Tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O).. Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD.. c) Khi cung CAD nhá h¬n cung CBD.. Suy ra tø gi¸c CEOD néi tiÕp..[r]
(1)Đề c ơng ôn tập toán phần hình học Ch ơng iii: toán tự luận I góc đ ờng tròn
Bài (1) Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm O,
đờng kính AH Đờng trịn cắt cạnh AB, AC thứ tự D E a) Chứng minh ba điểm D, O, E thẳng hàng
b) Các tiếp tuyến đờng tròn tâm O kẻ từ D E cắt cạnh BC tơng ứng M N Chứng minh M N lần lợt trung điểm đoạn HB HC
c) Cho AB = cm, AC = 19 cm TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c MDEN
H
íng dÉn:
a) DƠ chøng minh
b) Vì MD = MH OD = OH, nên OM trung trực HD Suy OM //AB Từ OM đờng trung bình tam giác AHB Suy MB = MH Tơng tự cho NC = NH
c) SMDEN = 2.SMON =
4SABC = 38 (cm2)
Bài (1) Đờng tròn tâm O dây AB đờng trịn Các tiếp tuyến
vẽ từ A B đờng tròn cắt C D điểm đờng tròn có đ-ờng kính OC (D khác A B) CD cắt cung AB đđ-ờng tròn (O) E (E nằm C D) Chứng minh:
a) Gãc BED = gãc DAE b) DE2 = DA.DB
H
íng dÉn:
a) Góc BED = góc BCE + góc CBE = góc DAB + góc EAB = góc DAE b) Ta có góc ADE = góc ABC = góc CAB = góc EDB Từ chứng minh
∆BED đồng dạng với ∆EAD Suy đpcm
Bài (1) Từ điểm P nằm đờng tròn (O) vẽ tiếp tuyến PA với đờng
tròn Qua trung điểm B đoạn PA vẽ cát tuyến BCD với (O) (theo thứ tự ấy) Các đờng thẳng PC PD cắt (O) lần lợt E F Chứng minh
a) Gãc DCE = gãc DPE + gãc CAF b) AB2 = BC BD
c) AP // EF
H
íng dÉn:
a) 2(Gãc DPE + gãc CAF) = S® cung ED – S® cung CF + S® cung CF = 2.Gãc DCE (®pcm)
b) Chứng minh tam giác BAC đồng dạng với tam giác BDA Suy đpcm c) Từ kết câu b) ta chứng minh đợc tam giác BPC đồng dạng với tam
gi¸c BDP (c g c) suy gãc BPC = gãc BDP = góc PEF Suy đpcm
II- tứ giác néi tiÕp
Bài (2) Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng trịn (O) Hai đờng
cao AD CE cắt H Tia BO cắt (O) M, gọi I giao BM vµ DE, K lµ giao cđa AC vµ HM
a) Chứng minh tứ giác AEDC CMID néi tiÕp b) Chøng minh OK vu«ng gãc víi AC
c) Cho gãc AOK = 600 Chøng minh tam giác HBO cân
K H
I
O
A
B
M
C
(2)H
íng dÉn:
a) Gãc IDB = gãc IMC (cïng = gãc BAC), suy tø gi¸c CMID néi tiÕp b) H·y chøng minh tứ giác AMCH hình bình hành Suy OK vu«ng
gãc víi AC
c) Theo giả thiết 2OK = OA = OB Mà OK đờng trung bình tam giác MBH, nên 2OK = BH Suy đpcm
Bài (2) Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến
chung với hai đờng tròn gần B hơn, có tiếp điểm thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt hai đờng tròn (O1) (O2) thứ tự C, D
Đ-ờng thẳng CE DF cắt ë I Chøng minh: a) ∆IEF = ∆AEF
b) IA vuông góc với CD c) Tứ giác IEBF nội tiếp
d) Đờng thẳng AB qua trung điểm cđa EF
H
íng dÉn:
a) Chøng minh ∆IEF = ∆AEF (g.c.g),
b) Từ a) suy IE = AE Tam giác IEA cân E có EF phân giác góc IEA nên đồng thời đờng cao Suy đpcm
c) Góc IEB + góc IFB = Góc BAC + góc BAD = 1800 từ suy đpcm
d) Gọi J giao điểm AB EF H·y chøng minh JE2 = JB.JA vµ JF2
= JB.JA, để suy đpcm
Bµi (2) Tõ ®iĨm M n»m ngoµi (O; R) vÏ hai tiÕp tun MA vµ MB (A vµ B
là tiếp điểm), cát tuyến MCD (theo thứ tự ấy) Gọi I trung điểm CD Gọi E, F, K lần lợt giao điểm đờng thẳng AB với đờng thẳng MO, MD, OI
a) Chøng minh R2 = OE.OM = OI.OK
b) Chứng minh năm điểm M, A, B, O, I thuộc đờng tròn
I
B D C
B
A C
F
D E
I
(3)c) Khi cung CAD nhá h¬n cung CBD Chøng minh gãc DEC = 2.gãc DBC
H
íng dÉn:
a) áp dụng hệ thức lợng với tam giác vuông OAM, kết hợp xét hai tam giác đồng dạng MIO KEO (g.g), suy pcm
b) Vì góc MAO, MBO, MIO cïng b»ng 900 Suy ®pcm
c) Chứng minh đợc ME.MO = MC.MD (= MA2), suy hai tam giác
MEC MDO đồng dạng (c.g.c), nên góc MEC = góc MDO Suy tứ giác CEOD nội tiếp Suy đpcm
Bài (2) Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt P Q, tiếp tuyến
chung với hai đờng tròn gần P hơn, có tiếp điểm với (O1) (O2) thứ tự A
vµ B TiÕp tun cđa (O1) P cắt (O2) điểm thứ hai D khác P Đờng thẳng
AP ct ng thng BD R Hãy chứng minh
a) Góc QAP = góc QPD = góc QBD bốn điểm A, Q, B, R thuộc đờng tròn
b) Tam giác BPR cân
c) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB RB
H
íng dÉn:
a) Vì góc QAP = góc QBD (= góc QPD) nên bốn điểm A, Q, B, R thuộc đờng tròn
b) Ta cã gãc BRP = gãc BQA (theo a) = gãc BQP + gãc AQP = gãc ABP + gãc BAP = góc BPR (góc tam giác) Suy ®pcm
c) Ta có góc BPR = góc ABP + góc BAP = góc PQB + góc BQR (theo a) = góc PQR, suy đờng trịn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB Tơng tự cho RB
Bài (2) Cho hình vng ABCD, điểm M thay đổi cạnh BC (M không
trùng với B) điểm N thay đổi cạnh CD (N khơng trùng với D) cho góc MAN =450 BD cắt AN AM tơng ứng P Q.
Q P
R B
D A
M
B
O
K C
I A
F E
(4)a) Chøng minh tø gi¸c ABMP néi tiÕp
b) Chứng minh năm điểm P, Q, M, C, N nằm đờng tròn c) Chứng minh đờng thẳng MN tiếp xúc với (A; AB) M N
thay đổi
d) KÝ hiÖu diÖn tÝch tam giác APQ S1 diện tích tứ giác
PQMN S2 Chứng minh tỉ số
S
S không đổi M N thay đổi.
H
íng dÉn:
a) Gãc PAM = gãc PBM = 450
b) Tõ c©u a suy gãc APM = 1800 – gãc ABM = 900 T¬ng tù gãc
AQN = 900 Từ năm điểm P, Q, M, C, N nằm đờng
trßn
c) Kẻ AH vuông góc với MN Góc AMH = gãc APQ = gãc AMB Nªn ∆AMH = ∆AMB (c¹nh hun – gãc nhän), suy AH = AB Suy ®pcm
d) Tam giác APQ đồng dạng với tam giác AMN nên SAPQ: SAMN = (AP :
AM)2= cos2 (450) =
2 Từ S1 = S2
Bài (2) Cho tam giác ABC vng A Nửa đờng trịn đờng kính AB ct
BC D Trên cung AD lấy điểm E Đờng thẳng BE cắt AC F a) Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp
b) Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CKD cắt EF CD M N Tia phân giác góc CBF cắt DE CF P Q Chứng minh tam giác BEP đồng dạng với tam giác BCQ, tam giác KPQ cân c) Tứ giác MPNQ hình gì? Vì sao?
d) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác
ABC, ADB, ADC Chøng minh r2 = r
12 + r22
H
íng dÉn
a) V× gãc BED = gãc DCF (= gãc BAD), suy ®pcm
A
Q
P
C D
H M B
N
M
D C
B
E K
F A
N P
(5)b) Tam giác BEP đồng dạng với tam giác BCQ (g g) Suy góc BPE = góc BQC nên góc KPQ = góc KQP nên tam giác KPQ cân
c) Tam giác KPQ cân K nên phân giác góc K đồng thời trung tuyến đờng cao tam giác KPQ Có nghĩa MN đờng trung trực đoạn PQ Hoàn toàn tơng tự PQ đờng trung trực MN Từ tứ giác MPNQ hình thoi
d) Ta chứng minh đợc tam giác ABC, DBA, DAC đồng dạng áp dụng tính chất tỉ số bán kính đờng trịn nội tiếp hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng, ta suy
1
r r r
BC =AB =AC Û
2 2 2 2
r r r
BC =AB =AC Þ
2 2 2
r r r
BC BC
+
= Û
®pcm
Bài (2) Từ điểm P ngồi đờng trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến PE PF Tia
PO cắt đờng tròn A B (A nằm P O) Kẻ EH vng góc với FB Gọi I trung điểm EH Tia BI cắt (O) điểm thứ hai M (M khác B), EF cắt AB N Chứng minh
a) NI // FB
b) Tø gi¸c MEIN néi tiÕp vµ gãc EMN = 900
c) Bốn điểm P, M, N, F thuộc đờng tròn
d) AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác PEM
H
íng dÉn:
a) NI đờng trung bình tam giác EFH, suy đpcm b) Góc EMI = góc ENI (= góc EFB), suy đpcm
c) Gãc MFP = gãc MBF (1) Mµ gãc MNP vµ góc MBF lần lợt phụ với hai góc góc MNE góc MIE nên góc MNP = gãc MBF (2) Tõ (1) vµ (2) suy ®pcm
d) Gãc MPN = gãc MFE = gãc MEP, suy ®pcm
Bài (2) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn (O) H trc tõm ca
tam giác, M điểm trªn cung nhá BC
a) Xác định vị trí điểm M để tứ giác BHCM hình bình hành
b) Gọi N E lần lợt điểm đối xứng M qua AB, AC Chứng minh tứ giác AHCE AHBN nội tiếp ba điểm N, H, E thẳng hàng c) Xác đinh vị trí điểm M để độ dài đoạn NE lớn
H
íng dÉn:
a) Để tứ giác BHCM hình bình hành BM phải vng góc với AB Ngợc lại Vậy M đối xứng với A qua O
b) Giả sử AH cắt BC A1, CH cắt AB C1 Khi góc AHC = góc
A1HC1 (1) Cßn gãc AEC = gãc AMC = gãc ABC (2) Do tø gi¸c
B
.
O
F A
I E
P
N
M
(6)A1BC1H néi tiÕp nªn tõ (1) (2) suy tứ giác AHCE nội tiếp Tơng
tự với tứ giác AHBN Từ kết trªn ta cã gãc AHE + gãc AHN = gãc ACE + gãc ABN = gãc ACM + gãc ABM = 1800 Suy ba ®iĨm
N, H, E thẳng hàng
c) Chng minh c tam giỏc ANE cân tai A (vì AN = AM = AE) góc đỉnh NAE = góc BAC (cố định) nên cạnh đáy NE lớn cạnh bên AN lớn AM lớn M đối xứng với A qua O
Bài (2) Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ t ú V
đ-ờng tròn tâm O qua B C Qua A vẽ tiếp tuyến AE, AF với (O) Gọi I trung điểm BC, N trung điểm EF
a) Chứng minh AE2 = AF2 = AB.AC
b) Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) E’ Chứng minh EE’ // AB
c) Chứng minh tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ONI chạy đ-ờng thẳng cố định đđ-ờng tròn (O) thay đổi
H
íng dÉn:
a) DÔ chøng minh
b) Tứ giác AOIF nội tiếp ( góc AFO = gãc AIO = 900) Nªn suy gãc
2AIF = 2gãc AOF = gãc EOF = 2gãc EE’F Suy EE’ // AB
c) Gọi K giao điểm BC EF Sử dụng cặp tam giác đồng dạng chứng minh đợc AK.AI = AN.AO = AE2 = AB.AC, mà AI,
AB, AC cố định nên AK cố đinh, suy điểm K cố định Từ tâm đ-ờng trịn ngoại tiếp tam giác ONI hay tâm đđ-ờng tròn ngoại tiếp tứ giác ONKI chạy chạy đờng trung trực đoạn KI (cố định)
Bài 10 (2) Cho đờng tròn tâm O Từ điểm M bên ngồi đờng trịn vẽ tiếp
tun MC, MD víi (O) (C, D lµ tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MAB không qua tâm O (A nằm M B Tia phân giác góc ACB cắt AB E
a) Chøng minh MC = ME
b) Chøng minh DE phân giác góc ADB
c) Gi I trung điểm đoạn AB Chứng minh năm điểm O, I, C, M, D nằm đờng trũn
d) Chứng minh IM phân giác gãc CID
H
íng dÉn:
a) gãc MEC = gãc EBC + gãc BCE = gãc ACM + gãc ECA = gãc ECM Suy ®pcm
b) Theo c©u a, ta suy ME = MD, nên góc MED = góc MDE Tức gãc MBD + gãc BDE = gãc MDA + gãc ADE (1) Nhng gãc MBD = gãc MDA (2) Tõ (1) vµ (2) suy gãc BDE = gãc ADE, suy ®pcm c) DƠ chøng minh
d) Theo câu c) tứ giác CIDM nội tiếp, lại ý MC = MD, nên suy đpcm
Bi 11 (2) Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O), vẽ tiếp tuyến AB AC
(B vµ C tiếp điểm) cát tuyến ADE Đờng thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC, BE thø tù ë H vµ K Gäi M trung điểm DE
a) Chng minh nm điểm A, B, O, M, C thuộc đờng trịn b) Chứng minh góc KDM = góc BCM
c) Chøng minh DH = HK
H
íng dÉn:
a) DÔ chøng minh
(7)c) Từ câu b), suy tứ giác HDCM nội tiếp Từ góc HMD = góc HCD = góc BED, suy HM // BE (1) Lại có DM = ME (2) nên DH = HK
Bài 12 (2) Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC Gọi D E đối
xứng M lần lợt qua AB AC Vẽ hình bình hành DMEI a) Tính góc DME
b) Chứng minh bốn điểm D, A, E, I thuộc đờng tròn c) Chứng minh AI // BC
H
íng dÉn:
a) Dễ tính đợc góc DME = 1200
b) Tính đợc góc DAE = 1200 góc DIE = 1200 Suy đpcm
c) Tính đợc góc IAC = góc IAE + góc EAC = góc IDE + góc EAC = góc DEM + góc KAM = góc HKM + góc KAM = góc HAM + góc KAM = góc BAC = 600 = góc ACB Suy đpcm