Chuyên đề 3: Hệ phơng trình I- Lí thuyết. Hệ pt tổng quát: 1. Các phơng pháp giải: + Cộng đại số. + Thế. + Đặt ẩn phụ. + Hình học. 2. Điều kiện để hệ pt có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm: + Có nghiệm duy nhất: + Vô nghiệm: + Vô số nghiệm: II- Bài tập. A - Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn: Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản Bài 1: Giải các hệ phơng trình = = = =+ =+ =+ =+ =+ = = =+ = 1815y10x 96y4x 6) ; 142y3x 35y2x 5) ; 142y5x 024y3x 4) 106y4x 53y2x 3) ; 53y6x 32y4x 2) ; 5y2x 42y3x 1) Bài 2: Giải các hệ phơng trình sau: =+ =+ ''' cybxa cbyax '' b b a a ''' c c b b a a = ''' c c b b a a == ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + −= + + − =+ + − + =+ −+=−+ +−=+ =−+ =−+ 5 6y5x 103y-6x 8 3yx 2-5y7x 4) ; 7 5x6y y 3 1x 2x 4 27y 5 3 5x-2y 3) ; 121x3y33y1x 543y4x42y3-2x 2) ; 4xy5y54x 6xy32y23x 1) D¹ng 2: Gi¶i hÖ b»ng ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau ( ) ( ) =++++ =+ =++ =++ = + = + + + = + + = + + = + + = + + + 13.44yy548x4x2 72y31x5 5) ; 071y22xx3 01y2xx2 4) ; 4 2y 5 1x 2 7 2y 3y 1x 1x 3) ; 9 4y 5 1x 2x 4 4y 2 1x 3x 2) ; 1 2xy 3 2yx 4 3 2xy 1 2yx 2 1) 22 2 2 Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc Bài 1: a) Định m và n để hệ phơng trình sau có nghiệm là (2 ; - 1). ( ) ( ) =++ =+ 32m3nyx2m nmy1n2mx b) Định a và b biết phơng trình: ax 2 - 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2. Bài 2: Định m để 3 đờng thẳng sau đồng quy: a) 2x y = m ; x = y = 2m ; mx (m 1)y = 2m 1 b) mx + y = m 2 + 1 ; (m + 2)x (3m + 5)y = m 5 ; (2 - m)x 2y = - m 2 + 2m 2. Bài 3: Cho hệ phơng trình số) thamlà (m 4myx m104ymx =+ =+ a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 . b) Giải và biện luận hệ theo m. c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0. d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dơng. e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x 2 y 2 đạt giá trị nhỏ nhất. (câu hỏi tơng tự với S = xy). f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau. Bài 4: Cho hệ phơng trình: ( ) += = 5my2x 13mmyx1m a) Giải và biện luận hệ theo m. b) Với các giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y < 0. c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = x 2 + y 2 đạt giá trị nhỏ nhất. d) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x 2 + 2y = 0. (Hoặc: sao cho M (x ; y) nằm trên parabol y = - 0,5x 2 ). e) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn luôn nằm trên một đờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau. Bài 5: Cho hệ phơng trình: = =+ 12ymx 2myx a) Giải hệ phơng trình trên khi m = 2. b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0. c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên. d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x y đạt giá trị lớn nhất. B - Một số hệ bậc hai đơn giản: Dạng 1: Hệ đối xứng loại I Ví dụ: Giải hệ phơng trình ( ) =+++ =++ 28yx3yx 11xyyx 22 Bài tập tơng tự: Giải các hệ phơng trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+ =+ =+ = =+ =++ =+ +=++ =+ =++ =++++ =++ =+ =+ =+ =++ =++ =++ =++ =+++ 35yyxx 30xyyx 10) 5xyyx5 6yxyx 9) yx7yxyx yx19yxyx 8) 6yx 232yxyx 7) 31xyyx 101y1x 6) 17xy1yy1xx 81y1x 5) 133yxy3x 1y3xyx 4) 84xyyx 19yxxy 3) 2yxyx 4yxyx 2) 7xyyx 8yxyx 1) 22 2 22 2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 Dạng 2: Hệ đối xứng loại II Ví dụ: Giải hệ phơng trình =+ =+ x21y 2y1x 3 3 Bài tập tơng tự: Giải các hệ phơng trình sau: += += =+ =+ = = += += =++ =++ += += =+ =+ =+ =+ 8x3yy 8y3xx 8) y 3 x 1 2y x 3 y 1 2x 7) y x 43xy x y 43yx 6) x2y2xy y2x2yx 5) 1yxyx 1yxyx 4) x2yy y2xx 3) x2xy y2yx 2) 3x1y 3y1x 1) 3 3 22 22 2 2 3 3 22 22 2 2 += += = = 3x7yy 3y7xx 10) x3yy y3xx 9) 3 3 2 2 Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số Giải các hệ phơng trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) −=++− −=++− =−+++ =−−−+ =+− =−+ =+− =−−+ =−− =+ =− =− =−−+ =−+ =+− =− =− =+− =+ =−+− =−− =−+−+ =−+ =−++ =−+− −=+− =+− =−− =++ =−+ 141y5y8x2x 61y3y8xx 15) 084y4xyx 084y4xyx 14) 5y3xxy 1yxxy 13) 02y3xxy 02y2xxy 12) 183y2x 362y3x 11) 40yx 53y2x 10) 0222 12 9) 02 0 8) 02 022 7) 1232 835 6) 05 0532 5) 4 01122 4) 452 442 3) 8 12 2) 03 01 1) 22 22 22 22 22 2 2 22 2 2 22 22 2 yxyyx xyyx yx yx xy yx yx yxyx yx yxyx xyxy xyyx xyxyx xxxy yxxy yxyx xyx yx Xác định a, b để hệ pt sau: a) có nghiệm x=1, y=-2 b) có nghiệm x=3, y=2 2. Cho hệ pt: Tìm m, n để hệ có nghiệm (x; y) = (3; 2) 3. xđ a, b để pt x2 ax + b = 0 có 2 nghiệm: a) x1= 1; x2= 3 b) x1= -3; x2= 2 6. Tìm m để 3 đờng thẳng sau đồng quy: (d1): 2x-3y=8; (d2): 7x-5y=-5; (d3): y= (2m+3,2)x+5m 7. Tìm m để hệ pt sau co nghiệm: 5. Cho hệ pt: 1. Cho hệ pt: a) Giải hệ khi m=1 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 2. Cho hệ pt: a)Giải hệ khi a=2 b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 3. Cho hệ phơng trình. a) Giải hệ khi m = 1 b) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất x, y là các số nguyên. 4. Cho hệ phơng trình. a. Giải hệ khi m = 2 b. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất x, y Mà x > 0, y < 0 =+ =+ 12 12 ymx myx = =+ 12 2 ymx myx = =+ 5 42 aybx byx = =+ 3 13 ayx byax = = 334 32 1 yx ymx =+ =+ 2 1 yax ayx =+ = 643 1 mynx nymx no vo---------* no so vo-----------* nhatduy no co he de m tim* 2 52 =+ =+ myx ymx =+ =+ =+ 672 072 073 2 mymx yx yx 5. Cho hệ phơng trình. a. Giải hệ khi m = 1 b. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất x, y Mà x > 0, y < 0 6. Cho hệ phơng trình. a. Giải hệ khi m = 1 b. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất x, y Thoả mãn hệ thức: 7. Cho hệ phơng trình. a. Giải hệ khi m = 2 b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x, y Thoả mãn hệ thức: 3x 2y = 0. 8. Cho hệ phơng trình. a. Giải hệ khi m = 3 b. Tìm m sao cho hệ pt có nghiệm (x,y) thỏa mãn x=y 9. Cho hệ pt: a) Giải hệ khi m=2 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x-y=1 10. Cho hệ pt: a) Giải hệ khi m=1 b) Tìm mZ để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: x<0, y>0. 17. Cho hệ pt: a) Giải hệ khi m=2 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn: 3(3x+y-7)=m 18. Cho hệ pt: a) Giải hệ khi m=-1 b) Gọi nghiệm của hệ pt là (x;y). Tìm m để E= x 2 +y 2 đạt giá trị nhỏ nhất. = =+ 523 2 yx myx =+ = 53 2 myx ymx 3 1 2 2 + =+ m m yx =+ = myx ymx 1 = =+ 523 yx myx +=+ = 12 2 myx mymx =+ = 43 32 ymx myx += = 64 2 mymx mmyx +=+ = )2(32 32 myx myx . =−+ =−+ 5 6y5x 103y-6x 8 3yx 2-5y7x 4) ; 7 5x6y y 3 1x 2x 4 27y 5 3 5x-2y 3) ; 121x3y33y1x 543y4x42y3-2x 2) ; 4xy5y54x 6xy32y23x 1) D¹ng 2: Gi¶i hÖ. 8x3yy 8y3xx 8) y 3 x 1 2y x 3 y 1 2x 7) y x 43xy x y 43yx 6) x2y2xy y2x2yx 5) 1yxyx 1yxyx 4) x2yy y2xx 3) x2xy y2yx 2) 3x1y 3y1x 1) 3 3 22 22 2 2 3 3 22 22