Nhạc đệm bài Em yêu hoà bình

+ ViÕt E díi d¹ng tÝch cña c¸c nh©n tö lµ tam thøc bËc hai hay nhÞ thøc bËc nhÊt.. BÊt ph¬ng tr×nh chøa c¨n thøc.[r]

Bài Ph ơng trình bậc hai A.Tóm tắt kiến thức

1.Phơng trình bậc hai

1.1.Dạng phơng trình bậc hai: ax2 +bx +c = với a

0 1.2.Nghiệm phơng trình bậc hai

BiÓu thøc :

Δ

= b2 -4ac ( hay

Δ

’=b’2 –ac víi b’ = b/2) *

Δ

< : pt v« nghiƯm

*

Δ

= 0: pt cã nghiƯm kÐp

*

Δ

> 0: pt cã nghiÖm ph©n biƯt ,

b

x

a

1

2

Δ







ghi chú : ac < phơng trình có nghiệm phân biệt 1.3.Định lý viet

*Nếu phơng trình bậc hai: ax2 +bx +c = có hai nghiƯm x

1 ,x2 th× S = x1 +x2 =

b

a



; x1x2 =

c

a

.

*NÕu x1 +x2 = S , x1x2 = P S2 -4P x1,x2 nghiệm phơng trình : x2 Sx +P = 0

ghi chó:

NÕu a +b +c = phơng trình có nghiệm x = vµ x = c/a NÕu a -b +c = phơng trình có nghiệm x = -1 vµ x = -c/a NÕu pt cã nghiƯm x1 x2 ax2 +bx +c =a( x x1)(x-x2) 2.Phơng trình bậc bốn đa phơng trình bậc hai

2.1.D¹ng

ax4 +bx2 +c = ( a

0) (phơng trình trùng phơng) Đặt t = x2 với t 0 ta có phơng trình : at2 +bt +c = 0 2.2.D¹ng

(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = k a+b =c +d ; k



0 đặt t = ( x+a)(x+b)

2.3.D¹ng

(x +a)4 +(x+b)4 =k ( k>0)

Đặt t = x +

a b

2



2.4.D¹ng

ax4 +bx3 +cx2 bx +a = với a



0 Chia vế cho x2 đặt

t x

x

1

ta có phơng trình : at2 +bt +c +2a = 0

Ghi chó: nÕu t = x +

x

1

ta cú u kin

t

2

.

Giải tơng tự cho phơng trình : ax4 +bx3 +cx2 dx +e = víi

e

d

a

b

2

B.Phơng pháp giải toán

b)x1- x2 =0 Híng dÉn:

a)

m

0

;m

9

25





b) áp dụng định lí viet ta đợc m = 0; m =

Ví dụ 2.Tìm m để phơng trình : x2 +(m-1)x +m + = (1) Có hai nghiệm thoả mãn x12+x22 = 10

Hớng dẫn: áp dụng định lí viet ,chú ý điều kịên để phơng có nghiệm Ta đợc m = -3 ; m = so với điều kiện ta có m = -3 Ví dụ định m để phơng trình : x2 -2(m+1)x –m- = 0 (1)

Có hai nghiệm x1 ,x2 A = x12 +x22 – 6x1x2 đạt giá trị nhỏ Hớng dẫn:

*Điều kiện pt có nghiệm m2;m1

*A = …= 4[(m+2)2 -1]



4 m = -2

v¹y A nhá nhÊt b»ng -4 m = -2. Ví dụ Gải phơng trình:

a) (x-1)(x+5)(x-3)(x+7) = 297 §S: x = ; x = -8 b) x4 + ( x-1)4 = 97. §S: x = ; x = -2.

c) 6x4 -35x3 +62x2 -35x +6 = 0 §S: x =2;x=1/2 ;x = 3; x = 1/3. Ví dụ Cho phơng trình :

mx2 -2(m-2) x +m -3 = 0 Tìm m để phơng trình :

a) Có hai nghiệm trái dấu ĐS: < m < b) Có hai nghiệm dơng phân biệt ĐS: m< 0; 3< m <4 c) Có nghiệm âm ĐS: < m < Ví dụ Cho phơng trình

( m -1)x4 +2(m -3)x2 +m +3 = 0 Định m để phơng trình

a)cã nghiƯm ph©n biƯt b)cã nghiƯm ph©n biƯt c)cã nghiƯm ph©n biƯt d)cã nghiƯm ph©n biƯt

e) vô nghiệm ĐS: m < -3 ; m > 3/2

Bµi tËp sè 1

1.Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt

a) x2 -2mx +m2 -2m +1 = §S: m > 1/2.

b) mx2 –( 2m+1)x +m -5 = 0 §S:

m

m

1

24

0



 











2.Cho phơng trình : x2 -2(1+2m)x+3+ 4m = 0 (1)

a) Định m để phơng trình (1) có nghiệm x1,x2 ĐS:

m

2

;m

2

2

2





b)Tìm hệ thức độc lập m nghiệm x1,x2 ĐS: P – S -1 =

c) TÝnh theo m,biÓu thøc A = x13 +x23 §S:A=2(1+2m)(16m2+4m-5)

d)Định m để pt(1) có x1 = 3x2 ĐS:

m

1 7

6





e)viÕt pt bËc hai cã nghiƯm lµ x12 vµ x22 ĐS:X2-2(8m2+4m-1)X+(3+4m)2=0 3.Cho phơng trình : x2 -6x +m -2 = 0

Định m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt ĐS: < m < 11 4.Cho phơng trình : mx2 +2(m +3)x +m = 0

a) Cã hai nghiÖm cïng dÊu §S:

m

m

3

2

0



 











b) Cã hai nghiệm âm phân biệt ĐS: m >

5.Giải phơng trình :

a) (x+2)(x-3)(x+1)(x+6) = -36 §S: 0;-3;

3

73

2

 

.b) (x+3)4 +( x+5)4 = 16 §S: -5;-3.

c) x4 +x3 -4x2 +x +1 = 0. §S: 1;

3

5

2

 

d) x4 -5x3 +10x2 -10x +4 = 0.ĐS:1 ;2. Bài 2.Hệ ph ơng trình

Vn đề 1:Hệ gồm phơng trình bậc phng trỡnh bc hai. Ph

ơng pháp giải:

+Từ phơng trình bậc ,rút ẩn theo Èn

+Thế vào phơng trình bậc hai cịn lại để đa phơng trình bậc hai ẩn

VÝ dơ 1.gi¶i hƯ

x

y

x

2

xy

2

3

1 (1)

24 (2)















§S: (-9;-19/3);( 8;5).

Vấn đề 2:Hệ đối xứng loại 1.

-ta qui ớc gọi hệ chứa ẩn x,y đối xứng loại hai phơng trình hệ đối xứng đối với x,y.

Ph

ơng pháp giải:

+t S = x +y; P = xy đa hệ hệ có ẩn x,y đối xứng loại phơng trình hệ đối xứng đối vi x,y

+Tìm S,P x,y nghiệm phơng trình tổng tích X2 SX+P = 0.

Chỳ ý : điều kiện để hệ có nghiệm : S2 - 4P



0

VÝ dơ 2.Gi¶i hƯ

x y xy

x

2

y

2

5

5

 











ĐS: (1;2) ,(2;1).

Ví dụ Giải hệ

x y

x

y

x

y

;

;

x

y

2

2

1

1

5

1

1

3

5

3

5

9 DS: 1;

1

2

2



 













 



















 







 





NhËn xÐt: nÕu hÖ cã nghiÖm (x0;y0) th× hƯ cã nghiƯm (y0;x0).

Vấn đề 3:Hệ đối xứng loại 2.

-Ta quy ớc gọi hệ hai phơng trình với ẩn x,y đối xứng loại hai trao đổi vai trị x,y thì phơng trình chuyển thành phơng trình kia.

Ph

ơng pháp giải:

+Tr v vi v phơng trình cho

+Phơng trình đợc đa phơng trình dạng tích ,đặc điểm có nghiệm x = y

+ứng với trờng hợp xẩy ,kết hợp với phơng trình hệ để có hệ con,giải hệ

VÝ dô Gi¶i hƯ

x

x

y

y

y

x

2

3

2

3

2



















§S: (0;0),(5;5),(2;-1),(-1;2).

Vấn đề 4:Hệ đẳng cấp bậc hai.

ĐN: Hệ ẩn x,y đợc gọi hệ đẳng cấp bậc hai có dạng

ax

bxy cy

d

a 'x

b'xy c'y

d'

2 2



















Ph

ơng pháp giải:

+Xột xem x =0 có nghiệm hệ hay khơng? + x



0,ta đặt y = kx

*Thế vào hệ ,khử x,ta đợc phơng trình bậc hai theo k *Giải tìm k,ứng với trờng hợp k ta tìm đợc (x,y)

VÝ dơ Gi¶i hƯ

x

xy y

x

xy

y

2

2

3

2

11 (1)

2

3

17 (2)























§S:



1 2

; ,

 

1 2

;



,

4

;

5

,

4

;

5

3

3

13

3



 











 







 



.

Bài tập số 2

1.Giải hệ :

a)

x

y

xy x y

2

3

2

0









 





§S: (4;-2) ,

;

5 7

2 3















b)

y x

x

x y

2

4

2

5

0

 





 

ĐS:(1;3),(5;-5).

2.Giải hệ :

a)

x

y

x y

2

10

4















§S: (3;1),(1;3) b)

x y xy

x

2

y

2

xy

5

7

 















§S: (1;2),(2;1).

c)

x

y

y

x

x y

13

6

5











  



§S: (3;5),(5;3). d)





x

y

x x y

3

2

2



















§S: (1;1).

e)



x

y xy



x

y

2 4

78

97



















§S: (3;2),(2;3),(-3;-2),(-2;-3).

3.Gi¶i hƯ:

a)

x

y

x y

y

x

y x

2 2

2

2

2

2























§S: (0;0),(-3;-3).

b)

x

x y

y

y x

3

2

2



















§S: (0;0),(1;-1),(-1;1),(

3

;

3

),





3

;



3



c)

x

xy y

x

xy

y

2

2

3

1

3

3

13





















d)

y

xy

x

xy y

2

2

3

4

4

1



















ĐS: (1;4), (-1;-4)

4.Giải hệ:

a)

x y

x

y

x

y

x

y

2

2

1

1

5

1

1

9



 

























§S:

;

3

5

,

3

5

;

1

1

2

2





 







 





 



Bài 3: Giải bất phơng trình

Vn 1: Xét dấu biểu thức áp dụng để giải bất phơng trình hữu tỉ. A-Xét dấu biểu thức E

+ Viết E dới dạng tích nhân tử tam thức bậc hai hay nhị thức bËc nhÊt + LËp b¶ng xÐt dÊu

B- Gi¶i bất phơng trình hữu tỉ

+ Chuyn tt c hạng tử sang vế + Rút gọn biểu thức có đợc

+ Xét dấu biểu thức

+ Dựa vào bảng xét dấu, chọn miền nghiệm VÝ dô 1: XÐt dÊu E = (x2 – 4) (x2 – 4x + 3)  x2 – cã nghiƯm lµ -2; 2

 x2 – 4x + có nghiệm 1; 3 Lập bảng xét dấu

Ví dụ 2: giải bất phơng tr×nh :

x

x

x

x

5

2

1

2

2

1

5













(1)

HD: (1)



 



x

x

x

x

2

12

36

0

2

1

5













Lập bảng xét dấu,ta đợc tập nghiệm x < -5; 1/2 < x < ; x > Bi

1.Giải bất phơng trình:

a) x2 -7x +10 < 0 §S: < x < 5. b) (-x2 +3x -2)(x2 -5x +6) 0. §S: 1 x 3.

c)

x

x

x

2

3

0

1 2









§S: x > 1/2. d)

x

x

x

x

2

3

2

0

4

3











§S: x <1; 1< x <2 ; x

3

.

2.Giải bất phơng trình sau :

a)

x

x

x

x

2

4

3

1

3 2





 



§S: x < ; < x < 3/2.

b)

x

x

x

1

2

3

1



2



3







§S: x <-1; 3/2< x<2; x >3.

c)

x

x

x

x

x

x

x

2

2

3

4

15

1

1

1



















§S: 5 x 1; x 1

d)

x

x

2

x

2

1

4

2

2

2











§S:

x

x

4

0

2



 





Giải bất phơng trình sau :

a) x(x+1) <

x

2

x

42

1

 

§S: -3 < x <2. b) x2 +(x+1)2

x

2

x

15

1



Vấn đề 2.Giải hệ bất phơng trình *Giải bất phơng trình

*kết hợp nghiệm cịn lại ta đợc nghiệm hệ

VÝ dơ Gi¶i hÖ :

x

x

x

x

2

7

6

0 (1)

8

15

0 (2)





 















Gi¶i : gi¶i (1) :

1

 

x

6

Gi¶i (2) :x 3;x5

Kết hợp (1) (2) ta đợc ĐS: 1 x 5;  x Bài tập:

1.Gi¶i hệ bất phơng trình

a)

x

x

x

2

12

0

2

1

0

















§S: 1/2 < x < 4. b)

x

x

x

x

2

2

3

8

3

0

17

7 6

0























§S: VN

c)

x

x

x

2

2

7

4

1

1













§S:

x

;x

3

4

1

5





 



Vấn đề 3.Điều kiện để tam thức khơng đổi dấu R.

Ví dụ 1.Định m để f(x) = mx2 +4x+m > ,  x R Giải:

 m = suy f(x) = 4x >



x



0

.

do m = không nhận đợc  m



0

f(x) > ,

 

x R

a m

m

m

.

m

;m

'

m

2

0

0

2

2

2

4

0

Δ























 



 







Ví dụ 2.Định m để bất phơng trình sau vơ nghiệm

(m +1)x2 -2mx –(m -3) < 0 (1) HD:

m

1

7

1

7

2

2









Bµi tËp

1) f(x) = x2-mx +m +3 0 x,  R -2m6 2) f(x) = mx2 –mx -5 < ,

 

x R

 

20



m



0

.

………

Bài Phơng trình –Bất phơng trình chứa thức Vấn đề1.Luỹ thừa vế.

Chó ý:

B

A B

A B

2

0





  





Ví dụ 1.Giải bất phơng trình :

x

2



1

 

x

2

ĐS: x = -5/4 Ví dụ 2.Giải phơng trình:

x

  

1

8

3

x



1

ĐS: x = Vấn đề Đổi biến đa phơng trình hữu tỉ.

Ví dụ: (x + 1)(x + 4) –

x

2



5

x



2



6

ĐS: x = -7; x = Vấn đề Đa hệ phơng trình hữu tỉ cách đặt ẩn số phụ.

VÝ dô:

x

 

1

x



3

§S: x =

Vấn đề Đa phơng trình chứa trị tuyệt đối.

Vấn đề Bất phơng trình chứa thức. Các dạng

B

A B

A

0

0







 





vµ

B

A B

2

0











B

A B

A B

2

0

0







 







VÝ dơ: Gi¶i bÊt phơng trình :

x

2

1

x

2

Ví dụ: Giải bất phơng trình:

x

2

3

x

4

x

Bài tập tơng tự I.Giải phơng trình :

1)

x

2

2

x

4



2



x

§S: -2 2)

3

x

2



9

x

  

1

x

2

§S: 3) x  x  x

2

3

§S: 3;-1/2 4) 3x 7 x 1 §S: 1;3

5)3 x 5 x6 3 2x11 §S: -6;-5;-11/2 6) x 1 3x 1 x 1§S: -1 7) 31 x 31 x 2.§S: 8)

3

x

2



2

x



15



3

x

2



2

x

 

8

7

§S: 1;-1/3 9)

x

2

 

9

x

2



7



2

.

§S: 4;-4 10) 47 2 x4 35 2 x 4§S: -17;23

11)

x



2



2

x



5



x

 

2 2

x



5



7 2

§S: 15

12) 5x 7 5x 12 ĐS: -3;4

II.Giải bất phơng trình : 1)

x

2

x

12

7

x

ĐS:

x



3 4

;

 

x

61

3

2)

21 4



x x





x



3

§S:

1

 

x

3

3)

x

2



3

x



10

 

x

2

§S: x2;x14 4) x 3 7 x  2x §S: 4 x 6; x7

5) 2x 3 x2 1 §S:

x

(

)



3

 

2 1



3

2

Một số đề thi Đại học

I.Phơng trỡnh

1 Giải phơng trình: x 2 x 1 x 1

2.Giải phơng trình :

√

3x −2+

√

x −1=4x −9+2

√

3x2−5x+2 (x ∈R) 3.Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm thực phân biệt :

√

x2

+mx+2=2x+1 4.Tìm m để phơng trình sau có nghiệm thực: x + m x1 = 24 x2 5.Chứng minh với giá trị dơng tham số m ,phơng trình sau có nghiệm phân biệt: x2 +2x - = m x(  2)

II BÊt phơng trình

3 2x2 +4x +3 3 2x x 2 > 1. 4

√

x+12≥

√

x −3+

√

2x+1 5x 1 x 1 2x 2x7 5 x 3x

7

(x ) x

x

x x

2

2 16

3

3

 

  

  8.

(

x

2

−3x

)

.

√

2x2−3x −2≥0

9.Tìm m để bất phơng trình :









2

2

2 1

2

0

m

x



x







x



x



cã nghiÖm

x







0;1



3

III Hệ phơng trình

1

x y x y

x(x y ) y(y )

2

4

1

    



    

 2

2

2

1

(

) 4

(

1)(

2)

x

y y x

y

x

y x

y



 











 







3





3

2

8

2

x,y

3 3(

1)

x

x y

y

x

y



























2

2 2

3(

)

7(

)

x

xy y

x y

x

xy y

x y



























5

x y

x y

5

2

    

 

   



 6.

¿

x −1 x=y −

1 y 2y=x3+1

¿{

¿

7

2

4

5

4 ( , )

(1 )

x y x y xy xy

x y

x y xy x



    

 

 

    

 



8.





4 2

2

2 x,y 6

x x y x y x

x xy x

    



 

  

 



9.





2 2

x,y 2

xy x y x y

x x y x x y

    



 

   

 



10.Tìm m để hệ phơng trình :

¿

2x − y −m=0 x+

√

xy=1

¿{

¿

cã nghiÖm nhÊt

11.Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm

¿

√

x+

√

y=1 x

√

x+y

√

y=1−3m

¿{

¿