De va DA Toan CD KD 2009

Tìm các giá trị của để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.. MN vuông góc với đường thẳng.[r]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO

ĐẲ

NG NĂM 2009

Mơn: TỐN; Khối: D

Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số y x= 3−(2m−1)x2+ −(2 m x) +2 (1), với tham số thực m Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m=2

2 Tìm giá trị để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số có hồnh độ dương

m (1) (1)

Câu II (2,0 điểm)

1 Giải phương trình (1 2sin ) cos+ x x= +1 sinx+cos x Giải bất phương trình x+ +1 x− ≤2 5x+1 (x∈\) Câu III (1,0 điểm)

Tính tích phân

2

( x ) x I =

∫

e− +x e dx Câu IV (1,0 điểm)

Cho hình chóp tứ giác S ABCD có AB a SA a= , = Gọi M N, trung điểm cạnh CD Chứng minh đường thẳng

P ,

SA SB MN vng góc với đường thẳng

Tính theo thể tích khối tứ diện

SP

a AMNP

Câu V (1,0 điểm)

Cho a b hai số thực thỏa mãn 0< < <a b Chứng minh a2lnb−b2lna>lna−ln b PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉđược làm một hai phần (phần A hoặc B) A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C( 1; 2),− − đường trung tuyến kẻ từ A đường cao kẻ từ B có phương trình 5x y+ − =9 x+3y− =5 Tìm tọa độ đỉnh A B

2 Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng qua điểm vng góc với hai mặt phẳng

,

Oxyz ( ) :P1 x+2y+3z+ =4

( ) : 3P x+2y z− + =1 ( )P A(1; 1; 1),

( )P ( )P2 Câu VII.a (1,0 điểm)

Cho số phức thỏa mãn z (1 ) (2+i −i z) = + + +8 i (1 ) i z Tìm phần thực phần ảo z B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ1:x−2y− =3 Tìm tọa độ điểm

2:x y Δ + + =0 M thuộc đường thẳng Δ1 cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ2

2⋅

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm Viết phương trình đường thẳng

(1; 1; 0), (0; 2; 1)

A B

(0; 2; 1)

G − Δ qua điểm vng góc với mặt phẳng C (ABC) Câu VII.b (1,0 điểm)

Giải phương trình sau tập hợp số phức: 4z 7i z i z i

− − = − −

- Hết -

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2009 Mơn: TỐN; Khối: D

(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM

Câu Đáp án Điểm

1 (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽđồ thị …

Khi m=2, hàm số (1) trở thành y= x3−3x2+2

• Tập xác định: \ • Chiều biến thiên:

- Ta có y' 3= x2−6 ;x y' 0= ⇔ =x x=2

- Hàm sốđồng biến khoảng (−∞;0) (2;+ ∞)

- Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2)

0,25

• Cực trị:

- Hàm sốđạt cực đại x=0, yCĐ = y(0) =

- Hàm sốđạt cực tiểu x=2, yCT = y(2) = −2 • Các giới hạn vơ cực: lim

x→−∞y= −∞ x→+∞lim y= + ∞

0,25

• Bảng biến thiên:

0,25

• Đồ thị

0,25

2 (1,0 điểm) Tìm giá trị m …

Ta có y' 3= x2−2 2

(

m−1

)

x+ −2 m

m thỏa mãn yêu cầu tốn phương trình có hai

nghiệm dương phân biệt

'

y = 0,25

2

' (2 1) 3(2 )

2(2 1)

2

0

m m

m S

m P

⎧

⎪Δ = − − − >

⎪

− ⎪

⇔⎨ = >

⎪

− ⎪

= >

⎪⎩

0,25

I

(2,0 điểm)

5

2 m

⇔ < < 0,50

x y

O

2

2 −2

x −∞ +∞

y' + − +

y +∞

Câu Đáp án Điểm

1 (1,0 điểm) Giải phương trình…

Phương trình cho tương đương với (sinx+1)(2sin 2x−1) II

= 0,50

• sinx= −1 π 2π ( )

2

x k k

⇔ = − + ∈]

(2,0 điểm)

0,25

• sin 2

x= π π

12

x k

⇔ = + 5π π ( ) 12

x= +k k∈] 0,25

2 (1,0 điểm) Giải bất phương trình …

Điều kiện: x≥2 0,25

Bất phương trình cho tương đương với (x+1)(x−2) 2≤ 0,25

2 x

⇔ − ≤ ≤ 0,25

Kết hợp điều kiện ta tập hợp nghiệm bất phương trình cho

[ ]

2; 0,25

1 1 1

0

0 0

1

1

x x x x x

I e dx xe dx e xe dx xe dx e

− −

=

∫

+

∫

= − +

∫

= − +

∫

0,25

Đặt u=x dv=e dxx , ta có du=dx v=ex 0,25

1

1

0

0

1

1 x x x

I xe e dx e e

e e

= − + −

∫

= − + − 0,25

III

(1,0 điểm)

1

e

= − ⋅ 0,25

Ta có MN CD// SP⊥CD, suy MN ⊥SP 0,50

IV

(1,0 điểm)

Gọi tâm cO đáy ABCD

Ta có 2

2

a SO= SA −OA = ⋅

1

4

AMNP ABSP S ABCD

V = V = V

1

8 48

a SO AB

= = ⋅

0,50

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ln2 ln2

1

a b

a + <b + ⋅ 0,25

Xét hàm số ( ) 2ln , (0; 1)

t f t t

t

= ∈

+ Ta có

2

2

1

( 1) ln

'( ) 0, (0; 1)

( 1)

t t t t

f t t

t

+ −

= > ∀

+ ∈

Do f t( ) đồng biến khoảng (0; 1)

0,50

V

(1,0 điểm)

Mà 0< < <a b 1, nên f a( )< f b( ) Vậy ln2 ln2

1

a b

a + <b + ⋅ 0,25

S

M N

A

B C

1 (1,0 điểm) Tìm tọa độ đỉnh A B …

Đường thẳng AC qua vng góc vC ới đường thẳng x+3y− =5

Do AC: 3x− + =y 0,25

Tọa độđiểm A thỏa mãn hệ (1; 4)

3

x y A x y + − = ⎧ ⇒ ⎨ − + = ⎩ 0,25

Điểm B thuộc đường thẳng x+3y− =5 trung điểm BC thuộc đường

thẳng 5x+ − =y Tọa độđiểm B thỏa mãn hệ

3

1 2 x y x y + − = ⎧ ⎪ − − ⎨ ⎛ ⎞ + − = ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ 0,25 (5; 0) B ⇒ 0,25

2 (1,0 điểm) Viết phương trình mặt phẳng (P) …

• (P1) có vectơ pháp tuyến n1=(1; 2; 3)

JJG

• (P2) có vectơ pháp tuyến n2=(3; 2; 1).−

JJG 0,25

• (P) có vectơ pháp tuyến JJGn =(4; 5; 2).− 0,25

VI.a

(2,0 điểm)

(P) qua A(1; 1; 1) nên ( ) : 4P x−5y+2z− =1 0,50 Hệ thức cho tương đương với (1+2 )i z= +8 i 0,25

2

z i

⇔ = − 0,50

VII.a

(1,0 điểm)

Do z có phần thực phần ảo −3 0,25

1 (1,0 điểm) Tìm tọa độđiểm M … (2 3; )

M∈ Δ ⇒M t+ t 0,25

Khoảng cách từ

M

đến Δ2 ( , 2) | 1|

t t

d M Δ = + + + ⋅ 0,25

2

( , )

d M Δ =

1 t t = − ⎡ ⎢ ⇔⎢ = − ⋅ ⎣ 0,25 Vậy M(1; 1)− 1;

3

M⎛⎜− − ⎞⎟

⎝ ⎠ 0,25

2 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng Δ …

Tọa độđiểm C thỏa mãn hệ

1 3 1 x y z + ⎧ = ⎪ ⎪ + ⎪ = ⎨ ⎪ + ⎪ = − ⎪⎩

⇒C( 1; 3; 4).− − 0,25

Ta có AB= −( 1; 1; 1), AG= −( 1; 1; 1).−

JJJG JJJG

0,25 Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến n =(1; 1; 0)

JJG

0,25

VI.b

(2,0 điểm)

Phương trình tham số đường thẳng Δ

Câu Đáp án Điểm

Điều kiện: z≠i

Phương trình cho tương đương với z2− +(4 )i z+ + =1 7i 0,25

VII.b

2

3 4i (2 i)

Δ = − = − 0,50

(1,0 điểm)

Nghiệm phương trình cho z= +1 2i z= +3 i 0,25