HD Cham de thi chuyen Toan Hung Yen 2009

1) Híng dÉn chÊm thi nµy chØ tr×nh bµy c¸c bíc chÝnh cña lêi gi¶i hoÆc nªu kÕt qu¶.[r]

Sở giáo dục đào tạo Hng n

đề thức

kú thi tun sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010

Môn thi: Toán

(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin)

Hớng dẫn chÊm thi (B¶n Híng dÉn chÊm thi gåm 04 trang) I Híng dÉn chung

1) Hớng dẫn chấm thi trình bày bớc lời giải nêu kết Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.

2) Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.

3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hớng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm đợc thống thực Hội đồng chấm thi.

4) Các điểm thành phần điểm cộng tồn phải giữ ngun khơng đợc làm trịn

II Đáp án thang điểm Bài 1: (1,5 ®iĨm)

1 1 1

a : :

7

7 1 1

      

   

     

 

0,5 ®

a =

2 :

7 0,25 đ

Đặt x a x 1  x 1  7 x22x 1 7 0,5 ®

x 2x

Vậy phơng trình x22x 60 nhận làm nghiệm

0,25 đ Bài 2: (2,5 ®iĨm)

a)

x 16

x 16

xy (1)

xy

y

y

y x

y

(2) xy

x y

x



  

  



 



 

     

 

 ĐK: x, y0

0,25 đ

Gi¶i (2)

2

6y 6x 5xy (2x 3y)(3x 2y)

       0,25 ®

* NÕu

3y

2x 3y x

2 

   

Thay vào (1) ta đợc

3y 16

y

2



 

0,25 ®



2

3y 23

2



(phơng trình vô nghiệm)

0,25 đ

* NÕu

2y

3x 2y x

3

   

Thay vào (1) ta đợc

2

y  9 y3

0,25 ®

- Víi y 3 x2 (thoả mÃn điều kiện) 0,25 đ

- Với y x2 (thoả mÃn điều kiện)

Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)

b) Đặt  

2

x  2x 1  y x 1  y x 1 y (y0) (*) Phơng trình cho trở thành:    

2

y 1  y 1 m0

2

y 5y m

     (1)

0,25 ®

Từ (*) ta thấy, để phơng trình cho có nghiệm phân biệt phơng trình (1) có nghiệm dơng phân biệt

0,25 ®

0 4m

S

P m

   

 

 

     

    

 

0,25 ®

9

m

4 m

4

4

m

  

     

    VËy víi

9

4 m

4

  

phơng trình có nghiệm phân biệt

0,25 đ

Bài 3: (2,0 điểm) a) Vì k > suy

2

k 45; k 165 - XÐt

2 2

k5n (víi n ) k 25n 10n 1  k 4 5

2

k

  không số nguyên tố

0,25 đ

- XÐt

2 2

k5n2 (víi n) k 25n 20n 4 k 16 5

2

k 16

không số nguyên tè 0,25 ®

- XÐt

2 2

k5n3 (víi n) k 25n 30n 9 k 16 5

2

k 16

  không số nguyên tố 0,25 đ

- XÐt

2 2

k5n4 (víi n) k 25n 40n 16  k 4 5

2

k

không số nguyên tố Do k

0,25 đ

b) Ta chøng minh: Víi a, b, c th×     2 2 2

a b c 3 a b c (*) ThËt vËy

2 2 2

(*) a b c 2ab2bc 2ca 3a 3b 3c

2 2

(a b) (b c) (c a)

       (luôn đúng)

0,5 đ

áp dụng (*) ta có:

p a p b p c2 3 3p  a b c 3p

0,5 ®

Suy p a p b p c  3p (đpcm) Bài 4: (3,0 điểm)

J I

C N

M O

A B

D

a) XÐt MBC vµ MDB cã:

BDM MBC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) BMC BMD

0,5 ®

Do MBCvà MDB đồng dạng Suy

MB MD

MB.BD MD.BC

BC BD  

0,5 ®

b) Gọi (J) đờng trịn ngoại tiếp BDC BJC 2BDC 2MBC

hay

 BJC

MBC

 

 1800 BJC BCJ cân J CBJ

2

  

0,5 ®

Suy

  BJC 180O BJC O

MBC CBJ 90 MB BJ

2



     

Suy MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB

0,5 ®

c) Kẻ đờng kính MN (O)  NB  MB

Mà MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) đờng tròn ngoại tiếp ADC

Chøng minh t¬ng tù I thuéc AN

Ta cã ANB ADB 2BDM BJC  CJ // IN Chøng minh t¬ng tù: CI // JN

0,5 ®

Do tứ giác CINJ hình bình hành  CI = NJ Suy tổng bán kính hai đờng trịn (I) (J) là: IC + JB = BN (không i)

0,5 đ Bài 5: (1,0 điểm)

g

f e d

h c

b a

G F

I

H

J M

C

A B

D

E

K

Gäi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (víi a, b, c, d, e, f, g, h lµ số hữu tỉ dơng)

Do góc hình cạnh nên góc hình cạnh có số đo là:

O

O

8 180

135

(  )



0,25 ®

Suy góc ngồi hình cạnh là: 180O - 135O = 45O

Do tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ tam giác vuông cân

 MA = AE = h

2 ; BF = BG = b

2 ; CH = CI = d

2 ; DK = DJ = f

2 Ta cã AB = CD nªn:

h b f d

a e

2     

 (e - a) = h + b - f - d

0,5 ®

NÕu e - a ≠ th×

h b f d

e a

  

 

 (điều vô lý 2 số v« tØ) VËy e - a =  e = a hay EF = IJ (®pcm)

0,25 ®

HÕt