Điểm A nằm giữa hai điểm còn lại trong trường hợp nào?. Một kết luận khácA[r]
(1)TRƯỜNG THCS ĐẠI ĐỒNG
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 1 Năm Học 2009 – 2010.
Mơn: Tốn.
(Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề) I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN:
Câu 1: S = + 10 + 13 + … + 97 + 100 Tổng S có số hạng:
A 100 B 50 C. 32 D.30
Câu 2: Tích S = (100– 1) (100 – ) ( 100 – 3) … (100 – n) (Với n N*
và tích có 100 thừa số) có giá trị bằng:
A B C 100! D Một kết khác
Câu 3: Nếu (2x – 15) 5 = (2x – 15)3 giá trị x là:
A B C Khơng có giá trị x thoả mãn D
Câu 4: Chữ số tận số 234 ❑5
chữ số :
A B C D
Câu 5: Cho A = 10 12 14 16 18 + 40 hỏi A có chia hết
cho :A B C D Một kết
khác
Câu 6: Cho A, B, C điểm Điểm A nằm hai điểm lại trường hợp nào?
A AB = 7,3 ; BC = 12,5 ; AC = 19,8.B AB = 9,2 ; BC = 15,4 ; AC = 6,2
C. AB = 9; BC = ; AC = 11 D Một kết luận khác
II PHẦN TỰ LUẬN:
Câu 9:
a Cho a N, a n N Hãy tính tổng S theo a n
S = + a + a2 + a3 + … + an.
b Chứng minh với số tự nhiên n N* thì:
3n + 2 – 22+2 + 3n – 2n chia hết cho 10.
c Cho A = 9999931999 – 5555571997 chứng minh A5? Câu 10:
a Chứng minh 2n + 3n + hai số nguyên tố
b Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p có dạng 6k + 6k + 5?
C âu 11: So sánh: a 2225 3150.
b 19920 và 200315.
(2)*****************Hết******************* Đáp án:
I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN:
Câu
Đáp án C A D B C B
Mỗi đáp án 0,5 điểm Câu 9:
a) Ta có : S = + a + a2 + a3 + … + an
⇒ a S = a + a2 + a3 + a4 + … + an+1.
⇒ a.S – S = a + a2 + a3 + a4 + … + an+1 – – a – a2 – a3 - … - an.
⇒ S.( a – 1) = an+1 – 1.
⇒ S = an+1
a−1 (1 đ)
b) Ta có 3n + - 2n + 2 + 3n – 2n = 3n (32 + 1) – 2.(22 + 1)
= 3n.10 – 2n.5 = 3n.10 – 2n – 1 2.5
= 3n 10 – 2n – 1 10 = (3n – 2nm – 1 ) 10 ⋮
10
Vậy (3n + 2 - 2n + 2 + 3n – 2n ) ⋮ 10 (điều phải chứng minh) (1 đ).
c 9999931999 = (999993)4 499 + 3 = (999993)4.499.9999933 = …1. …7 = …7
5555571997 = (555557)4 499 + 1 = (555557)4.499.555557 = …1.555557 = …7.
⇒ 9999931999 – 5555571997 = …7 – …7 = …0 ⋮ (đpcm) (1đ) Câu 10:
a ta đặt (2n + 5, 3n + 7) = d suy
2n + ⋮ d ⇒ (2n + 5) ⋮ d 3n + ⋮ d ⇒ 2(3n + 7) ⋮ d
Do 3.(2n + 5) – (3n + 7) ⋮ d hay ⋮ d ⇒ d =
Vậy hai số 2n + 3n + hai số nguyên tố (0,5 đ) b Mọi số tự nhiên lớn chia cho xảy trường hợp sau: dư 0, dư 1, dư 2, dư 3, dư 4, dư
- Nếu p chia cho dư p = 6k, p hợp số - Nếu p chia cho dư p = 6k +
- Nếu p chia cho dư p = 6k + , p hợp số - Nếu p chia cho dư p = 6k + 3, p hợp số - Nếu p chia cho dư p = 6k + 4, p hợp số - Nếu p chia cho dư p = 6k +
Vậy số nguyên tố lớn chia cho dư dư tức p = 6k +1 p = 6k + (1 đ)
(3)a 2225 = (23)75 = 875 ; 3150 = (32)75 = 975
875 < 975 ⇒ 2225 < 3150 (0,5đ)
b 19920 < 20020 = (8.25)20 = (23 52)20 = 260 540.
200315 > 200015 = (16 125)15 = (24 53)15 = 260 545.
⇒ 260 545 > 260 545 ⇒ 200315 > 19920 (1đ) Câu 12:
Ta cần chứng minh : n (n + 1) ( n + 2) ( n + ) + = a2 vói a N.
Ta có : n(n+1).(n + 2) (n + 3) = [ n.(n + 3) ] [(n + 1) (n + 2)] + = (n2 + 3n).(n2 + 3n + 2) + 1.
= (n2 + 3n) 2 + (n2 + 3n ) + 1.
= [(n2 + 3n) + 1]2 = a2 (điều phải chứng minh) (1đ)