[r]
(1)trêng thcs Tam chung
đề thi hc sinh gii mụn toỏn
năm học 2008 - 2009 Câu 1: (2đ)
Cho hàm số f(x) = √x2
−4x+4
a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A = f(x)
x2−4 x ±2 C©u 2: (1đ)
Giải hệ phơng trình
x(y −2)=(x+2)(y −4) (x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)
¿{
¿
Câu 3: (2,5đ)
Cho biểu thức
A = (x√x+1 x −1 −
x −1
√x −1):(√x+ √x
√x −1) víi x > vµ x
a) Rót gän A
2) Tìm giá trị x để A =
C©u 4: (3®)
Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đờng vng góc hạ từ A đến đờng kính BC
a) Chøng minh r»ng PC cắt AH trung điểm E AH b) Giả sử PO = d Tính AH theo R d
Câu 5: (1,5đ)
Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0
Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11
đáp án hớng dẫn chấm
C©u 1
a) f(x) =
x −2¿2 ¿ ¿
√x2−4x+4=√¿
(0,25®)
(2)b)
f(x)=10⇔
x −2=10 ¿
x −2=−10 ¿
x=12 ¿
x=−8 ¿ ¿ ¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿
(0,5®)
c) A= f(x)
x2−4=
|x −2|
(x −2)(x+2) (0,25®)
Víi x > suy x - > suy A=
x+2 (0,25®)
Víi x < suy x - < suy A=
x+2 (0,25đ)
Câu 2
¿
x(y −2)=(x+2)(y −4) (x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)
¿ ⇔ xy−2x=xy+2y −4x −8
2 xy−6y+7x −21=2 xy−7y+6x −21 ¿
⇔ x − y=−4
x+y=0 ⇔
¿x=-2
y=2 ¿ ¿{
¿
(1đ)
Câu 3
a) Ta có: A = (x√x+1 x −1 −
x −1
√x −1):(√x+ √x
√x −1)
= ((√x+1)(x −√x+1)
(√x −1)(√x+1) −
x −1 √x −1):(
√x(√x −1) √x −1 +
√x
√x −1) (1®)
= (x −√x+1
√x −1 −
x −1 √x −1):(
x −√x+√x √x −1 )
= x −√x+1− x+1
√x −1 :
x
(3)= −√x+2
√x −1 :
x
√x −1 =
−√x+2 √x −1 ⋅
√x −1
x = 2−√x
x (1®)
b) A = => 2−√x
x = => 3x + √x - = => x = 2/3 (0,5đ)
Câu 4
a) Do HA // PB (Cùng vng góc với BC) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có
EH PB =
CH
CB ; (1)
(0,5đ)
Mặt khác, PO // AC (cïng vu«ng gãc víi AB)
=> POB = ACB (hai góc đồng vị) => AHC ∞ POB
Do đó: AH
PB = CH
OB (2)
(0,75®)
Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E trung điểm
của AH (0,25®)
b) Xét tam giác vng BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) AH = 2EH ta có
AH2=(2R −AH CB
2PB )
AH CB
2PB (0,5®)
⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB ⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2
⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB (0,5®)
2R¿2
¿ 4PB2+¿
¿ ⇔ AH=4R CB PB
4 PB2
+CB2=
4R 2R PB ¿
(0,5®) O
B H C
(4)Câu (1đ)
Để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 th× > <=> (2m - 1)2 - (m - 1) > 0
Từ suy m 1,5 (1)
Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:
¿
x1+x2=−2m−1 x1.x2=m−1
2 3x1−4x2=11
⇔ ¿{ {
¿
¿ x1=13-4m
7 x1=7m−7
26-8m 313-4m
7 −4
7m−7 26-8m=11 { {
(0,5đ)
Giải phơng tr×nh 313-4m −4
7m−7
26-8m=11
ta đợc m = - m = 4,125 (2) (0,75đ)