X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M sao cho diÖn tÝch tø gi¸c IMJN lín nhÊt.. Mét mÆt ph¼ng (P) qua M vµ N song song víi SC chia tø diÖn thµnh hai phÇn.[r]
(1)Bµi tËp dµnh cho häc sinh giái A PhÇn d·y sè
1
Cho d·y sè d¬ng ( )un
a) Chứng minh với số nguyên dơng k ta có:
( )
2
1 2
1 ( 1)
1
k k
k k k
k
u u u u u u u
k k k
-æ + ửữ
ỗ ữ
Ê ỗỗỗ + + + + ÷÷
+ è ø
b) BiÕt
lim
n i x
i
u a R
đƠ =
= ẻ
ồ
Đặt 1 3
n
n n
V = +u u u + u u u + + u u u voi n³ Chøng minh r»ng d·y sè ( )Vn cã giíi h¹n
2
Cho a>0 Xét dãy số xác định nh sau ( )
1
2
1 3
n n n n
u a
u+ u u u
ì =
ïï
íï + = +
ïỵ
Hãy chứng minh dãy số ( )vn : vn =(a- 1)un có giới hạn? Hãy tìm giới hạn đó
3
Cho hai d·y ( ) 0,( ) 0, 0
n n
i i i i
u v voi u v
= = >
vµ
1
1
,
2
n n n n
n n
u u v v
v u
+ = + + = +
Chøng minh r»ng: Max u{ 2006,v2006}> 2007
4
Cho d·y sè
.sin n n i k S k n = =ồ
, với nẻ N* Tính xlimđƠ Sn
5
Cho d·y sè
( ) 1 : 1 1, n
n n n n
u u
u+ u u voi n n N
ìïï = ùù
ùùớ ổ ử
ù ỗ ữ
ù = ỗ + + ữ " ẻ
ù ỗ ữữ
ù ỗố ứữ
ùùợ Tìm lim n
xđƠ u
6
Cho d·y sè
( ) : 10 n n n n u u x u x + ì = ïï ïï + íï =
ùùùợ Chứng minh rẵng: 54<un Ê 54 với n>1
Cho d·y sè
( ) (2 )
1
1, :
1
n
n n n
u u
u
u+ u u
ì = =
ùù
ớù =
-ùợ
Đặt ( )( )( ) ( )
2 2
1 1
n n
S = u + u + u + u + -1, 2, 3, n
CMR voi n" = thi S
là số phơng?
Cho d·y Fibonaci: u1 =u2 =1;un =un-1 +un+1;voi n>2
Đặt vn =3un+2 +3un-2+un-2voi n>6
Tìm UCLN {vu(6666);vu(666)}
Cho d·y sè
( )
1
5, 11 :
2 , 2, 3, 4,
n
n n n
u u
u
u+ u u- n
ì = =
ïï
íï = - =
ïỵ
(2)10
Cho d·y
( ) ( )
2 *
1
2008 :
1 ,
n
n n n
u u
u+ u a u a voi n N
ì =
ïï
íï = + - + ẻ
ùợ
Với giá trị a dÃy số ( )un có giới hạn? Tìm limxđƠ un
B Phần tập hình học kh«ng gian
11 Cho tứ diện ABCD thoả mãn điều kiện AC=BC=BD=AD Gọi M,N lần lợt trung điểm cạnh AB CD Một mp(P) qua N, M cắt AC BD lần lợt P Q Xác định vị trí mp(P) để tứ giác MPNQ đạt giá trị nhỏ nhất?
12
Cho tứ diện ABCD có BC=DA=a, CA= DB=b AB.DC=c2 P điểm khơng gian Tính giá trị nhỏ biểu thức f(P)=PA+PB+PC+PD
13
Cho tø diÖn ABCD cã AB=CD, AC=BD, AD=BC Gäi a b g, , góc mặt (ABD), (ABC), (ACD) tạo với mặt (BCD) hình chiếu A (BCD) thuộc miền tam giác
(BCD) Chứng minh r»ng:
cos cos cos cos cos cos
cos cos cos cos cos cos
3 3
3
cos cos cos
a b b g g a
b g g a b a
a b g
+ + +
+ + +
+ + ³
+ +
14 Cho tứ diện ABCD thoả mãn điều kiện AC=BD, AD=BC Gọi I, J lần lợt trung điểm cạnh AB CD Một mp(P) qua IJ cắt BC AD lần lợt M N Xác định vị trí M cho diện tích tứ giác IMJN lớn Khi thể tích khối chóp AIMJN có đạt giá trị lớn khơng?
15 Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy tứ giác Một mp(P) thay đổi song song với hai đáy lăng trụ cắt đoạn thẳng AB', BC', CD' DA' lần lợt M, N, P, Q Hãy xác định vị trí mp(P) cho diện tích tứ giác MNPQ nhỏ nhất?
16 Cho tứ diện SABC, SA, SB lấy M, N cho 2SM=MA, SN=2NB Một mặt phẳng (P) qua M N song song với SC chia tứ diện thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần đó? 17 Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi vng góc với A , I tâm mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện, mp(P) mặt phẳng qua I vng góc với AI Chứng minh điều kiện cần đủ để điểm M nằm mp(P)là: MB2 +MC2 +MD2 =3MA2
18 Cho mp(P) //AB, mp(P)//CD, mp(P) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện Tìm tỷ số thể tích hai khối thiết diện chí ta diện theo k, với k tỷ số khoảng cách từ AB, CD đến mp(P)
C Phần giải PT hệ PT 19
Gi¶i PT: x2- 3x 2+ +9 x2- 4x 2+16=5 20
Gi¶i PT:2x2- 2x 30- 2008 30+4x 2008 = 30 2008 21
Gi¶i hƯ PT:
2
2
8
16 xy x y
x y x y x y
ìïï + + =
ïï +
íï
ïï + =
-ùợ 22
Giải PT:
2
2
2 x
x + x= + voi x³ -23
Tìm m để PT có nghiệm nhất: 2+ +x 5- x- (2+x) (5- x) =m 24
Gi¶i hƯ PT:
2 2
2
2
2
x y z xy xz yz x y zy xz yx
ìï + + + - - =
ïí
ï + + - -
=-ïỵ 25
Gi¶i PT: 2
9
1 x x
x+ + = + 26
Gi¶i vµ biƯn ln PT: x3+mx2 + + + -x m x3+mx2- x+ =m m x2 +1 27
Gi¶i PT:
2
2x - 11x+21- 4x- =0 28
Gi¶i PT:
2
(3)29
Gi¶i PT: ( )
2 2
3 2
x + - x + x= + x + 30