Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cận của nó là hằng số.. Câu II:1[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2009 Đề 12
Câu I: Cho hàm số
2
x 4x
y
x
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2 Chứng minh tích khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số đến đường tiệm cận số
Câu II:
1 Giải phương trình:
1
sin 2x sin x 2cot g2x
2sin x sin 2x
2 Tìm m để phương trình:
2
m x 2x 1 x(2 x) (2)
có nghiệm x 0,1 3
Câu III: Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm A (-1;3;-2), B (-3,7,-18) mặt phẳng (P): 2x - y + z + =
1 Viết phương trình mặt phẳng chứa AB vng góc với mp (P)
2 Tìm tọa độ điểm M (P) cho MA + MB nhỏ
Câu IV:
1 Tính
2x
I dx
1 2x
2 Giải hệ phương trình:
¿
x+√x2−2x+2=3y−1+1
y+√y2−2y+2=3x −1+1
(x , y∈R) ¿{
¿
Câu Va (cho chương trình THPT khơng phân ban):
1 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 = Đường tròn (C') tâm I (2,2) cắt (C)
điểm A, B cho AB 2 Viết phương trình đường thẳng AB.
2 Có số tự nhiên chẵn lớn 2007 mà số gồm chữ số khác nhau? Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban):
1 Giải bất phương trình: (log log x )logx 2 2x 0
2 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5 BAC
❑
=120o Gọi M
trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MBMA1 tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng
(A1BM)
Bài giải Câu I:
1 Khảo sát vẽ đồ thị (Bạn đọc tự làm) Gọi (C ) đồ thị hàm số
M(x,y) ( C )
7
y x
x
(2)Phương trình tiệm cận xiên yx 2 x y 0
khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên
1
x y
d
2 x
khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng d2 x
Ta có
1 7
d d x
2 x 2
: số Câu II:
1 Giải phương trình :
1
sin 2x sin x 2cot g2x
2sin x sin 2x
(1)
(1) cos22x cosxcos2x = 2cos2x sin2x
cos2x 0v2cos x cosx 0(VN)
cos2x =
2x k x k
2
2 Đặt t x2 2x 2 t2 = x2 2x
Bpt (2)
2 t
m (1 t 2),dox [0;1 3] t
Khảo sát
2 t g(t)
t
với t 2
g'(t)
2 t 2t 0
(t 1)
Vậy g tăng [1,2]
Do đó, ycbt bpt
2 t m
t
có nghiệm t [1,2]
t 1;2
2 m max g(t) g(2)
3
Câu III:
1 Ta có AB ( 2,4, 16)
phương với
a ( 1,2, 8)
mp(P) có PVT n (2, 1,1)
Ta có
[ n ,a] = (6 ;15 ;3) phương với (2;5;1)
Phương trình mp chứa AB vng góc với (P) :
2(x + 1) + 5(y 3) + 1(z + 2) =
2x + 5y + z 11 =
2 Tìm M (P) cho MA + MB nhỏ
Vì khoảng cách đại số A B dấu nên A, B phía với Mp (P) Gọi A' điểm đối xứng với A qua (P)
Pt AA' :
x y z
2 1
(3)
2x y z
H(1,2, 1) x y z
2 1
Vì H trung điểm AA' nên ta có :
H A A ' H A A ' H A A ' 2x x x
2y y y A'(3,1,0) 2z z z
Ta có A'B ( 6,6, 18)
(cùng phương với (1;-1;3) ) Pt đường thẳng A'B :
x y z
1
Vậy tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình
2x y z
M(2,2, 3) x y z
1
Câu IV:
1 Đặt t 2x 1 t2 2x 1 2tdt 2dx dx tdt
Đổi cận t(4) = 3, t(0) =
Vậy
4 2
0 1
2x t
I dx dt t dt
1 t t
1 2x
=
3
1
t t ln t 1 2 ln2
2 Giải hệ phương trình
2 y
2 x
x x 2x (I) y y 2y
Đặt u = x 1, v = y
(I) thành
2 v
2 u
u u (II)
v v
Xét hàm f(x) x x21
f ´(x)
2
2 2
x x
x x x
1
x x x
Vậy f đồng biến nghiêm cách R
Nếu u > v f(u) > f(v) 3v 3u v > u ( vô lý )
Tương tự v > u dẫn đến vô lý
Do hệ (II)
2 u u
u u 3 ( u u) (1)
(4)Đặt: g(u)3 ( uu 2 1 u)
u u
2
u g'(u) ln3( u u)
u
g '(u)=3u(√u2+1−u)(ln 3−
√u2+1)>0,∀u∈R
Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách R
Ta có g(0) = Vậy u = nghiệm (1)
Nên (II) u = = v
Vậy (I) x = y =
Câu Va:
1.Đường thẳng OI nối tâm đường tròn (C), (C') đường phân giác y = x Do đó, đường AB
đường y = x hệ số góc đường thẳng AB
Vì AB A, B phải giao điểm (C) với Ox, Oy.
Suy
A(0,1);B(1,0) A'( 1,0);B'(0, 1)
Suy phương trình AB : y = x + y = x
Cách khác: phương trình AB có dạng: y = x + m
Pt hoành độ giao điểm AB
x2 + ( x + m)2 = 1 2x2 2mx m 21 0 (2)
(2) có / m2 , gọi x1, x2 nghiệm (2) ta có :
2 2
1 2
AB 2(x x ) (x x )
/
2
4 1 2 m 1 m 1
a
Vậy phương trình AB : y = x 1
2 Gọi n a a a a số cần lập
TH1 : a4 = 0, ta có cách chọn a1 (vì a1 2)
cách chọn a2
cách chọn a3
(1 cách chọn a4 )
Vậy ta có 8.8.7.1 = 448 số n
TH2 : a4 a4 chẵn Ta có : cách chọn a4
7 cách chọn a1
8 cách chọn a2
7 cách chọn a3
Vậy ta có 4.7.8.7 = 1568 số n
Vậy trường hợp ta có : 448 + 1568 = 2016 số n Câu Vb:
(5)(1)
1 2log x 1log 2x 0
log x
2
2
1 log x log x 0 log x
3
2 2
2
2
2
log x log x
(log x 3) 0
log x log x
1
log x 1v log x 0 x v x
2 (Bạn đọc tự vẽ hình)
Chọn hệ trục Axyz cho: A 0, C 2a,0,0 , A (0,0,2a 5)1
a a A(0;0;0),B ; ;0
2
M( 2a,0,a 5)
1
5
BM a ; ; , MA a(2;0; 5) 2
Ta có:
2
1
BM.MA a ( 5) BM MA
Ta tích khối tứ diện AA1BM :
3
2
BMA1
1 a 15
V A A AB,AM
6
1
S MB,MA 3a
2
Suy khoảng cách từ A đến mp (BMA1)
3V a 5
d
S
Cách khác:
+ Ta có A M1 A C1 12C M1 29a2
2 2
BC AB AC 2AB.AC.cos120 7a
2 2
BM BC CM 12a
2 2 2
1 1
A B A A AB 21a A M MB
MB vng góc với MA1
+ Hình chóp MABA1 CABA1 có chung đáy tam giác ABA1 đường
cao nên thể tích
V V MABA1 VCABA1 1AA S1 ABC 1a 153
3
1
MBA1
3V 6V a
d(a,(MBA ))
S MB.MA