mot so de thi HSG mon Toan K10 Vinh Phuc

Gäi P lµ giao cña EG vµ FH; I lµ giao cña PA vµ BC.[r]

Đề thi HSG lớp 10 (năm hoc 2006-2007) C©u 1: Cho PT bËc hai  

2

4 3

x  m xm  m 

Tìm m để PT có hai nghiệm x x1, 2 khác 1

Khi chứng minh rằng:

2

1

1

49

1

mx mx

x x

   

 

C©u 2: Gi¶i PT 2

3

4

3 2

x x

x x x x

Câu 3: Giải hÖ PT:

3 1

3 1

x y

y x

    

 

   

 

Câu 4: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đờng tròn tâm O D trung điểm AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh OE vuông góc với CD

C©u 5: Cho x, y, z dơng xyz=32 Tìm Giá trị nhỏ biểu thức: Px2 4y2 2z24xy

Đề thi HSG năm học (2005-2006) C©u 1 : Cho PT x2  4mx5m2 2m 30

Gäi x x1, 2lµ hai nghiƯm cđa PT HÃy tìm giá trị lớn giá trị nhá nhÊt cđa biĨu

thøc:

2

1 3

Ax  x x x Câu 2

1) Giải hệ PT

  

  

2

2

3

15

x y x y x y x y

   

 

  

 

2) Gi¶i PT:

1 2

1 2

1 2

x x

x x

x x

 

    

Câu 3: 1) Với giá trị m nghiệm x x1, 2của PT:

2

2

x x m và nghiệm

x x3, 4 cña PT:  

3

2 ( 1) tho¶ m·n

x  m xm m  x x x x 2) Tìm m để bất PT:  

2

2 3( 2) nghiệm x

m x  m x m  

C©u 4: Cho tam giác ABC có cạnh BC=a, CA=b, AB=c thoả mÃn: c4 a4 b4 cmr: 1) Tam giác ABC nhän

2) sin2Ctan tanA B C©u 5: Chøng minh r»ng: NÕu

2 2 2

0thì ta có BĐT 16y 13

y x  x y  x  x y x 

C©u 1 :Cho PT bËc hai víi tham sè a:

2

1

2a ,

x  x  có nghiệm x x a) Xác định giá trị a để x x1, 2là số dơng

b) H·y tÝnh c¸c biĨu thøc M, N theo a M x1  x2 , N4 x1 4 x2

c) Xác định a cho

2

1

2

4

x x

x x

   

 

   

   

C©u 2: Cho hƯ PT :

2

2

2

x ax a

y by x

    

 

  

 

a) Gi¶i hƯ PT a=-3, b=2

b) Xác định giá trị nguyên a b để hệ có đúng3 nghiệm

C©u 3: a) Cho hµm sè    

p p

f x x vµ g x x

x x

   

p số thực cho trớc Với x>0 xác định giá trị nhỏ f(x) g(x)

b) Gi¶ sư x, y, z ba số thực dơng có tổng Chøng minh :

3

3

x xy  xyz

Câu 4: Cho tam giác ABC nhọn Gọi (O1),(O2) lần lợt đờng tròn bàng tiếp góc C B tam

giác ABC Đờng tròn tâm O1 tiếp xúc với AB, AC BC lần lợt C1, G E, đờng trịn tâm O2 tiếp xúc

víi AC, BC AB lần lợt B1, F H Gọi P lµ giao cđa EG vµ FH; I lµ giao cđa PA vµ BC Chøng minh

r»ng:

a) Ba điểm O1 , A, O2 thẳng hàng

b)

1

O A IE

IF O A

Đề thi HSG năm học (2003-2004)

Câu 1 : Giải hệ PT:

3 3

3

2 6

3

x y x

y z y

x x z

   

 

  

 

  





C©u 2:

a) Chứng minh với số thực p, q ta có :  

2 1 1

p q  p q

b) Tìm số thực b lớn cho với số thực p, q bất đẳng thức sau  

2

1

p q  bp q

Câu 3: Giải PT nghiệm nguyên sau: x3 y3 2y2 1

Câu 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (C) Tiếp tuyến với đờng tròn (C) điểm A C

cắt P Giả sử PA2 = PD.PB P không nằm đờng thẳng BD Cmr:

§Ị thi HSG năm học (2002-2003) HD(năm 2006-2007)

Câu 1: PT cã nghiÖm

 

1

2

0

,

1

0,

m x x

f

m m

  

   

    



   

(*)

Khi theo viet ta có

1 2

4

3

x x m

x x m m

  

  

  

 

Khi nµy ta cã

2

2

1

1

8 13

6

1

mx mx m m m

m m

x x m

  

  

Đặt

2 6 1

f m m  m

với m thoả mÃn điều kiện (*) ta thấy f(m) hàm nghịch biến 

2

;2 ®pcm

3 f f m f

   

     



   

Câu 2: Do x=0 không nghiệm PT, nên chia tử mẫu vế trái PT cho x ta đợc PT tơng đơng

3

4

2

3

x x

x x



Đặt

4

2

ta đ ợc PT : 9

3

4

t t x

x t t t

  

    



  

 Víi t=4  x 2

Víi

2

9

4

4

t   x  x   VN

V©y PT cã nghiƯm x  2 C©u 3:

XÐt hƯ:

   

3 1

3 1

x y

y x

    

 

   

 

§iỊu kiƯn cđa Èn

1 ,

2

x y

Lấy (1) trừ (2) ta đợc x 3 2x 1 y 3 2y1 3  Ta thấy hàm

  hàm đồng biến / 1; )

2

f x  x  x  

 Khi từ (3) suy f(x)=f(y) xyKhi ta có từ (1)

   2

1

1

2 1

4 1

x

x x x

x x



  



        

   



VËy nghiƯm cđa hƯ lµ:

5

5

x y     

C©u 4:

   

     

1

2

2

1 1

3

3

CD CA CB OA OB OC

OE OA OD OC OA OA OB OC OA OB OC

    

 

          

 

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

          

Do

   

 

2 2

2

3 4

4

CD OE OA OB OC OA OB OC

OA OB OC OA OB OA OC

OA OB OC OA CB

    

    

   

       

   

    

VËy OE vu«ng gãc víi CD C©u 5:

 

   

2 2 2 2

2

256

Ta cã 2 2

2

48 128

2 48 96 96

MinP=96, dÊu = x¶y x=4, y=2, z=4

P x y z xy z z

z

z z

z z

z z

      

 

   

     

 



A C

D B