ks hsg de toan 9lan 2 0607

[r]

(1)

Phòng giáo dục vĩnh tờng

khảo sát đội tuyển hsg lớp lần ii Năm hc: 2006-2007

Môn: Toán Câu1:

a.Tính giá trị biÓu thøc B=

√

−12

x=

√

27 −

3

√

−

√

27

Câu 2: Cho đa thức bậc bốn P(x) tho¶ m·n: P(-1)=0

P(x) – P(x-1) = x(x+1)(2x+1) a Xỏc nh P(x)

b Suy giá trị cđa tỉng:

S= 1.2.3 + 2.3.5 + … + n(n+1)(2n+1) với n số nguyên dơng

Câu 3:

a Hai số dơng x, y thoả mÃn x+

3

y=6 Tìm giá trị lớn tổng x + y b Tìm giá trị lớn biểu thức: x2 + xy + y2.Trong x, y số thực

tho¶ m·n ®iỊu kiƯn |2x − y|≤3 vµ |x −3y|≤1

Câu 4: Chứng minh chia số tự nhiên liên tiếp thành nhóm mà tích phần tử nhóm

Cõu 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn AA’, BB’, CC’ đờng cao tơng ứng với cạnh AB, BC, CA Δ ABC Gọi H trực tâm Δ ABC, O tâm đờng tròn ngoại tiếp Δ ABC Các đờng cao AA’, BB’, CC’ cắt đờng tròn tâm O A”, B”, C” Chứng minh rằng:

a H tâm đờng tròn nội tiếp Δ A’B’C’

b S Δ A’B’C’ = (1 – cos2A – cos2B – cos2C).S Δ ABC

c Tìm tập hợp điểm M ABC cho S Δ MAB = S Δ MBC

CÁC TÀI LIỆU KHÁC VUI LỊNG VÀO WEBSITE: http://phantu2010.violet.vn

Phßng gi¸o dơc vÜnh têng

Đáp án chấm khảo sát i tuyn Mụn:Toỏn 9

Câu 1: (2 điểm)

a.Đặt b1=

suy b1*b2 = 48

Khi đó: B = b1 + b2 ⇔ B3 = (b

1 + b2)3 = b13 + b23 + 3b1b2(b1 + b2)

= 3240 +144 B ⇔ B3 – 144B -3240 = 0

⇔ (B – 18)(B2 + 18B + 180) = 0

⇔ B – 18 =

⇔ B = 18 VËy B = 18

0.25 0.25

(2)

b Đặt x1=

27 ; x2=

3

√

−3

√

27 Suy ra: x1*x2=5/3

Khi x= x1- x2 ⇔ x3=(x

1 – x2)3 = x13- x23 – 3x1x2(x1- x2)

⇔ x3 + 5x – = 0

⇔ (x – 1)(x2 + x + 6) = 0

⇔ x – 1=

⇔ x=1

Vậy x = số hữu tỷ

0.25 0.5

0.5 Câu 2: (2 điểm)

t P (x) – P(x-1) = x( x+ 1)(2x+1) (1) a.Thay x lần lợt -1; 0; 1; vào (1) ta đợc P(-1) – P(-2) = ⇔ P(-2)=0

P(0) – P(-1) = ⇔ P(0) = P(1)-P(0) = 1.2.3 ⇔ P(1)=6 P(2) – P(1) = 2.3.5 P(2) = 36

Đặt P(x) = b0 +b1 (x+1) + b2(x+1)x + b3(x+1)x(x-1) +b4(x+1)x(x-1)(x-2)

(2)

Thay x lần lợt bằng-1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta đợc: 0= b0

0=b1 ⇔ b1=0

6= b2.2.1 ⇔ b2=3

36 = 3.3.2 + b3.3.2.1 ⇔ b3=3

0= 3.(-1).(-2)= (-1).(-2).(-3) + b4.(-1).(-2).(-3).(-4) ⇔ b4=1/2

Vậy đa thức cần tìm có dạng:

P(x)=3(x+1)x + 3(x+1)x(x-1) + 1/2(x+1)x(x-1)(x-2)

⇔ P(x) = 3(x+1)x2 + 1/2(x+1)x(x-1)(x-2)

⇔ P(x) = (x+1)x.[3x + 1/2 (x-1)(x-2)]

⇔ P(x) = 1/2 (x+1).x.[6x + (x-1)(x-2)] ⇔ P(x)= 1/2(x+1).x.(x+1)(x+2)

⇔ P(x) = 1/2x.(x+1)2(x+2)

b.Từ (1) cách thay lần lợt x=1; 2; …; n ta đợc P(1) – P(0)=1.2.3

P(2)-P(1)=2.3.5

…

P(n)-P(n-1)=n.(n+1)(2n+1)

Cộng theo vế đẳng thức ta đợc: P(n)-P(0)= 1.2.3 + 2.3.5+ … + n(n+1)(2n+1)

⇔ S=p(n) = 1/2n(n+1)2(n+2)

0.25 0.25

0.5 0.25

0.25

0.25 0.25 Câu 3: (2,25 điểm)

a ta thấy: 2+3=

x.√x+

√

3

y.√y

Do vËy theo B®t Bunhiacopxki ta suy ra: √2+√3¿2≤(2

x+

y)(x+y)=6(x+y)

¿

0.25

(3)

√2+√3¿2=5+2√6

6 ⇒x+y ≥1

6¿

DÊu “b»ng ’chØ x¶y x

2+ y 3=6

¿

x 2=

y x , y>0

⇔x=2+√6

6 ; y= 3+√6

6

¿ ¿{ {

¿ ¿ ¿

¿

VËy Min(x+y)= 5+2√6

6 x=

2+√6 ; y=

3+√6 b.Tõ |2x − y|≤3 vµ |x 3y|1

Nhân vế bđt với ta cã:

|6x −3y|≤9 vµ |x −3y|≤1 (1)

|2x − y|≤3 vµ |2x −6y|≤2 (2)

áp dụng bđt |A+B|≤|A|+|B| (đẳng thức xảy A, B dấu)

Từ (1) (2) ta đợc

|5x|=|(6x −3y)+(3y −2)|≤|6x −3y|+|3y −2|≤10 ⇒|x|≤2

|5y|=|(2x − y)+(6y −2x)|≤|2x − y|+|6y −2x|≤5⇒|y|≤1 VËy x2+xy+y2≤ x2+|xy|+y2≤4+2+1=7

Dấu đẳng thức xảy |x|=2 |y|=1

Trong x y dấu hay (x,y) (2;1) (-2;-1) Khi x2+xy+y2=7

0.25

0.25 0.25

0.25

C©u (1 ®iĨm)

Gọi số là: a+1; a+2; …; a+5; a+6

Giả sử chia đợc số thành nhóm tích phần tử nhóm

Gäi A tích số nhóm 1; B tích c¸c sè cđa nhãm Suy A=B

Từ tích số A2 số phơng.

*Nếu số a+1; a+2; …; a+6 không chia hết cho Suy ra: (a+1).(a+2)…(a+6) 1.2.3.4.5.6 (mod 7)

⇒ (a+1).(a+2)…(a+6) -1 (mod 7) Nhng A2 -1 (mod 7) nên loại

*Nu cú số chia hết cho

Do (a+1);…(a+6) số tự nhiên liên tiếp nên số có số chia hết cho suy tích nhóm chia hết cho nhóm tích khơng chia hết cho

Mặt khác: tích số nhóm Điều vô lý

Vậy chia số tự nhiên liên tiếp thành nhóm mà tích phần tử nhóm

0.25

(4)

a.Chứng minh đợc ∠A1=∠A2 suy A’H’ phân giác góc C’A’B’ Tơng tự: B’H; C’H phân giác góc A’B’C’; A’C’B’

Từ suy đợc H trực tâm tam giá A’B’C’

b.Do H trực tâm ABC ABC nhän nªn H n»m Δ ABC

S Δ A’B’C’ = S Δ ABC- S Δ AB’C’-S Δ BC’A’-S Δ CB’A’ ⇔SΔA'B'C'

SΔABC =1−

SΔAB'C SΔABC −

SΔBC'A' SΔABC −

SΔCB'A' SΔABC

Ta cã Δ AB’C’ Δ ABC ( gãc A chung; ∠ AB’C’= ∠ ABC (cïng b»ng ∠ C’B’C)

AB' AB ¿

2

=cos2A

⇒SΔAB'C' SΔABC =¿ T¬ng tù: SΔA

'

C'B SΔABC=cos

2

B ; SΔCB

'

A' SΔABC =cos

2

C VËy ta cã

SΔA'B'C'

SΔABC =1−cos

2

A −cos2B−cos2C

hay SΔA'B'C'=(1−cos2A −cos2B −cos2C).SΔABC

c

*ThuËn:

Δ MAB; Δ MBC có chung MB S Δ MAB=S Δ MBC nên đờng cao vẽ từ A C đễn MB

Do M (d) qua B // AC M (d’) chứa trung tuyến kẻ từ B

0.75 0.25 0.25

0.25

0.25 0.25

A

B B

C C

O

B A C

A

K I d

H H

B C

M d

(5)

cña Δ ABC

Giới hạn: M chuyển động (d) (d’) *Đảo: Lấy M (d) (d’)

+ NÕu M (d), vÏ AH (d); CK (d) suy AH //CK Ta cã: AH // CK; (d) //AC suy AH = CK

Nªn S Δ MAB = S Δ MBC + NÕu M’ (d’)

VÏ AH’ (d’); CK’ (d’) suy AH’ // CK’ ⇒AH

'

CK' = AI

IC =1⇒AH

'

=CK'

Suy S Δ M’AB = S Δ M’BC

*Kết luận: Tập hợp điểm M đờng thẳng (d) ((d) qua B // với AC ) đờng thẳng (d’) ((d’) chứa trung tuyến BI Δ ABC)

0.25