Cho tam gi¸c ABC. VÏ EF vu«ng gãc AD. Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn cung nhá AB lÊy mét ®iÓm C. Tõ A vÏ tiÕp tuyÕn xy víi ®êng trßn. Trªn cung nhá AB lÊy mét ®iÓm M.. Gäi M lµ trung ®[r]
(1)Môc lôc
Môc lôc
Phần I: đại số
Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức 2
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa 2
Dạng 2: Biến đổi đơn giản cn thc 2
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán 3
Ch đề 2: Phơng trình bậc hai định lí Viét 6
Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai 6
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiƯm 6
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho tr-ớc 7
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm 8
Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trớc 9
D¹ng 6: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số 9
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số 10
Dạng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bậc hai 10
Chủ đề 3: Hệ phơng trình 13
HƯ hai phơng trình bậc hai ẩn: 13
Dng 1: Giải hệ phơng trình đa đợc dạng 13
Dạng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ 14
Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc 14
Một số hệ bậc hai đơn giản: 15
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I 15
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II 15
Dạng 3: Hệ bậc hai giải phơng pháp cộng đại số 16
Chủ đề 4: Hàm số đồ thị 18
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số 18
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng 18
Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng parabol 18
Chủ đề 5: Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình 19
Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, đờng sơng có tính n dũng nc chy) 19
Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi nớc) 19
Dng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm 19
Dạng 4: Toán có nội dung hình học 20
Dạng 5: Toán tìm số 20
Ch đề 6: Phơng trình quy phơng trình bậc hai 21
Dạng 1: Phơng trình có ẩn số mẫu 21
Dạng 2: Phơng trình chứa thức 21
Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyt i 21
Dạng 4: Phơng trình trùng phơng 21
Dạng 5: Phơng trình bậc cao 21
Phần II: Hình học 23
Ch 1: Nhn biết hình, tìm điều kiện hình 23
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm đờng tròn 23
Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng thẳng đồng quy 26
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định 27
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học 29
Chủ đề 6: Các tốn tính số đo góc số đo diện tích 29
Chủ đề 7: Tốn quỹ tích 30
Chủ đề 8: Một số toán mở đầu hình học khơng gian 31
Phần I: đại số Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức. Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa. Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thức sau) ¿ 1√3x−1 8¿ √x2+3¿2¿ √5−2x 9¿ √x2−2¿3¿
√7x−14 10¿ √x
2 −3x+7¿4¿ √2x−1 11¿ √2x2−5x+3¿5¿ √3− x √7x+2 12¿
1 √x2−5x +6 ¿6¿ √x+3 7− x 13¿
1 √x −3+ 3x √5− x¿7¿ √2x− x2 14¿ √6x−1+√x+3¿ Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức. Bài 1: Đa thừa số vào dấu a¿
5√ 3; b¿ x√
2 x(víi x>0); c¿ x√
2 5; d¿ (x −5)√ x 25− x2; e¿ x√
7
x2
(2)¿
0,4
√2−3√¿
a(√28−2√14+√7)⋅√7+7√8; d¿ √6+2√5+√6−2√5;¿b¿ (√8−3√2+√10)(¿; e) √11+6√2−√11−6√2¿c¿ (15√50+5√200−3√450):√10 ; f¿ √35√2+7−√3 5√2−7¿g¿ √320+14√2+3;√20−14√2 ; h¿ √326+15√3−√326−15√3¿ Bµi 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a¿ (2√3−√6 √8−2 −
√216
3 )⋅
1
√6 b¿
√14−√7 1−√2 +
√15−√5 1−√3 ¿:
1
√7−√5 c¿
√5−2√6+√8−2√15
√7+2√10 Bµi 4: Thùc hiƯn phÐp tÝnh
¿
6
√10−√¿
5 3−√¿
¿
5 3+√¿
a(4+√15)(¿√4−√15 b) (¿√3+√5+(√3−√5¿c) √3+√5−√3−√5−√2 d) √4−√7−√4+√7+√7¿e¿ √6,5+√12+√6,5−√12+2√6¿ Bài 5: Rút gọn biểu thức sau:
a
√7−√24+1−
1
√7+√24+1 b¿
√3
√√3+1−1−
√3
√√3−1+1¿c¿ √
5+2√6 5−√6 +√
5−2√6
5+√6 d¿ √
3+√5 3−√5+√
3−√5 3+√5 ¿ Bµi 6: Rót gän biĨu thøc:
¿
a6+2√5−√13+√48 b¿√4+√5√3+5√48−10√7+4√3¿ c¿
1+√2+
√2+√3+
√3+√4+ +
√99+√100¿
Bµi 7: Rót gän biĨu thøc sau:
¿
aa√b+b√a
√ab :
√a −√b, víi a>0, b>0 vµ a≠ b.¿b¿ (1+ a+√a
√a+1)(1−
a −√a
√a −1), víi a>0 vµ a≠1 ¿c¿
a√a −8+2a−4√a
a −4 ;¿d¿
2a−1⋅√5a
4
(1−4a+4a2)¿e¿
x2− y2⋅√
3x2
+6xy+3y2
4
Bài 8: Tính giá trị cđa biĨu thøc
¿
a=x2−3x√y+2y, x=
√5−2;y=
9+4√5¿b¿ B=x
3
+12x−8 víi x=√34(√5+1)−√34(√5−1);¿c¿ C=x+y , biÕt (x+√x2+3)(y+√y2+3)=3;¿d¿ D=√16−2x+x2+√9−2x+x2 , biÕt √16−2x+x2−√9−2x+x2=1.¿e¿ E=x1+y2+y1+x2 , biết xy+(1+x2)(1+y2)=a. Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán.
Bài 1: Cho biĨu thøc P= x −3 √x −1−√2 a) Rót gọn P
b) Tính giá trị P x = 4(2 - 3 ) c) Tính giá trị nhá nhÊt cđa P
Bµi 2: XÐt biĨu thøc A= a
+√a a −√a+1−
2a+√a √a +1
a) Rót gän A
b) Biết a > 1, so sánh A với |A| c) Tìm a để A =
d) T×m giá trị nhỏ A
Bài 3: Cho biÓu thøc C=
2√x −2− 2√x+2+
√x
1− x
a) Rót gän biĨu thøc C
b) Tính giá trị C với x=4
9
c) Tính giá trị x để |C|=1
3
Bµi 4: Cho biĨu thøc M= a
√a2− b2−(1+
a √a2− b2):
b a −√a2−b2
(3)b) TÝnh gi¸ trÞ M nÕu a
b=
3
c) Tìm điều kiện a, b để M <
Bµi 5: XÐt biĨu thøc
1− x¿2 ¿ ¿
P=(√x −2
x −1 − √
x+2
x+2√x+1)⋅¿
a) Rót gän P
b) Chøng minh r»ng nÕu < x < P > c) Tìm giá trị lơn cđa P
Bµi 6: XÐt biĨu thøc Q= 2√x −9
x −5√x+6− √x+3 √x −2−
2√x+1
3−√x
a) Rót gän Q
b) Tìm giá trị x để Q <
c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng Q số nguyên
Bµi 7: XÐt biĨu thøc H=( x − y √x −√y−
√x3−√y3 x − y ):
(√x −√y)2+√xy
√x+√y
a) Rót gän H
b) Chøng minh H ≥ c) So s¸nh H víi √H
Bµi 8: XÐt biĨu thøc A=(1+ √a
a+1):(
1
√a −1−
2√a
a√a+√a a 1) a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị a cho A >
c) Tính giá trị A a=200722006
Bµi 9: XÐt biĨu thøc M=3x+√9x−3
x+√x −2 −
√x+1 √x+2+
√x −2 1−√x
a) Rót gän M
b) Tìm giá trị ngun x để giá trị tơng ứng M số ngun
Bµi 10: XÐt biĨu thøc P=15√x −11
x+2√x −3+
3√x −2 1−√x −
2√x+3 √x+3
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị x cho P=1
2 c) So s¸nh P víi
3
Bài tập nhà: Bài 1: So sánh
a) vµ 2√3 b) - √5 vµ -2 c)
2√6 vµ √12
Bµi 2: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:
a) 3√5 ; √6 ; 29; b) √2 ; √38 ; √7 ; √14
Bài 3: Rút gọn biểu thức a) ab+ba
√ab :
√a −√b b) (1+ a+√a √a+1)(1−
a−√a
√a−1)
c) (
a −√a+
1
√a−1):
√a+1
a −2√a+1
Bµi 4: XÐt biĨu thøc A = (a√a −1
a−√a −
a√a+1
a+√a ): a+2
(4)a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên a để biểu thức A nhận giá trị ngun
Bµi 5: XÐt biĨu thøc B = a
√a2− b2−(1+ a √a2− b2):
b
a−√a2−b2 víi a > b >0
a) Rút gọn B b) Tìm giá trị B a = 3b
Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai định lí Viét. Dạng 1: Giải phng trỡnh bc hai.
Bài 1: Giải phơng tr×nh
1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ;
3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ;
5) x2 – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ;
7) x2 + 2
√2 x + = 3(x + √2 ) ; 8) √3 x2 + x + =
√3 (x + 1) ; 9) x2 – 2(
√3 - 1)x - 3 =
Bài 2: Giải phơng trình sau b»ng c¸ch nhÈm nghiƯm:
1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ;
3) x2 – (1 +
√3 )x + √3 = ; 4) (1 - √2 )x2 – 2(1 +
√2 )x + + √2 = ;
5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ;
7) ( √3 + 1)x2 + 2
√3 x + √3 - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ;
9) x2 – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = 0.
D¹ng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm. Bài 1: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm
1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ;
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ;
5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ;
7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m
=
(5)Bµi 2:
a) Chứng minh với a, b , c số thực phơng trình sau có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) =
b) Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c phân biệt phơng trình sau có hai nghiệm ph©n
biÕt:
x −a+
1
x − b+
1
x − c=0 (Èn x)
c) Chứng minh phơng trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = vô nghiệm với a, b, c độ
dµi ba cạnh tam giác
d) Chứng minh phơng trình bậc hai:
(a + b)2x2 (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3:
a) Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét c¸c phơng trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1)
bx2 + 2cx + a = (2)
cx2 + 2ax + b = (3)
b) Cho bốn phơng trình (ẩn x) sau:
x2 + 2ax + 4b2 = (1)
x2 - 2bx + 4a2 = (2)
x2 - 4ax + b2 = (3)
x2 + 4bx + a2 = (4)
Chøng minh r»ng phơng trình có phơng trình có nghiệm c) Cho phơng trình (ẩn x sau):
ax2−2b√b+c
b+c x+
1
c+a=0 (1)
bx2−2c√c+a c+a x+
1
a+b=0 (2)
cx2−2a√a+b
a+b x+
1
b+c=0 (3)
víi a, b, c số dơng cho trớc
Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm
Bài 4:
a) Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0.
Biết a ≠ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phơng trình cho cú hai nghim
b) Chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm nÕu mét hai
điều kiện sau đợc thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < ;
5a + 3b + 2c =
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc.
Bµi 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình: x2 – 3x – =
TÝnh:
A=x12+x22; B=|x1− x2|;
C=
x1−1 +
x2−1
; D=(3x1+x2) (3x2+x1);
E=x13+x23; F=x14+x24
Lập phơng trình bậc hai có nghiƯm lµ x
1−1
vµ
x2−1
Bµi 2: Gäi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình: 5x2 3x = Không giải phơng trình, tính
giá trị biểu thức sau:
A=2x133x12x2+2x233x1x22;
B=x1
x2+ x1 x2+1+
x2 x1+
x2 x1+1−(
1
x1−
1
x2)
2
; C=3x1
2+5x1x2+3x
22
4x1x22+4x
12x2
(6)
a) Gäi p q nghiệm phơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phơng trình hÃy
thành lập phơng trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm p
q −1 vµ
q p −1
b) Lập phơng trình bậc hai có nghiệm
10−√72 vµ 10+6√2
Bµi 4: Cho phơng trình x2 2(m -1)x m = 0.
a) Chứng minh phơng trình luôn cã hai nghiƯm x1 ; x2 víi mäi m
b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mÃn y1=x1+
1
x2 y2=x2+
1
x1
Bài 5: Không giải phơng tr×nh 3x2 + 5x – = H·y tÝnh giá trị biểu thức sau:
A=(3x12x2) (3x22x1); B= x1
x2−1 + x2
x1−1
; C=|x1− x2|; D=
x1+2
x1 + x2+2
x2
Bài 6: Cho phơng trình 2x2 4x – 10 = cã hai nghiÖm x
1 ; x2 Không giải phơng trình hÃy
thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 x1
Bài 7: Cho phơng trình 2x2 – 3x – = cã hai nghiÖm x
1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình Èn y
cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:
¿
a¿y1=x1+2¿y2=x2+2¿ b¿ ¿ ¿y1=
x12
x2 ¿y2=
x22
x1 ¿ ¿{¿
Bài 8: Cho phơng trình x2 + x = cã hai nghiÖm x
1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình ẩn y có
hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:
¿
a¿y1+y2=x1
x2+ x2
x1¿ y1
y2+ y2
y1=3x1+3x2¿ ; b¿ ¿ ¿y1+y2=x12+x22¿y12+y22+5x1+5x2=0 ¿ ¿{¿
Bài 9: Cho phơng trình 2x2 + 4ax a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiƯm x
1 ; x2 H·y lËp
ph-¬ng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả m·n:
y1+y2=
1
x1+
1
x2 vµ
1
y1+
1
y2=x1+x2
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm. Bài 1:
a) Cho phơng trình (m 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (Èn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + =
Tìm m để phơng trình có nghiệm
a) Cho phơng trình: (m 1)x2 2mx + m – = 0.
- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm
- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = 0.
Tìm a để phơng trình có hai nghim phõn bit
Bài 2:
a) Cho phơng tr×nh: 4x
2
x4+2x2+1−
2(2m−1)x
x2+1 +m
− m−6=0
Xác định m để phơng trình có nghiệm
b) Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xỏc nh m
phơng trình có nhÊt mét nghiÖm
Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trớc.
Bài 1: Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép
(7)7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị
nhá nhÊt
Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:
a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x
1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x
12 + x22) = 5x1x2
c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x
12 + x22) = 5x12x22
d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x
1x2 – 5(x1 + x2) + =
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:
a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x
1 – 3x2 =
b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x
1 = 3x2
c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x
1 + x2 + =
d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; x
1 = x22
e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x
1 = x22
f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x
12 + x2 =
Bµi 4:
a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để phơng
trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm
b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x ;
x2 cho biÓu thøc R=
2x1x2+3
x12+x
22+2(1+x1x2)
đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau
mx2 – (m + 3)x + 2m + = 0.
Bµi 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0).
Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2.
Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần đủ
để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) : kb2 = (k + 1)2.ac
Dạng 6: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai víi mét sè. Bµi 1:
a) Cho phơng trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để phơng trình có hai
nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n < x1 < x2 <
b) Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
phân biệt x1 ; x2 thoả mÃn: - < x1 < x2 <
Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1.
a) Chứng minh phơng trình f(x) = cã nghiƯm víi mäi m
b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn
Bµi 3: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Với giá trị tham số a, phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn –
Bài 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0.
a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ
Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 – mx + m = có nghiệm thoả mãn x
1 ≤ - x2
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phụ thuéc tham sè.
Bµi 1:
a) Cho phơng trình: x2 mx + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng
trình không phụ thuộc vào tham số m
b) Cho phơng trình bậc hai: (m 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi phơng trình có
nghim, hóy tỡm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m c) Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phơng trình có hai
nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí nghiệm đối
víi hai sè – vµ
Bµi 2: Cho phơng trình bậc hai: (m 1)2x2 (m – 1)(m + 2)x + m = Khi ph¬ng tr×nh cã
nghiƯm, h·y t×m mét hƯ thøc nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
Bài 3: Cho phơng trình: x2 2mx m2 – = 0.
a) Chøng minh r»ng phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 với mäi m
(8)c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn:
x1 x2
+x2
x1 =−5
2
Bài 4: Cho phơng trình: (m 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải biện luận phơng trình theo m
b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:
- Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m
- T×m m cho |x1 – x2| ≥
Bµi 5: Cho phơng trình (m 4)x2 2(m 2)x + m – = Chøng minh r»ng nÕu ph¬ng
tr×nh cã hai nghiƯm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + =
Dạng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bậc hai. Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị tham số để phơng trình có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghim ca phng trỡnh kia:
Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = (1)
a’x2 + b’x + c’ = (2)
trong hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m
Định m để cho phơng trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phơng trình (1), ta làm nh sau:
i) Gi¶ sư x0 nghiệm phơng trình (1) kx0 nghiệm phơng trình (2), suy
ra hệ phơng trình:
ax02+bx0+c=0
a'k2x
02+b'kx0+c'=0
(∗) ¿{
¿
Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số để tìm m
ii) Thay giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) (2) để kiểm tra lại
2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3)
a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4)
Hai phơng trình (3) (4) tơng đơng với hai phơng trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng)
Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với ta xét hai trờng hợp sau:
i) Trờng hợp hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tøc lµ:
¿
Δ(3)<0
Δ(4)<0 ¿{
¿
Giải hệ ta tịm đợc giá trị tham số
ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau:
¿
Δ(3)≥0
Δ(4)≥0
S(3)=S(4)
P(3)=P(4)
¿{ { { ¿
Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) đa hệ phơng trình bậc ẩn nh sau:
¿
bx+ay=−c
b'x+a'y=−c' ¿{
(9)Để giải tiếp toán, ta làm nh sau:
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - Tìm m thoả mãn y = x2.
- KiĨm tra l¹i kÕt qu¶
-Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0
4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0
Bài 2: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó:
a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.
b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = 0.
c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x = 0.
Bài 3: Xét phơng trình sau:
ax2 + bx + c = (1)
cx2 + bx + a = (2)
Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghiệm chung
Bµi 4: Cho hai phơng trình:
x2 2mx + 4m = (1)
x2 – mx + 10m = (2)
Tìm giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phơng trình (1)
Bµi 5: Cho hai phơng trình:
x2 + x + a = 0
x2 + ax + = 0
a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phơng trình tơng đơng
Bµi 6: Cho hai phơng trình:
x2 + mx + = (1)
x2 + 2x + m = (2)
a) Định m để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng
c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt
Bµi 7: Cho phơng trình:
x2 5x + k = (1)
x2 – 7x + 2k = (2)
Xác định k để nghiệm phơng trình (2) lớn gấp lần nghiệm phơng trình (1)
Bài Tập nhà Bài 1: Xác định m tìm nghim cũn li bit rng
a) Phơng trình 2x2- (m+3)x- 5m = cã mét nghiÖm b»ng 1
b) Phơng trình 4x2+ (2m+ 1)x- m2 = có mét nghiƯm b»ng -1
Bài 2: Tìm m để phơng trình sau khơng có nghiệm cho trớc đợc viết dấu ( ) a) 2x2+ (m- 2)x+ m- = ( x = 2)
b) mx2+ (5m- 2)x +1 = (x = 1)
Bài 3: Không giải pt , xét dấu nghiệm phơng trình
a) 3x2- 7x+ = b)5x2+ 3x- = c)2x2+ 13x+ = 0
d) 4x2- 8x +49 = e) 4x2-11x+ = 0
Bài 4: Tìm giá trị m để phơng trình sau có hai nghiệm trái dấu a) x2- 5mx+ 2m- = b) x2- 6x+ (7- m2) = 0
Bài 5: Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dấu, hai nghiệm mang dấu gì? a) x2- 5x+ m = b) mx2 + mx +3 = c) x2- 2mx+ (5m- 4) = 0
Bài 6: Tìm m để phơng trình
(10)b) 4x2+ 2x+ m- 1= cã hai nghiƯm ©m c) m2x2+ 2mx- = cã hai nghiƯm pb
Bài 7: Tìm m để phơng trình 2x2- 4x+5(m- 1) = có hai nghiệm phân biệt nhỏ 3
Bài 8: Cho pt ẩn x sau: x2- 2(m+ 4)x+ m2- = Định m để phơng trình có hai nghiệm x
1 vµ x2
sao cho
a) x1+ x2- 3x1x2 đạt GTLN b) x12+ x22- x1x2 đạt GTNN
Bµi 9: Cho pt x2- (2m+ 5)x- m2 = cã hai nghiÖm x
1, x2 Tìm m để
a) x1 x2 lớn -5 b) x1< < x2
Bµi 10: Cho pt: x2- 4x √3 + = có hai nghiệm x
1và x2 Không giải pt , hÃy tính giá trị
biểu thøc:
Q = 6x1
2+10x1x2+6x22
5x1x23+5x13x2
Bài 11: Tìm GTLN (nếu có) GTNN(nếu cã) cđa c¸c biĨu thøc sau:
a) P = x
2− x +1
x2−2x+3 b) Q =
4x −3
x2+1 c) E =
x2
+2x −1
x2−2x+3
Bµi 12:
Cho phơng trình x2- 2(m+1)x+ m- = (1)
1) Gi¶i pt m =
2) Chứng minh pt(1) ln có nghiệm với m 3) Tìm m để pt(1) có hai nghiệm trái dấu
4) Tìm m để pt(1) có hai nghiệm dấu? Khi hai nghiệm mang dấu 5) Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt cho x12+x22 = 22
6) T×m GTNN cđa x12x2+ x1x22
7) Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt tích hai nghiệm
8) Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm có nghiệm 9) Tìm m để pt(1) có nghiệm mà nghiệm gấp đơi nghiệm
10)Tìm m để pt(1) có nghiệm cho x1<1<x2
11)Chøng minh biÓu thøc A = x1(1-x2)+ x2(1- x1) không phụ thuộc vào giá trị m
Bài 13:
Cho phơng trình ax2+ 2bx+ c = (1); bx2 + 2cx + a = (2);
cx2+2ax+b = (3)
Trong a,b,c khác Chứng minh có pt có nghiệm
Bµi 14 :
a) Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn pt 3x2- 6x+ y- = cho y đạt giá tị lớn nhất
b)Tìm GTLN GTNN biÓu thøc P =
x −1¿2 ¿ ¿ ¿ c)T×m GTNN cđa biĨu thøc Q =
x+1¿2 ¿
x2 +x+1
¿
(11)Chủ đề 3: Hệ phơng trình.
A - HƯ hai phơng trình bậc hai ẩn:
Dng 1: Gii hệ phơng trình đa đợc dạng bản Bài 1: Giải hệ phơng trình
¿
1¿3x−2y=4¿2x+y=5¿; 2¿ ¿ ¿4x−2y=3¿6x−3y=5¿; 3¿ ¿ ¿2x+3y=5¿4x+6y=10¿ ¿ ¿4¿ ¿3x−4y+2=0¿5x+2y=14¿; 5¿ ¿ ¿2x+5y=3¿3x−2y=14¿; 4x6y=910x15y=18 { Bài 2: Giải hệ phơng trình sau:
1(3x+2) (2y3)=6xy(4x+5)(y −5)=4xy¿; 2¿ ¿ ¿(2x-3) (2y+4)=4x(y −3)+54¿(x+1) (3y−3)=3y(x+1)−12¿; ¿ ¿ ¿ ¿ 3¿ ¿2y-5x
3 +5=
y+27
4 −2x¿
x+1
3 +y=
6y−5x
7 ¿; 4¿ ¿ ¿
7x+5y-2
x+3y =−8¿
6x-3y+10
5x+6y =5¿ ¿ ¿{¿ ¿ Dạng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ
Giải hệ phơng trình sau
1¿
x+2y+
1
y+2x=3¿
4
x+2y−
3
y+2x=1¿; 2¿ ¿ ¿
3x
x+1−
2
y+4=4¿
2x
x+1−
5
y+4=9¿; 3¿ ¿ ¿
x+1
x −1+ 3y
y+2=7¿
2
x −1−
y+2=4¿;¿ ¿ ¿ ¿4¿ ¿2(x
−2x)+√y+1=0¿3(x2−2x)−2√y+1+7=0¿; 5¿ ¿ ¿5|x −1|−3|y+2|=7¿2√4x2−8x+4+5√y2+4y+4=13 ¿ ¿ ¿{¿ ¿
Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc Bài 1:
a) Định m n để hệ phơng trình sau có nghiệm (2 ; - 1)
¿
2mx−(n+1)y=m −n (m+2)x+3ny=2m−3
{
b) Định a b biết phơng tr×nh: ax2 - 2bx + = cã hai nghiƯm lµ x = vµ x = -2.
Bài 2: Định m để đờng thẳng sau đồng quy:
a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m –
b) mx + y = m2 + ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – 2.
Bài 3: Cho hệ phơng trình
mx+4y=10m
x+my=4
(m lµ tham sè)
¿{
a) Giải hệ phơng trình m = 2
b) Giải biện luận hệ theo m
c) Xác định giá tri nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y > d) Với giá trị ngun m hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên dơng
e) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho S = x2 – y2 đạt giá trị nhỏ (câu hỏi
t¬ng tù víi S = xy)
f) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm M(x ; y) ln nằm đ-ờng thẳng cố định m nhận giá trị khác
Bài 4: Cho hệ phơng trình:
(m−1)x −my=3m−1
2x− y=m+5 ¿{
¿
a) Giải biện luận hệ theo m
b) Với giá trị nguyên m hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y < c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
d) Xác định m để hệ có nghiệm (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = (Hoặc: cho M (x ;
y) n»m trªn parabol y = - 0,5x2).
e) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm D(x ; y) luôn nằm đờng thẳng cố định m nhận giá trị khác
Bài 5: Cho hệ phơng trình:
x+my=2
mx−2y=1 ¿{
¿
(12)b) Tìm số ngun m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x > y <
c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x, y số nguyên d) Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn
B - Một số hệ bậc hai đơn giản: Dạng 1: Hệ đối xứng loại I Ví dụ: Giải hệ phơng trình
¿
x+y+xy=11
x2+y2+3(x+y)=28
{
Bài tập tơng tự:
Giải hệ phơng trình sau:
1x2+y2+x+y=8x2+y2+xy=7 2¿ ¿ ¿x2+xy+y2=4¿x+xy+y=2¿ ¿ ¿3¿ ¿ ¿xy+x+y=19¿x2y+xy2=84¿ 4¿ ¿ ¿x2−3xy+y2=−1¿3x2−xy+3y2=13¿ ¿ ¿5¿ ¿ ¿(x+1) (y+1)=8¿x(x+1)+y(y+1)+xy=17¿ 6¿ ¿ ¿(x2+1)(y2+1)=10¿(x+y)(xy−1)=3¿ ¿ ¿7¿ ¿ ¿x+xy+y=2+3√2¿x2+y2=6¿ 8¿ ¿ ¿x2+xy+y2=19(x − y)2¿x2−xy+y2=7(x − y)¿ ¿ ¿9¿ ¿ ¿(x − y)2−(x − y)=6¿5(x2+y2)=5xy¿ 10¿ ¿ ¿ ¿{¿ ¿
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II Ví dụ: Giải hệ phơng trình
¿
x3+1=2y
y3+1=2x ¿{
¿ Bµi tập tơng tự:
Giải hệ phơng trình sau:
¿
1¿x2+1=3y¿y2+1=3x¿ 2¿ ¿ ¿x2y+2=y2¿xy2+2=x2¿ ¿ ¿3¿ ¿ ¿x3=2x+y¿y3=2y+x¿ 4¿ ¿ ¿x2+xy+y=1¿x+xy+y2=1¿ ¿ ¿5¿ ¿ ¿x2−2y2=2x+y¿y2−2x2=2y+x¿ 6¿ ¿ ¿x −3y=4 y
x¿y −3x=4 x
y ¿ ¿¿7¿ ¿ ¿2x+
1
y=
3
x¿2y+
1
x=
3
y¿ 8¿ ¿ ¿x
3
=3x+8y¿¿{¿ ¿ ¿
9¿x2−3x=y¿y2−3y=x¿ 10¿ ¿ ¿x3=7x+3y¿y3=7y+3x¿ ¿{¿
Dạng 3: Hệ bậc hai giải phơng pháp hoc cng i s
Giải hệ phơng trình sau:
¿
1¿x+y −1=0¿x2+xy+3=0¿ 2¿ ¿ ¿x2−xy− y2=12¿xy− x2+y2=8¿ ¿ ¿3¿ ¿ ¿2 xy− x2+4x=−4¿x2−2 xy+y −5x=4¿ 4¿ ¿ ¿x+2y+2 xy−11=0¿xy+y − x=4¿ ¿ ¿5¿ ¿ ¿2(x+y)2−3(x+y)−5=0¿x − y −5=0¿ 6¿ ¿ ¿5(x − y)2+3(x − y)=8¿2x+3y=12¿ ¿ ¿7¿ ¿ ¿x −2y+2=0¿2y − x2=0¿ 8¿ ¿ ¿x2− y=0¿x − y+2=0¿ ¿ ¿9¿ ¿ ¿x2+y2−2 xy=1¿2x2+2y2−2 xy− y=0¿ 10¿ ¿ ¿2x−3y=5¿x2− y2=40¿ ¿ ¿11¿ ¿¿3x+2y=36¿(x −2) (y −3)=18¿ 12¿ ¿ ¿xy+2x− y −2=0¿xy−3x+2y=0¿ ¿ ¿13¿ ¿ ¿xy+x − y=1¿xy−3x+y=5¿ 14¿ ¿ ¿x2+y2−4x−4y−8=0¿x2+y2+4x+4y−8=0¿ ¿ ¿{¿ ¿
Bµi tËp vỊ nhµ Bµi 1: Giải pt sau
a) x2- 2(1+3)x+23=0 b) (x2- 5x)2- 30(x2- 5x) + 216 = 0
c) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = 360 d) x −13+
x −2=
x −4
Bµi 2: Cho hÖ pt: {mxx+−my2y=2
=1 a) Gi¶i hƯ pt m =
a) Tìm m để hệ pt có nghiệm
b) Tìm m để hệ pt có nghiệm cho x+ y >
Bài 3: Tìm m Z để hệ pt ẩn x y sau có nghiệm nguyên mà x > 0; y > {32x −x+2y=y m
=5
Bµi 4: Cho hai pt: x2 + (m- 1)x +m2 = vµ -x2- 2mx + m = Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét
trong hai pt cã nghiÖm
Bài 5: Tìm m để hai pt x2+ mx +1 = x2- (m+1)x- 2m = có nghiệm chung.
Bµi 6: Cho pt x2- 2(m- 1)x- 2m + = 0
a) Tìm điều kiện để pt có nghiệm x1 x2
(13)Bài 7 Cho pt: x2+ mx- = Tìm m để tổng bình phơng nghiệm 11
Chủ đề 4: Hàm số đồ thị Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y = 2x – ; b) y = - 0,5x +
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: a) a = ; b) a = - 1.
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết:
a) (d) ®i qua A(1 ; 2) vµ B(- ; - 5)
b) (d) qua M(3 ; 2) song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5 c) (d) qua N(1 ; - 5) vng góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x + d) (d) qua D(1 ; 3) tạo với chiều dơng trục Ox góc 300.
e) (d) qua E(0 ; 4) đồng quy với hai đờng thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x điểm
g) (d) qua K(6 ; - 4) cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài)
Bài 2: Gọi (d) đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – với k tham số a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6)
b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vng góc với đờng thẳng x + 2y =
d) Chứng minh khơng có đờng thẳng (d) qua điểm A(-1/2 ; 1)
e) Chứng minh k thay đổi, đờng thẳng (d) qua điểm cố định
Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng parabol Bài 1:
(14)b) Gọi A B hai điểm lần lợt (P) có hồnh độ lần lợt - Tìm toạ độ A B từ suy phơng trình đờng thẳng AB
Bµi 2: Cho hµm sè y=−1
2x
2
a) Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) tiếp xúc với (P)
Bài 3:
Trong hệ trục vuông gãc, cho parabol (P): y=−1
4x
2
đờng thẳng (D): y = mx - 2m - a) Vẽ độ thị (P)
b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P)
c) Chứng tỏ (D) qua điểm cố định A thuộc (P)
Bµi 4: Cho hµm sè y=−1
2x
2
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Trên (P) lấy hai điểm M N lần lợt có hồnh độ - 2; Viết phơng trình đờng thẳng MN
c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đ ờng thẳng MN cắt (P) điểm
Bµi 5:
Trong hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) đờng thẳng (D): y = kx + b.
1) Tìm k b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) B(0; - 1) 2) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc câu 1) 3)Vẽ (D) (P) vừa tìm đợc câu 1) câu 2)
4) Gọi (d) đờng thẳng qua điểm C(3
2;−1) vµ cã hƯ sè gãc m a) ViÕt phơng trình (d)
b) Chng t rng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) vng góc với
Chủ đề 5: Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình. Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, đờng sơng có tính đến dịng nớc chảy) Bài 1:
Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu
Bµi 2:
Một ngời xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trớc Sau đợc
3 quãng đờng AB ngời tăng vận tốc thêm 10 km/h quãng đờng cịn lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đờng, biết ngời đến B sớm dự định 24 phút
Bµi 3:
Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngợc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nớc km/h vận tốc riêng canô lúc xuôi lúc ngợc bng
Bài 4:
Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngợc 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều thời gian ngợc dòng vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi lúc ngợc dòng
Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi nớc) Bài 1:
Hai ngi th làm chung công việc 12 phút xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm hai ngời làm đợc
4 công việc Hỏi ngời làm cơng việc xong?
(15)Nếu vịi A chảy vòi B chảy đợc
5 hồ Nếu vịi A chảy vòi B chảy 30 phút đợc
2 hå Hái nÕu chảy mỗI vòi chảy
bao lâu đầy hồ
Bài 3:
Hai vòi nớc chảy vào bể sau đầy bể Nếu vòi chảy cho đầy bể vòi II cần nhiều thời gian vòi I Tính thời gian vòi chảy đầy bể?
Dng 3: Toỏn liờn quan đến tỉ lệ phần trăm. Bài 1:
Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy?
Bµi 2:
Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu ngời Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 ngời Tính số dân tỉnh năm ngoái năm nay?
Dạng 4: Toán có nội dung hình học. Bài 1:
Mt khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng m Tính kích thớc vờn, biết đất lại vờn để trồng trọt 4256 m2.
Bµi 2:
Cho mét hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2 Tính
chiều dài, chiều rộng ban đầu
Bài 3:
Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vuông lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2 Tính hai cạnh góc
vuông
Dạng 5: Toán tìm số. Bài 1:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị
Bµi 2:
Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số đợc thơng số d
Bµi 3:
Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đơi mẫu số thêm giá trị phân số
4
NÕu tử số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số
24 Tỡm phõn s ú
Bài 4:
Nếu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử mẫu, phân số tăng
2 Tìm phân số
Bµi tËp vỊ nhµ
Bµi 1: Mét thun khëi hµnh tõ bÕn A Sau 5h 20 phút ca nô chạy từ A đuổi theo kịp
thuyn ti mt địa điểm cách A 20 km Tính vận tốc ca nô, biết ca nô nhanh thuyền 12km/h.( coi vận tốc dịng nớc khơng đáng kể)
(16)Bài 3: Hai vật chuyển động đờng trịn có đờng kính 20m, xuất phát lúc từ điểm Nếu chuyển động ngợc chiều hai giây gặp Nếu chuyển động chiều 10 giây lại gặp nhau.Tính tc mi vt
Bài 4: Một ca nô xuôi 42 km ngợc dòng trở lại 20 km hÕt tỉng céng 5h BiÕt vËn tèc dßng
n-ớc km/h Tính vận tốc ca nô nn-ớc yên nặng
Bi 5: Mt hỡnh chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm lối quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng 2m, diện tích cịn lại để trồng trọt 4256 m2 Tính kích thớc vờn.
Chủ đề 6: Phơng trình quy phơng trình bậc hai. Dạng 1: Phng trỡnh cú n s mu.
Giải phơng trình sau:
a x
x −2+
x+3
x −1=6¿b¿ 2x−1
x +3=
x+3
2x−1 ¿c¿
t2 t −1+t=
2t2+5t
t+1
Dạng 2: Phơng trình chứa thức.
Loại A=B
A 0 (hayB≥0)
A=B ¿
Lo¹i √A=B⇔
B ≥0
A=B2 {
Giải phơng tr×nh sau:
¿
a√2x2−3x−11=√x2−1 b¿ √(x+2)2=√3x2−5x+14¿c¿ √2x2+3x−5=x+1 d¿ √(x −1)(2x−3)=− x −9¿e¿ (x −1)√x2−3x¿ Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Gi¶i phơng trình sau:
a|x 1|+x2=x+3 b |x+2|2x+1=x2+2x+3c |x4+2x2+2|+x2+x=x44x d |x2+1|x24x+4=3x Dạng 4: Phơng trình trùng phơng.
Giải phơng trình sau:
a) 4x4 + 7x2 – = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0;
c) 2x4 + 5x2 + = ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – = 0.
D¹ng 5: Phơng trình bậc cao.
Gii cỏc phng trỡnh sau cách đa dạng tích đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai:
Bµi 1:
a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + = ;
c) x4 + x3 – 2x2 – x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2.
Bµi 2:
a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 0
Bµi 3:
a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0
b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = 0
c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1
d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0
Bài tập nhà:
Giải phơng trình sau:
1 a ¿ 2(x −1)+
3
x2−1=
1
4 b¿ 4x
x+1+
x+3
x =6¿ c¿
2x+2
4 − x=
x −2
x −4 d¿
x2+2x−3
x2−9 +
2x2−2
x2−3x
(17)2
a) x4 – 34x2 + 225 = 0 b) x4 – 7x2 – 144 = 0
c) 9x4 + 8x2 – = 0 d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0
e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = (a ≠ 0)
3
a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = 0
b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = 0
c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2
d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = 0
e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = 0
4
a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0 b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = 0
c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0 d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0
5
a) x3 – x2 – 4x + = 0 b) 2x3 – 5x2 + 5x – = 0
c) x3 – x2 + 2x – = 0 d) x3 + 2x2 + 3x – = 0
e) x3 – 2x2 – 4x – = 0
6
a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0 b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 0
c) x2 – 4x – 10 - 3
√(x+2) (x −6) = d) (2xx−1 +2 )
2
−4(2x−1
x+2 )+3=0
e) √x+√5− x+√x(5− x)=5
7
a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5
c) 3(x2+
x2)−16(x+
1
x)+26=0 d) 2(x
2
+
x2)−7(x −
1
x)+2=0
8
¿
a√x2−4x
=√x+14 b¿ √2x2+x −9=|x −1|¿c¿ √2x2+6x+1=x+2 d¿ √x3+3x+4=x −2¿e¿ √4x2−4x+1+x −2=x2−3 f¿ |x3+x2−1|=x3+x+1¿
9 Định a để phơng trình sau có nghiệm
a) x4 – 4x2 + a = b) 4y4 – 2y2 + – 2a = 0
c) 2t4 – 2at2 + a2 = 0.
Phần II: Hình học
Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình. Bài 1:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O D E lần lợt điểm cung AB AC DE cắt AB I cắt AC L
a) Chøng minh DI = IL = LE
b) Chứng minh tứ giác BCED hình chữ nhật
c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình
Bài 2:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn có đờng chéo vng góc với I
a) Chứng minh từ I ta hạ đờng vng góc xuống cạnh tứ giác đờng vng góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh
b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác cho Chứng minh MNRS hình chữ nhật
c) Chứng minh đờng trịn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đờng vng góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác
(18)Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH đờng cao Hai đờng trịn đờng kính AB AC có tâm O1 O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đờng tròn (O1) (O2) lần lợt M
N
a) Chứng minh tam giác MHN tam giác vuông b) Tứ giác MBCN hình gì?
c) Gọi F, E, G lần lợt trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách điểm E, G,
A, H
d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A E vạch đờng nh nào?
Bµi 4:
Cho hình vng ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng trịn phía hình vng.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng trịn phía hình vuông Gọi P điểm tuỳ ý cung AC ( không trùng với A C) H K lần lợt hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đờng tròn lần lợt I M
a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH
d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang c©n
đ) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm một đờng trịn.
Bµi 1:
Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) lần lợt điểm E, F Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF
a) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' thuộc đờng tròn
c) Kéo dài AB phía B đoạn CB = AB Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp
Bài 2:
Cho tam giác ABC Hai đờng cao BE CF cắt H.Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc đờng trịn.Xác định tâm O đờng trịn
b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) điểm thứ I Chứng minh điểm A, I, F, H, E nằm đờng trịn
Bµi 3:
Cho hai đờng trịn (O) (O') cắt A B Tia OA cắt đờng tròn (O') C, tia O'A cắt đờng tròn (O) D Chứng minh rằng:
a) Tø gi¸c OO'CD néi tiÕp
b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ suy năm điểm O, O', B, C, D nằm đờng trịn
Bµi 4:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC BD cắt E Vẽ EF vng góc AD Gọi M trung điểm DE Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đợc b) Tia CA tia phân giác góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc
Bµi 5:
Từ điểm M bên ngồi đờng trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD AB, CE MA, CF MB
Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc
b) CD2 = CE CF
c)* IK // AB
Bµi 6:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn Vẽ hai đờng cao BD CE
a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đờng tròn b) Chứng minh xy// DE, từ suy OA DE
Bµi 7:
(19)a) Chứng minh tam giác AMN tam giác b) Chứng minh MA + MB = MC
c)* Gäi D lµ giao điểm AB CM Chứng minh rằng:
AM+
1
MB=
1 MD
Bµi 8:
Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A C Một đờng tròn (O) thay đổi qua B C Vẽ đờng kính MN vng góc với BC D ( M nằm cung nhỏ BC).Tia AN cắt đờng tròn (O) Tại điểm thứ hai F Hai dây BC MF cắt E Chứng minh rằng:
a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc b) AD AE = AF AN
c) Đờng thẳng MF qua điểm cố định
Bµi 9:
Từ điểm A bên ngồi đờng trịn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Gọi M trung điểm AB Tia CM cắt đờng tròn điểm N Tia AN cắt đờng tròn điểm D
a) Chøng minh r»ng MB2 = MC MN
b) Chøng minh r»ng AB// CD
c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi Tính diện tích cử hình thoi
Bµi 10:
Cho đờng trịn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đờng kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đờng tròn (O) C
a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp đợc
b) Chứng minh tích MC MD có giá trị không đổi D di động dây AB c) Gọi O' tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD
Chøng minh r»ng MAB =
2 AO'D
d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD
Bµi 11:
Cho tam giác ABC vng A ( AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB Vẽ CE vng góc với AD ( E AD)
a) Chứng minh AHEC tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE
d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA CH cung nhỏ AH đờng trịn nói biết AC= 6cm, ACB = 300.
Bµi 12:
Cho đờng trịn tâm O có đờng kính BC Gọi A Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D điểm thuộc bán kính OC Đờng vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F
a) Chøng minh r»ng ADCF tứ giác nội tiếp
b) Gi M l trung điểm EF Chứng minh AME = ACB c) Chứng minh AM tiếp tuyến đờng trịn (O)
d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đờng tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600.
Bµi 13:
Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đờng tròn Vẽ đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H tiếp điểm) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đờng tròn (M) ( C, D tiếp điểm)
a) Chøng minh r»ng C, M, D thẳng hàng
b) Chng minh rng CD l tip tuyến đờng trịn (O) c) Tính tổng AC + BD theo R
d) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABDC biÕt AOM = 600.
Bµi 14:
Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D tia
AC Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tơng ứng M, N, P a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đờng tròn
b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng
c) Gäi giao ®iĨm cđa tia BO víi MN, NP lần lợt H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao?
(20)Bài tËp vỊ nhµ
Bài Tập 1: Cho hai đờng thẳng xy x’y’ cắt M Trên tia Mx lấy điểm A, tia Mx’
lÊy điểm C , tia My lấy điểm B vá F ( B nằm M F), tia My lấy điểm D E ( D
nằm M E Biết MA MB = MC.MD vµ MD.ME = MB.MF Chøng minh
a) điểm A,B,C,D nằm đờng tròn b) điểm B,D,E,F nằm đờng tròn c) AC song song EF
Bài Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm Từ điểm M đờng trịn kẻ MP, MQ, MK thứ tự vng góc với BC, CA, AB Chứng minh
a) C¸c tø gi¸c BPMK , PQCM néi tiÕp b) P, Q, K thẳng hàng
Bi 3: Cho đờng tròn tâm đờng thẳng xy nằm ngồi đờng trịn Từ kẻ OA vng góc xy Qua A kẻ cát tuyến cắt đờng tròn B C Tiếp tuyến B C đờng tròn tâm O cắt xy thứ tự D E Chứng minh A tung điểm DE
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A Một điểm D nằm A B Đờng trịn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD, AE thứ tự cắt đờng tròn điểm thứ hai F, G Chứng minh
a) tam giác ABC tam giác EBD đồng dạng
b) Tứ giác ADEC tứ giác AFBC nội tiếp c) AC song song FG d)Các đờng thẳng AC,DE,BF đồng qui
Bài 5: Cho hình thang ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O Các đờng chéo AC BD cắt E, cạnh AD BC kéo dài cắt F Chứng minh
a)Bốn điểm A,D,O,E nằm đờng tròn b) Tứ giác AOCF nội tiếp
Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng thẳng đồng quy. Bài 1:
Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt C C' Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt D D'
a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chøng minh tø gi¸c ODC'O' néi tiÕp
c) Đờng thẳng CD đờng thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp
Bµi 2:
Từ điểm C ngồi đờng trịn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đờng kính vng góc với AB Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M, N
a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D
b) Chứng minh tiếp tuyến đờng tròn (O) M, N qua trung điểm E CD
Bµi 3:
Cho hai đờng tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R> R' ) Đờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đờng trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đờng tròn (O') D
(21)b) Chøng minh ba ®iĨm A, D, F thẳng hàng
c) CF ct ng trũn (O’) G Chứng minh ba đờng EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng trịn (O’)
Bµi 4:
Cho đờng trịn (O) (O’) tiếp xúc C AC BC đờng kính (O) (O’), DE tiếp tuyến chung (D (O), E (O’)) AD cắt BE M
a) Tam gi¸c MAB tam giác gì?
b) Chứng minh MC tiếp tuyến chung (O) (O)
c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh D, N, C thẳng hàng
d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng trịn đờng kính AB OO’ Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn I, K Chứng minh OI // AK
Bµi tËp vỊ nhµ:
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn Các đờng cao AD, BE, CF cắt H a)Chứng minh tứ giác BFEC ; DHEC nội tiếp
b)Chứng minh tam giác DBH tam giác DAC đồng dạng c)Chứng minh H tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
d) Gäi I,K thø tù trung điểm AH, BC Chứng minh IK vu«ng gãc EF
Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi E điểm đối xứng với H qua BC; Gọi F điểm đối xứng với H qua trung điểm I BC
a)Chứng minh BHCF hình bình hành
b)Chng minh E,F nằm đờng tròn tâm O c)C/m tứ giác BCFE hình thang cân d) Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Tia phân giác góc BAC cắt BC I, cắt đờng tròn M
a)Chøng minh OM vu«ng gãc víi BC b)C/m MC 2 = MI MA
a) Kẻ đờng kính MN Các tia phân giác góc B C cắt đờng thẳng AN P Q Chứng minh điểm P, C, B, Q thuộc đờng tròn
Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Các điểm M,N theo thứ tự trung điểm cạnh AB BC Gọi E giao điểm DN CM
a) C/m tứ giác DAME néi tiÕp
b) Gọi P,O,S thứ tự trung điểm DC, CA, AD Gọi Q điểm tia đối tia BC Gọi R giao điểm QM AC Gọi T giao điểm OS với PR Chứng minh MT // PQ
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O P điểm cung nhỏ BC a) Chứng minh PA = PB + PC
b) Qua điểm P dựng đờng thẳng d song song với BC cắt AB kéo dài D Qua P dựng đờng thẳng e song song với AC cắt BC E Qua P dựng đờng thẳng song song với AB cắt AC F Chứng minh PCFE BDPE tứ giác nội tiếp
(22)Cho đờng tròn (O ; R) Đờng thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d ngồi (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K
a) Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp b) Chøng minh: CI.CP = CK.CD
c) Chứng minh IC phân giác tam gi¸c AIB
d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng qua A, B Chứng minh IQ ln qua điểm cố định
Bµi 2:
Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN
a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN
c) MN cắt BC K Chứng minh DK vng góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn
Bµi 3:
Cho (O ; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C
a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K
b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh MA.MB = MI.MN
d) Chøng minh: IM.IN = IA2.
Bµi 4:
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN
a) So s¸nh tam giác AMC BCN b) Tam giác CMN tam giác gì?
c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành
d) ng thng d qua N vng góc với BM Chứng minh d ln qua điểm cố định
Bµi 5:
Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm CD
a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đờng tròn b) Gọi H trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d Chứng minh AB qua im c nh
d) Đờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lợt E vµ K Chøng minh EC = EK
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học.
Bµi 1:
Cho đờng tròn (O) dây AB M điểm cung AB C thuộc AB, dây MD qua C
a) Chøng minh MA2 = MC.MD.
b) Chøng minh MB.BD = BC.MD
c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B
d) Gọi R1, R2 bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD Chứng minh R1 +
R2 không đổi C di động AB
Bµi 2:
Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đờng tròn cắt tiếp tuyến A, B lần lợt C E
a) Chøng minh r»ng CE = AC + BE b) Chøng minh AC.BE = R2.
c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE
d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB CE cắt F Gọi H hình chiếu vng góc M AB
+ Chøng minh r»ng: HA
HB=
FA
FB
+ Chứng minh tích OH.OF khơng đổi M di động nửa đờng tròn
(23)Trên cung BC đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P Các đờng thẳng AP BC cắt Q Chứng minh rằng:
PQ=
1
PB+
1
PC
Bµi 4:
Cho góc vng xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B, C Chứng minh hệ thức:
a)
AB2+ AC2=
1
a2
b) AB2 + AC2 = 4R2.
Chủ đề 6: Các toán tính số đo góc số đo diện tích. Bài 1:
Cho hai đờng tròn (O; 3cm) (O’;1 cm) tiếp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B (O); C (O’))
a) Chøng minh r»ng gãc O’OB b»ng 600.
b) Tính độ dài BC
c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC cung AB, AC hai đờng trịn
Bµi 2:
Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB nửa đờng trịn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đ -ờng vng góc với AB C cắt nửa đ-ờng tròn (O) E Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K)
a) Chøng ming r»ng EC = MN
b) Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đờng trịn (I), (K) c) Tính độ dài MN
d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng trịn
Bµi 3:
Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P Q
a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động cung BC nhỏ chu vi tam giác APQ có giá trị khơng đổi
b) Cho biết BAC = 600 bán kính đờng trịn (O) cm Tính độ dài tiếp tuyến
AB diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC cung nhỏ BC
Bµi 4:
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp , K tâm đờng trịn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK
a) Chứng minh rằng: điểm B, I, C, K thuộc đờng tròn b) Chứng minh rằng: AC tiếp tuyến đờng trịn (O)
c) Tính bán kính đờng tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm
Bµi 5:
Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB = 2R E điểm đờng tròn mà AE > EB M điểm đoạn AE cho AM.AE = AO.AB
a) Chứng minh AOM vuông O
b) OM cắt đờng tròn C D Điểm C điểm E phía AB Chứng minh
ACM đồng dạng với AEC
c) Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm AEC
3 TÝnh AC, AE, AM, CM theo R
Chủ đề 7: Tốn quỹ tích. Bài 1:
Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) M điểm di động đờng trịn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM
a) Chøng minh BPM c©n
b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đờng trịn (O)
Bµi 2:
(24)a) Chứng minh góc QMO góc QPO đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động d
b) Xác định vị trí M để MQOP hình vng?
c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ M di động d
Bµi 3:
Hai đờng trịn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đờng thẳng d qua A cắt đ-ờng tròn (O) (I) lần lợt P, Q Gọi C giao điểm hai đđ-ờng thẳng PO QI
a) Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c BCQP, OBCI néi tiÕp
b) Gọi E, F lần lợt trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đờng thẳng d quay quanh A K chuyển động đờng nào?
c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn
Chủ đề 8: Một số tốn mở đầu hình học khơng gian. Bài 1:
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm A’C = 13 cm Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật
Bµi 2:
Cho hình lập phơng ABCDABCD có diện tích mặt chéo ACCA b»ng 25 √2 cm2 TÝnh
thể tích diện tích tồn phần hình lập phơng
Bµi 3:
Cho hình hộp nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm góc A’AC’ 600 Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật đó.
Bµi 4:
Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh thể tích biết cạnh đáy dài cm góc AA’B 300.
Bµi 5:
Cho tam giác ABC cạnh a Đờng thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đờng thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC
a) Chøng minh r»ng SA = SB = SC
b) Tính diện tích toàn phần thể tích cđa h×nh chãp S.ABC, cho biÕt SG = 2a
Bµi 6:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đờng cao a√2
2
a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp
Bµi 7:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a a) Tính diện tích tốn phần hình chóp
b) Tính thể tích hình chóp
Bài 8:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm thể tích 1280 cm3.
a) Tính độ dài cạnh đáy
b) TÝnh diƯn tích xung quanh hình chóp
Bài 9:
Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ
và chiều cao cm Tính thể tích hình chóp cụt
Bµi 10:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD)
a) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp
b) Chøng minh r»ng mặt bên tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh hình chóp
Bài 11:
Một hình trụ có đờng cao đờng kính đáy Biết thể tích hình trụ 128 cm3, tính diện tích
xung quanh cđa nã
Bµi 12:
Một hình nón có bán kính đáy cm diện tích xung quanh 65 cm2 Tính thể tích
(25)Bµi 13:
Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đờng cao 12 cm đờng sinh 13 cm
a) Tính bán kính đáy nhỏ
b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt
Bµi 14: