Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008
ĐỀ DỰ BỊ Môn thi: TOÁN, khối B
Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số yx33x23 (m m2)x1 (1), với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m=0
2 Tìm giá trị m để hàm số (1) có hai giá trị cực trị dấu
Câu II (2 điểm) Giải phương trình 2sin sin
3
x x
2 Giải phương trình 10x 1 3x5 9x4 2x2 (x )
Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(5 ; ; 3), B(6 ; ; 2) đường thẳng 1:
2
x y z
d
1 Viết phương trình đường thẳng d2đi qua hai điểm A B Chứng minh hai đường
thẳng d1 d2 chéo
2 Tìm điểm C thuộc d1 cho tam giác ABC có diện tích nhỏ Tính giá trị nhỏ
đó
Câu IV (2 điểm) Tính tích phân
0
4
x
I dx
x
2 Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức
yz x y z
x
Chứng minh 3
( )
6
x yz
PHẦN RIÊNG:Thí sinh làm câu : V.a V.b. Câu V.a Theo chương trình KHƠNG phân ban (2 điểm)
1 Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức
3
35 ( 1)( 2)
n n
A C
n n
(n ≥ ,
k k
n n
A C số chỉnh hợp, số tổ hợp chập k n phần tử) Hãy tính tổng
2 2
2 n n ( 1)n nn S C C n C
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với AB 5, ( 1; 1)C , đường thẳng AB có phương trình x + 2y – = trọng tâm tam giác ABC thuộc đường thẳng x + y – = Hãy tìm tọa độ đỉnh A B
Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm)
1 Giải phương trình 2 1
2
2 log (2x2) log (9 x1) 1.
(2)ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Mơn: TỐN, khối B ĐỀ DỰ BỊ I
Câu Nội dung Điểm
I 2,00
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1,00 điểm) Khi m=0 hàm số trở thành
3
yx x Tập xác định:
Sự biến thiên: ' '
3 ; 0
y x x y x x =
0,25
yCĐ = y(0) = -1, yCT = y(2) = -5 0,25
Bảng biến thiên:
0,25
Đồ thị:
0,25
2 Tìm giá trị m…(1,00 điểm)
Ta có y' 3x26x3 (m m2)3(xm x m)( 2) y' 0x m x = m +
2
( ) (1 )( 1), ( 2) (2 5)( 1)
y m m m m y m m m m
0,50
Hàm số có hai cực trị dấu m thỏa mãn hệ
( ) ( 2)
m m y m y m
Giải hệ ta giá trị cần tìm m
5
2
1 m m
0,50
II 2,00
1 Giải phương trình lượng giác…(1,0 điểm)
Phương trình cho tương đương với phương trình -5
-1
y
x x
' y y
+ +
0
-1
2
-5 -
(3)2
1 sin
sin cos sin cos
2
(sin cos )(1 sin )
x
x x x x
x x x
0,50
sin cos
3 x x tgx k
sin
2
x x k
Nghiệm phương trình cho là: ,
3
x k x k kZ
0,50
2 Giải phương trình vơ tỷ (1,00 điểm) Điều kiện:
3 x
Phương trình cho tương đương với
10x 1 2x2 9x4 3x5 (1)
Vì
3
x nên hai vế (1) dương Do đó:
(1)12x 1 (10x1)(2x2) 12x 1 (9x4)(3x5)
0,50
7 15 18
7
x x x hay x
Kết hợp với điều kiện ta nghiệm phương trình x =
0,50
III 2,00
1 Viết phương trình đường thẳng d2 qua…(1,00 điểm)
Đường thẳng d2 qua điểm A(5; 4; 3) có vectơ phương
AB
= (1; 3; -1) nên có phương trình
1
x y z
0,50
Đường thẳng d1 qua M(1; 2; 3), có vectơ phương u(2;3;1)
Ta có: u AB, ( 6;3;3) MA=(4; 2; 0).v
, 18 0,
u AB MA
suy d1 d2 chéo
0,50
2 Tìm điểm C thuộc d1…(1,00 điểm)
Gọi IJ đoạn vng góc chung d1 d2 (I d1, J d2) Ta có
I(1 + 2t; + 3t; + t), J(5 + s; + 3s; - s), (4 ; 3 ; )
IJ ts t s t s
0,25
IJ đoạn vng góc chung d1 d2 nên
2(4 ) 3(2 3 ) ( )
(4 ) 3(2 3 ) ( ) 0
IJ u t s t s t s t
t s t s t s s
IJ AB
Do đó: I(3; 5; 4), JA(5; 4; 3), IJ = 22 ( 1)2 ( 1)2
0,25
2 2
1 ( 1) 11
AB
2
1 1 66
( , ) 11
2 2
ABC
S AB d C d AB IJ (đvdt)
(4)66 ABC
S (đvdt) nhỏ nhất, đạt CI(3; 5; 4)
0,25
IV 2,00
1 Tính tích phân…(1,00 điểm) Đặt
2
4
4
t tdt
t x x dx Khi x = t = 1; x = t =
0,25
Do
3
1
3
3
1
8 24
t t t
I dt
0,50
11
0,25
2 Chứng minh bất đẳng thức (1,00 điểm) Ta có
2
2
( )
12 12( ) ( )
3 12
yz y z
x y z x y z x y z
x x
2
12 x 12 x
y z y z
0,50
2 3 x y z
Do 3( )
x yz (vì x, y, z dương)
0,50
V.a 2,00
1 Tính tổng (1,00 điểm) 3
35 35 30
( 1)( 2)
n n
A C n
n n n n 0,50
Ta có
(1 )n n n
n n n
x C C x C x
Lấy đạo hàm hai vế theo x ta
1
(1 )n n n nn x n x C C x nC x
Nhân hai vế với x lấy đạo hàm theo x ta
1 2 2
(1 )n ( 1)(1 )n n n nn n n x n n x xC C x n C x Thay x = -1 n = 30 vào đẳng thức ta
1 2 29 30
30 ( 1)2 30 ( 1) 30 C C n C
Do S 22C302 ( 1) 30n C2 3030 C301 30
0,50
2 Tìm tọa độ đỉnh A B (1,00 điểm)
Gọi I(x ; y) trung điểm AB G(xG ; yG) trọng tâm ABC
Do
3
CG CI nên 1;
3
G G
x y
x y Suy tọa độ điểm I thỏa
mãn hệ phương trình
2
(5; 1)
2
(5)5
2
AB
IAIB nên tọa độ điểm A, B hai nghiệm khác
của hệ 2 2
2
5
( 5) ( 1)
4
x y x
x y y
6
x y
Tọa độ điểm A, B là: 4; , 6;
2
0,50
V.b 2,00
1 Giải phương trình logarit (1,00 điểm) Điều kiện:
9 x
Phương trình cho tương đương với phương trình
2
2
2
2 2 2
log (2 2) log (9 1)
log (2 2) log (9 1) log log (2 2) log (18 2)
x x
x x x x
0,50
2
(2x 2) (18x 2) 2x 5x
x = x
Đối chiếu điều kiện suy nghiệm phương trình x = hay x
0,50
2 Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD…(1,00 điểm) Thể tích khối tứ diện SACD
3
1
3
SACD
a
V DA DC SA (đvtt)
0,50
Gọi M trung điểm SD Ta có OM//SB nên góc (SB;AC) = góc (OM; OC)
Tam giác vng SAB có SB SA2AB2 3a2a2 2a nên OM = a
Tương tự, SD = 2a MD = a CM = a Xét tam giác OMC, ta có
2 2
2
cos cos( , )
2 4
OM OC MC
COM SB AC
OM OC
Cosin góc SB, AC
0,50
A
O M
C
D
(6)Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu đáp án mà thì được đủ điểm
từng phần đáp án quy định.