Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 Mơn: TỐN; Khối A
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1 (1,0 điểm) Khảo sát… • Tập xác định: \
2
D= ⎧⎨− ⎫⎬ ⎩ ⎭ \
• Sự biến thiên: - Chiều biến thiên:
( )2
1
' 0,
2
y x
x
−
= < ∀
+ ∈ D
Hàm số nghịch biến trên: ; ⎛−∞ − ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
; ⎛− +∞⎞
⎝ ⎠
⎜ ⎟ - Cực trị: khơng có
0,25
- Giới hạn tiệm cận: lim lim
x→−∞y=x→+∞y= ; tiệm cận ngang:
y =
3
2
lim , lim
x x
y y
− +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
→ −⎜⎝ ⎟⎠ → −⎜⎝ ⎟⎠
= −∞ = +∞ ; tiệm cận đứng:
x = − 0,25
- Bảng biến thiên:
Trang 1/4
0,25
• Đồ thị:
0,25
2 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến…
Tam giác OAB vng cân O, suy hệ số góc tiếp tuyến ± 0,25 Gọi toạ độ tiếp điểm ( ; )x y , ta có: 0
0
1 1
(2x 3)
− = ±
+ ⇔ x = − 0 x = −0 0,25
• x = −0 1, y =0 1; phương trình tiếp tuyến y= − (loại) x 0,25
I (2,0 điểm)
• x = −0 2, y =0 0; phương trình tiếp tuyến y= − − (thoả mãn) x Vậy, tiếp tuyến cần tìm: y= − −x
x −∞
2
− +∞
y' − − y
1
−∞ +∞
1
y
x O
1
y =
3
x= −
(2)Trang 2/4
Câu Đáp án Điểm
1 (1,0 điểm) Giải phương trình… Điều kiện: sinx ≠ 1 sin
2
x ≠ − (*) 0,25
Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương: (1 2sin )cos− x x= 3(1 2sin )(1 sin )+ x − x
⇔ cosx− sinx=sin 2x+ cos 2x ⇔ cos cos
3
x π x π
⎛ + ⎞= ⎛ −
⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟⎠ 0,25
⇔
2
x= +π k π
18
x= − +π k π 0,25
Kết hợp (*), ta nghiệm: ( )
18
x= − +π k π k∈] 0,25
2 (1,0 điểm) Giải phương trình…
Đặt u=33x− 2 v= 6 ,− x v≥ (*) Ta có hệ: 0
3
2
5
u v
u v
+ = ⎧
⎨ + =8
⎩ 0,25
⇔
3
8
15 32 40
u v
u u u
− ⎧ = ⎪ ⎨
⎪ + − + =
⎩
⇔
2
3
( 2)(15 26 20)
u v
u u u
− ⎧ = ⎪ ⎨
⎪ + − + =
⎩
0,25
⇔ u= −2 v= 4(thoả mãn) 0,25
II (2,0 điểm)
Thế vào (*), ta nghiệm: x = −2 0,25
Tính tích phân…
2
5
0
cos cos
I xdx x
π π
=∫ −∫
III
dx 0,25
Đặt t sin ,x cos ; (1,0 điểm)
dt x
= = dx 0, 0; ,
2
x= t= x=π t=
( ) 1( )
2 2 2
5 2
1
0 0
2
cos sin cos
3 15
I xdx x xdx t dt t t t
π π
⎛ ⎞
= = − = − = −⎜ + ⎟ =
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
0,50
( )
2 2
2
0 0
1 1
cos cos sin
2 2
I x dx x dx x x
π π π
π
⎛ ⎞
= = + = ⎜ + ⎟ =
⎝ ⎠
∫ ∫ Vậy
8 15
I I= − =I −π 0,25 Tính thể tích khối chóp
(SIB) (⊥ ABCD) (SIC) (⊥ ABCD ;) suy SI⊥(ABCD) Kẻ IK BC⊥ (K BC∈ ) ⇒ BC⊥(SIK) ⇒ nSKI = 60 D
0,50
Diện tích hình thang ABCD : 3 2
ABCD
S = a
Tổng diện tích tam giác ABI CDI 2;
a suy 3
IBC a
SΔ =
0,25 IV
(1,0 điểm)
( )2 2
5
BC= AB CD− +AD =a ⇒
5
IBC
S a
IK BC
Δ
= = ⇒ tann 15
S
A B
5
a
SI IK= SKI=
Thể tích khối chóp S ABCD : 3
3 ABCD
a
5
SI
= =
V S
0,25 I
C
(3)Trang 3/4
Câu Đáp án Điểm
Chứng minh bất đẳng thức…
Đặt a x y b x z= + , = + c y z= +
Điều kiện (x x y z+ + =) 3yz trở thành: c2=a2+ −b2 ab.
a + +b abc≤ c a b c, ,
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
3 3 5 ; 3 dương thoả mãn điều kiện
0,25
2 2
c = + −a b ab = +(a b)2−3ab ( )2 3( )2
a b a b
≥ + − + = 1( )2
4 a b+ ⇒ a b+ ≤2c(1) 0,25
3 3 5
a + +b abc≤ c a b a+ ( + −b ab) 3+ abc≤5c3
⇔ ( ) 2 ⇔ (a b c+ ) 2+3abc≤5c3 ⇔ (a b c+ ) +3ab≤5c2
0,25 V
(1,0 điểm)
(1) cho ta: (a b c+ ) ≤2c2 )2 3 ;2
ab≤ a b+ ≤ c
3 ( từ suy điều phải chứng minh
Dấu xảy khi: a b c= = ⇔ x y z= = 0,25
1 (1,0 điểm) Viết phương trình AB
Gọi N đối xứng với M qua suy I, N(11; 1− N thuộc đường thẳng ) CD 0,25 VI.a
(2,0 điểm)
E ∈Δ ⇒ E x( ;5−x); IEJJG= −(x 6;3−x) JJJGNE= −(x 11;6−x)
E trung điểm CD ⇒ IE EN⊥
IE EN =
JJG JJJG
⇔ (x−6)(x−11) (3+ −x)(6− =x) ⇔ x = 6
x =
0,25
• x =6 ⇒ JJGIE =(0; ;− ) phương trình AB y: − = 0,25 • x =7 ⇒ IE =JJG (1; ;− ) phương trình AB x: −4y+ = 19 0,25 2 (1,0 điểm) Chứng minh ( )P cắt ( ),S xác định toạ độ tâm tính bán kính…
( )S có tâm I(1;2;3), bán kính R = 5
Khoảng cách từ đến I ( ) :P d I P =( ,( )) 4
3 R;
− − − = < suy đpcm 0,25
Gọi H tâm bán kính đường trịn giao tuyến, r
H hình chiếu vng góc I ( ) :P IH d I P= ( ,( ))=3, r= R2−IH2 = 4. 0,25
Toạ độ H=( ; ; )x y z thoả mãn:
1 2
2
x t
y t
z t
x y z
= + ⎧ ⎪ = − ⎪ ⎨ = − ⎪
⎪ − − − = . ⎩
0,25
Giải hệ, ta H(3; 0; 2) 0,25
Tính giá trị biểu thức…
36 36 ,i
Δ = − = z1= − + 3i z2 = − − i 0,25
VII.a (1,0 điểm)
2
1
| |z = −( 1) + =3 10 2
2
| |z = −( 1) + −( 3) = 10 0,50
M B
A
I
C
(4)Trang 4/4
Câu Đáp án Điểm
2
1
| | | | 20
A z= + z = 0,25
1 (1,0 điểm) Tìm m
( )C có tâm I − −( 2; 2), bán kính R = 0,25
Diện tích tam giác IAB: sinn
S = IA IB AIB ≤ 1;
2R = lớn S IA IB⊥ 0,25 Khi đó, khoảng cách từ đến I Δ: ( , )
2
R
d I Δ = = ⇔
2
2 2
1
m m
m
− − − +
=
+ 0,25
⇔ (1 4− m)2 = +1 m2 ⇔ m =0 15
m = 0,25
2 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm .M
2
Δ qua A(1;3; 1)− có vectơ phương u =G (2;1; 2).−
M ∈Δ ⇒ ( ; ; ).M − +t t − + t (2 ;3 ;8 ),
MA= −t −t − t ⎡MA u, ⎤ (8 14;20 14 ;t t t 4) JJJG
= − − −
⎣ ⎦
JJJG G
⇒ ⎡⎣MA uJJJG G, ⎤⎦ =3 29t2−88t+68.
0,25
Khoảng cách từ M đến Δ2: 2 ,
( , ) MA u 29 88 68
d M t t
u
⎡ ⎤
⎣ ⎦
Δ = = − +
JJJG G
G
Khoảng cách từ M đến ( ) :P ( )
( )2
2
1 12 18 11 20
,( )
3
1 2
t t t t
d M P = − + − + − − = −
+ − +
0,25
2 11 20
29 88 68
3
t
t − t+ = − ⇔ 35t2−88 53 0t+ = ⇔ 1t = 53. 35
t = 0,25
VI.b (2,0 điểm)
1
t = ⇒ M(0;1; 3);− 53 35
t = ⇒ 18 53 3; ; 35 35 35
M ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠ 0,25
Giải hệ phương trình… VII.b
Với điều kiện xy >0 (*), hệ cho tương đương:
2
2
2
x y xy
x xy y
⎧ + =
⎪ ⎨
− + =
⎪⎩ 0,25
(1,0 điểm)
2 4
x y y
= ⎧ ⎨ =
⎩
x y y
= ⎧ ⎨ = ± ⎩
⇔ ⇔ 0,50
( ; ) (2;2)x y = ( ; ) ( 2; 2).x y = − −
Kết hợp (*), hệ có nghiệm: 0,25