Trong quá trình dạy học chúng tôi thấy rằng các em thường có thói quen giải xong một bài toán xem như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, ít có em học sinh nào [r]
(1)TÍNH ĐỘ DÀI QUÃNG ĐƯỜNG TRONG BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU
Chúng ta biết rằng, tốn chuyển động đều, qng đường khơng đổi, vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch Vậy vận dụng điều kiện vào việc tính độ dài quãng đường toán chuyển động ? Hãy tìm hiểu qua tốn sau :
Bài tốn : Một tơ từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ Sau từ B A với vận tốc 45 km/giờ Tính quãng đường AB biết thời gian từ B A thời gian từ A đến B 40 phút
Phân tích : Ơ tơ từ A đến B sau lại từ B A nên quãng đường quãng đường Quãng đường nên vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch với Bài toán cho biết vận tốc vận tốc Dựa vào ta xây dựng mối quan hệ thời gian thời gian từ tìm đáp số toán Giải : Tỉ số vận tốc vận tốc quãng đường AB : 30 : 45 = 2/3
Vì quãng đường nên vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch với Do tỉ số thời gian thời gian 3/2
Ta có sơ đồ :
Thời gian từ A đến B : 40 x = 120 (phút)
Đổi 120 phút = Quãng đường AB dài : 30 x = 60 (km)
Bài tốn : Một tô dự định từ C đến D Do thời tiết xấu nên vận tốc ô tô giảm 14 km/giờ đến D muộn so với thời gian dự định Tính qng đường CD
Phân tích : Bài tốn khác với toán trước chỗ trước cho biết vận tốc về, ta tìm tỉ số thời gian Bài cho biết thời gian dự định thời gian thực đi, ta tìm tỉ số vận tốc dự định vận tốc thực Đưa tốn dạng tốn tìm hai số biết hiệu tỉ để giải Giải : Thời gian ô tô thực quãng đường CD : + = (giờ) Tỉ số thời gian dự định thời gian thực : = 3/4
Vì quãng đường CD không đổi nên vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch với Do tỉ số vận tốc dự định (vdự định) vận tốc thực (vthực đi) 4/3
(2)Vận tốc dự định quãng đường CD : 14 x = 56 (km/giờ) Quãng đường CD dài :
56 x = 168 (km)
Bài tốn : Một ca nơ xi dịng từ A đến B hết ngược dòng từ B A hết Tính khoảng cách AB biết vận tốc dòng nước km/giờ
Phân tích : Đây tốn chuyển động dịng nước Ngồi giả thiết mà tốn cho, cần biết thêm kiến thức chuyển động dòng nước sau :
Vận tốc xi dịng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thực - Vận tốc dịng nước Từ ta có :
Vận tốc xi dịng - Vận tốc ngược dịng = x Vận tốc dịng nước Bài tốn cho biết vận tốc dịng nước nên ta tính hiệu vận tốc xi dịng ngược dịng Biết thời gian xi dịng thời gian ngược dịng ta dựa vào tìm tỉ số vận tốc đưa dạng tốn tìm số biết hiệu tỉ
Giải :
Hiệu vận tốc xi dịng vận tốc ngược dịng lần vận tốc dịng nước nên hiệu : x = (km/giờ)
Tỉ số thời gian xi dịng thời gian ngược dòng : = 5/6
Vì qng đường khơng đổi nên vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch Do tỉ số vận tốc xi dịng ngược dịng 6/5
Ta có sơ đồ :
Vận tốc xi dịng : x = 36 (km/giờ) Quãng đường AB : 36 x = 180 (km)
Ba tốn cịn có cách giải khác, tơi trình bày cách đặc trưng cho mối quan hệ vận tốc thời gian quãng đường không đổi Bạn đọc tìm cách giải khác giải tiếp tốn sau để thử sức
(3)Bài : Một người từ Thanh Hóa Hà Nội với vận tốc 50 km/giờ Sau người từ Hà Nội Thanh Hóa với vận tốc 30 km/giờ Tổng thời gian lẫn (không kể thời gian nghỉ) 512 phút Tính qng đường Hà Nội - Thanh Hóa
Bài : Một ca nơ xi dịng hết 30 phút ngược dòng hết 30 phút Tính chiều dài đoạn sơng biết vận tốc dịng nước km/giờ
PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ? Kí hiệu : Diện tích hình (P) dt (P)
Cạnh đáy tam giác (Q) c.đáy (Q) Chiều cao tam giác (Q) c.cao (Q)
Khi gặp tốn khó diện tích (dt) hình, đặc biệt tốn liên quan đến dt tam giác, thường lúng túng xoay sở nào, nên đâu Để giải tốt loại toán em cần nắm vững vận dụng linh hoạt kiến thức sau :
1 Nếu hình (P) khơng thể tính trực tiếp diện tích để tính dt (P) ta làm theo cách sau :
- Chia hình (P) thành hình dễ tính dt hơn, tính dt hình cộng lại - Bổ sung vào hình (P) số hình (dễ tính dt) để hình (Q) dễ tính dt hơn, lấy dt (Q) trừ dt hình bổ sung
2 Nếu hai tam giác (P) (Q) có :
- Chung c.đáy hai c.đáy c.cao (P) = k x c.cao (Q) dt (P) = k x dt (Q)
- Chung c.đáy hai c.đáy dt (P) = k x dt (Q) c.cao (P) = k x c.cao (Q)
- Chung c.cao hai c.cao c.đáy (P) = k x c.đáy (Q) dt (P) = k x dt (Q)
- Chung c.cao hai c.cao dt (P) = k x dt (Q) c.đáy (P) = k x c.đáy (Q)
Sau số ví dụ :
Ví dụ : Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M N điểm của AB CD Nối DM, BN cắt AC I K Chứng tỏ AI = IK = KC
Giải : (ở ta cần vận dụng mối quan hệ diện tích, c.đáy c.cao tam giác)
Ta có : dt (ABC) = x dt (AMD) (vì AB = x AM AD = BC) ; dt (DCM) = dt (ABC) (vì AB = DC c.cao BC)
(4)lượt chiều cao tam giác ICM IAM có chung cạnh đáy IM Vậy dt (ICM) = x dt (IAM) Mà tam giác IAM ICM chung chiều cao từ M, IC = x AI, suy AC = x AI hay AI = 1/3 AC
Làm tương tự với cặp tam giác ABN CBN ; KCN KAN ta có KC = 1/3 AC Vậy AI = KC = 1/3 AC, suy IK = 1/3 AC
Do AI = IK = KC
Chú ý : để chứng tỏ đoạn thẳng ta phải chứng tỏ tam giác có chung chiều cao diện tích
Ví dụ : Cho tam giác ABC, gọi điểm M, N nằm cạnh AB, AC cho : AB = x AM, AC = x AN Gọi I điểm cạnh BC
a) Chứng tỏ tứ giác BMNC hình thang BC = x MN
b) Chứng tỏ đoạn thẳng BN, CM, AI cắt điểm
Giải :
a) Vì AB = x AM, AC = x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC Từ suy : dt (MBC) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ C)
dt (NCB) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ B)
Vậy dt (MBC) = dt (NCB) mà tam giác MBC tam giác NCB có chung đáy BC, nên chiều cao từ M chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC Do BMNC hình thang
Từ MB = 2/3 x AB, nên dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiều cao từ N) hay dt (ABN) = 2/3 x dt (MBN)
Hơn từ AC = x AN, nên NC = x AN, dt (NBC) = x dt (ABN) (chung chiều cao từ B) ; suy dt (NBC) = 3/2 x x dt (MBN) = x dt (MBN) Mà tam giác NBC tam giác MBN có chiều cao (cùng chiều cao hình thang BMNC) Vì đáy BC = x MN
b) Gọi BN cắt CM O Ta chứng tỏ AI cắt BN O Muốn vậy, nối AO kéo dài cắt BC K, ta chứng tỏ K điểm BC (hay K trùng với I)
Theo phần a) ta có dt (NBC) = x dt (ABN) Mà tam giác NBC tam giác ABN có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp lần chiều cao từ A xuống đáy BN Nhưng chiều cao tương ứng hai tam giác BCO BAO có chung đáy BO, dt (BCO) = x dt (BAO)
Tương tự ta có dt (BCO) = x dt (CAO)
(5)điểm I hay BN, CM, AI cắt điểm O
Bài tập thực hành : Cho tam giác ABC, gọi M điểm cạnh BC N nằm cạnh AC cho NC = x NA Kéo dài MN cắt cạnh BA kéo dài P
a) Chứng tỏ AB = AP
b) Gọi Q điểm PC Chứng tỏ ba điểm B, N, Q nằm đường thẳng
c) Hãy so sánh : PN NM ; BN NQ
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI ĐỂ GIẢI TOÁN VUI VÀ TOÁN CỔ Ở TIỂU HỌC
Phương pháp tính ngược từ cuối dùng để giải nhiều toán vui toán cổ tiểu học Sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối giúp ta trình bày lời giải cách ngắn gọn, chặt chẽ tường minh Dưới ta xét số ví dụ minh họa
Ví dụ: Một viên quan mang lễ vật đến dâng vua vua ban thưởng cho cam vườn thượng uyển, phải tự vào vườn hái Đường vào vườn thượng uyển phải qua ba cổng có lính canh Viên quan đến cổng thứ nhất, người lính canh giao hẹn: “Ta cho ông vào lúc ông phải biếu ta nửa số cam, thêm nửa quả” Qua cổng thứ hai thứ ba lính canh giao hẹn Hỏi để có cam mang viên quan phải hái cam vườn?
Giải: Số cam viên quan cịn lại sau cho lính gác cổng thứ hai (cổng giữa) là:
Số cam viên quan lại sau cho lính gác cổng thứ ba (cổng cùng) là:
(6)Vậy để có cam mang viên quan phải hái 15 vườn
Đáp số: 15 cam
Ví dụ 2: Có giống bèo ngày lại nở tăng gấp đôi Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ bèo 10 ngày sau bèo lan phủ kín mặt hồ Vậy ban đầu cho vào 16 bèo ngày sau bèo phủ kín mặt hồ?
Giải: Ta có bảng sau biểu diễn số bèo mặt hồ:
Nhìn vào bảng ta thấy: Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ 16 bèo ngày sau bèo lan phủ kín mặt hồ
Các bạn thử giải toán sau phương pháp tính ngược từ cuối Một người qua đường hỏi ơng lão chăn vịt: “Đàn vịt ơng có bao nhiêu con?” Ông lão trả lời:
- Một nửa số vịt thêm nửa tắm mát sông
- Ba phần tư số vịt lại thêm phần tư kiếm ăn dưới hồ
- Bốn phần năm số vịt lại thêm phần năm nằm nghỉ bờ
- Cuối hai đôi vịt què nhốt lồng kia! Hỏi đàn vịt ơng lão có con?
PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN
Trong chương trình tốn lớp em học dạng tốn trung bình cộng, dạng tốn điển hình lí thú biết khai thác sâu Sau hướng khai thác từ toán :
(7)trồng 29 Lớp 4D trồng số trung bình cộng số trồng ba lớp Hỏi lớp 4D trồng ? Giải :
Lớp 4D trồng số : (21 + 22 + 29) : = 24 (cây) Đáp số : 24
Bài toán : Lớp 4A trồng 21 ; lớp 4B trồng 22 ; lớp 4C trồng 29 ;lớp 4D trồng số trung bình cộng số lớp Hỏi lớp 4D trồng ? Phân tích : Bài tốn cho số lớp 4D trung bình cộng số ba lớp toán mà số lớp 4D trung bình cộng số bốn lớp
Ta dễ thấy tổng số lớp chia làm phần số lớp 4D phần tổng số ba lớp phần Như trung bình cộng số lớp trung bình cộng số lớp cịn lại Bài toán giải giống toán
Giải : Theo ta có sơ đồ sau :
Nhìn vào sơ đồ ta có :
Lớp 4D trồng số : (21 + 22 + 29) : = 24 (cây) Đáp số : 24
Nhận xét : Một số cho lại trung bình cộng số cịn lại số trung bình cộng tất số cho
Bài toán : Lớp 4A trồng 21 ; lớp 4B trồng 22 ; lớp 4C trồng 29 ; lớp 4D trồng số trung bình cộng số lớp Hỏi lớp 4D trồng ?
Phân tích : Bài tốn cho số lớp 4D trung bình cộng số c lớp mà cịn trung bình cộng số bốn lớp Dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng ta có :
Tổng số lớp 4A ; 4B ; 4C thêm lần trung bình cộng số lớp Từ ta tìm số lớp 4D
Giải : Theo ta có sơ đồ:
Nhìn vào sơ đồ ta có trung bình cộng số lớp : (21 + 22 + 29 + 3) : = 25 (cây)
Số lớp 4D trồng : 25 + = 28 (cây)
(8)Với cách khai thác em giải toán sau rút nhận xét xem : Lớp 4A trồng 21 ; lớp 4B trồng 22 ; lớp 4C trồng 29 Lớp 4D trồng số trung bình cộng số lớp Hỏi lớp 4D trồng ?
Đặng Phương Hoa (Số nhà 48, tổ 27, phường Quang Trung, TX Thái Bình, Thái Bình)
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ
Các em học sinh thân mến ! Trong chương trình tốn em làm quen với hai toán đại lượng tỉ lệ thuận đại lượng tỉ lệ nghịch biết đại lượng tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch Việc áp dụng quan hệ để giải số tốn thơng qua học chúng tơi muốn đưa thêm số ví dụ khác áp dụng đại lượng tỉ lệ để giải Hi vọng em tìm thấy điều lạ hấp dẫn cách giải toán
Ví dụ : Hưng xe đạp từ nhà lên huyện với vận tốc 12 km/giờ Sau trở với vận tốc 10 km/giờ Tính quãng đường từ nhà lên huyện biết thời gian lúc lâu lúc 10 phút
Nhận xét : Ta thấy Hưng đoạn đường từ nhà lên huyện Do thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc lúc vận tốc lúc tỉ số vận tốc lúc lúc 12/10 = 6/5 Vậy tỉ số thời gian thời gian 5/6 Mà thời gian lúc lâu lúc 10 phút hay nhiều 10 phút Từ ta có sơ đồ :
Thời gian lúc hết : 10 : (6 - 5) x = 60 (phút) Đổi : 60 phút =
Quãng đường từ nhà lên huyện : 10 x = 10 (km)
Đáp số : 10 km
Ví dụ : Cho tam giác ABC có diện tích 75 cm2 Trên BC lấy M cho BM = 2/3 BC Tính diện tích tam giác ABM
(9)ở tỉ số hai đáy : BM/BC = 2/3 Vậy tỉ số diện tích hai tam giácABM ABC 2/3 Vì diện tích tam giác ABC 75 cm2, nên diện tích tam giác ABM :
75 : x = 50 (cm2) Đáp số : 50 cm2
Ví dụ : Cơ giáo xếp chỗ ngồi cho học sinh lớp 4A Nếu xếp bàn bạn thiếu bàn Nếu xếp bàn bạn thừa bàn Hỏi lớp có bàn, học sinh ?
Nhận xét : Số học sinh không đổi nên số bàn số học sinh xếp bàn hai đại lượng tỉ lệ nghịch với
Số bàn cần có để xếp bạn bàn nhiều số bàn cần có để xếp bạn bàn : + = (bàn)
ở tỉ số số bạn xếp bàn bạn bàn bạn Do tỉ số số bàn xếp bàn bạn bàn bạn
Vậy ta có sơ đồ :
Số bàn cần đủ để xếp bạn bàn : : (5 - 4) x = 10 (bàn) Số bàn lớp 4A : 10 - = (bàn)
Số học sinh lớp 4A : x + = 40 (học sinh) Đáp số : bàn ; 40 học sinh
Các em thấy khơng ? Đó ví dụ, ngồi cịn nhiều ví dụ khác nữa, hi vọng em áp dụng đại lượng tỉ lệ để giải cách tốt Sau số toán để em làm thử :
1 Một hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng Hỏi tăng chiều dài thêm đoạn chiều rộng chiều rộng thay đổi để diện tích hình không thay đổi
2 Đội tuyển học sinh giỏi có số bạn nam gấp lần số bạn nữ Thầy giáo nhẩm tính thay bạn nam bạn nữ số bạn nam nhiều số bạn nữ bạn Hỏi đội tuyển có bạn nam, bạn nữ
3 Ba tổ trồng tất 120 Biết số tổ tổ trồng nhiều số trồng tổ tổ 10 Số tổ tổ trồng số tổ tổ trồng Tính số tổ trồng
(10)CĨ NHIỀU CÁCH ĐỂ TÌM RA LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN
Giải tốn có lời văn ln điều thú vị học sinh tiểu học Việc tìm cách giải khác cho toán làm cho lời giải thêm sinh động phong phú hơn, học sinh thêm say mê học Toán Kỳ thi học sinh giỏi tiểu học mơn Tốn năm học 2003 - 2004 thành phố Hà Nội có tốn khiến nhiều giáo viên băn khoăn lời giải khác học sinh Tơi xin trình bày lại cách giải khác toán thuộc dạng tốn tính ngược có đề thi
Bài tốn : “Bạn Yến có bó hoa hồng đem tặng bạn lớp Lần đầu Yến tặng nửa số hồng thêm Lần thứ hai Yến tặng nửa số bơng hồng cịn lại thêm Lần thứ ba Yến tặng nửa số bơng hồng cịn lại thêm bơng Cuối Yến cịn lại bơng hồng dành cho Hỏi Yến tặng bơng hồng ?” *Cách : Ta có sơ đồ số bơng hồng :
Số bơng hồng cịn lại sau Yến tặng lần thứ hai : (1 + 3) x = (bông)
Số hồng lại sau Yến tặng lần thứ : ( + 2) x = 20 (bông)
Số bơng hồng lúc đầu Yến có : (20 + 1) x = 42 (bông)
Số hồng Yến tặng bạn : 42 - = 41 (bông)
Đáp số : 41 hồng *Cách :
Gọi số hồng lúc đầu Yến có a
Số bơng hồng lại sau Yến cho bạn lần thứ : a : - (bông hồng)
Số bơng hồng cịn lại sau Yến cho bạn lần thứ hai : (a : - 1) : - (bông hồng)
Số hồng lại sau Yến cho bạn lần thứ ba : ((a : - 1) : - 2) : - (bông hồng)
Theo đề ta có :
(11)(a : - 1) : - = x (bông hồng) (a : - 1) : - = (bông hồng) (a : - 1) : = + (bông hồng) (a : - 1) : = 10 (bông hồng) a : - = 10 x (bông hồng) a : - = 20 (bông hồng) a : = 20 + (bông hồng) a : = 21 (bông hồng) a = 21 x (bông hồng) a = 42 (bông hồng)
Số hồng mà Yến tặng bạn : 42 - = 41 (bông hồng) Đáp số : 41 hồng
*Cách :
Biểu thị : A số bơng hồng lúc đầu Yến có
B số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ C số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ hai Ta có lưu đồ sau :
Số bơng hồng cịn lại sau Yến cho lần thứ : (1 + 3) x = (bông hồng)
Số hồng lại sau Yến cho lần thứ : (8 + 2) x = 20 (bông hồng)
Số bơng hồng lúc đầu Yến có : (20 + 1) x = 42 (bông hồng) Số hồng Yến tặng bạn : 42 - = 41 (bông hồng)
Đáp số : 41 hồng
Nhận xét : Cách giải cách giải thông thường mà học sinh tiểu học lựa chọn để giải Mục đích việc vẽ sơ đồ nhằm giúp học sinh dễ dàng nhìn thấy mối liên hệ toán Tuy nhiên, em học sinh giỏi việc vẽ sơ đồ không cần thiết em thành thạo
(12)Ở cách giải 3, thấy cho nửa số hồng Yến có cịn lại nửa số bơng hồng Sau lại cho thêm bơng hồng nữa, nghĩa số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ nửa số hồng lúc đầu bớt Tương tự số hồng cịn lại sau cho lần thứ hai nửa số hồng sau cho lần thứ bớt bông hồng dành cho Yến nửa số bơng hồng lại sau cho lần thứ hai bớt bơng Tới đây, muốn tìm C ta lấy (1 + 3) x Tương tự, ta tìm số bơng hồng lúc đầu Yến có (A) Thực tế giải theo cách này, học sinh thực loạt phép tính ngược từ cuối lên Các ô tròn A, B, C biểu thị số bơng hồng lúc đầu, số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ nhất, số bơng hồng cịn lại sau cho lần thứ hai Khi hiểu rõ điều này, khơng thiết học sinh phải đặt kí hiệu cho trịn lưu đồ mà lời giải tốn
Trên phương pháp giải dạng tốn tính ngược từ cuối lên; hi vọng, giúp bạn học sinh tiểu học thành thạo giải toán tương tự Mong nhận ý kiến trao đổi bạn
Th.S Phùng Như Thuỵ
(Chuyên viên Bộ Giáo dục Đào tạo)
DÀNH CHO CÁC BẠN LỚP 5 HAI BÀI TOÁN CƠ BẢN
Khi học phân số, bạn tiếp xúc với nhiều tốn có lời văn thú vị Các toán giải dễ dàng bạn nắm vững vận dụng tốt hai toán bản.
Bài tốn thứ :
Tìm số biết tỉ số số với số cho trước.
Để giải toán bạn cần nhớ: " Nếu số a m/n số b a = m/n x b" Xin minh học ví dụ:
Ví dụ 1: Hãy cho biết 2/7 75 bao nhiêu? Giải : Ta có sơ đồ:
2/5 75 : 75 : x = 30 hay 75 x 2/5 = 30 Ví dụ : Tìm 3/4 5/6
Giải : Ta có sơ đồ :
(13)Tìm số biết tỉ số số biết với số này.
Bài toán ngược với toán Các bạn cần nhớ : "Nếu cho số a tỉ số a b m/n b = a : m/n"
Ví dụ : Biết 2/3 số 20 Hãy tìm số đó. Giải : Ta có sơ đồ :
Số cần tìm :
20 : x = 30 hay 20 : 2/3 = 30
Ví dụ : Biết 8/9 số 2/3 Tìm số đó. Giải : Ta có sơ đồ :
Số cần tìm :
2/3 : x = 3/4 hay 2/3 : 8/9 = 3/4
Từ hai tốn bạn giải lớp tốn có lời văn phân số
Bài tốn : Có tất 720 kg gạo gồm loại : 1/6 số gạo gạo thơm, 3/8 số gạo gạo nếp, lại gạo tẻ Tính số kg gạo loại
Giải : 1/6 số gạo gạo thơm, nên khối lượng gạo thơm : 720 x 1/6 = 120 (kg)
3/8 số gạo gạo nếp, nên khối lượng gạo nếp : 720 x 3/8 = 270 (kg)
Khối lượng gạo tẻ : 720 - (120 + 270) = 330 (kg) Đáp số : 120 kg, 270 kg, 330 kg
Bài toán : Một người bán cam,buổi sáng bán 3/5 số cam mang đi, buổi chiều bán thêm 52 số cam lại 1/8 số cam bán Tính số cam mà người mang bán
Giải : Số cam lại 1/8 số cam bán, hay 1/9 số cam mà người mang bán Số cam buổi chiều người bán - (3/5 + 1/9) = 13/45 số cam mang Số cam buổi chiều người bán 52 nên số cam người mang chợ : 52 : 13/45 = 180 (quả)
Bài toán : Ba người chia số tiền Người thứ (NT1) lấy 1/4 số tiền bớt lại 50000 đồng, người thứ hai (NT2) lấy 3/5 số tiền lại bớt lại 40000 đồng Người thứ ba lấy 240000 đồng vừa hết Số tiền đem chia ?
(14)2/5 số tiền lại sau người thứ lấy : 240000 - 40000 = 200000 (đồng)
Số tiền lại sau người thứ lấy : 200000 : 2/5 = 500000 (đồng) 3/4 tổng số tiền : 500000 - 50000 = 450000 (đồng)
Tổng số tiền :
450000 : 3/4 = 600000(đồng) Đáp số : 600000 đồng
Bây xin mời bạn đọc giải số tập sau :
Bài : Ba người mua chung vải Người thứ mua 1/3 vải thêm m Người thứ hai mua 2/5 vải lại thêm m Người thứ mua m vừa hết Hỏi vải dài mét ?
Bài : Có ba thùng đựng nước Người ta đổ 1/3 lượng nước thùng thứ sang thùng thứ hai, sau lại đổ 1/4 lượng nước thùng thứ hai sang thùng thứ ba cuối đổ 1/10 lượng nước thùng thứ ba sang thùng thứ thùng có lít nước Tính xem thùng lúc đầu đựng lít nước ?
Phương Hoa (Cầu Giấy, Hà Nội)
GIẢI TOÁN BẰNG NHIỀU CÁCH
Trên Toán Tuổi Thơ số Tiến sĩ Vũ Dương Thụy có “Thế giả thiết tạm” Với toán quen thuộc, tác giả đưa nhiều cách giải hay, độc đáo Tơi tâm đắc với viết Khơng phải học sinh mà bậc phụ huynh giáo viên học hỏi nhiều Với tốn, tìm lời giải niềm vui Sẽ vui sướng thú vị ta tìm nhiều lời giải cho toán Hãy có nhiều suy nghĩ cách tiếp cận khác với đề tốn, tìm nhiều lời giải hay
Tôi xin “bắt chước” TS Vũ Dương Thụy với số toán quen thuộc Hi vọng phần giúp em yêu ham học toán
Bài toán :
Chúng ta bắt đầu toán quen thuộc :
"Một người từ A đến B với vận tốc 15 km/h Sau 30 phút, người thứ hai rời A B với vận tốc 20 km/h đến B trước người thứ 30 phút Tính quãng đường AB".
Đọc qua, tốn rườm rà khó hiểu : sau, đến trước
Đọc lại lần ta thấy : “đi sau 30 phút ; đến trước 30 phút” Vậy ta đưa toán toán đơn giản : Giả sử người thứ hai sau người thứ hai người đến B lúc
(15)Cách 1: Trong người thứ : 15 x = 30 (km)
Mỗi người thứ hai nhanh người thứ : 20 - 15 = (km) Thời gian để người thứ hai đuổi kịp người thứ : 30 : = (giờ) Quãng đường AB dài : 20 x = 120 (km)
Người thứ chậm người thứ hai nên nhiều thời gian Vậy người thứ thời gian người thứ hai người thứ hai thời gian người thứ ? Ta có số cách làm sau
Cách : Giả sử người thứ hai với thời gian người thứ người thứ hai quãng đường nhiều người thứ : 20 x = 40 (km)
Vận tốc người thứ hai người thứ : 20 - 15 = (km/giờ) Thời gian người thứ : 40 : = (giờ)
Quãng đường AB dài : 15 x = 120 (km)
Cách : Giả sử người thứ với thời gian người thứ hai người thứ qng đường người thứ hai : 15 x = 30 (km)
Một người thứ người thứ hai km nên thời gian người thứ hai 30 : = (giờ) ta tính quãng đường AB 20 x = 120 (km) Theo suy nghĩ : quãng đường vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian ta có cách giải sau
Cách : Gọi vận tốc người thứ v1 (km/h) ; người thứ hai v2 (km/h) ; thời gian người thứ quãng đường AB t1 (giờ) ; người thứ hai t2 (giờ)
Ta có : v1/v2 = 15/20 = 3/4 suy t1/t2 = 4/3 Biết tỉ số t1/t2 = 4/3 t1 - t2 =
Ta tính t1 = (giờ) ; t2 = (giờ)
Do quãng đường AB dài : 15 x = 120 (km)
Thời gian người thứ hai người thứ Ta thử tính xem km người thứ hai người thứ ? Từ tìm qng đường AB Ta có cách làm thứ
Cách : Cứ km người thứ hết 1/15 ; 1km người thứ hai hết 1/20
Trong km người thứ hai người thứ : 1/15 - 1/20 = 1/60 (giờ) Vậy quãng đường AB dài : : 1/15 = 120 (km)
Ta giả thiết (gọi) thời gian người thứ nhất, người thứ hai để có cách làm khác
Cách : Gọi thời gian người thứ x (giờ) thời gian người thứ hai x - (giờ)
Ta có : 20 x (x - 2) = 15 x x 20 x x - 40 = 15 x x
20 x x - 15 x x = 40 15 x x = 40
x =
Vậy quãng đường AB dài: 15 x = 180 (km)
Cách : Tương tự cách ta gọi thời gian người thứ hai y (giờ) thời gian người thứ y+2 (giờ) Ta có 20 x y =15 x (y + 2)
(16)cách sáng tạo có để tìm nhiều cách giải cho tốn Ln cố gắng tìm tịi để giỏi
Bài tập áp dụng Một ôtô từ tỉnh A đến tỉnh B hết Nếu mỗi ơtơ thêm 14 km thời gian từ A đến B Hãy tính khoảng cách hai tỉnh A B
(Đáp số : 168 km)
Nguyễn Viết Chiến (Xóm 3, Gia Khánh, Gia Lộc, Hải Dương)
PHÉP PHẢN CHỨNG THÚ VỊ!
Trong mơn tốn tiểu học, việc tìm lời giải tốn khó ln là điều thú vị học sinh Tuy nhiên, biết phương pháp để áp dụng cho loạt toán có dạng tương tự cũng điều lý thú bổ ích Sau chúng tơi xin giới thiệu phương pháp phản chứng để bạn đọc tham khảo.
Ví dụ 1: (Đề thi học sinh giỏi Hà Nội 2002)
An có 13 hộp bi mà tổng số bi ba hộp số lẻ Hỏi tổng số bi 13 hộp có số lẻ khơng? Vì sao?
Lời giải: Giả sử 13 hộp bi cho tồn hộp có số bi chẵn Kết hợp hộp bi chẵn với hộp lẻ ta có tổng số bi hộp số chẵn (vì: lẻ + lẻ + chẵn = chẵn)
Điều trái với đề tổng số bi hộp số lẻ Vậy điều giả sử sai
Như tất 13 hộp bi số lẻ hộp Suy tổng số bi 13 hộp số lẻ
Phân tích: Qua lời giải tốn trên, ta thấy xuất phát từ đề cho hộp bi có tổng số bi lẻ, có hai khả xảy ra:
Trường hợp 1: lẻ + lẻ + lẻ = lẻ Trường hợp 2: lẻ + chẵn + chẵn = lẻ
Trường hợp ta suy số bi hộp số lẻ nên tổng số bi 13 hộp số lẻ
Trường hợp ta lấy hộp chẵn kết hợp với hai hộp bi lẻ kết số chẵn suy trái với đề tổng số bi hộp số lẻ Từ nhận xét thấy ta hộp có số bi chẵn khơng thỏa mãn đề (lời giải trên)
Như phương pháp phản chứng phép suy luận dựa nhận xét: “Nếu từ điều A mà suy diễn ta rút điều vơ lý, điều A sai hay điều trái ngược với A đúng”
Ví dụ 2: (Đề thi học sinh giỏi quận Phú Nhuận, TP Hồ Chí Minh 1992)
(17)Lời giải: Giả sử 11 số tự nhiên cho khơng có hai số có hiệu chia hết cho 10 Đem 11 số chia cho 10 ta 11 số dư nằm khoảng từ đến Do điều giả sử nên 11 số dư phải đôi khác nhau, có hai số dư hiệu hai số bị chia chia hết cho 10 (điều trái với điều giả sử ban đầu) Vậy khoảng từ đến phải có 11 số tự nhiên khác Điều vơ lý từ đến có tất 10 số tự nhiên
Từ chứng tỏ điều giả sử ban đầu sai Vậy 11 số tự nhiên phải có hai số mà hiệu chúng chia hết cho 10
Qua hai ví dụ thấy phép phản chứng khơng phải cơng cụ q khó để tìm lời giải toán Bằng cách tương tự xin mời bạn đưa lời giải toán sau:
Ba bạn Tùng, Trang, Linh thi đấu bóng bàn giành ba giải nhất, nhì, ba.
Bạn Tùng nói: Tơi giải nhì cịn bạn Trang giải nhất. Bạn Trang nói: Tơi giải nhì cịn bạn Linh giải nhất. Bạn Linh nói: Bạn Tùng giải bạn Trang giải ba. Biết câu nói bạn có phần phần sai Hỏi bạn giải nào?
TH.S Phùng Như Thụy
(Trường Bồi dưỡng Cán Giáo dục Hà Nội, 67B Cửa Bắc, Hà Nội)
TÌM HIỂU THÊM BA BÀI TỐN CƠ BẢN VỀ TỈ SỐ PHẦN TRĂM Bài toán : Tìm tỉ số phần trăm hai số.
Ví dụ : Lớp 5A có 25 học sinh có 13 học sinh nữ Hỏi số học sinh nữ chiếm phần trăm số học sinh lớp 5A ?
Tỉ số phần trăm số học sinh nữ số học sinh lớp 5A : 13 : 25 = 0,52 = 52%
Ngoài cách lập tỉ số số học sinh nữ số học sinh lớp 5A :
Bài tốn : Tìm a% số A cho trước.
Ví dụ : Lãi suất tiết kiệm 0,5% tháng Một người gửi tiết kiệm 1000000 đồng Tính số tiền lãi sau tháng
Tiền lãi sau tháng :
1000000 x 0,5 : 100 = 5000 (đồng)
Ngoài cách lập tỉ số số tiền lãi số tiền gửi :
(18)Ví dụ : Năm vừa qua nhà máy chế tạo 1800 xe đạp Tính nhà máy đạt 120% kế hoạch Hỏi theo kế hoạch, nhà máy dự định sản xuất xe đạp ?
Số xe đạp nhà máy dự định sản xuất :
1800 : 120 x 100 = 1500 (xe đạp)
Ngồi cách lập tỉ số số xe làm số xe dự định làm : Hoặc :
Từ cách trình bày trên, thấy : Bài toán toán toán “ngược” với toán
Bài toán : Biết tỉ số hai số số thứ hai Tìm số thứ nhất. Bài tốn : Biết tỉ số hai số số thứ Tìm số thứ hai.
Khi giải tốn tỉ số phần trăm đưa dạng ba toán
Ví dụ : Giá gạo tháng ba tăng 10% so với tháng hai, giá gạo tháng tư giảm 10% so với tháng ba Hỏi giá gạo tháng tư tăng hay giảm phần trăm so với tháng hai ?
Các bước giải :
Bước 1. Giá gạo tháng ba so với tháng hai : 100% + 10% = 110%
Bước 2. Giá gạo tháng so với tháng ba : 100% - 10% = 90%
Bước 3. Giá gạo tháng so với tháng hai : 110% x 90% = 99%
Bước 4. Giá gạo tháng giảm so với tháng hai : 100% - 99% = 1%
Theo cách giải này, bước vận dụng toán (tìm 90% 110%)
Ngồi cách giải trình bày cách giải sau :
Bước 1. Tỉ số giá gạo tháng tháng 3: hay: giá tháng = giá tháng
Bước 2. Tỉ số giá gạo tháng tháng 3: hay: giá gạo tháng = giá gạo tháng
Bước 3. Tỉ số giá gạo tháng tháng : hay giá gạo tháng 99% giá gạo tháng
Bước 4. Giá gạo tháng giảm so với tháng : 100% - 99% = 1%
Ví dụ : Lượng nước hạt tươi 15%, hạt khô 5% Hỏi 200 kg hạt tươi sau phơi khô cho kg hạt khô ?
Các bước giải :
Bước 1. Tìm lượng hạt 200 kg hạt tươi ?
200 x (100% - 15%) = 170 (kg)
(19)170 : (100% - 5%) = (kg) (*)
Lời bình : bước vận dụng tốn (tìm 85 % 200 kg) ; bước vận dụng toán (tìm số biết 95 % 170 kg)
Bạn đọc tham khảo hướng giải sau :
Lượng hạt khơ (tìm số bị chia) = Vậy lượng hạt khơ thu :
Với toán tỉ số phần trăm, vận dụng trực tiếp ba tốn dùng phương pháp lập tỉ số để giải tốn (*) Tác giả xin cáo lỗi giải sai TTT số 29
LTS : Trên diễn đàn website : toantuoitho.nxbgd.com.vn, bạn Trương Thị Nhàn , 168/1/8 Hồng Mai, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội
(conhandongtam) lời giải sai ví dụ (TTT số 29) đưa lời giải
Cảm ơn bạn
VẬN DỤNG KẾT QUẢ MỘT BÀI TỐN
Trong q trình dạy học chúng tơi thấy em thường có thói quen giải xong tốn xem hồn thành cơng việc giao dừng lại đó, có em học sinh biết chủ động, khai thác, tìm tịi, suy nghĩ, vận dụng để giải số toán khác.
Sau thử làm quen với toán sau vận dụng để giải số tốn khác
Bài tốn: Cho hình thang ABCD Hai đường chéo AC BD cắt tại điểm O Hãy chứng tỏ rằng:
SABD = SABC; SCDB = SCDA; SAOD = SBOC
(20)Ta có: a) SABD = SABC (vì chung đáy AB có đường cao đường cao hình thang)
b) SCDB = SCDA (vì chung đáy CD có đường cao đường cao hình thang)
c) Vì SABD = SABC nên ta có: SAOD + SAOB = SBOC + SAOB Suy ra: SAOD = SBOC (cùng bớt vế SAOB)
Bây vận dụng ba cặp tam giác có diện tích nói để giải tốn sau:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB < MC Qua M kẻ đường thẳng chia diện tích tam giác ABC thành hai phần có diện tích nhau.
Giải: Vì MB < MC, ta có SAMB < SAMC nên đường thẳng cần kẻ phải cắt cạnh AC tam giác ABC
Cách 1: Gọi O điểm BC Nối AM, AO Qua O kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC N Ta có đường thẳng qua M, N đường thẳng cần kẻ (hình 2)
Thật vậy: Tứ giác ANOM hình thang nên SAIN = SMIO Mặt khác:
SAOC = 1/2 SABC = SAIN + SCOIN = SMIO + SCOIN = SCMN
Cách 2: Qua đỉnh B kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC kéo dài tại D Gọi N điểm đoạn thẳng CD Đường thẳng qua M, N đường thẳng cần kẻ (hình 3)
Thật vậy: Ta có tứ giác AMBD hình thang nên
(21)của CD nên
SDMN = SCMN = 1/2 SABC
Các bạn giải tốn sau khơng?
Bài tốn 1: Cho tứ giác ABCD Hãy tìm điểm M cạnh tứ giác ABCD cho nối AM đoạn thẳng AM chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích
Bài toán 2: Cho tam giác ABC Gọi M điểm BC, qua M hãy kẻ đường thẳng chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích phần gấp lần phần
Bài toán 3: Cho tứ giác ABCD Gọi M điểm AB Tìm điểm N cạnh tứ giác để nối M với N đoạn MN chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích
Lê Trọng Châu