Gi¸o viªn thùc hiÖn... Ph¹m Anh TuÊn..[r]
(1)phơng pháp giải
Mt s dng phơng trình bậc cao A Đặt vấn đề
Việc dạy học sinh nắm vững kiến thức toán học việc quan trọng giáo viên dạy toán Tuy nhiên việc giúp em đào sâu kiến thức mảng kiến thức việc khơng phần quan trọng, dạy học tự chọn việc dạy theo chuyên đề tốt
Mặt khác chơng trình em kiến thức phơng trình phong phú gồm nhiều dạng phơng trình: nh phơng trình bậc nhất, bậc hai, phơng trình chứa dấu căn, phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Việc giải phơng trình bậc cao kỹ mà theo tơi em học sinh cịn yếu chọn chuyên đề vừa để giới thiệu với em số dạng phơng trình bậc để em biết cách giải chung
B Néi dung
I. Dang ph ơng trình đối xứng bậc bn.
1.Dạng tổng quát :
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = ( a0)
2 Đặc điểm: vế trái, hệ số số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối
3 VÝ dụ :
Giải phơng trình :
10x4 -27x3 - 110x2 -27x + 10 = 0 (1)
Gi¶i.
Nhận thấy x = không nghiệm phơng trình (1)
Chia c hai v (1) cho x2 đợc:
2
2
27 10 10x 27x 110
x x
Nhóm số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối thành tứng nhóm ta đợc:
2
1
10 x 27 x 110
x x
(2)Đặt ẩn phụ :
2
2
1
2
x y x y
x x
(3)
Thề vào (2) ta đợc:
10y2 - 27y – 130 = 0, cã nghiƯm lµ:
5 26 ,
2
y y
ThÕ giá trị y vào (3)
2
1
2 2
x x x
x
cã nghiÖm
1
; 2
x x
2
1 26
5 26 5
x x x
x
cã nghiÖm
1
; 5
x x
Vậy tập nghiệm phơng trình (1) :
1 ; 2; ;5 S
4 NhËn xÐt:
a) Về phơng pháp giải phơng trình đối xứng bậc Gồm bớc:
- Nhận thấy x = khơng nghiệm phơng trình (1) Chia hai vế (1) cho x2 Nhóm số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối thành tứng nhóm ta đợc phơng trình (2)
- Đặt ẩn phụ :
2
2
1
2
x y x y
x x
(3)Thề vào (2) Giải phơng trình trung gian ta tìm đợc y
- Thế giá trị y vào (3) ta tìm đợc x
Chó ý : x0 nghiệm (1)
1 x
b) Phơng trình đối xứng bậc năm
ax5+ bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = ( a0) *
có nghiệm x = -1 tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ phơng trình ( *) biến đỏi thành:
(x + 1)[ ax4 + (b – a)x3 +(c+a- b)x2 + (b-a)x + a] =
do chuyển giải phơng trình đối xứng bậc năm việcgiải ph-ơng trình đối xứng bậc
(3)a) 2x4 - 13x3 + 23x2 -13x + = 0 b) x4 - 10x3 + 11x2 - 10x + = 0 c) x4 - 3x3 + 6x2 - 3x + = 0
d) 3x5- 10x4 + 3x3 + 3x2 -10x + = 0 II.D¹ng ph ơng trình hồi quy.
1.Dạng tổng quát :
ax4 + bx3 + cx2 + mx + n = ( a0)
2 Đặc điểm:
2
n m
a b
Phơng trình đối xứng bậc trờng đặc biệt phơng trình hồi quy
3 VÝ dơ:
Gi¶i phơng trình :
x4 - 4x3 - 9x2 +8x + = 0 (1)
Gi¶i.
NhËn xÐt :
2
4
nªn phơng trình (1) phơng trình hồi quy.
Nhận thấy x = không nghiệm phơng tr×nh (1)
Chia hai vế (1) cho x2 đợc:
2
2
8
4
x x
x x
*Nhóm số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối thành tứng nhóm ta đợc:
2
4
4
x x
x x
Đặt ẩn phụ :
2
2
2
4
x y x y
x x
(3)
Thề vào (2) ta đợc:
y2 - 4y – 5= 0, có nghiệm là: y1 1,y2 Thế giá trị y vào (3)
2
2
1
x x x
x
(4)2
2
5
x x x
x
cã nghiÖm 3,4
5 33 x
Vậy tập nghiệm phơng trình (1) lµ :
5 33 1; 2;
2 S
4 NhËn xÐt:
a) Về phơng pháp giải phơng trình hồi quy tơng tự phơng trình đối xứng bậc khác bớc đặt ẩn phụ :
Đặt :
2
2
2
2
m m m
x y x y
bx b x b
5 Các tập áp dụng:
Giải phơng trình sau:
a) x4 + 5x3 + 10x2 +15x + = 0 b) x4 + 5x3 -14x2 - 20x + 16 = 0
III Dạng ph ơng trình:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (1) Đặc điểm: a + b = c + d a+c = b+d
1 VÝ dơ
Gi¶i phơng trình
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = -15 (1)
Gi¶i
Nhận xét: + = + 5, triển khai vế trái nh sau: (1) {(x + 1) (x + 7) }{(x + 3)(x + 5)} =-15
(x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) +15 = 0 (2) Đặt (x2 + 8x + 7) = y (3) vào (2) ta đợc: y(y +8) +15 = 0
y2 + 8y +15 = có nghiệm là: y1= -3; y= -5 giá trị vào (3) ta đợc:
x2 + 8x + = -3 cã nghiƯm lµ : x1,2 4
(5)VËy tập nghiệm phơng trình : S 2; 6; 6
2 Phơng pháp giải (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (1) * Viết phơng trình (1) dạng:
x a x c x b x d m
(2)
( nÕu a+c = b +d)
Triển khai tích đặt ẩn phụ hai biểu thức vừa triển khai
ThÕ Èn phơ vµo phơng trình (2), giải phơng trình, tìm giá trị cña Èn y
Thế giá trị ẩn y vào biểu thức đặt ẩn phụ để tìm ẩn x Các tập áp dụng:
Gi¶i phơng trình sau:
a) (x +2)(x + 5)(x – 6)(x – 9) = 280 b) (x - 4)(x - 5)(x – 6)(x – 7) = 1680 c) ( x2 + 7x + 12)(x2 – 15x +56) = 180
IV Dạng ph ơng trình:
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2 (1) Đặc điểm: ad = bc ab = cd
1 Ví dụ
Giải phơng trình
(x - 4)(x - 5)(x – 8)(x –10) = 72x2 Gi¶i
Nhận xét: (- 4)(- 10) = (-5)( -8) ta triển khai nh sau: x 4 x 10 x 5 x 8 72x2
(x2 -14x + 40) (x2 - 13x +40) = 72 x2 (2) Chia hai vế (2) cho x2 ta đợc
40 40
14 13 72
x x
x x
Đặt ẩn phụ trung bình cộng hai biểu thức ngoặc tức là:
27 40
x t
x
(6)ta đợc:
1 72 2
t t
cã nghiƯm lµ t1= 8,5; t2 = -8,5.
Thế giá trị t vào (3) ta đợc giá trị x1 = 2; x2 =20 Vậy tập nghiệm phơng trình là: S2; 20
2 Các tập áp dụng: Giải phơng tr×nh sau:
a) (x + 12)(x + 12 )(x + 15)(x + 18) = 2x2 b) (x - 90)(x - 35)(x + 18)(x + 7) = -1080x2
V.D¹ng ph ơng trình:
(x + a)4 + (x + b)4 = c Đối với dạng ta đặt ẩn phụ phụ :
a b x t 1 Ví dụ
Giải phơng tr×nh: (x + 3)4 + (x - 1)4 = 626 (1) Giải :
Đặt x +1 = y, phơng trình (1) trở thành: (y + 2)4 + (y - 2)4 = 626
( y4 + 8y3 + 24y2+ 32y + 16) +( y4 - 8y3 + 24y2 - 32y + 16) = 626
( y4 +24 y2- 297 = 0
Giải phơng trình đợc nghiệm x = 3± Từ tìm đợc x1 = 2; x2 = -4
2 Các tập áp dụng giải phơng trình sau:
a) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16 b) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1
c) (x + 1)4 + (x - 3)4 = 82 c) (x – 2,5)4 + (x – 1,5)4 = 1 d) (4- x)5 + (x - 2)4 = 32 e) (x - 1)5 + (x +3)5 = 242(x+ 1) Trên dạng phơng trình bậc cao tơi đa chuyên đề Rất mong đồng chí tổ đóng góp để chun đề tơi đợc tốt để góp phần nâng cao chất lợng đào to hc sinh trng
Tôi xin chân thành cảm ơn !
(7)