Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)1
PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN & ỨNG DỤNG
Mởđầu
Trong chương trình khơng có khái niệm phương trình tổng qt đường thẳng,
nên phương trình tham số (ptts) đường thẳng đóng vai trị yếu việc biểu
diễn đường thẳng hệ trục tọa độ Oxyz khơng gian Mặt khác cịn
cơng cụ đặc sắc việc giải số tốn như: tìm hình chiếu điểm
lên đường thẳng, mặt phẳng; tìm điểm đối xứng qua đường thẳng, mặt phẳng ; xác định đường thẳng cắt hay hai đường thẳng chéo cho trước thỏa hay nhiều
tính chất cho sẵn đó… Để minh họa cho điều giúp cho em học sinh
nắm số dạng tốn, kỹ trình bày vấn đề hầu chuẩn bị tốt cho kì
thi ĐH & CĐ tới sau, chúng tơi viết chun đề khơng ngồi mục đích đồng thời trao đổi kinh nghiệm, học hỏi từ đồng nghiệp với
Trong viết gồm phần: 1) Phương trình tham số áp dụng – 2) Các ứng dụng
ptts – Thơng qua ví dụ – Sau ví dụ nhận xét hay ý, để qua em học
sinh chọn lựa hay rút cho phương án giải tốn theo cách riêng
của mình, cuối mục có vài tập tương tựđể cho em tự luyện Mong
bài viết giúp em giải tốn liên quan nhanh, gọn xác
nhất chúc em đạt kết tốt kì thi tới
1. Phương trình tham số áp dụng 1.1. Phương trình tham số
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) qua điểm M(x0; y0; z0) có vectơ phương (vtcp) a=( ; ; ), (aa a a1 12+a22+a32≠0)
∀M(x; y; z)∈( )d ⇔ M M0
phương a
⇔ M M0 =ta t; ∈R
⇔
0
( ) : ( )
x x a t
d y y a t t R z z a t
= +
= + ∈
= +
(I)
Hệ phương trình (I) gọi ptts đường thẳng ( )d
Nhận xét:
∗ Muốn viết ptts của đường thẳng (d) ta phải tìm yếu tố: một điểm M0 ∈ (d) một vtcp
( ; ; )
a= a a a
của (d)
∗ Nếu có vectơ u & v
không phương có phương vng góc với đường thẳng (d) thì chọn vtcp của đường thẳng (d) là: d =[ ; ]u v
∗ Ứng với mỗi điểm M đường thẳng (d) ta có một chỉ một giá trị tM∈R tương ứng ngược lại với một giá trị tM ta cũng xác định được một điểm M nhất đường thẳng (d) đó Do vậy biết được ptts của đường thẳng (d) đồng thời ta cũng biết tọa độ của điểm M tùy ý đường thẳng (d), để xác định tọa độ của một điểm A∈( )d ta chỉ cần tìm giá rị
tham số tA
(2)1.2. Áp dụng
Ví dụ Cho A(1: 2; –3), B(–1; 2; 1) Viết ptts đường thẳng qua điểm A, B
Giải: Chọn AB= −( 2, 0, 4) 2( 1;0; 2)= −
hay chọn a= −( 1, 0, 2)
làm vtcp (AB)
Áp dụng (*) ta ptts đường thẳng (AB):
1
2 ( )
3
x t
y t R
z t
= −
= ∈
= − +
Chú ý:
∗ Ta có thể chọn điểm M0 phương trình (*) A hay B, hoặc bất kì điểm miễn điểm
đó thuộc đường thẳng (AB)
∗ Ở đây em học sinh hay viết sai: AB= −( 2, 0, 4) ( 1;0; 2)= − =a
mà phải viết
( 2, 0, 4) 2( 1;0; 2)
AB= − = −
cùng phương với a= −( 1;0; 2)
Vì ta chỉ dùng phương của chúng nên thay dùng AB
làm vtcp dùng vectơ a
phương với vectơ AB
làm vtcp Trong trường hợp chỉ làm đẹp ptts mà thôi, nếu ta viết theoAB
thi kết quả không sai Do vậy một
đường thẳng có thểđược biểu diễn bởi nhiều ptts khác
Ví dụ Viết ptts đường thẳng (d) qua M(1; 1; 1) vng góc với mặt phẳng (P),
biết: (P): x + 2y + 3z –12 =
Giải: Mặt phẳng (P) có pháp vectơ (pvt): p=(1; 2;3)
Do đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) ⇔ ( )d phương với p=(1; 2;3)
Nên chọn p=(1; 2;3)
vtcp ( )d Do ptts
của ( )d qua M vtcp p
là:
1 ( )
x t
y t t R
z t
= +
= + ∈
= +
Ví dụ Viết ptts giao tuyến (d) hai mặt phẳng (P) (Q), biết:
(P):3x – y + 2z –1 = 0, (Q): x + 3y –2z + = Giải:
Cách
• d =( ) ( )P ∩ Q ⇒ : (1)
3 2 (2)
x y z d
x y z
− + − =
+ − + =
⇔
4 [(1)+(2)] :
10 [3*(1) (2)]
x y d
x z
+ + =
+ − = +
• Đặt: x = t ta ptts (d): ( )
2
x t
y t t R
z t
=
= − − ∈
= − −
Cách 2:
• Chọn hai điểm đặc biệt đường thẳng (d)
Chẳng hạn: 0
2
7 21
M ( ) ( ) M 2; ;
2
3 2 ( )
x
d x y z P
x y z Q
= −
∈ − + − = ⇒ −
+ − + =
(3)3
0
0
1
( ) ( ) N 0; ;
2
3 2 ( )
x
N d x y z P
x y z Q
=
∈ − + − = ⇒ −
+ − + =
• Như vậy: M N0 0=(2; 4; 5)− −
ptts
2
( ) : ( )
1
x t
d y t t R
y t
=
= − − ∈
= −
Cách 3:
Mặt phẳng (P) có pvt p=(3; 1; 2)−
, mặt phẳng (Q) có pvt q=(1;3; 2)−
gọi d
vtcp đường thẳng (d) Ta có
• d =( ) ( )P ∩ Q ⇒ d ⊥ p
d ⊥q
Do chọn d =[ ; ]q q
=(–4; 8; 10) = 2(–2; 4; 5) hay ( 2; 4;5)
a= −
làm vtcp đường thẳng (d)
• Chọn điểm M0∈(d): Cho x = –2 a được:
0
2
7 21
M ( ) ( ) M 2; ;
2
3 ( )
x
d y z P
y z Q
= −
∈ − + − = ⇒ −
− =
Vậy ptts (d) qua M0 có vtcp a
là: 2
7
4 ( )
2 21
5
x t
y t t R
z t
= − −
= + ∈
= +
Nhận xét:
∗ Nếu phương trình của mặt phẳng (P) (Q) có một hệ số đối hay tỉ lệ với nhau dùng cách 1, tức dùng phương pháp cộng đại số để khử đi một biến mỗi phương trình, từđó ta đặt biến có mặt cả phương trình kt (k∈R*) được ptts của
đường thẳng muốn tìm
∗ Hoặc tìm điểm đặc biệt đường thẳng đó như cách 2, ta cũng dễ dàng viết ptts Trong trường hợp tương đối nhanh hơn có sự hổ trợ của máy tính việc giải hệ phương trình bậc nhất ẩn sau gán giá trịđặc biệt cho một biến đó
∗ Cách bạn nên cẩn thận phải lập luận đểđi đến kết luận vtcp của đường thẳng phải tìm tích có hướng của pvt của mặt phẳng (P) (Q), hơn nữa cũng phải tìm một điểm
đặc biệt (d) Do đó nếu so sánh với cách khơng hiệu quả bằng về tính tốn thời gian
Ví dụ Cho hai đường thẳng (d1) (d2), biết:
1
:
8 1
x y z
d − = + = (d2) giao tuyến hai mặt phẳng (P): 2x + y – z – = (Q): x + y + z –1 =
a) Viết ptts đường thẳng (d1) (d2)
b) Viết ptts đường thẳng (d) qua M(1; 1; 1) vng góc với hai đường thẳng
(d1) (d2) Giải:
a) Đặt :
1
8 1
x y z
t = − = + = ⇒ ptts (d1):
1
1
1
: ( )
x t
d y t t R
z t = +
= − + ∈
=
;
Vì d =( ) ( )P ∩ Q ⇔ : (1) (2)
x y z d
x y z
+ − − =
+ + − =
⇔
3 [(1) (2)] :
2 [(1) (2)]
x y d
x z
+ − = +
− − = −
(4)(h.1)
Đặt: x = 2t2⇒ ptts (d2):
2 2
2 ( )
x t
y t t R
z t
=
= − ∈
= − +
b) Ta có vtcp đường thẳng (d1) (d2) là: d1=(8;1;1)
; d1=(2; 3;1)−
Gọi d
là vtcp đường thẳng (d)
Vì (d) vng góc với cả đường thẳng (d1) (d2), nên chọn
1 [ ; ] d= d d
= (4; –6;–26) Vậy ptts đường thẳng (d) qua M vtcpd
là:
1 ( )
1 26
x t
y t t R
z t
= +
= − ∈
= −
Ví dụ Viết ptts đường thẳng (d) qua điểm A(1; 1; –2) song song với mặt phẳng
(P): x – y – z –1 = vng góc với đường thẳng
1
( ) :
2
x y z
d + = − = −
Giải: Ta có p=(1; 1; 1)− −
là pvt mặt phẳng (P) d1=(2;1;3)
vtcp đường thẳng (d1)
[Vì ( (d) // (P) ⇒ d ⊥ p
)và ( d ⊥ d1 ⇒ d ⊥ d1
)] ⇒ chọn vtcp của đường thẳng ( )d là: d=[ ; ]p d1
=(2; 5;–3)
Trở lại cách làm ví dụ 4, ta ptts đường thẳng (d) qua M vtcp d
:
1 ( )
2
x t
y t t R
z t
= +
= + ∈
= − −
Nhận xét
∗ Khi phương trình đường thẳng được cho dưới dạng tắc, ta chỉ cần đặt tỉ sốđó bằng t
và suy được ptts
∗ Trong một toán, viết ptts của đường thẳng trở lên phải đặt tham số t khác nhau, chẳng hạn đường thẳng (d1) ta đặt t1; đường thẳng (d2) ta đặt t2; ….
∗ Nói chung mọi trường hợp ta đều biểu diễn được đường thẳng dưới dạng ptts.
2. Ứng dụng của phương trình tham số
2.1 Tìm hình chiếu của một điểm lên đường thẳng
Ví dụ Cho đường thẳng (d) qua M0(1; 2; 1) có a=(1;1;2)
vtcp điểm A(2; 1; 4)
Tìm tọa độ hình chiếu H điểm A lên đường thẳng (d), suy điểm A’ đối xứng A
qua ( )d tính độ dài AH
Giải:
Áp dụng cơng thức (*) ta có ptts
1
( ) : ( )
1
x t
d y t t R
z t
= +
= + ∈
= +
H∈(d) ⇒ H( 1+tH; 2+ tH; 1+ 2t) ⇒ AH = (t - 1; t +1; 2t - 3)H H H
H hình chiếu của A lên (d) ⇔ AH ⊥( )d ⇔ AH.a=0 ⇔ tH –1+ tH t–1 +2 + tH =
⇔ tH =
(5)5 (h 2)
A’ điểm đối xứng của A qua ( )d ⇔ H trung điểm của AA’
⇔
2
'
2
H A H A H A
x x x
A y y y
z z z
= −
= −
= −
Vậy A’(2; 5; 2) AH=(0; 2; -1) ⇒AH = 5. Chú ý
Cùng giả thiết ví dụ 1) người ta hỏi: “Tìm điểm H (d) cho đoạn
thẳng AH có độ dài nhỏ tính đoạn thẳng đó” Như ta làm
cách lập luận H hình chiếu A lên đường thẳng (d), hay làm cách sau:
• H∈(d)⇒ H( 1+ tH; 2+ tH; 1+ tH) ⇒ AH=(t-1; t+1; 2t-3)
• AH2 =(tH -1)2+ (tH +1)2+(2 tH – 3)2 = tH2 – 12 tH +1.1 = 6(tH –1)2 + ≥ • AH đạt giá trị nhỏ ⇔AH2 đạt giá trị nhỏ ⇔ tH =
Vậy: H(2; 3; 3) AH = Bài tập tương tự:
1. (ĐH&CĐ– D–2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng ( ) :1 2
2 1
x y z
d − = + = −
− Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường
thẳng (d1)
2. (ĐHQG TpHCM–2000) Trong không gian cho điểm I(1; 1; 1) đường thẳng ( )d
giao tuyến mặt phẳng (P): x – 2y + z – = (Q): 2y + z + = Xác đinh tọa độ
hình chiếu H I lên đường thẳng ( )d .
2.2 Tìm hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng
Ví dụ Cho mặt phẳng (P): x – y + z + = điểm A(–1; –3; –2) Tìm tọa độ điểm H
hình chiếu điểm A lên mặt phẳng (P) Suy điểm A’ đối xứng điểm A qua mặt
phẳng (P)
Giải:
• Mặt phẳng (P) có pháp vectơ (pvt)
(1; 1;1)
n= −
Vì điểm H hình chiếu điểm A lên mặt phẳng (P) nênAH ⊥( )P ,
đó chọn n=(1; 1;1)−
là vtcp cho đường thẳng
(AH) Như ptts đường thẳng (AH):
1
3 ( )
2
x t
y t t R
z t
= − +
= − − ∈
= − +
• Do tọa độđiểm H =(AH) ( )∩ P nghiệm của hệ phương trình sau:
1
3
H H H
x t
y t
z t
x y z
= − +
= − −
= − +
− + + =
⇔–1+tH +3+ tH –2 + tH + = ⇔ tH = –1 ⇒H(–2; –2, –3).
• Điểm A’ đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) ⇔ AA ' 2= AH
(6)
Ví dụ Cho mặt phẳng (P): x – y + z + = điểm A(–1; –3; –2) Gọi điểm H hình
chiếu điểm A lên mặt phẳng (P) Tìm điểm H suy điểm M nằm đường thẳng
qua AH cách điểm A đoạn lần AH
Giải: Theo ví dụ 2: ta có tH = –1 H(–2;–2;–3) • Do M ∈ (AH) ⇔ AM =k AH
• Theo giả thiết: AM = 3AH ⇒ AM =3 AH
Như ta cần phân biệt M A
một phía hay khác phía so với điểm A
– M A phía: AM = −3AH
⇒ tM = – 3tH = Thay tM= vào ptts (AH)⇒ M(2;–6; 1)
– M A hai phía: AM =3AH
⇒ tM = –3 tH = –3 Thay tM= –3 vào ptts (AH)⇒ M(–4; 0; –5)
Nhận xét:
∗ Qua ví dụ 3, ta có thể tìm được điểm A’ hay M mà không cần chỉ tọa độ H, chỉ cần tìm tham số tH ứng với H, từđó suy tH, tM, …và thế ta thấy được vai trị của tham sốt trong ptts của đường thẳng
Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d) giao tuyến mặt phẳng (P)
(Q) với (P): 2x + y + z + = 0; (Q): x + y + z + 0; mặt phẳng (R): 4x – 2y + z – =
Viết phương trình hình chiếu đường thẳng (d) lên mặt phẳng (R)
Giải:
• Giao điểm D đường thẳng (d) mặt phẳng (R) nghiệm hệ:
2
2
4
x y z x y z
x y z
+ + + =
+ + + =
− + − =
⇔D(1; 0; –3)
• Chọn điểm A(z=0)∈(d) A≠D, ta có A(1; –3, 0) Tìm hình chiếu H A lên mặt
phẳng (P) ⇒ (DH) hình chiếu (d) lên (R) (h.3)
Ta có AH ⊥( )R ⇒ pvt mp(R): r=(4, 2,1)−
vtcp (AH) nên ptts (AH):
1
3 ( )
x t
y t t R
z t = +
= − − ∈
=
Như tọa độ điểm H nghiệm hệ phương
trình sau:
3
4
H H H
x t
y t
z t x y z
= +
= − −
=
− + − =
⇔ 4+ 16tH + + 4tH + tH –1 = ⇔ 5; 15;
7 7
H
t = − ⇒H− − −
.
• 12; 15 18; 3(4;5; 6)
7 7
DH = − − = − −
cùng phương với: a=(4;5; 6)−
Vậy hình chiếu (d) lên mặt phẳng (R) qua D(1; 0;–3) có vtcp a=(4;5; 6)−
là: '
5 ' ( )
3 '
x t
y t t R
z t
= +
= ∈
= − −
(7)7
(h 4)
Chú ý: Nếu d // (R) ta tìm thêm một điểm chiếu K của B∈(d) lên mặt phẳng (R) (B≠A) Như
vậy hình chiếu của d chình HK
Bài tập tương tự
1. (ĐHQG Tp HCM –99) Cho mặt phẳng (P): x + y – z + = đường thẳng ( )d1
2
( )d có phương trình:
1
1 1 2
1
2
( ) : ( ) & ( ) : ( )
1
x t x t
d y t t R d y t t R
z t z t
= = −
= − ∈ = − + ∈
= + =
Tìm hình chiếu ( )d1' , ( )d2' ( )d1 ( )d2 lên mặt phẳng (P)
2. Cho mặt phẳng (P): 2x + y – z + = đường thẳng ( )d có phương trình:
2
( ) : ( )
1
x t
d y t t R
z t
=
= − ∈
= +
. Tìm hình chiếu ( ')d đường thẳng ( )d lên mặt phẳng (P)
2.3 Tìm phương trình đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d’) thỏa tính chất đó Ví dụ Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(0; 1; 1) vng góc với đường thẳng
(d1) cắt đường thẳng (d2) biết:
1
1 1 2
2
1
( ) : ( ) & ( ) : ( )
1
x t x t
d y t t R d y t t R
z z t
= − =
= ∈ = + ∈
= − =
Giải: Ta có d1= −( 1;1;0)
: vtcp (d1)
• Do ( )d qua A cắt ( )d2 , nên chọn
điểm M∈(d2) ( )d ≡(AM), ta được:
2 2 (2 ; ; 1)
AM = t t t −
: vtcp (d) (h.4)
• Mặt khác ( ) ( )d ⊥ d1 nên: AM d 1=0 ⇔2t2 + t2 = ⇔ t2 = ⇒ AM =(0; 0; 1)−
Vậy (d) qua A(0; 1; 1) có vtcp
(0; 0; 1)
AM = −
nên ptts (d) là:
0
( ) : ( )
1
x
d y t R
z t
=
= ∈
= −
Nhận xét:Khi ta chọn điểm M∈( )d2 và nếu tìm được đường thẳng ( )d đi qua M có nghĩa đường thẳng ( )d đã cắt đường thẳng ( )d2 tại M Do đó ta khơng cần kiểm tra ( )d có cắt ( )d2 hay không?
Bài tập tương tự
1 (ĐH&CĐ– D – 2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(–4; –2; 4) đường thẳng
3
: ( )
1
x t
d y t t R
z t
= − +
= − ∈
= − +
Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt vng
(8)(h 5)
(h 6) (ĐH&CĐ– B – 2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3)
hai đường thẳng 1: 2 3; :2 1
2 1
x y z x y z
d − = + = − d − = − = +
− − Viết phương trình đường
thẳng ∆ qua A, vng góc với ( )d1 cắt ( )d2
3 (CĐ GTVT – 2005) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(1; 2; –1) đường thẳng ( ) : 3
1
x y z
d − = − = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua H, cắt đường
thẳng ( )d song song với mặt phẳng (P): x + y –z + =
2.4 Tìm phương trình đường thẳng (d) cắt cả đường thẳng cho trước thỏa tính chất đó
Ví dụ Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d1), (d2), đồng thời vng góc với mặt phẳng (P): x+ y + 3z –10 = biết:
1
1
: ; :
2 1
x y z x y z
d − = − = − d = − =
−
Giải:
Ta có pvt mặt phẳng (P): p=(1;1;3)
Ptts (d1) & (d2)
1
1 1
1
( ) : ( )
3
x t
d y t t R
z t
= +
= + ∈
= +
2 2
2
( ) : ( )
2 x t
d y t t R
z t
=
= − ∈
=
Gọi M1 , M2 lần lượt giao điểm ( )d
với ( )d1 ( )d2 (h.5)
• Do M1∈( )d1 , M2∈( )d2 ⇒M M1 =(t2−2t1− − −1; t2 3t1−1;2t2−4t1−3)
và M1, M2∈( )d nên chọn M M1 2
vtcp ( )d .
• Mặt khác ( ) ( )d ⊥ P ⇔(M1M2)⊥(P)⇔ M M1
phương với p
⇔ (t2−2t1−1:− −t2 3t1−1: 2t2−4t1−3) (1:1: 3)≡ ⇔
2
0
5
t t
t t
= +
+ =
⇔ t2 =t1=0
Vậy M2(0; 1; 0) M M1
phương với
(1;1;3)
p=
Ta ptts đường
thẳng( ) : ( )
x t
d y t t R
z t
=
= + ∈
=
Nhận xét:
∗ Cách giải không thay đổi nếu thay giả thiết
( ) ( )d ⊥ P bới giả thiết ( )d //( )∆ Thật vậy:
( )d ⊥( )P ⇔ ( )d có vtcp phương với pvt: p
của (P) nghĩa với: ( )d //( )∆ ⇔vtcp của
( )d cùng phương vói vtcp của ( )∆
(9)9
(h 7)
(h 8) Ví dụ Viếtphương trình đường thẳng ( )d qua A(1; 0) cắt hai đường thẳng:
1
1 1 2
2
1
( ) : ( ) & ( ) : ( )
2
x t x
d y t t R d y t R
z t
z
= + =
= − ∈ = ∈
= = +
Giải:
• Gọi M1∈( )d1 , M2∈( )d2 ⇒ AM1=( ;t1 − −t1 1;0)
AM2 = − −( 1; 1; 2+t2)
• ( ) (d ≡ M M1 2) ⇔ AM1
phươngAM2
⇔( :t1 − −t1 1: 0) ( 1: 1: 2= − − +t2)
⇔(t1= –½ ; t2= –2)
Như vậy: M1( ½ ; ½ ; 0); M2(0, 0, 0) ≡ O OA=(1;1;0)
⇒pths của ( )d :
( ) : ( )
0
x t
d y t t R z
=
= ∈
=
Ví dụ (ĐH&CĐ– B–2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2)
hai đường thẳng
1
: ; ; (t R)
2 1
2
x t
x y z
d d y t
z t
= +
− +
= = = − − ∈
−
= +
Tìm điểm M1∈( )d1 , M2∈
2
( )d cho điểm A, M1, M2 thẳng hàng
Giải:
Ta có ptts ( )d1 & ( )d2 là:
1
1 1 2
1
2
( ) : ( ) & ( ) : ( )
1
x t x t
d y t t R d y t t R
z t z t
= = +
= + ∈ = − − ∈
= − − = +
Gọi M1∈( )d1 , M2∈( )d2 ⇒ AM1=(2 ; ; 3t t1 1 − −t1)
(1 2; 2 ; )2
AM = +t − − t t
• A, M1, M2 thẳng hàng ⇔ AM1
cùng phương AM2
(h.7)
⇔ (2 : : 3t t1 1 − −t1) (1= +t2: 2 : )− − t2 t2 ⇔(t1= ; t2= –1)
Vậy M1( ; ; –1); M2(0, 1, 1) Nhận xét:
∗ Khi sử dụng giả thiết điểm M1∈( )d1 , M2∈( )d2 và nếu tìm
được đường thẳng ( )d đi qua điểm đó hiển nhiên đường thẳng ( )d đã cắt đường thẳng ( )d1 &( )d2 Do đó ta khơng cần kiểm tra xem ( )d có cắt cả đường thẳng ( )d2 hay không?(h 7)
∗ Nếu ta sủ dụng phương pháp dựng hình để tìm
1
( ) ( ; ) ( ; )d = A d ∩ A d thì phải cần kiểm tra xem đường thẳng
( )d cắt cả đường thẳng ( )d & 1 ( )d2 ?( h 8)
Chú ý:
∗ Nếu từđiều kiện phương của vectơ (AM1
& AM2
) đưa đến hệ phương trình có chứa
(10)Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –1 1) hai đường thẳng
1
1 1 2
1
1
( ) : ( ) & ( ) : ( R)
3
x t x t
d y t t R d y t t
z t z t
= + = = ∈ = − − ∈ = − = +
Viết phương trình đường thẳng ( )d
đi qua A cắt ( )d1 ( )d2
Nhận xét: Ta có thể phát biểu lại yêu cầu tốn như sau: Tìm điểm M1∈( )d1 & M2∈( )d2 sao cho điểm A, M1 , M2thẳng hàng Do đo ta áp dụng cách làm như ví dụ 11.
Giải:
• Gọi M1∈( )d1 , M2∈( )d2 ⇒ AM1=(2 ;1t1 +t1; 2−t1)
AM2 = − +( t2; ;1− t2 +t2)
• Nếu A, M1, M2 thẳng hàng ⇔ ( )d ≡(M1M2) đường thẳng cần tìm
⇔ AM1
cùng phương AM2
⇔(2 :1t1 +t1: 2−t1) ( 1= − +t2: :1− t2 +t2)
⇔
1 2 2 2
5
2
5
t t t t t t t t t t t t
+ − = − − + = − − − = − ⇔ 2 13 26 t t t t − = = = −
Vậy: ( )
1
3; 2; 2 ( 6; 1;7)
AM = − − = − −
phương với a= −( 6; 1;7)−
Do ptts ( )d :
1
( ) : 1 ; R
1
x t
d y t t
z t = − = − − ∀ ∈ = +
Ví dụ 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình đường vng góc chung
của đường thẳng
1
( ) : ; & ( ) : (t R)
2
1 x t
x y z
d d y t
z t = − − − = = = − + ∈ = −
Nhận xét: Bài tốn có thể phát biểu lại yêu cầu như sau: Tìm điểm M1∈( )d1 , M2∈( )d2 sao cho M1M2 vng góc với cả đường thẳng ( )d1 & ( )d2 Do đo ta có thể áp dụng cách làm như các ví dụ
Giải: Ptts đường thẳng
1
1 1
1
( ) : ( )
3
x t
d y t t R
z t = + = + ∈ = + &
2 2
2
( ) : ( R)
1
x t
d y t t
z t = = − + ∈ = − Gọi M1∈( )d1 , M2∈( )d2 , ta có ⇒M M1 2=(t2−2t1−1;2t2−t1−11;− −t2 4t1−2)
vtcp đường thẳng ( )d1 &( )d2 : d1=(2;1; 4)
, d2 =(1; 2; 1)−
• M1M2 đường thẳng vng góc chung của ( )d1 & ( )d2 ⇔[M M1 2⊥d M M1, 2⊥d2] ⇔ M M1 2⊥d1 & M M1 2 ⊥d2
⇔ 1 2
M M d M M d
=
=
(1)
Với
1
1 2 2
1
= ( ; ; )
( 1; 11; 2)
= ( ; ; )
d
M M t t t t t t
(11)11
(1) ⇔ 2 1
2 2 1
2 4 16 11
2 22
t t t t t t
t t t t t t
+ − − − − − − − =
+ + − − + − − + =
⇔
2
21 21
21
t t
t t
− − =
+ − =
⇔
1
2
2
t t
= −
=
Vậy: 1( 1;6; 1), & 1 2 9; 3;3 3(3; 2;1)
2 2
M − − M M = − = −
Ptts đường thẳng vng góc chung ( )d1 ( )d2 là:
1 ( ) : 6 ;
1
x t
d y t t R
z t
= − +
= + ∈
= − +
Chú ý: Nếu toán yêu cầu thêm: “Tìm chân đường vng góc chung ( )d1 & ( )d2 khoảng cách chúng?”
Với 2
2
t = ta được: 2 ;3;2
2
M −
& [ 2]
; 14
2
d d d =M M =
Nhận xét:
∗ Có rất nhiều cách tìm phương trình đường thẳng vng góc chung, nhiên thiết nghĩ cách là tự nhiên, chỉ sử dụng phép nhân vô hướng của vectơ giải hệ phương trình bậc I hai ẩn t1 t2 Hơn nữa ta tìm được hai chân của đường vng góc chung tính khoảng cách của đường thẳng ( )d1 và ( )d2 nếu toán yêu cầu thêm Như vậy ta đã thực hiện một cách làm mà được kết quả
∗ Cách trình bày (*) ở giúp tránh sai lầm thực hiện tích vơ hướng vectơ kiểm tra lại kết quả một cách dễ dàng
Ví dụ 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
2
1 2
1
2
( ) : ( R) & ( ) : ( R)
3
x t
x
d y t d y t t
z t z
= +
=
= ∈ = ∈
= + =
Viết phương trình đường thẳng ( )d tạo với mặt phẳng (P): x + 2y –3 = góc 600 , cắt
cả hai đường thẳng ( )d1 , ( )d2 đồng thời vng góc với đường thẳng ( )d1
Giải:
• Gọi M1 , M2 lần lượt giao điểm đường thẳng ( )d với đường thẳng ( )d1
( )d ⇒M M1 2 =(t2+1; 2t2− − −1; t1 3)
(vtcp ( )d )
Pháp vectơ (P): p=(1; 2;0)
, vtcp ( ) :d1 d1=(0;0;1)
• ( )d2 ⊥( )d1 ⇔ M M d1 2 1=0⇔–t1 –3 = ⇒ t1= –3 ⇒ M M1 2=(t2+1; 2t2−1;0)
• ( )d tạo với (P) góc 600 ⇔ sin[( );( )] sin 60d P = ⇔ cos (M M1 2;p) =cos300
⇔
2 2
5
2
5(5 2)
t t t
−
=
− +
⇔ 25t22−10t2−26 0= ⇔ 21 3; 22 3
5
t t
+ −
= =
Vậy có đường thẳng qua M1(1; 1; 0) có vtcp M M1
+ Với t21⇒
6 3
; ;0
5
M M = + − +
cùng phương với a1=(2+ 3; 1;0− )
(12)Ptts
1 (2 3) '
( ') : (2 1) ' ( ' )
x t
d y t t R
z
= + +
= + − ∈
=
.
+ Với t22⇒
6 3
; ;0
5
M M = − − −
cùng phương với a2 =(2− 3; 3;0− − )
Ptts
1 (2 3) ''
( '') : (2 1) " ( " )
x t
d y t t R
z
= + −
= − + ∈
=
Nhận xét: Đối với tốn có nhiều giả thiết sẽ làm cho bối rối (như ví dụ 14) Vấn đề đặt xuất phát từ giả thiết cho có lợi hay kết hợp chúng với nhau, người ta cho giả
thiết vừa đủ, không thừa thiếu, phải kiểm tra giả thiết chưa được sử dụng !
Bài tập tương tự
1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1 ( ) :
1
x y z
d = + = , ( )d2
giao tuyến hai mặt phẳng (P): 3x – z + = (Q): 2x + y – = Viết phương trình đường thẳng ( )d cắt hai đường thẳng ( )d1 , ( )d2 song song với đường thẳng
3
4
( ) :
1
x y z
d − = − = −
−
1.(ĐH&CĐ– A–2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
1
1
1
: ; ; t R
2 1
3
x t
x y z
d d y t
z
= − +
− +
= = = + ∈
−
=
a) Chứng minh hai đường thẳng ( )d1 ( )d2 chéo
b)Viết phương trình đường thẳng ( )d vng góc với mặt phẳng (P):7x + y – 4z =
cắt hai đường thẳng ( )d1 , ( )d2
2 Tìm ptts đường thẳng qua điểm I(4; –5; 3) cắt hai đường thẳng ( )d1
( )d biết:
1 2 1
( ) : ; ( ) :
3 2
x y z x y z
d + = + = − d − = + = −
− − −
3 (ĐHQG Tp HCM 99) Cho hai đường thẳng ( )d1 ( )d2 có phương trình:
1
2 4
( ) : ; ( ) :
2
x y z x y z
d − = − = + d + = − = −
− − −
Tìm phương trình tắc đường vng góc chung ( )d ( )d1 & ( )d2 Tính tọa độ giao điểm H, K ( )d với ( )d1 & ( )d2
2.5 Tìm điểm M thuộc đường thẳng ( )d thỏa mãn điều kiện đó
Ví dụ 12 Trong hệ trục tọa độ Oxyz tìm điểm M đường thẳng
2
( ) :
1
x y z
d − = + = +
− cho OM đạt giá trị nhỏ
Giải: Đường thẳng ( )d viết lại dạng tham số:
2
( ) : ( )
2
x t
d y t t R
z t
= +
= − + ∀ ∈
(13)13
• M ∈ ( )d ⇔ OM =(2+ − +t; ; 2t − −t)
⇒OM2 = 6t2 + 12t +9 =6(t+1)2+3 ≥3
• OM nhỏ ⇔OM2 nhỏ ⇔OM2 = t = –1⇔ M(1; 1; 1)
Ví dụ 13 Cho điểm A(1; 1; 0) B(3; –1; 4) đường thẳng ( ) : 1
1
x y z
d + = − = +
− Hãy
tìm điểm M đường thẳng ( )d cho |MA MB+
| , MA + MB nhỏ
Giải:
Cách 1: Đường thẳng ( )d viết lại:
1
( ) : ( )
2
x t
d y t t R
z t
= − +
= − ∀ ∈
= − +
Với M ∈( )d ⇒ AM = − + − − +( t; ; 2 ); t t BM = − +( t; 2− − +t; )t
Đặt V =MA MB+
⇔V
= (2t –6; –2t +2; 4t – 8) = 2(t – 3; –t + 1; 2t –4)
Vì minV =min V 2
nên ta xét:
(V
)2 = 4(6t2 –24t + 26) = 24(t–2)2 + ≥8 ⇒Min(| |V
)2=8 ⇔t=2
Vậy M(1; –1; 2)
2 2 2
( 2) (2 2) ( 4) (2 ) (2 6)
MA MB+ = t− +t + t− + t− + −t + t−
= 6t2−12t+8+ 6t2−36t+56= 6( ( 1)t− 2+13 + (t−3)2+13)
Chọn điểm 1; ;0 , 3; ;0 & K(t;0;0)
3
I J −
.(1)
Ta có: 1; ;0 , ; ;0 2; ;0
3 3
IK =t− − KJ = −t − ⇒ IK+KJ = − =IJ
Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta được: MA+MB = 6(KI + KJ)≥ 6IJ = 2
⇒ Min(MA+MB) = 6min(KI + KJ)= 2 (2) ⇔I, J ,K thẳng hàng
⇔
1
1 3
/ / 1 t =2
3
3
t IK KJ
t
− −
⇔ = ⇔
− −
.Vậy M(1; –1; 2)
Nhận xét:
∗ Từ(1)⇒ các điểm I, J, K đều nằm mặt phẳng Oxy K∈Ox Do vậy ta nên chọn I J nằm về hai bên trục Ox (yI.yJ <0) để ta có đẳng thức (2) xảy (h 10)
∗ Nếu tìm K để cho |KI–KJ| lớn nhất ta chọn I, J nằm bên với trục Ox (yI.yJ >0)( h 11)
Cách 2:
Nhận xét AB=(2; 2;4)− cùng phương d =(1; 1; 2)− ⇒ điểm M hình chiếu của trung điểm I đọan AB lên đường thẳng ( )d .
Thật vậy, gọi A’ điểm đối xứng A qua đường thẳng ( )d , với M∈( )d ta có:
MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B ⇒ min(MA + MB) = A’B ⇔M, A’, B thẳng hàng
(14)Mặt khác AB // ( )d ⇒ M trung điểm A’B ⇒ MI⊥( )d
Đồng thời ta cũng có: MA MB+=2MI⇒min(|MA MB+ |) |= MI|
⇔ MI⊥( )d
Do vậy, hai trường hợp có chung điểm M thỏa đề ⇒ ta cần tìm hình
chiếu trung điểm I lên đường thẳng ( )d Thực ví dụ 1) phần 3.1 ta có:
ptts
1
( ) : ( ) : (1; 1;2)
2
x t
d y t t R vtcp d
z t
= − +
= − ∀ ∈ ⇒ = −
= − +
, trung điểm AB: I(2; 0; 2).
• H∈(d) ⇒ H( –1+tH; 1– tH; –2+ 2t) ⇒ IH ( - 3;- = tH tH +1; - 4)tH
• H hình chiếu A lên (d) ⇔ IH ⊥( )d ⇔ IH d =0
⇔ tH –3+ tH –1 + 4tH – = ⇔ tH =
Vậy: H(1; –1; 2) ≡M.
Nhận xét:
∗ Nếu ta nhận xét vị trí tương đối của AB đường thẳng ( )d , nếu AB //( )d thực hiện theo cách 2, tốn trở nên đơn giản hơn nhiều
∗ Do vậy nên quan sát phân tích kĩ mối quan hệ giữa đối tượng (đường thẳng, mặt phẳng, điểm) tính chất của chúng một toán, giúp dễ dàng giải quyết vấn
đề nhanh xác hơn
Bài tập tương tự:
1 [ĐH & CĐ A – 05] Trong không gian với hệ độ Oxyz cho đường thẳng
1 3
( ) :
1
x y z
d − = + = −
− mặt phẳng (P): 2x + y –2z + =
a) Tìm tọa độ I ∈( )d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P)
b) Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng ( )d mặt phẳng (P) Viết ptts đường
thẳng (∆) nằm mặt phẳng (P), biết đường thẳng (∆) qua A vuông góc với đường thẳng ( )d
2 (ĐH & CĐ D–07) Trong không gian với hệ độ Oxyz điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4) đường thẳng ( ) :
1
x− y+ z
∆ = =
− Tìm tọa độ điểm M∈(∆) cho MA
2 + MB2 nh
ỏ
3 (ĐHSP–KT Thủ đức 94). Cho2 điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) đường thẳng ( )d có
phương trình 2
3 2
x+ y− z−
= =
− Tìm ( )d điểm I cho IA + IB nhỏ
4 Cho điểm A(9; 0; 9), B(12; –6; –3) đường thẳng ( )d giao tuyến mặt phẳng
(P): x- – y = (Q): y + z – = Tìm điểm M∈( )d cho:
a)MA + MB nhỏ b) |MA – MB| lớn
5 (CĐSP Bình phước 04) Cho điểm A(2; –1; 1), B(–2; 3; 7) đường thẳng ( )d có
phương trình 2
2
x− y− z+
= =
− −
a) Chứng tỏđường thẳng ( )d AB nằm mặt phẳng
b)Tìm ( )d điểm I cho IA + IB nhỏ
Tài liệu tham khảo
[1] Hình học 12 ( Nâng cao) – NXB Giáo dục – Đồn Quỳnh chủ biên
[2] Các phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu – NXB Hà Nội– Lê Hồng Đức chủ
biên
[3] Các đề thi tuyển sinh ĐH & CĐ