Bèn tia nµy t¹o thµnh hai ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau... TËp hîp ®iÓm lµ cung chøa gãc.[r]
(1)THCS Phan Chu Trinh Blog To¸n – tin häc
M H
K O
y z x
O
t' t
z' z
y'
y x'
x
Đôi nét toán tập hợp điểm 1. Định nghĩa tập hợp điểm
Một hình H đợc gọi tập hợp điểm (Quỹ tích) điểm M thoả mÃn tính chất T chứa chứa điểm có tính chất T
2. Phơng pháp giải toán tập hợp điểm
Để tìm tập hợp điểm điểm M có tính chất T ta làm theo bớc sau:
Bớc 1 Tìm cách giải
- Xác định yếu tố cố định không đổi
- Xác định điều kiện điểm M
- Dự đoán tập hợp điểm (vẽ số tr−ờng hợp để biết quỷ tích ú l ng thng,
đoạn thẳng, đờng tròn hay cung tròn)
Bớc 2 Trình bày cách giải
- Phần thuận Chứng minh điểm M có tính chất T thuộc hình H
- Giới hạn Căn vào vị trí đặc biệt điểm M, chứng tỏ M thuộc
phần B hình H (nếu đợc)
- Phần đảo Chứng minh điểm M’ thuộc hình B có tính chất T Các tập hp im c bn
1. Tập hợp điểm trung trực
Định lí:
Tập hợp điểm M cách hai điểm phân biệt A B cố định đ−ờng trung trực đoạn thẳng AB Gọi tắt tập hợp điểm đ−ờng trung trực
2. Tập hợp điểm tia phân giác
Định lí:
Tp hp điểm M nằm góc xoy khác góc bẹt cách hai cạnh góc tia phân giác góc xoy
Gäi t¾t tập hợp điểm tia phân giác . Hệ quả:
Tp hp điểm M cách hai đ−ờng thẳng xx yoy bốn tia phân giác bốn góc tạo thành Bốn tia tạo thành hai đ−ờng thẳng vng góc với
3. TËp hợp điểm hai đờng thẳng song song
Định lí:
Tp hp cỏc im M cách đ−ờng thẳng d khoảng cho tr−ớc khoảng a (a > 0) cho tr−ớc hai đ−ờng thẳng song song với đ−ờng thẳng cho cách đ−ờng thẳng một khoảng a
M
A B
x y a
a
M
(2)THCS Phan Chu Trinh Blog To¸n – tin häc
α α α α α
α α α
O' O
M' M
B A
B
M1
z
M
A O
x y
Gọi tắt tập hợp điểm hai đờng thẳng song song
4. Tập hợp điểm đờng thẳng song song
Định lí:
Tập hợp điểm M cách hai đ−ờng thẳng song song cho tr−ớc đ−ờng thẳng song song nằm cách hai đ−ờng thẳng
Gọi tắt tập hợp điểm một đờng thẳng song song
5. Tập hợp điểm đờng tròn
Định lÝ:
Tập hợp điểm M cách điểm O cho tr−ớc khoảng cách không đổi (R > 0) đ−ờng tròn tâm O bỏn kớnh R
Gọi tắt tập hợp điểm đờng tròn
6. Tập hợp điểm cung chứa góc
Định lí:
Tp hp cỏc im M nhìn đoạn thẳng AB cho tr−ớc góc AMB có số đo khơng đổi α (0 < α < 1800) hai cung chứa góc α dựng đoạn AB
Gäi t¾t tËp hợp điểm cung chứa góc
Hệ quả:
Tập hợp điểm M nhìn đoạn thẳng AB
cho trớcdới góc 900 là đờng tròn đờng kính AB
Một số toán quỹ tích bản.
1. Các toán quỹ tích đoạn thẳng, tia, đờng thẳng
Vớ d 1 Cho gúc vuông xOy cố định A điểm cố định tia Ox, B điểm chuyển động Oy Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB
Giải
a) Phần thuận
Góc xOy góc vuông nên ABO vuông O
M trung điểm AB nên OM trung tuyến Do OM = MA= MB
Suy MO = MA
Mà O A cố định nên M thuộc đ−ờng trung trực đoạn thẳng OA
b) Giíi h¹n
Khi B ≡ O M M1 ( M1 trung điểm đoạn OA)
Khi B chạy xa vô tận Oy M chạy xa vô tận tia M1z thuộc đờng trung trực đoạn thẳng OA
O R M
a d
d’ M
2 h
2 h
(3)THCS Phan Chu Trinh Blog To¸n – tin häc
x y
z
K
C1
C B
A H
O
Vậy điểm M chuyển động tia M1z đ−ờng trung trực đoạn thẳng OA nằm
trong góc xOy c) Phn o
Giả sử M điểm thuộc tia M1z Đờng thẳng AM cắt tia Oy B
Vì M thuộc đờng trung trực đoạn thẳng OA nên MO = MA ⇒ MAO = MOA (1)
Mặt khác OAB vuông O nên OBM + OAM = 90o (2)
vµ BOM + MOA =90o (3)
Tõ (1),(2) vµ (3) suy OBM = BOM ⇒ MB = MO
MO = MA vµ MB = MO ⇒ MB = MA
Do M trung điểm AB d) Kt lun
Tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB tia M1z thuộc đờng trung trực đoạn thẳng OA thuộc miền cđa gãc xOy
Ví dụ 2 Cho góc vng xOy, tia Ox lấy điểm A cố định, B điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp điểm C cho tam giác ABC vng cân C
Gi¶i
a) PhÇn thuËn
VÏ CH ⊥ Ox ( H ∈ Ox)
CK ⊥ Oy ( K ∈ Oy)
Xét hai tam giác vuông HAC KBC cã:
CA = CB (ABC vu«ng cân C)
ACH = BCK ( hai góc có cạnh t−ơng ứng vng góc) Do ∆ HAC = ∆KBC ( cạnh huyền , góc nhọn)
⇒CH = CK
Mà góc xOy cố định nên C thuộc đ−ờng phân giác góc xOy b) Giới hạn
Khi B ≡O th× C C
1(C1 thuộc OZ OA C1vuông cân C1)
Khi B chạy xa vô tận Oy C chạy xa vô tận tia C1z thuộc phân giác góc
vuông xOy
Vy điểm C chuyển động tia C1z thuộc phân giác góc vng xOy
c) Phần đảo
Gi¶ sữ C thuộc tia C1z Từ C vẽ đờng thẳng vuông góc với CA cắt tia Oy B
Gọi H K lần lợt chân đờng vuông góc hạ từ C xuống tia Ox vµ Oy
Ta cã CH = CK vµ HCK = 90o
Xét hai tam giác vuông HAC vµ ∆KBC cã:
CH = CK
ACH = BCK ( hai góc có cạnh t−ơng ứng vng góc) Do ∆ HAC = ∆KBC ( cạnh góc vng , góc nhọn)
⇒CA = CB
(4)THCS Phan Chu Trinh Blog To¸n – tin häc VËy tËp hợp điểm C tia C1z thuộc phân giác cđa gãc vu«ng xOy
VÝ dơ 3 Cho tam gi¸c ABC cã AB = cm, AC = cm, BC = cm Tìm tập hợp M cho diƯn tÝch tam gi¸c MBC b»ng diƯn tích tam giác ABC
Giải
a) Phần thuËn Tam gi¸c ABC cã: AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 = BC2
nªn ∆ABC vuông A
Do ú SABC =
AB.AC =
2
3.4 = cm2
Gọi MH đờng cao MBC
Vì SMBC = cm
2
Nên MH = BC
S∆ABC
×
2
=
5
2×
=
5 12
cm
Do M thuộc đ−ờng thẳng a a' song song với BC cách BC khoảng
5 12
cm b) Giíi h¹n
M điểm tuỳ ý hai đ−ờng thẳng a a' c) Phần đảo
Lấy điểm M đờng thẳng a hc a' VÏ MH⊥BC ⇒MH =
5 12
cm S∆MBC=
2
BC×MH =
2
.4.3 = cm2
Do S∆MBC = S∆ABC d) Kết luận
Vậy tập hợp điểm M hai đ−ờng thẳng a a' song song với đạon thẳng BC cách BC khoảng
5 12
cm
Ví dụ 4 Cho hai đ−ờng thẳng d d' song song với cách khoảng cm, Avà B điểm chuyển động d d' Tìm tập hợp trung điểm M ca AB
Giải
a) Phần thuËn
VÏ MH ⊥d ( H∈ d)
MK ⊥d' ( H∈ d')
Ta cã: MH ⊥d , d // d'(gt)
⇒MH ⊥d'
MH ⊥d' , MK ⊥d'
H, M , K thẳng hàng; HK = cm ∆AMH cã AH // BK (d // d')
⇒
MK MH
= MB MA
= ⇒ MH = MK
M H A
K B
d
d' a
cm 12
C M
H B
A
a' a
cm 12
5 cm
(5)THCS Phan Chu Trinh Blog To¸n – tin häc
I O
M
B A
C
D M
2
M1
D
Do MH = MK =
2 HK
= cm
d vµ d' song song với cách khoảng cm
Do M thuộc đ−ờng thẳng a song song nằm hai đ−ờng thẳng d d' cách đ−ờng thẳng d d' khoảng cm
a) Giíi h¹n
A chuyển động d, B chuyển động d’ nên M thuộc đ−ờng thẳng a b) Phần đảo
LÊy ®iĨm M thuộc đờng thẳng a Qua M kẻ đờng thẳng cắt d, d lần lợt A, B vÏ MH ⊥ d, MK ⊥ d’(H d, K ∈ d)
Ta có : H, M, K thẳng hàng vµ MH = MK = 2cm
∆AMK cã AH // BK (d // d’) ⇒
MB MA
= MK MH
=
⇒ MA = MB
Vậy M trung điểm AB c) Kết luận
Tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB đờng thẳng a song song nằm hai đờng thẳng d d cách đờng thẳng d d' khoảng b»ng cm
Ví dụ 5 Cho hình bình hành ABCD, điểm I chuyển động đ−ờng chéo AC M điểm đối xứng D qua I Tìm tập hợp điểm M điểm I chạy trờn on thng AC
Giải
a) Phần thuận
Gọi O giao điểm AC BD Ta có, O I trung điểm cạnh DB DM tam giác DBM Nên OI // MB
Đ−ờng thẳng AC cố định , điểm B cố định
Do M thuộc đ−ờng thẳng qua B song song cới AC b) Giới hạn
Khi I ≡A M ≡ M1(M1 đối xứng với D qua A)
Khi I ≡C M ≡M2(M2 đối xứng với D qua C)
Vậy M chuyển động đoạn thẳng M1M2 c) Phần đảo
Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng M1M2 DM cắt AC I
Tam giác DBM có OI // BM BO = DO nên ID = IM (I trung điểm BM)
D v M đối xứng qua I
d) KÕt luËn
Tập hợp điểm M điểm I chạy đoạn thẳng AC đoạn thẳng M1M2 thuộc
đờng thẳng qua B song song với AC
(6)THCS Phan Chu Trinh Blog To¸n – tin häc
a) PhÇn thuËn
Gäi E F trọng tâm ABM BCN
Ta cã EH =
3 MH = AB = AB : FK = NK = BC = BC : Mµ IP lµ đờng trung bình hình thang EFKH nên: IP = (EH+FK) = ( AB + BC ) = 12
(AB + BC) =
12 a
Do I nằm đ−ờng thẳng song song với AC cách AC khoảng
12 a
b) Giíi h¹n
Gọi G trọng tâm tam giác ACD
Khi B ≡C E ≡ G F ≡C I ≡ I2(I2 trung điểm GC)
Khi B ≡A E ≡ A F ≡G I ≡ I1(I1 trung điểm GA)
Vậy I nằm đoạn thẳng I1I2 thuộc đờng thẳng song song với AC cách AC
khoảng b»ng
12 a
c) Phần đảo
Già sử I điểm thuộc đoạn thẳng I1I2, Vẽ đoạn thẳng EF cho I trung ®iĨm cđa EF (E ∈ GA, F ∈ GC)
Đờng thẳng vuông góc với AC cắt AD CD M N, cắt AC H K Ta cã: = MH EH ; = NK FK
Do MH + NK = 3(EH + FK) = 6.I’P =
12 a = a
(IP ⊥AC)
Từ M vẽ MB//DC (B ∈AC)=> Tam giác AMB đều, mà MH ⊥AB nên E trọng tâm
=> MH = AB
2
Suy NK =
2 a - AB = BC
Mặt khác CK = NK.cotg C = BC
2 = BC
=> KB = KC => Tam giác BNC đều, mà MH ⊥AB nên F trọng tâm
d) Kết luận
Vậy tập hợp điểm I đoạn thẳng I1I2 thuộc đờng thẳng song AC cách AC mét
kho¶ng b»ng
(7)THCS Phan Chu Trinh Blog To¸n – tin häc
I
B
M
0 A
I
C B
A
2. Các toán quỹ tích cung tròn, đờng tròn
Ví dụ 7 Cho đ−ờng trịn tâm O bán kính R A điểm cố định nằm đ−ờng tròn, B điểm chuyển động đ−ờng trịn Tìm tập hợp trung điểm M AB
Gi¶i
a) PhÇn thuËn
Gọi I trung im ca OA I c nh
Điểm I M lần lợt trung điểm đoạn thẳng AO AB nên:
IM đờng trung bình tam gi¸c ABO
⇒MI =
2
OB =
2 R
MI =
2 R
không đổi I cố định Do M nằm đ−ờng trịn tâm I bán kính
2 R
b) Giíi h¹n
Điểm B chuyển động đ−ờng tròn (O; R) nên M chuyển động đ−ờng tròn (I;
2 R
) c) Phần đảo
Gi· sö M ∈(I;
2 R
) Trên tia đối tia MA lấy điểm B cho MB = MA Cần chứng minh điểm B ∈ (O; R)
ThËt vËy: M I lần lợt trung điểm của cạnh AB AO tam giác AOB nên IM đờng trung bình tam giác AOB
MI =
2
OB OB = OM = R
⇒ B thuéc ®−êng trßn ( O ; R)
d) KÕt luËn
Tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB đờng tròn (I;
2 R
) (I trung ®iĨm cđa OA)
Ví dụ 8 Cho tam giác ABC vng A, có cạch BC cố định Gọi I giao điểm ba đ−ờng phân giác Tìm tập hợp điểm I A thay i
(Bài 44 trang 86 SGK toán 9-T2)
Giải
a) Phần thuận
Ta cã BIC = 1800 – (IBC + ICB)
= 1800 –
2
(ABC + ACB) = 1800 –
2
900 = 1350
Điểm I nhìn đoạn BC cố định d−ới góc 1350 nên I nằm hai cung chứa góc 1350
(8)THCS Phan Chu Trinh Blog To¸n – tin häc
y
x A
C B
I'
x B1
D C
B A
d D
C B
A
b) Giíi h¹n
Vì ABC tam giác nên B C khơng thuộc quỹ tích nói c) Phn o
Già sử I điểm thuộc c4eung chứa góc 1350 dựng đoạn AB
VÏ tia Bx cho BI’ lµ tia phân giác CBx Vẽ tia Cy cho CI tia phân giác BCy Gọi A giao điểm Bx Cy
Ta có BIC = 1350
=> I’BC + I’CB = 1800 -1350= 450
Do ABC + ACB = 900 => BAC = 900
VËy tam gi¸c ABC vu«ng ë A d) KÕt luËn
Vậy quỹ tích điểm I hai cung chứa góc 1350 dựng đoạn AB trừ hai điểm B C Ví dụ 8 Cho đ−ờng trịn đ−ờng kính AB cố định C điểm đ−ờng tròn, dây AC kéo dài lấy điểm D cho CD = CB Tìm quỹ tích điểm D C chạy đ−ờng tròn cho
(Bài 36 trang 79 SBT toán 9-T2)
Giải
a) Phần thuận
Ta có ACB = 900 vµ CD = CB
=> tam giác vuông cân C => ADB = 450
Điểm D nhìn đoạn BC cố định d−ới góc 450 nên
D n»m trªn hai cung chøa góc 450 dựng đoạn AB
b) Giới hạn
Khi C A D B0(B0là giao điểm cung chứa góc 450 vad tia tiếp tuyến à A
nữa đờng tròn Khi C ≡ B th× D ≡ B
Do quỹ tích điểm D cung BB1
c) Phần đảo
Gi· sư D’ lµ mét điểm cung BB1, AD cắt đờng tròn đờng kính AB C Tam giác BCD vuông B, mà ADB = 450 nên tam giác BCD vuông cân B
=> CD = CB d) Kết luận
Vậy quỹ tích điểm D cung BB1 thuộc cung chứa góc 450 dựng đoạn AB nằm
cùng phía với đờng tròn ®−êng kÝnh AB
Ví dụ 7. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Một đ−ờng thẳng d quay quanh A nh−ng không cắt BC D điểm đối xứng B qua đ−ờng thẳng d Tìm tập hợp cỏc im D
Giải
a) Phần thuận:
Điểm D đối xứng với điểm B qua đ−ờng thẳng d nên A ∈ d => AD = AB, AB cố định
(9)THCS Phan Chu Trinh Blog To¸n – tin häc
x E
O
I D
C
B A
Khi đờng thẳng d chứa đoạn thẳng AB D B
Khi đờng thẳng d chứa đoạn thẳng AC D C
Vậy D’ chuyển động cung lớn BC đ−ờng trịn (A; AB) c) Phần đảo:
LÊy ®iĨm D’ cung lớn BC đờng tròn (A; AB) Ta cã AD = AB
=> D thuéc đờng trung trực d đoạn thẳng BD qua A d) Kết luận:
Tập hợp điểm D cung tròn AB đờng tròn (A; AB)
Vớ dụ 8 Cho AB dây cung cố định đ−ờng tròn (O; R), C điểm chuyển động cung lớn AB Trên tia CA lấy điểm D cho CD = CB Tìm tập hợp điểm D
Giải
a) Phần thuận:
Gọi I điểm cung nhỏ AB Xét ∆DCI vµ ∆BCI cã:
CD = CB (gt)
DCI = BCI ; CI chung Do ∆DCI = ∆BCI (c.g.c)
Suy ID = IB ( IB không đổi) Điểm I cố định
Vậy D thuộc đờng tròn (I; IB) b) Giới hạn:
Khi C A D E (E giao điểm
tiếp tuyến A với đờng tròn (O; R) đờng tròn (I; IB) )
Khi C ≡ B th× D ≡ B
Vậy D chuyển động cung ABE đ−ờng tròn (I; IB) c) Phần đảo:
LÊy ®iĨm D’ bÊt k× thc cung ABE cđa (I; IB) => ID = IB
Vẽ phân giác góc BID cắt (O; R) C Xét DCI BCI có:
ID’ = IB
DIC = BIC ( theo c¸ch vÏ ) CI chung
Do ∆DCI = ∆BCI (c.g.c) => DCI = BCI CD = CB
Mà BCI =
2
sđ BI => D’CB =
2
s® AB hay ACB =
2
sđ AB Do A, D, C thẳng hàng
d) KÕt luËn:
Tập hợp điểm D cung BAE đờng tròn (I; IB) ( I điểm cung nhá AB)
(10)THCS Phan Chu Trinh Blog Toán tin học
Bài tËp ¸p dơng.
1) Cho đ−ờng trịn (O), A điểm cố định nằm ngồi đ−ờng trịn (O) BOC đ−ờng kính quay quanh O Tìm tập hợp tâm I đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2) Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, Ax tiếp tuyến đờng tròn (O) C điểm
chuyển động đ−ờng tròn (O) qua C cắt Ax D Tìm tập hợp tâm I đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác ADC
3) Cho hai điểm cố định A B Tìm tập hợp tâm O đ−ờng tròn cho tiếp tuyến kẻ từ A B đến đ−ờng tròn có bán kính nhỏ
2 AB
có độ dài
4) Cho đ−ờng trịn (O; R) cố định, BC dây cung cố định, A điểm chuyển động cung lớn BC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC Tìm tập hợp điểm D
5) Cho AB dây cung cố định đ−ờng tròn cố định (O; R) M điểm chuyển động trờn
cung lớn AB H hình chiếu A phân giác Mx góc AMB Tìm tập hợp điểm H