[r]
(1)Dạng 1: Phơng trình vô tỷ
I.Định nghĩa : Phơng trình vô tỷ phơng trình chứa ẩn biểu thức dới bậc hai
II Cách giải:
Cách 1: Để khử ta bình phơng hai vế Cách 2: §Ỉt Èn phơ
III VÝ dơ 1,VÝ dơ 1:
Giải phơng trình: x 5=x 7(1)
Cách 1: Bình phơng hai vế x = x2 – 14x + 49
x2 – 14x – x + 49 + = 0
x2 – 15x + 54 = 0
x1 = ; x2 =
Lu ý :
* Nhận định kết : x1 = loại thay vào phơng trình (1) khơng phải nghiệm
Vậy phơng trình có nghiệm x =
* Có thể đặt điều kiện phơng trình trớc giải : Để phơng trình có nghiệm : √x −5≥0
¿ x −7≥0
¿ ⇒ x ≥5
x ≥7
¿ ⇒x ≥7
¿{ ¿ ¿ ¿
¿
kÕt hỵp
Sau giải ta loại điều kiện không thích hợp Cách Đặt ẩn phụ
Đa phơng trình dạng : x 5=x 52
Đặt y=x 5 phơng trình có dạng y = y2
y2 – y – =
Giải ta đợc y1 = - ( loại) y2=2
⇒√x −5=2 x −5=4
x=9
2, VÝ dô 2:
Giải phơng trình 3x+7x+1=2
Giải: Đặt điều kiện để thức có nghĩa:
¿
3x+7≥0 x+1≥0 ⇔x ≥ −1
(2)Chú ý : Không nên bình phơng hai vế phức tạp mà ta nên chun vÕ. √3x+7=√x+1+2
Bình phơng hai vế ta đợc :
x+1=2x+1
Bình phơng hai vế (x + 1) 2 = 4( x+ 1)
x2- 2x – =0 cã nghiÖm x
1 = -1; x2 =
Cả hai giá trị thoả mÃn ®iỊu kiƯn
Dạng 2: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
VÝ dô. 1, VÝ dô 1:
Giải phơng trình x2|2x+1|+2=0
Đặt điều kiÖn
* NÕu 2x + ≥ ta có phơng trình x2 ( 2x + ) + = 0
x2 – 2x – + = 0
x2 – 2x +1 = 0
=> x1 = x2 =
* Nếu 2x + ta có phơng trình x2 – ( -2x -1 ) + =0
x2 + 2x + = 0
Phơng trình vô nghiệm Vậy phơng trình ( 1) có nghiệm x= 2, VÝ dơ 2:
Gi¶i phơng trình 5x 2|2x+1|=5
( Đề thi học sinh giái líp 1999 – 2000) 3, VÝ dơ 3: Giải phơng trình |x2
4|=2x 1
Dạng : Hệ phơng trình
Cách giảI số hệ phơng trình phức tạp
1, Ví dụ 1:
Giải hệ phơng trình
4
√x+
3
√y=
13 36
¿
6
√x+
10
√y=1 ¿ ¿{
¿ ¿ ¿
¿
Giải : Đặt ẩn phụ : X=
√x;Y=
1
√y
Ta cã hÖ :
4X+3Y=13
36
¿
6X+10Y=36
36
¿ ¿{
¿ ¿ ¿
(3)
Giải hệ phơng tr×nh
¿
10
√12x −3+
√4x+1=1
7
√12x −3+
√4x+1=1 ¿{
¿
3, VÝ dô 3:
Giải hệ phơng trình :
x+2y+3z=11(1) ¿
3x+y+2z=3(2)
2x+3y+z=−2(3) ¿
¿{{ ¿ ¿ ¿
¿
Híng dÉn: Rót z tõ (1) thay vµo (2); (3)
4, Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình:
¿ x+y+z=6(1) x2+y2+z2=12(2)
¿{ ¿
Híng dÉn: Nh©n (1) víi råi trõ cho (2)
=> (x2 + y 2 + z2 ) – 4( x+ y + z ) = 12 – 24
x2 – 4x + y2 -4y + z2- 4z + 12 = 0
( x2 – 4x + ) + ( y 2 – 4y + ) + ( z2 – 4z -4 ) = 0
( x – )2 + ( y – )2 + ( z – )2 =
=> x = y = z = 5, VÝ dơ 5:
Gi¶i hƯ phơng trình
2
x+1+
1
y −3=5
x+1−
2
y −3=4
¿{ ¿
( Đề thi vào 10 năm 1998 1999) 6, Ví dụ 6:
Giải hệ phơng tr×nh :
¿
5
x −1+
y+1=11
1
x −1+
y+1=5 ¿{
¿
(4)Dạng 4: Toán cực trị
1.Ví dụ 1:
Cho biÓu thøc:
A=(
1−√x+
1 1−√x):(
1 1−√x−
1 1+√x)+
1 1−√x
a Rót gän A
b Với giá trị x A nhỏ Giải: a Rút gọn đợc:
√x(1−√x)
b A nhá nhÊt nÕu mÉu √x(1−√x) lµ lín nhÊt Gäi √x=K ta cã K(1- K) = -K2+ K
-(K2- K) = -(K2 - 2K/2 +1/4 -1/4)
= -[(K-1/4)2 – 1/4]
MÉu nµy lín nhÊt khi: -[(K-1/4)2- 1/4] lµ nhá nhÊt
Vµ nã nhá nhÊt khi: K= 1/4 Hay √x=1/4⇒x=1/2
=>A nhá nhÊt =4 2.VÝ dô 2:
Cho biÓu thøc:
M=15√x −11 x+2√x −3+
3√x −2 1−√x −
2√x+3
x+3
a, Rút gọn
b, Tìm giá trị lớn M giá trị tơng ứng cđa x 3 VÝ dơ 3:
T×m giá trị lớn biểu thức M= x
2
x4
+x2+1
Gi¶i:
Ta nhËn thÊy x = => M = VËy M lín nhÊt x≠ Chia tử mẫu cho x2
M=
x2+ x2+1
VËy M lín nhÊt mÉu nhá nhÊt
MÉu nhá nhÊt x2+
x2 nhá nhÊt x2+
x2>0 VËy x
2
+
x2 nhá nhÊt x =1
VËy M=
2+1=
1
4.VÝ dô 4:
Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
(5)
Gi¶i:
Y=√x −1+2√x −1+1+√x −1−2√x −1+1
√x −1−1¿2 ¿
√x −1+1¿2 ¿
1−√x −1¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
¿√(√x −1+1)2+√¿
BiÕt r»ng |A| + |B| ≥|A + B|
Y=|√x −1+1|+|√x −1−1|≥|√x −1+1+√x −1−1| ¿|√x −1+1|+|1−√x −1|≥|√x −1+1+1−√x −1|≥2
VËy Y nhá nhÊt lµ (√x −1+1)(1−√x −1)≥0 ¿
⇔ x ≥1 1−(x −1)≥0
¿ ⇒1≤ x ≤2
¿{ ¿
Dạng 5: Tốn tìm điều kiện để phơng trình ngun
1 VÝ dơ 1 Cho biĨu thøc:
M=( 3√a a+√ab+b−
3a a√a− b√b+
1
√a −√b):
(a −1)(√a −√b)
2a+2√ab+2b
a, Rót gän
b, Tìm giá trị a để M nguyên Giải a, Rút gọn
M =
a−1
b, §Ĩ M nguyên a-1 phải ớc a – = => a =
a – = -1 => a = ( lo¹i ) a – = => a =
a – = -2 => a = -1 ( loại ) Vậy M nguyên a = hc a = 2, VÝ dơ 2:
Cho biÓu thøc: A=
√a −1−
√a+1+1
(6)Gi¶i
A=√a+1−(√a −1) a −1 +1=
√a+1−√a+1 a −1 +1=
2
a −1+1
§Ĩ A nguyên a ớc
Tổng qt : Để giảI tốn tìm điều kiện để biểu thức nguyên ta làm theo bớc sau:
Bớc 1: Đặt điều kiện
Bíc 2: Rót gän vỊ d¹ng f(x)
a hay a f(x) NÕu f(x)
a th× f(x) lµ béi cđa a
NÕu a
f(x) f(x) ớc a
Bớc 3: Căn vào điều kiện loại giá trị ngoại lai
Dạng 6: Toán tính giá trị biểu thức chứa nhiều tầng
Ví dụ : TÝnh A=√6−2√√2+√12+√18−√128 Ta cã : 4−√2¿
2
=|4−√2|=4−√2
¿
√18−√128=√42−8√2+2=√¿
√3+1¿2 ¿ ¿√3+1
¿
√3−1¿2 ¿ ¿ ¿
√√2+√12+4−√2=√√12+4=√3+2√3+1=√¿
Loại 7: Biện luận phơng trình
1.Ví dụ 1:
Cho phơng trình: x2 ( m + )x + m + = ( x ẩn )
a, Giải phơng tr×nh m=−3
2
b, Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c, Gọi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để :
x1( – 2x2 ) + x2( – 2x1 ) = m2
Gi¶i a, Thay m=−3
2 vào ta có phơng trình :
x
−2(−3
2+2)x − 2+1=0 2x2+2x −1=0
Phơng trình có hai nghiệm :
x1=1+3
2 , x2=
(7)b, Phơng trình cã hai nghiƯm tr¸i dÊu x1x2 = c
a<0
hay a.c <
1(m + 1) <
m < -1 c, x1( – 2x2) + x2 ( – 2x1) = m2
⇔x1−2x1x2+x2−2x1x2=m2
⇔(x1+x2)−4x1x2=m2()
Theo viet ta cã :
x1+x2=−b a=−
−2(m+2)
1 =2(m+2)
x1x2=c
a=m+1
Thay vµo (*) ta cã :
2(m + ) – ( m + ) = m2
2m + – 4m – = m2
m2 + 2m = 0
m ( m + ) =
⇒ m=0
¿
m+2=0⇒m=−2 ¿
¿ ¿ ¿ ¿
2.VÝ dô 2:
Cho phơng trình : x2 2mx + 2m = 0
1, Chng tỏ phơng trình có hai nghiệm với m 2, Đặt A=2(x1
2
+x2
)−5x1x2
a Chøng minh A = 8m2 – 18m + 9
b T×m m cho A = 27
3, T×m m cho nghiệm hai lần nghiệm Giải
1 Xét '=(m)2(2m1)=m22m+1=(m 1)20m
=> Phơng trình cã nghiƯm víi mäi m a A=2(x12+x22)−5x1x2 = 2x12+2x22−5x1x2
¿2x1
+2x2
+4x1x2−9x1x2
2(x12+x22+2x1x2)−9x1x2
2(x1+x2)
−9x1x2
Theo viÕt ta cã :
¿ x1+x2=−b
a x1x2=
c a
2(2m)29(2m1)=2(4m2)18m+9=8m218m+9 {
=> điều phải
chøng minh
b, Tìm m để A = 27 giảI phơng trình 8m2 – 18m + = 27
8m2 – 18m – 18 =
(8)Phơng trình có hai nghiệm : m1 = , m2 = -3/4
2.Tìm m để x1 = 2x2
Theo viet ta cã : x1 + x2 = -b/a = 2m
Hay 2x2 + x2 = 2m
3x2 = 2m
x2 = 2m/3
x1 = 4m/3
Theo viet:
x1x2=c
a=2m−1
=>2m
3
4m
3 =2m −1
⇔8m2
9 =2m −1
⇔8m2=18m−9 ⇔8m2−18m
+9=0
Ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm : m1 = 3/2; m2 = 3/4