de thi dai hoc hay co loi giai

Câu Va (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản. a) Trong mặt phẳng Oxy cho Δ ABC có A ;.[r]

ĐỀ THI THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC MƠN TỐN NĂM 2009

A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y=x3−3x2

+2 a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Biện luận số nghiệm phương trình x2−2x −2= m

|x −1| theo tham số m Câu II (2 điểm)

a) Giải phương trình  

2

3 4 sin 2x2cos x2 2 sin x

b) Giải phương trình

2

16

2

14 40

x x x

log x  log x  log x  .

Câu III ( điểm)

a) Tính tích phân

3

x sin x

I dx.

cos x



 



b) Cho hàm số f(x)=ex−sinx+x

2 −3 Tìm giá trị nhỏ f(x) chứng

minh f (x)=0 có hai nghiệm

Câu IV (2 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: x −21=y

1=

z+2

−3 mặt

phẳng (P):2x+y+z −1=0

a) Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm A vng góc với d nằm (P)

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d cho khoảng cách từ điểm I(1,0,0) tới (Q)

√3

B PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH

Câu Va (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình bản

a) Trong mặt phẳng Oxy cho ΔABC có A ; 0 5 Các đường phân giác trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình d : x y1   1 0,d : x2  2y0. Viết

phương trình ba cạnh tam giác ABC

b) Có triển số hữu tỉ khai  

60

2 .

Câu Vb (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình nâng cao a) Giải phương trình 4x+1

3 x+2

=6 4x−1

4 x+1

b) Cho chóp tứ giác SABCD có cạnh bên a mặt chéo SAC tam giác Qua A dựng mặt phẳng (P) vng góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (P) hình chóp

Câu I 2 điểm

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x 3 3x22.  Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R.

 Sự biến thiên:

2

3

y'  x  x. Ta có

0

2

x y'

x      



0,25

 yCD y 0 2; yCT y 2 2. 0,25

 Bảng biến thiên:

x   0 2 

y'  0  0  y

   2

0,25

 Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình 0,25

b) Biện luận số nghiệm phương trình x2−2x −2= m

|x −1| theo tham số m

 Ta có

 

2 2 2 2 2 1 1

1

m

x x x x x m,x .

x

        



Do số nghiệm phương trình số giao điểm    

2 2 2 1

y x  x x , C'

đường thẳng y m,x 1.

0,25

 Vì

   

 

2 2 2 1

1

f x x

y x x x

f x x  

     

 



 nên C' bao gồm: + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x1.

+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x1 qua Ox.

0,25

 Học sinh tự vẽ hình 0,25

 Dựa vào đồ thị ta có:

+ m 2: Phương trình vơ nghiệm; + m2: Phương trình có nghiệm kép;

+ 2m0: Phương trình có nghiệm phân biệt; + m0: Phương trình có nghiệm phân biệt.

0,25

0,25 Câu II 2 điểm

a) Giải phương trình 3 4 sin22x2cos x2 2  sin x

 Biến đổi phương trình dạng 2sin x3 2 sin x1  2sin x10 0,75  Do nghiệm phương trình

7

2

6 18 18

k k

x  k ; x  k ; x   ; x   

0,25

b)

Giải phương trình

2

16

2

14 40

x x x

log x  log x  log x  .

 Điều kiện:

1

0

4 16

x ; x ; x ; x .  Dễ thấy x = nghiệm pt cho

 Với x1 Đặt t log x2 biến đổi phương trình dạng

2 42 20

0 1 t 4t1 2 t1

0,5

 Giải ta

1

2

2

t ;t  x ; x .

Vậy pt có nghiệm x =1;

1

2

x ; x .

0,25

Câu III

a)

Tính tích phân

3

x sin x

I dx.

cos x



 



 Sử dụng cơng thức tích phân phần ta có

3 3

3

3

1

3

x dx

I xd J ,

cosx cosx cosx

  



 





 

 

     

 

 

với

3

3

dx J

cosx



 



0,25

 Để tính J ta đặt t sin x. Khi

3 3

3 2

2

3

2

3

1

1 2

dx dt t

J ln ln .

cosx t t



 

 

 

   

  

 

0,5

 Vậy

4

3

I    ln  .



0,25

b)

Cho hàm số f(x)=ex−sinx+x

2 −3 Tìm giá trị nhỏ f(x)

chứng minh f(x)=0 có hai nghiệm

 Ta có

x

f ( x ) e   x cos x. Do f ' x   0 ex x cos x. 0,25  Hàm số

x

y e hàm đồng biến; hàm số yx cosx hàm nghịch biến y' 1 sin x 0, x Mặt khác x=0 nghiệm phương trình

x

e x cos x nên nghiệm nhất.

0,25

 Lập bảng biến thiên hàm số yf x  (học sinh tự làm) ta đến kết luận phương trình f (x)=0 có hai nghiệm

 Từ bảng biến thiên ta có min f x 2 x0.

0,5

Câu IV a)

Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương trình đường thẳng Δ qua điểm A vng góc với d nằm (P)

 Tìm giao điểm d (P) ta

1

2

2

A ; ;  

 

 Ta có ud 2 3; ; ,nP 2 1; ;  u u ;nd p 1 0; ; 

 

      

 

uur uur uur uur uur 0,5

 Vậy phương trình đường thẳng Δ

1

2

2

: x t; y t; z .

      0,25

b)

Viết (Q) chứa d cho khoảng cách từ điểm I(1,0,0) tới (Q)

2

√3

 Chuyển d dạng tổng quát

2

3

x y

d :

y z    



   

0,25

 Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng

 2 1 3 2 0 2 0

m x y n y z   ,m n 

2 

mx m n y nz m n

      

0,25



 

   1  2

2

1

3

d I ; Q   Q : x y z    , Q : x y  z  . 0,5

Câu VIa

a)

Trong mặt phẳng Oxy cho ΔABC có A ; 0 5 Các đường phân giác trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình

1 2

d : x y   ,d : x y . Viết phương trình ba cạnh tam giác ABC.

 Ta có B d 1d2  B2 1;  AB : x y3   5 0. 0,25

 Gọi A' đối xứng với A qua d1 H2 3; , A' ;  4 1 0,25

 Ta có A' BC  BC : x 3y 1 0. 0,25

 Tìm C28 9;  AC : x 7y35 0 . 0,25 b)

Có số hữu tỉ khai triển  

60

2 .

 Ta có  

60 60

60

3

60

2 3

k k k k

C .

 

  0,5

 Để số hữu tỷ

60  2

6

k k

k k

 

 

 

 

 



 Mặt khác 0 k 60 nên có 11 số

0,5

Câu Vb

a) Giải phương trình 4x+1

3 x+2

=6 4x−1

4 x+1

 Biến đổi phương trình cho dạng

2 2

3 27

4

x x x x

.  .  .  . 0,5

 Từ ta thu

3

3 2

2 39 39

x

x log  

  

   

0,5

b) Cho chóp tứ giác SABCD có cạnh bên a mặt chéo SAC tam giác Qua A dựng mặt phẳng (P) vng góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng (P) hình chóp

 Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC. Gọi I AC' SO. 0,25  Kẻ B' D' // BD. Ta có

2

1 3

2

AD' C' B'

a a