ve don gian hoa la mĩ thuật 4 nguyễn văn toại thư viện tư liệu giáo dục

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths.[r]

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Nguyễn Dương 093 252 8949

……… Ứng Dụng Tính Đơn Điệu Của Hàm Số

(phần 1)

I- Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.

Ví dụ 1:

Giải phương trình 3x = - x. Bài giải:

Tập xác định D= R Phương trình tương đương với 3x + x - = 0. Xét hàm số f(x ) = 3x + x - Hàm số xác định liên tục R

f’(x) = 3x.ln3 + >  x R Vậy hàm số f(x) đồng biến R  phương trình (1) có khơng q nghiệm mà f(1) = ; x = nghiệm phương trình

ví dụ :

giải phương trình : 4x1 4x2 1 bài giải :

điều kiện :

4 1

2

4

x

x x

  

 



 



xét hàm số f x( ) 4x1 4x21 xác định liên tục nửa đoạn

;

 

 

 

ta có

2

'( )

4

x f x

x x

  

  với

1 x  

; hàm số đồng biến nửa đoạn

;

 

 

  

phương trình (1) khơng có q nghiệm mặt khác

1

( )

2

f  

nghiệm phương trình Ví dụ 3:

Giải bất phương trình sau : 7x 7 7x 49 x27x 42 181 14  x (1)

Bài giải :

(1) 7x 7 7x 49 x27x 42 181 14  x0

Đặt t  7x 7 7x 6 t2 14x2 49x27x 42 (t 0)

Phương trình trở thành : t2 t 182 0  14 t 13 kết hợp điều kiện (t 0)

ta : 0 t 13 (1) 7x 7 7x 1 3 (2) ; điều kiện

; x  

 

1) Định lí 1:

Nếu hàm số f(x) ln đồng biến liên tục D phương trình f(x) = m khơng có q nghiệm D

Chứng minh:

Giả sử phương trình f(x) = m có nghiệm x = x0 nghĩa f x( )0 m

Nếu x x f x( ) f x( )0 m  phương trình vơ nghiệm

Nếu x x 0 f x( ) f x( )0 m  phương trình vơ nghiệm

Chú ý :

Nếu hàm số f x( ) ln nghịch biến liên tục D phương trình f(x) = m khơng có q nghiệm D

http:chuyentoan.wordpress.com

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Nguyễn Dương 093 252 8949

………

xét hàm : f x( ) 7x 7 7x 6 ; hàm số xác định liên tục

; x  

 

ta có

1

'( ) ; ( ; )

7

2 7

f x x

x x

     

  hàm số đồng biến

6 ; x  

  ; mặt khác

(6) 13

f  nên f x( ) 13  x6 nghiệm bất phương trình

6 7 x hay

6 x  

 

Ví dụ 4:

giải bất phương trình x6 7 x 1 bài giải:

Tập xác định D = - 6; 7 Xét hàm số f(x) = x6 7 x.

Ta có f’(x) =

1

0

2 x6 2 7 x   x  (- 6; 7) Vậy hàm số f(x) đồng biến đoạn - 6; 7

Mặt khác f(3) = Do bất phương trình tương đương với f(x)  f(3)  x  Bài Tập áp dụng

bài tập 1: Giải phương trình x1 x2 3 bài tập 2: Giải phương trình : x1x3 4x5 bài tập3: Giải phương trình: logx11 x

bài tập 4: Giải phương trình:

2 2 2

9x  (13 x ).3x  9x 36 0

bài tập :Giải bất phương trình x 9 2x4 5

bài tập 6: Giải bất phương trình x2 2x 3 x2 6x11 3 x x1

bài : Giải bất phương Trình 2x  1 x.

Bài tập 9: Giải bất phương trình x3 3x2 6x16 2 3 4 x

Bài tập 10 : Giải bất phương trình

6

6 3 x  2 x 

Ví dụ :

Giải phương trình :

2

2

3

3

log

2x 4x x

x x

x

   

  

 

 

 

Định lý : cho hàm số yf t( ) ; xác định D

Nếu yf t( ) hàm đồng biến ( nghịch biến ) , với x y D,  Nếu xy  f x( ) f y( ) phương trình f x( )f y( )

Nếu x y  f x( ) f y( ) phương trình f x( )f y( )

Bài giải:

Tập xác định D = R Phương trình cho tương đương với

2 2

3

log (x x3) ( x x3) log (2 x 4x5) (2 x 4x5) (*) http://chuyentoan.wordpress.com

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths Nguyễn Dương 093 252 8949

……… Xét hàm số f(t) = log t t3  .Hàm số xác định liên tục khoảng(0;+ )

f’(t) =

1 ln

t  > t > Vậy hàm số f(t) đồng biến khoảng(0;+ ) Phương trình (*)  f(x2 +x + 3) = f(2x2 + 4x + 5)

 x2 +x + = 2x2 + 4x + 

2 3 2 0

2 x x x x          Ví dụ :

Giải phương trình :

2

1

2x 2x x (x 1)

   (1)

Bài giải : (1)

2 2

1 2

2x 2x x x 2x 2x 2x x (x x) (x 1) 2x (x 1) 2x x (x x)

                 xét hàm

trung gian : f t( ) 2 tt ; t R

f t'( ) ln 0 t   t , f t( ) hàm đồng biến

vậy f x( 1)f x( 2 x) x1x2 x x2 2x  1 x1

Bài Tập Áp Dụng

Bài tập 1: Giải hệ phương trình

3 2 3 x 2x

x y y

y          

Bài tập 2: Giải hệ phương trình

3 2 3 x 3x

x y y

y          

Bài tập 3: Giải hệ phương trình

3 10

3 10

x y y x             

Bài tập : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

3

2 2

3

1

x

x y y

x x y y m

               

Bài tập : giải phương trình 2009sin2x 2009cos2x cos2x Bài tập : giải biện luận theo m :

2 2 2 2 4 2 2

5x mx x mx m  x 2mx m

   

Bài tập :Giải hệ Phương Trình

3

6

3

1

x x y y

Bài tập : Giả hệ phương trình

3

1

2

x y

x y

y x 

  

 

  



Bài giảng gồm tất 10 phần phần , phần tiếp tục đăng trang web của để bạn tham khảo