Đang tải... (xem toàn văn)
Hai tiÕp tuyÕn Cx, Dy cña ®êng trßn c¾t nhau t¹i M.. a, Chøng minh PN vu«ng gãc víi AB.[r]
(1)Phòng giáo dục đào tạo
yên định kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp THCSnăm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4,0 điểm)
Cho biÓu thøc : P = 2xx - 2 +
x2 - 5x + 6 −
x - a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa rút gọn biểu thức P. b) Tìm tất giá trị x để P nguyên.
Câu 2: (5,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ cho đờng thẳng (d):
3x y
2 vµ
(d') : y = - 3x
2 cắt C lần lợt cắt trục Ox A, B a) Tìm tọa độ điểm A, B, C
b) Tìm diện tích chu vi tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trục là cm
Câu 3: (4,0 điểm)
a, Cho số dơng a,b,c thoả mÃn
2 2 a b c
Chứng minh bất đẳng thức:
1 1 a b c abc b, Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 25y y( 6)
Câu 4: (5,0 điểm)
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB; Từ A B ta vẽ hai dây cung AC BD cắt nhau N Hai tiếp tuyến Cx, Dy đờng tròn cắt M Gọi P giao điểm của hai đờng thẳng AD BC
a, Chøng minh PN vu«ng gãc víi AB. b, Chøng minh P,M,N thẳng hàng.
Câu 5: (2,0 điểm)
Chứng minh r»ng: 2000 3
-Hết - Học sinh khơng đợc sử dụng tài liệu gì.
C¸n coi thi không gii thích thêm.
Phòng giáo dục
o to yờn nh k thi chọn học sinh giỏi lớp THCSnăm học 2008 - 2009 ỏp ỏn v hng dn chm
Môn: Toán
Híng dÉn chÊm nµy cã trang
(2)Câu ý Nội dung Điểm
1 a)
§iỊu kiƯn :
¿
x ≠ ; x ≠ x2 - 5x + ≠
¿{
¿
x vµ x
P = 2x
x - +
x2 - 5x + 6 − x - = 2x (x - 3)+ −(x - 2)
(x - 2)(x -3) =
2x2 - 7x + (x - 2)(x −3) = (2x - 3)(x - )
(x - 2)(x −3) =
2x - x −3 VËy : P = 2x -
x −3 víi x , x
0,5
0,5
1,0
b)
Ta cã P = 2x - x −3 =
(2x - 6)+
x −3 = + x −3 nªn P nguyªn
x −3 nguyªn x - lµ íc cđa
x - =
¿
x - =
¿
x - = -3
¿
x - = -1
¿ ¿ ¿ ¿
x =
¿
x =
¿
x =
¿
x = ( lo¹i )
¿ ¿ ¿ ¿
Vậy giá trị cần tìm x = ; x = ; x =
0,5 0,5
1,0
Câu ý Nội dung Điểm
a)
b)
C giao điểm d d/ nên tọa độ C thỏa mãn hệ :
¿
2y = 3x + 2y = - 3x
¿{
¿
¿
2y = 3x + 4y = 12
¿{
¿
¿
x = y =
¿{
¿
VËy C(1 ; 3)
Phơng trình trục Ox y = nên tọa độ A thỏa mãn hệ :
¿
2y = 3x + y =
¿{
¿
¿
x = - y =
¿{
¿
VËy A(- 1; 0)
tọa độ B thỏa mãn hệ :
1,0
(3)2
¿
2y = - 3x y =
¿{
¿
¿
x = y =
¿{
¿
VËy B(3 ; 0)
Gọi H hình chiếu C trục Ox CH đờng cao tam giác CAB CH = cm ( tung độ điểm C) ; cạnh đáy AB = AO + OB = + = (cm)
dt(ABC) =
2 AB.CH =
2 4.3 = (cm2)
HA = HO + OA = + = (cm) HB = AB - AH = (cm)
HA = HB = 2(cm) tam giác CAB cân C (CH vừa đờng cao vừa trung tuyến) ; tam giác vng HCA có :
CA =√AH2
+ HC2= √22+ 32= √13 (cm) chu vi ABC lµ : AB + BC + CA = 13 (cm)
1,5
1,5
C©u
3 a
b
Ta cã
2
2 2
2 2
2( )
1
( )
2
1
(do a, b,c > 0) 1 1
a a b c
a b c ac bc ab
ac bc ab a b c
ac bc ab
abc abc
b c abc
Tõ
2 25 ( 6)
x y y
Ta cã : (y+3+x)(y+3-x) = - 16
Để ý phơng trình chứa ẩn số x với số mũ , ta hạn chế giải với x số tự nhiên
Khi đó: y+3+x y+3-x
Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn
Suy sè ( y+3+x ) vµ (y+3-x) tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn , số số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn
Ta có cách phân tích - 16 tích số chẵn sau
- 16 = (-2) = (-4) = (-8) thừa số đầu giá trị (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta có x= , y=
Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta cã x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta cã x= , y= -6
Vì phơng trình cho có nghiệm ( x,y) = (5, ; 5, ; 4,
0.5 0.5 0.5 0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
(4)a b
Trong tam giác PAB ta có AC BD đờng cao nên N trực tâm tam giác Do PN đờng cao cịn lại nên vng góc với cạnh AB
Gọi I trung điểm PN IC trung tuyến tam giác vng PAC nên IPC cân I Do : IPCICP
Tam giác OAC cân O nên : CAOACO
Mặt khác CAOIPC (do có cạnh tơng ứng vuông góc) nên ACOICP
Ta cú AC PC nên OC IC Do IC tiếp tuyến C đờng tròn Tơng tự , ID tiếp tuyến D đờng tròn
Chứng tỏ I trùng với M nên P,M,A thẳng hàng
2 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5
C©u
5
2
2 1999.2001 1998 2000 1998.2000 1997 1999
2 1997.1999 2.4
2 2000
1,0 1,0