Thặng dư và thặng dư bình phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  MAI THỊ NGỌC THẶNG DƯ VÀ THẶNG DƯ BÌNH PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  MAI THỊ NGỌC THẶNG DƯ VÀ THẶNG DƯ BÌNH PHƯƠNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Hà Nội - Năm 2016 i Mục lục MỞ ĐẦU Một số kiến thức 1.1 Thặng dư 1.1.1 Thặng dư 1.1.2 Lớp thặng dư 1.2 Hệ thặng dư 1.2.1 Hệ thặng dư đầy đủ 1.2.2 Hệ thặng dư thư gọn 1.3 Các định lý thặng dư 1.3.1 Định lý Euler định lý Fermat 1.3.2 Định lý thặng dư Trung Hoa 1.4 Thặng dư bình phương 1.4.1 Tiêu chuẩn thặng dư bình phương 1.4.2 Kí hiệu Legendre 1.4.3 Luật tương hỗ bậc hai 1.4.4 Thặng dư bình phương với modulo 1.4.5 Nhận xét thặng dư bậc cao hợp số Phương trình thặng dư 2.1 Phương trình thặng dư ẩn 2.1.1 Phương trình thặng dư ẩn 2.1.2 Phương trình thặng dư tuyến tính 2.1.3 Phương trình thặng dư modulo nguyên tố 2.1.4 Hệ phương trình thặng dư bậc ẩn 2.2 Phương trình bậc nhiều ẩn 2.2.1 Phương trình bậc hai ẩn 2.2.2 Phương trình Diophant bậc tổng quát 5 9 11 14 15 17 18 18 20 26 30 33 34 34 34 35 38 40 46 46 48 ii 2.3 Phương trình Diophant phi tuyến 2.3.1 Phương trình Pythagore 2.3.2 Biểu diễn số dạng tổng hai bình phương 51 51 54 Một số dạng toán liên quan đến thặng dư thặng dư bình phương 3.1 Một số dạng toán liên quan đến thặng dư 3.2 Một số dạng tốn thặng dư bình phương 3.2.1 Ứng dụng toán chứng minh chia hết 3.2.2 Ứng dụng tập hợp số nguyên tố 3.2.3 Ứng dụng toán dãy số nguyên đa thức 3.2.4 Phương trình nghiệm nguyên 58 58 62 62 65 68 72 Một số dạng toán thặng dư từ đề thi Olympic 4.1 Sử dụng hệ thặng dư đầy đủ toán đếm 4.2 Bài tốn tính tổng chứng minh đẳng thức số 4.3 Một số toán liên quan số học 4.3.1 Quan hệ thặng dư 4.3.2 Định lý Fermat nhỏ định lý Euler 4.3.3 Một số toán số Fermat 77 77 81 83 83 85 90 Kết luận 94 Tài liệu tham khảo 95 Mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết thặng dư - lý thuyết đặc biệt quan trọng số học nhiều nhà Toán học nghiên cứu, vận dụng việc giải nhiều tốn hay, khó có ứng dụng thực tế Trong kì thi Olympic Toán học Việt Nam nước giới lý thuyết thặng dư phần quan tâm đáng kể, việc có hiểu biết ban đầu thặng dư giúp ta giải nhiều tốn khó số học cách nhẹ nhàng, ngắn gọn đẹp Tuy nhiên, nhà trường phổ thơng thời lượng giảng dạy cho phần lý thuyết thặng dư chưa nhiều nên học sinh thường thấy phần kiến thức khó, vượt hiểu biết em Vì để giúp thân có hiểu biết sâu sắc lý thuyết thặng dư, phục vụ tốt cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, chọn đề tài "Thặng dư thặng dư bình phương" để nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu Hệ thống lý thuyết, tổng hợp số dạng toán quan trọng thặng dư thặng dư bình phương Nhiệm vụ nghiên cứu Chương hệ thống lại lý thuyết thặng dư, thặng dư bình phương Ở chương hồn thiện phương trình thặng dư cách giải, cịn chương tập trung trình bày vài ứng dụng thặng dư thặng dư bình phương Cuối cùng, chương tổng hợp số tốn thặng dư, thặng dư bình phương kì thi Olympic Tốn nước Khách thể đối tượng nghiên cứu Đối tượng nhiên cứu lý thuyết thặng dư, thặng dư bình phương ứng dụng chúng Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết ứng dụng thặng dư, thặng dư bình phương 4 Phương pháp nghiên cứu Để thực luận văn tác giả chủ yếu thu thập nghiên cứu tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau, phân tích lý thuyết thặng dư, thặng dư bình phương, từ xây dựng số ứng dụng biên tập theo hệ thống từ cách hiểu thân Giả thuyết khoa học Nếu luận văn thực thành cơng, tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên học sinh muốn tìm hiểu thặng dư, thặng dư bình phương Trong phần lý thuyết chứng minh chặt chẽ, toán ứng dụng hệ thống theo dạng tương đối đầy đủ cập nhật theo mức độ từ dễ đến khó Đóng góp đề tài Luận văn số dạng toán ứng dụng lý thuyết thặng dư, thặng dư bình phương, từ đề xuất số tập mang tính cập nhật Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm ba phần: phần mở đầu, phần nội dung phần kết luận Nội dung luận văn gồm bốn chương: - Chương Một số kiến thức - Chương Phương trình thặng dư - Chương Một số dạng toán liên quan đến thặng dư thặng dư bình phương - Chương Một số dạng tốn thặng dư từ đề thi Olympic Để hoàn thành luận văn, em nhận giúp đỡ thầy cô, bạn bè, đặc biệt bảo hướng dẫn tận tình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, thầy Seminar mơn Tốn trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn em hoàn thành khóa học Cao học 2014-2016 Do thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Chương Một số kiến thức Thặng dư khái niệm quan trọng lý thuyết số Khái niệm thặng dư Kaclơ Friđơrich Gauss (1777-1855) trình bày tác phẩm "Disquistiones Arthmeticcae" năm 1801 Trong chương trình bày lại số kiến thức quan trọng thặng dư thặng dư bình phương 1.1 Thặng dư 1.1.1 Thặng dư Định nghĩa 1.1 Cho m số nguyên dương, a, b số nguyên cho (a−b) m, ta nói a b đồng dư hay thặng dư modulo m, viết a = b (mod m) Ví dụ 1.1 Dễ thấy −12 = 43 (mod 5) −12 = 43 (mod 11), −12 không thặng dư với 43 (mod 7); Mỗi số nguyên chẵn thặng dư với modulo 2, số nguyên lẻ thặng dư với modulo 2; Nếu x không chia hết cho 3, x2 = (mod 3) Định lý 1.1 Phép thặng dư a = b (mod m) có nghĩa hiệu a − b chia hết cho m Nói cách khác, số a b có số dư chia cho m, hiệu a − b chia hết cho m Chứng minh Giả sử a = b (mod m) Khi số a b có số dư r chia cho m Bởi a = mq + r, b = mq0 + r, q, q0 số nguyên Trừ vế với vế hai đẳng thức ta a − b = mq − mq0 = m(q − q0 ) Do hiệu a − b chia hết cho m 6 Ngược lại, giả sử hiệu a − b chia hết cho m Khi tồn số nguyên k , để a − b = k.m Chia (có dư) số b cho m ta b = q.m + r, ≤ r < m Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta a = k.m + q.m + r = (k + q).m + r đồng thời r thoả mãn bất đẳng thức kép ≤ r < m, nghĩa a có số dư với b chia cho m, tức a = b (mod m) Từ định lý 1.1 ta rút số nhận xét sau: Nhận xét 1.1 Các phép thặng dư cộng vế với vế, nghĩa là, = bi (mod m), a1 + a2 + · · · + an = b1 + b2 + · · · + bn (mod m) Nói cách khác, bi có số dư chia cho m, tổng a1 +a2 +· · ·+an b1 + b2 + · · · + bn có số dư chia cho m Chứng minh Vì = bi (mod m) (0 ≤ i ≤ n), nên theo định lý 1.1, số − bi (0 ≤ i ≤ n) chia hết cho m Bởi tồn số nguyên ki để − bi = ki m Khi (a1 + a2 + · · · + an ) − (b1 + b2 + · · · + bn ) = (a1 − b1 ) + (a2 − b2 ) + · · · + (am − bm ) = k1 m + k2 m + · · · + kn m = (k1 + k2 + · · · + kn )m Vậy (a1 + a2 + · · · + an ) − (b1 + b2 + · · · + bn ) chia hết cho m, nên, theo định lý 1.1, a1 + a2 + · · · + + · · · + an = b + b + · · · + b i + · · · + b n (mod m) Nhận xét 1.2 Các phép thặng dư trừ vế với vế, nghĩa từ a = b (mod m) c = d (mod m) suy a − c = b − d (mod m) Chứng minh Vì a = b (mod m) c = d (mod m), nên theo định lý 1.1, số a − b, c − d chia hết cho m Do tồn số nguyên k, l, để a − b = k.m, c − d = l.m Trừ vế với vế hai đẳng thức ta (a − c) − (b − d) = (a − b) − (c − d) = km − lm = (k − l)m Bởi (a − c) − (b − d) chia hết cho m Do đó, theo định lý 1.1, (a − c) = (b − d) (mod m) 7 Nhận xét 1.3 Các phép thặng dư nhân vế với vế, nghĩa là, a1 = b1 (mod m), a2 = b2 (mod m), , = bi (mod m), , an = bn (mod m), a1 a2 an = b1 b2 bi bn (mod m) Chứng minh Định lý chứng minh quy nạp theo n Cơ sở quy nạp: Với n = ta có a1 = b1 (mod m), a2 = b2 (mod m) nên theo định lý 1.1, hiệu a1 − b1 , a2 − b2 chia hết cho m Khi tồn số nguyên k1 , k2 để a1 − b1 = k1 m, a2 − b2 = k2 m Do a1 a2 − b b = a1 a2 − a1 b + a1 b − b b = (a1 a2 − a1 b2 ) + (a1 b2 − b1 b2 ) = a1 (a2 − b2 ) + b2 (a1 − b1 ) = a1 k2 m + b2 k1 m = (a1 k2 + b2 k1 )m Bởi a1 a2 − b1 b2 chia hết cho m nên, theo định lý 1.1, a1 a2 = b1 b2 (mod m) Quy nạp, giả sử khẳng định với n = t, t > 2, nghĩa từ t phép đồng dư tùy ý a1 = b (mod m), a2 = b2 (mod m), , = bi (mod m), , at = bt (mod m) suy a1 a2 at = b1 b2 bi bt (mod m) Xét t + phép đồng dư bất kỳ, a1 = b1 (mod m), a2 = b2 (mod m), , at = bt (mod m), at+1 = bt+1 (mod m) Khi đó, theo giả thiết quy nạp từ t phép đồng dư đầu có a1 a2 at = b1 b2 bt (mod m) Ký hiệu, At = a1 a2 at , Bt = b1 b2 bt Khi đó, theo định lý 1.1, hiệu At − Bt chia hết cho m, nên tồn số nguyên l, để At − Bt = l.m Do at+1 = bt+1 (mod m) nên theo định lý 1.1 at+1 − bt+1 chia hết cho m Bởi tồn số nguyên k để at+1 − bt+1 = k.m Xét hiệu At at+1 − Bt bt+1 = At at+1 − At bt+1 + At bt+1 − Bt bt+1 = At (at+1 − bt+1 ) + bt+1 (At − Bt ) = At k.m + bt+1 l.m = (At k + bt+1 l)m 8 nên a1 a2 at at+1 − b1 b2 bt bt+1 = At at+1 − Bt bt+1 chia hết cho m Do đó, theo định lý 1.1 a1 a2 an = b1 b2 bn (mod m) Hệ 1.1 Các phép thặng dư nâng lên lũy thừa, nghĩa là, a = b (mod m) với số ngun khơng âm n có an = bn (mod m) Hệ 1.2 Giả sử P (x) đa thức tùy ý với hệ số nguyên P (x) = t0 + t1 x + t2 x2 + · · · + tn xn Khi a = b (mod m), P (a) = t0 + t1 a + t2 a2 + · · · + tn an = t0 + t1 b + t2 b2 + · · · + tn bn = P (b) 1.1.2 (mod m) Lớp thặng dư Ta biết với số nguyên a tồn q, r cho a = mq+r với ≤ r < m, r a có mối liên quan theo modulo m? Liệu thay a r ngược lại q trình giải vấn đề Từ ta cần tìm hiểu mối tương quan a r Định lý 1.2 Quan hệ thặng dư modulo m quan hệ tương đương, nghĩa với số ngun a, b, c ta có (i)Tính phản xạ: a = a (mod m), (ii)Tính đối xứng: Nếu a = b (mod m) b = a (mod m), (iii)Tính bắc cầu: Nếu a = b (mod m) b = c (mod m) a = c (mod m) Chứng minh (i) Vì = a − a ln chia hết cho m nên a = a (mod m) (ii) Từ a = b (mod m) ta m|(a − b) suy m|(b − a) hay b = a (mod m) (iii) Ta thấy a = b (mod m) b = c (mod m) tồn số nguyên x y cho a − b = mx; b − c = my Do a − c = (a − b) + (b − c) = mx + my = m(x + y), Vậy a = c (mod m) Mỗi lớp tương đương số a quan hệ tương đương gọi lớp thặng dư modulo m, viết a + mZ, gồm tất số nguyên có thặng ... thống lại lý thuyết thặng dư, thặng dư bình phương Ở chương hồn thiện phương trình thặng dư cách giải, cịn chương tập trung trình bày vài ứng dụng thặng dư thặng dư bình phương Cuối cùng, chương... kiến thức quan trọng thặng dư thặng dư bình phương 1.1 Thặng dư 1.1.1 Thặng dư Định nghĩa 1.1 Cho m số nguyên dư? ?ng, a, b số nguyên cho (a−b) m, ta nói a b đồng dư hay thặng dư modulo m, viết a... dụng thặng dư, thặng dư bình phương 4 Phương pháp nghiên cứu Để thực luận văn tác giả chủ yếu thu thập nghiên cứu tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau, phân tích lý thuyết thặng dư, thặng dư bình phương,