thiên nhiên, Trường Đại học An Giang Mục lục Mở đầu Chương 1: Quy hoạch thực nghiệm tối ưu 1.1 Tổng quan 1.2 Các yêu cầu chung đánh giá 1.3 Mô hình tuyến tính 1.3.1 Ví dụ mơ hình tuyến tính: 1.4 Tiêu chuẩn tối ưu 1.4.1 Chuẩn D: 1.4.2 Chuẩn G: 1.4.3 Chuẩn MV: 1.4.4 Chuẩn c: 1.4.5 Chuẩn E : Chương 2: Lớp mơ hình hồi quy phi tuyến 2.1 Thuật tốn tối ưu cho lớp hàm hồi quy phi tuyến 2.2 Lớp mơ hình hồi quy phi tuyến dạng phân thức 2.2.1 Đánh giá kết đo đạc 2.2.2 Phân tích tiệm cận theo mơ hình tối ưu chuẩn E chuẩn c 2.2.3 Mơ hình hồi quy phi tuyến dạng phân thức hữu tỷ 2.3 Một số mơ hình hồi quy phi tuyến dạng phân thức 2.3.1 Mơ hình 1: 2.3.2 Mơ hình 2: 2.4 Lưu đồ mơ hình thuật tốn: Chương 3: Bài toán thực tế 3.1 Bài toán 3.1.1 Thí nghiệm ban đầu 3.1.2 Mơ hình hóa tốn 3.1.3 Giải toán 3.1.4 Tổ chức thêm thí nghiệm lần thứ 3.1.5 Mơ hình hóa giải lần thứ 3.2 Bài toán 3.2.1 Thí nghiệm ban đầu 3.2.2 Mơ hình hóa tốn 3.2.3 Giải toán 3.2.4 Tổ chức thêm thí nghiệm lần thứ 3.2.5 Mơ hình hóa giải lần thứ 2: 2: 4 16 18 18 18 19 19 20 21 21 25 25 30 35 41 41 48 50 51 51 52 53 54 56 56 58 59 60 61 63 63 MỞ ĐẦU Trước đây, nhà khoa học, nghiên cứu, thường làm nhiều thí nghiệm Họ tiếp tục đùng thống kê để phân tích kết thu Tới thời điểm tại, khoa học kỹ thuật phát triển mạnh Những thí nghiệm cho chuyên ngành trở nên lớn phức tạp Sự phát triển ngày lên khoa học - công nghệ gây gia tăng cao chi phí cho thí nghiệm Chúng ta lấy đơn cử ví dụ việc phát triển vật lý nguyên tử đòi hỏi phải xây dựng loạt máy gia tốc không lồ, trị giá nhiều tỷ đô-la Các nhà khoa học nhà nghiên cứu buộc phải xoay theo hướng khác khoa học thông kê Quy hoạch thực nghiệm tối ưu đời nhằm đáp ứng yêu cầu họ Quy hoạch thực nghiệm tối ưu tối ưu hóa việc lập kế hoạch tiến hành thí nghiệm, từ thu nhiều kết có giá trị với số thí nghiệm Đối với vấn đề tối ưu hóa thí nghiệm, nay, quy hoạch thực nghiệm tối ưu có hai xu hướng chính: lập kế hoạch tốt cho thí nghiệm để tối ưu hóa kết đầu ra, hai xây dựng kế hoạch thực nghiệm tối ưu cho thí nghiệm xác định mơ hình nghiên cứu Trong xu hướng thứ nhất, việc cần làm tính tốn điều kiện thí nghiệm, cho tìm điều kiện tốt để làm thí nghiệm ta thu kết tốí ưu nhất, tức kết thu thí nghiệm nhận phải tối ưu Ta lấy ví dụ đơn giản trường hợp Trong ngành hóa học - cơng nghệ đại, đặt yêu cầu phải nhận sản phẩm mức lớn Một phép tính tốn quy hoạch phải tìm nhiệt độ thích hợp, áp xuất thích hợp, tỷ lệ phần trăm thành phần nguyên liệu, v.v Xu hướng thứ hai, số trường hợp, lại phải tìm hiểu khía cạnh khác thí nghiệm Ta cần phải xác định xem yếu tố có ảnh hưởng kết mà thu thí nghiệm Và từ tìm chế thí nghiệm Lấy lại ví dụ bên trên, cần phải xác định xem yếu tố bên nhiệt độ, áp suất, v.v có tác động kết (ta cần thu nhiều sản phẩm nhất) Ở đây, viết lại ngơn ngữ tốn học, ta thấy ta cần phải xây dựng mơ sau: cần phải tìm phương trình xác định mối quan hệ đại lượng ban đầu (các chất phản ứng, yếu tố nhiệt độ, áp suất, thời gian, v.v ) với đại lượng kết (ở khối lượng sản phẩm thu được) Và cuối cùng, phải đưa mơ hình tốn học thí nghiệm Trong luận văn thạc sỹ này, tốn đặt là: có trước kết số thí nghiệm Nhưng kết thí nghiệm cho trước khơng đủ để tính tốn (chứng thực) lý thuyết mà cần Chúng ta phải làm thêm số thí nghiệm bên cạnh thí nghiệm trước Yêu cầu toán xác định kế hoạch cho việc thực thí nghiệm cách tốt Mục tiêu học viên nghiên cứu lý thuyết quy hoạch thực nghiệm tối ưu, với áp dụng lý thuyết vào toán thực tế: Tổng quan thực trạng quy hoạch thực nghiệm tối ưu Nghiên cứu, chứng minh lý thuyết Đưa cách xây dựng thuật toán Áp dụng vào toán thực tế Luận văn bao gồm mục: Chương 1: Tổng quan quy hoạch thực nghiệm tối ưu 1.1 Lớp mơ hình đơn giản: lớp tuyến tính Chương 2: Lớp mơ hình quy hoạch thực nghiệm tối ưu phi tuyến: 2.1 Lớp mơ hình hồi quy phi tuyến dạng phân thức 2.2 Một số mô hình lý thuyết Chương 3: Nghiên cứu mơ hình thực tế: 3.1 Bài toán 3.2 Bài toán CHƯƠNG I: QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TỐI ƯU 1.1 Tổng quan Bây giờ, xem xét mơ hình tốn học vấn đề, thiết kế thơng số tốn học cho tượng làm sáng tỏ chúng Chúng ta đưa cách để tốn học hóa số liệu Thông thường, kết thu thí nghiệm thường phụ thuộc vào vài yếu tố, mà đây, ta gọi chúng "biến kiểm soát", hay "biến đầu vào" (ta sau sử dụng tên "biến đầu vào" mơ hình) Các biến thay đổi tùy theo thí nghiệm Ví dụ bên cho thấy ta thay đổi nhiệt độ, áp suất, thời gian, phần trăm hóa chất ban đầu, v.v Mỗi yếu tố này, ta đại diện chúng biến số, ta vector sau:   x1 x2  x =   xk Ở đây, biến x1 , , xk biến tương ứng với yêu tố đầu vào (nhiệt độ, áp suất, v.v ) Một không gian k chiều đây, có xác định vector x, ta gọi khơng gian yếu tố ban đầu Tập hợp điểm khơng gian này, nơi mà phép đo thực (có thể làm thí nghiệm điểm này) gọi "miền kiểm tra", "miền giá trị đầu vào" Trong tài liệu này, gọi miền X Việc xác định giới hạn X vấn đề quan trọng kế hoạch tối ưu hóa Một số trường hợp, giá trị giới hạn phụ thuộc vào tính chất biến đầu vào Với ví dụ hóa học trên, ta thấy áp suất số âm, hay thành phần phần trăm nguyên liệu ban đầu nằm khoảng 0% tới 100% Trong số trường hợp nhỏ - thường xảy - cần xem xét giá trị biến đầu vào cịn có giới hạn khác nữa, ví dụ nhiệt độ phụ thuộc vào nguồn nhiệt thí nghiệm cung cấp, nên khơng thể cao giá trị đó, v.v Chúng ta chí cịn phải đưa giới hạn nhiều Trong trường hợp này, cần phải đưa mơ hình tốn học (ví dụ dạng hàm số) phụ thuộc vào biến đầu vào, để thực việc tối ưu hóa thí nghiệm ta cần Ta giả sử rằng, mối quan hệ xác định hàm số sau: E(y/x) = η(x) đó, E(y/x) giá trị mà ta thu sau hồn thành thí nghiệm Vì giá trị thu phụ thuộc vào biến đầu vào nên ta để x đây, đại diện cho việc y x Còn hàm số η(x) hàm phụ thuộc vào tham số chưa biết θ1 , θ1 , , θm Và trường hợp tổng quát, ta dạng hàm số η(x) này, phụ thuộc tham số θ1 , θ1 , , θm hàm Trong trường hợp để tìm hiểu mơ hình tốn học tối ưu mà ta cần, cần thếm số thông tin khác Và đây, ta chia tốn tìm mơ hình tối ưu thành ba cấp độ theo độ khó chúng: Cấp độ 1: hàm số η(x) = η(x, θ) hàm số biết trước Chúng ta cần xác định tham số chưa biết θ:   θ1  θ2  θ =   θm Cấp độ 2: hàm số η(x) hàm có dạng sau:  η (x, θ )   η1 (x, θ1 ) 2 η(x) =    ηv (x, θv ) kích thước vector θ1 , , θv chí khác Và cần phải xử lý liệu để xác định hàm η1 (x, θ1 ), η2 (x, θ2 ), ηv (x, θv ) Sau tìm tham số θ1 , θ1 , , θv chưa biết Cấp độ 3: hàm số η(x) hoàn toàn chưa biết Trong giới hạn đồ án này, không sâu vào nghiên cứu tốn mức độ khó Mặc dù, cách phân chia cách phân chia nhất, trường hợp thực tế, bạn gặp phải vấn đề có mức độ nằm trung gian hai cấp Khi đó, giải tốn theo trường hợp hoàn toàn tùy thuộc vào hoàn cảnh tốn Việc thiết kế mơ hình tốn học cho trường hợp thứ giải vào tầm năm 1955 - 1960 Hiện nay, xem xét giải trường hợp đặc biệt gặp phải mà Với cấp độ thứ hai, phương pháp giải đưa năm 1970, cịn có số vấn đề cần tiếp tục giải Nó cần tới nhà khoa học chuyên ngành, để họ đưa thông số liệu mơ hình nhỏ bên mơ hình lớn Bài tốn đưa u cầu việc thiết lập hàm nhỏ bên cách tối ưu Điều gần giống việc phải làm việc với n toán cấp độ Cịn vấn đề độ khó cấp độ ba nay, chưa thể hoàn toàn giải phương pháp (tức đưa phương pháp tổng quát đó) Tuy nhiên, giải pháp phổ biến đưa sử dụng tính xấp xỉ 1.2 Các yêu cầu chung đánh giá Bây giờ, nêu yêu cầu việc tốn học hóa Kết thu phép đo không giống lần đo Chúng có sai biệt nhỏ đó, dù đo địa điểm điều kiện Ở đây, kết thu sau: E(y/x) = η(x, θ) (1.1) đó, y kết phép đo thực tế điểm x, η(x, θ) hàm số mà dạng biết trước Các tham số   θ1  θ2  θ =   θm tham số chưa biết Còn E tương ứng với giá trị trung bình Giả sử ta phân tích liệu chưa biết θ, giá trị cần biết η(x, θ) miền xác định X Từ kết thu - số trường hợp sử dụng phương pháp đơn giản lấy trung bình yist để tránh bị làm trở ngại phép tính Nói chung ta không sử dụng giá trị thực đo cho việc tính tốn (tức khơng dùng θist ) Ở đây, nói trên, ta dùng số tạm gọi lý tưởng θ˜, số gần với giá trị đo θist Tức phụ thuộc vào kết ta đo đươc, lấy ngẫu nhiên hoàn toàn θ˜ = Ψ(y1 /x1 , , yn /xn ) với yi giá trị thực tế đo điểm xi Khi giá trị θ˜ gọi đánh giá xi (đánh giá điểm) Các thực nghiệm nhằm tìm thơng số (các giá trị) chưa biết ta gọi chúng hồi quy Việc tính tốn xác định gọi phân tích hồi quy Để có đánh giá tốt cho tồn tốn đặt giá trị cần phải tính đầy đủ CHƯƠNG III: Bài toán thực tế 3.1 Bài toán Cá rơ biển (Pristolepis fasciata) lồi cá ni có giá trị cao Cá giống thường nuôi trại cá giống Trong trình sinh trưởng cá, cần thay đổi số tác nhân từ môi trường để giúp cá phát triển tốt Trong thí nghiệm sau đây, thay đổi số oxy môi trường nước nhằm giúp cá phát triển tốt nhất, đồng thời giảm tối đa chi phí mua oxy Ở đây, cần phải tìm hiểu lượng oxy mà cá tiêu hao trình sinh trưởng Chúng ta làm thí nghiệm để xác định hàm số phụ thuộc lượng oxy tiêu hao số ngày tuổi giống 51 3.1.1 Thí nghiệm ban đầu Dựa kinh nghiệm thực nghiệm khứ, xác định cá rơ biển có lượng tiêu hao oxy theo q trình sinh trưởng đường cong dạng hyperbola (bậc mẫu số 1) Ngồi ra, khơng biết thêm thơng số khác Vì vậy, làm thí nghiệm ban đầu (chưa có giá trị để ước lượng) cách làm thí nghiệm làm số lượng nhỏ thí nghiệm, dàn thí nghiệm Ở đây, thí nghiệm theo thời gian cách quãng - Ngày tuổi 10 20 30 Oxy tiêu hao 1.42 0.47 0.26 Sai số 0.18 0.07 0.01 Đơn vị tính mgO2 /g.h 52 3.1.2 Mơ hình hóa tốn Các giá trị đầu vào số ngày tuổi Khi đó, ta có: x= x1 x2 x3 = 10 20 30 phương sai:   σ12 σ = σ22  = σ32 0, 0324 0, 0049 0, 0001 Áp dụng công thức cho hàm dạng phân thức hữu tỷ, ta có hàm cần xác định: a +ε y= x+b Chúng ta cần xác định giá trị tham số hàm trên, từ đưa dạng tổng quát phụ thuộc lẫn thời gian sinh trưởng lượng oxy tiêu hao cá 53 3.1.3 Giải tốn Theo cách giải thơng thường với thơng số có, ta tính hàm số phụ thuộc lượng oxy tiêu hoa số ngày tuổi cá y = f1 (x) = 0.845 − 0, 069 x − 0, 432 (3.1) Từ kết thu được, ta so sánh với thực nghiệm thực tế So sánh cơng thức tính tốn thí nghiệm thực tế Ta nhận thấy hàm số tìm khơng thực tế khoảng thời gian ngày tuổi tới 10 ngày tuổi Vì cần phải có thêm thí nghiệm khác để đưa mơ hình chuẩn 54 Bây ta tìm phân tích tốn học để biết, ta nên thí nghiệm đâu tốt Dựa thơng số trên, ta đưa cách tính cho tốn tối ưu sau: y= a +ε x−b (3.2) đó, phương sai là:   σ12 σ = σ22  = σ32 0, 0324 0, 0049 0, 0001 Sử dụng MathCad, ta tính ma trận hiệp biến theo công thức, ta được: 0, 028 −9, 275.10−4 D= −9, 275.10−4 3, 119.10−5 Từ cơng thức trên, ta thấy vị trí nên làm thí nghiệm khoảng thời gian tới 10 ngày 55 3.1.4 Tổ chức thêm thí nghiệm lần thứ 2: Ta làm thêm thí nghiệm thời điểm ngày tuổi cá Kết thu bảng sau: - Ngày tuổi 10 20 30 Oxy tiêu hao 2.64 1.42 0.47 0.26 Sai số 0.04 0.18 0.07 0.01 3.1.5 Mơ hình hóa giải lần thứ Một lần lại mơ hình hóa tốn với thơng số Các giá trị đầu vào vectơ x, tương ứng với số ngày tuổi cá: Các giá trị đầu vào số ngày tuổi Khi đó, ta có:     x1 x  10 x = x2  = 20 30 x4 Bằng bảng kết thí nghiệm trên, ta tìm cơng thức thể phụ thuộc lượng oxy tiêu hao theo ngày tuổi cá: y = f2 (x) = 67, 115 − 1, 181 x + 16, 563 (3.3) So sánh cơng thức tính tốn thí nghiệm thực tế Một lần ta đánh giá kết tính tốn so với kết thực nghiệm Kết tính tốn khớp tốt với kết thí nghiệm 56 So sánh cơng thức (3.3) với công thức (3.1): Chúng ta làm thêm thí nghiệm để kiểm chứng kết tính tốn Thí nghiệm làm vào thời điểm cá ngày tuổi Ngày tuổi 10 20 30 Thực tế 2,64 2,25 1,42 0,47 0,26 Mơ hình (3.1) -2,614 12,357 1,419 0,470 0,260 Mơ hình (3.3) 2,640 1,932 1,346 0,655 0,260 So sánh cơng thức tính tốn 57 3.2 Bài tốn Cũng với lồi cá rơ biển (pristolepis fasciata) tốn Ở đây, cần phải tìm hiểu ngưỡng oxy mà gây chết cá q trình sinh trưởng Ngưỡng gây chết tính có 50% số cá chết Chúng ta làm thí nghiệm nhằm xác định hàm số phụ thuộc ngưỡng oxy số ngày tuổi giống 58 3.2.1 Thí nghiệm ban đầu Vẫn dựa kinh nghiệm thực tế, xác định cá rơ biển có ngưỡng oxy theo q trình sinh trưởng đường cong dạng hyperbola (bậc mẫu số 1) Vì vậy, tốn thứ nhất, làm thí nghiệm ban đầu (chưa có giá trị để ước lượng) cách làm thí nghiệm làm số lượng nhỏ thí nghiệm, dàn thí nghiệm Ở đây, thí nghiệm theo thời gian cách quãng - Ngày tuổi 10 20 30 Ngưỡng oxy 0.69 0.64 0.54 Sai số 0.02 0.02 0.11 Đơn vị tính mgO2 /l 59 3.2.2 Mơ hình hóa tốn Các giá trị đầu vào số ngày tuổi Khi đó, ta có: x= x1 x2 x3 = 10 20 30 Hàm cần xác định có dạng sau: y= a +ε x+b Chúng ta cần xác định giá trị tham số hàm trên, từ đưa dạng tổng quát phụ thuộc lẫn thời gian sinh trưởng ngưỡng oxy cá 60 3.2.3 Giải tốn Theo cách giải thơng thường với thơng số có, ta tính hàm số dự phụ thuộc ngưỡng oxy số ngày tuổi cá y = f3 (x) = 0.845 − 0, 069 x − 0, 432 (3.4) Từ kết thu được, ta so sánh với thực nghiệm thực tế So sánh cơng thức tính tốn thí nghiệm thực tế Độ nhiễu thơng tin khiến cho hàm số "có vẻ" khơng có độ xác cao Vì cần phải có thêm thí nghiệm khác để đưa mơ hình chuẩn 61 Bây ta tìm phân tích tốn học để biết, ta nên thí nghiệm đâu tốt Dựa thơng số trên, ta đưa cách tính cho tốn tối ưu sau: y= a +ε x−b (3.5) đó, phương sai là:     σ1 0, 0004  σ = σ22  = 0, 0004 σ32 0, 0121 Ta tính ma trận hiệp biến theo cơng thức (2.3), ta được: 888.10−3 −0, 023 D = 1,−0, 023 0, 306 Từ cơng thức trên, ta thấy vị trí nên làm thí nghiệm khoảng thời gian sát với thời điểm ngày 62 3.2.4 Tổ chức thêm thí nghiệm lần thứ 2: Ta làm thêm thí nghiệm thời điểm ngày tuổi cá Kết thu bảng sau: - Ngày tuổi 10 20 30 Oxy tiêu hao 0,80 0,69 0,64 0,54 Sai số 0,02 0,02 0,02 0,11 3.2.5 Mơ hình hóa giải lần thứ Một lần lại mơ hình hóa tốn với thơng số Các giá trị đầu vào vectơ x, tương ứng với số ngày tuổi cá: Các giá trị đầu vào số ngày tuổi Khi đó, ta có:     x1 x  10 x = x2  = 20 30 x4 Bằng bảng kết thí nghiệm trên, ta tìm cơng thức thể phụ thuộc lượng oxy tiêu hao theo ngày tuổi cá: y = f4 (x) = 3, 561 + 0, 529 x + 12, 154 (3.6) So sánh công thức tính tốn thí nghiệm thực tế (Ở đây, giá trị thí nghiệm thời điểm 30 ngày coi nhiễu) Chúng ta lại lần đánh giá kết thu so với kết thực nghiệm thu Kết tính tốn lần thứ khớp tốt với kết thí nghiệm 63 So sánh công thức (3.6) với công thức (3.4): Chúng ta làm thêm thí nghiệm để kiểm chứng kết tính tốn Thí nghiệm làm vào thời điểm cá ngày tuổi Ngày tuổi 10 20 30 Thực tế 0,80 0,74 0,69 0,64 0,54 Mơ hình (3.4) 0,806 0,755 0,700 0,610 0,540 Mơ hình (3.6) 0,800 0,737 0,690 0,640 0,613 So sánh cơng thức tính tốn 64 KẾT LUẬN Trong luận văn này, học viên đạt kết sau: Nêu tổng quan tính thời quy hoạch thực nghiệm tối ưu Chứng minh lý thuyết Xây dựng thuật toán Áp dụng vào toán thực tế Hướng phát triển: Luận văn phát triển tiếp tục với dạng hàm phức tạp (như dạng hàm mũ, v.v ) Trong thí nghiệm độc tố chuột Becka and U rf er (1996), tác giả sử dụng hàm số dạng a1 eb1 t + a2 eb2 t Nếu có điều kiện tiếp tục nghiên cứu, em cố gắng tiếp tục sâu vào dạng phức tạp phương pháp 65 ... đề tối ưu hóa thí nghiệm, nay, quy hoạch thực nghiệm tối ưu có hai xu hướng chính: lập kế hoạch tốt cho thí nghiệm để tối ưu hóa kết đầu ra, hai xây dựng kế hoạch thực nghiệm tối ưu cho thí nghiệm. .. với áp dụng lý thuyết vào toán thực tế: Tổng quan thực trạng quy hoạch thực nghiệm tối ưu Nghiên cứu, chứng minh lý thuyết Đưa cách xây dựng thuật toán Áp dụng vào toán thực tế Luận văn bao gồm... TỰ NHIÊN NGUYỄN QUANG ĐẠT NGHIÊN CỨU VÀ XÂY DỰNG MỘT SỐ THUẬT TOÁN QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TỐI ƯU Chuyên ngành : Cơ sở toán cho tin học Mã số : 60460110 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộhướng dẫn