Vì vaäy M khoâng ñaït giaù trò lôùn nhaát trong tröôøng hôïp naøy... GIAÛI ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI ...Buøi Vaên Chi ...[r]
(1)GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi 1 SỞ GD - ĐT BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP THCS NĂM HỌC 2005 – 2006
Đề thức Mơn TỐN – Bảng A
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18 – 03 – 2006
Câu (5 điểm)
Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc hệ đếm thập phân cho với n số nguyên lớn 2, ta có:
( )
2 abc n cba n
= −
= −
Câu (5 điểm)
Cho x3 + y3 + 3(x2 + y2) + 4(x + y) + = xy > Tìm giá trị lớn biểu thức: M = 1
x y+ Câu (5 điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên: 4y2 = + 199 x− 2−2x
Câu (5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông góc A, có góc Bɵ= 200 Kẻ phân giác BI, vẽ góc ACH = 30 0 phía tam giác (I ∈ AC, H ∈ AB)
Tính góc CHI
(2)GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi 2 LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP THCS NĂM HỌC 2005 – 2006 MƠN TỐN – BẢNG A – BÌNH ĐỊNH
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18 – 03 - 2006
Câu (5 điểm)
Tìm số tự nhiên có chữ số abc thoả mãn:
( )
2
abc n cba n
= −
= −
Từ điều kiện ta có: abc - cba = n2 – – (n – 2)2 ⇔
⇔ ⇔
⇔ 100a + 10b + c – (100c + 10b + a) = n2 – – (n2 – 4n + 4) ⇔
⇔ ⇔
⇔ 99(a – c) = 4n –
Vì n ∈ Z, n > neân 4n – > 4n – ⋮ 99 (3)
Ta có: 100 ≤ abc ≤≤≤≤999 ⇒ 100 ≤ n2 – ≤ 999 ⇒⇒⇒⇒ 101 ≤ n2 ≤ 1000 ⇒ 10 ≤ n ≤ 31
⇔ ⇔ ⇔
⇔ 40 ≤ 4n ≤ 124 ⇔⇔⇔⇔ 35 ≤ 4n – ≤ 119
Kết hợp với (3) ta suy 4n – = 99 ⇔⇔⇔⇔ n = 26
Khi abc = n2 – = 262 – = 675
và (n – 2)2 = (26 – 2)2 = 242 = 576 = cba : thoả điều kiện
Vậy số tự nhiên cần tìm 675 Câu (5 điểm)
Tìm giá trị lớn M = 1 x y+
Đặt s = x + y, p = xy Điều kiện để tồn số x, y s2 – 4p ≥
Ta coù M = x y xy
+
= s p
Khi điều kiện toán: x3 + y3 + 3(x2 + y2) + 4(x + y) + = (1), viết lại ⇔
⇔ ⇔
⇔ (x + y)3 – 3xy(x + y) + 3[(x + y)2 – 2xy] + 4(x + y) + = ⇔
⇔ ⇔
⇔ s3 – 3ps + 3s2 – 6p + 4s + = ⇔
⇔ ⇔
⇔ -3p(s + 2) + s3 + 3s2 + 4s + = ⇔
⇔ ⇔
⇔ -3p(s + 2) + (s+2)(s2 + s + 2) = ⇔
⇔ ⇔
⇔ (s + 2)(s2 + s + – 3p) =
+) Neáu s + = ⇔⇔⇔⇔ s = -2 M = s
p p
− =
Với điều kiện s2 – 4p ≥ 0, s = -2 ⇒ < p ≤ (do p = xy > 0)
Vì hàm số y = x
− đồng biến với x
≠ 0, nên nửa khoảng (0; 1] hàm số đạt giá trị lớn x =
Do Mmax =
1
−
= -2, x = y = -1
+) Neáu s ≠ -2, thi s2 + s + – 3p = ⇔⇔⇔⇔ p =
2
s s
3
(3)GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi 3 Khi M = s 2 3s
p s= + +s
Vì p > 0, s2 – 4p ≥ 0, nên để M có giá trị lớn s >
Ta coù M = 2 3s 32
s s s 1
s
=
+ + + +
Với s > s 2 s .2 2
s s
+ ≥ = Daáu “=” xaûy s = s
s⇒ = (vì s > 0) Do M ≤ 3 2 1( )
7 2
− =
+
Dấu “=” xảy s = , p = s2 s 2 2
3 3
+ + + + +
= =
Các giá trị s p không thoả điều kiện s2 – 4p ≥ 0, tức khơng có giá trị x, y tương ứng
Vì M khơng đạt giá trị lớn trường hợp Mặt khác, với s > 0, p > thoả điều kiện s2 – 4p
≥ M > Do giá trị M = -2 < x = y = -1 không
giá trị lớn M với giá trị x, y thoả mãn điều kiện (1) tốn
Tóm lại với giá trị x, y thoả mãn điều kiện (1) tốn biểu thức M = 1
x y+ không tồn giá trị lớn
Câu (5 điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên 4y2 = + 199 x− 2−2x (1)
Vì phương trình (1) có nghiệm nghuyên nên suy 199 – x2 – 2x = k2 (k ∈ Z) (2)
Vì 4y2 ⋮ 4 nên từ (1) suy k chẵn
Biến đổi: (2) ⇔ 200 – (x – 1) = k2 ⇔⇔⇔⇔ k2 + (x – 1)2 = 200 = + 196
Xét trường hợp:
+) k x 13
x 14
=
⇒ =
+ =
+) k 14 x x
=
⇒ =
+ =
+) k x 15
x 14
=−
⇒ =−
+ =−
+) k 14 x
x
=−
⇒ =−
+ =−
*) Với x = 13, thay vào (1), ta có: 4y2 = + 199 13− 2−2 13. = + = ⇒ y = ±
*) Với x = 1, ta có: 4y2 = + 199 1− −2 . = + 14 = 16 ⇒ y = ±
*) Với x = -15, ta có: 4y2 = + 199 15− 2−2.(−15) = + = ⇒ y = ±
*) Với x = -3, ta có: 4y2 = + 199 3− 2−2.(−3) = + 14 = 16 ⇒ y = ±
Tóm lại, phương trình cho có nghiệm ngun:
(4)GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Bùi Văn Chi 4 Câu (5 điểm)
Tính CHI
Tam giác ABC vuông A có Bɵ= 200 nên ACB = 70 0
Vì ACH = 30 0 neân BCH = 40 0
Vẽ phân giác CE góc BCH, cắt AB E Ta có: EBC ECB= = 200,
suy tam giác BCE cân E, EB = EC Kéo dài CE đoạn ED = CE,
ta có BE = EC = ED nên tam giác BCD vng B Khi ∆ BCD ∆ ABC (g.g)
⇒ BC CD
AB=BC ⇒ BC
2 = AB.CD = AB.2BE ⇒ 2BE BC
BC =AB (1) Theo tính chất đường phân giác tam giác, ta có:
BI phân giác ∆ ABC nên: IC BC
IA= AB (2) CE phân giác ∆ BCH nên: EH CH
EB=BC (3)
Mặt khác, ∆ ACH vuông A có góc ACH = 30 nên CH = 2AH
Từ (3) suy EH EB EH EB EH 2EB CH BC= ⇒ 2AH=BC⇒ AH= BC (4) Từ (1), (2), (4) suy IC EH
IA =AH Do HI // CE
⇒ CHI HCE = = 200 (so le trong)
Vaäy CHI = 200
10100
200
200 300 A
I
H
C E
D
B