Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm phaân bieät vaø hai ñieåm ñoù coù hoaønh ñoä döông Caâu II: ( 2 ñieåm)1. Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’..[r]
(1)ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐH,CĐ NĂM 2003 ( KHỐI A)
Câu I: ( điểm) Cho hàm số y = mx2+x+3
x −1 (1) ( m tham số ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -1
2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai điểm có hồnh độ dương Câu II: ( điểm)
1 Giải phương trình : cot gx−1=cos 2x
1+tgx+sin
2x −1 2sin 2x
2 Giải hệ phương trình :
¿ x −1
x=y −
y 2y=x3+1
¿{
¿ Câu III: (3điểm)
1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính số đo góc phẳng nhị diện [B, A’C, D]
2 Trong kgian với hệ toạ độ Đêcac vng góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’có A trùng với gốc hệ toạ độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) , (a > 0, b > 0)
Goïi M trung điểm cạnh CC’
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a b
b) Xác định tỷ số ab để hai mặt phẳng (A’BD) (MBD) vng góc với Câu IV: (2 điểm)
1 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn (1 x3+√x
5 )n ,
biết Cnn+4+1−Cnn+3=7(n+3) ( n số nguyên dương , x > 0, Cnk tổ hợp chập k n phần tử)
2 Tính tích phân : I = ∫ √5 2√3
dx x√x2
+4
Câu V: (1 điểm)
Cho x, y, z ba số dương vaø x + y + z
CMR : √x2
+
x2+√y
+
y2+√z
+1
(2)ĐÁP ÁN
Câu I: ( điểm) Cho hàm soá y = mx2+x+3
x −1 (1) ( m tham số ) 2) Pt hoành độ giao điểm (1) Ox : mx2+x+3
x −1 =
¿ mx2
+x+m=0
x ≠1 ¿{
¿
(*) YCBT Pt (*) co1 hai nghiệm phân biệt x1, x2 < x1 < x2 Tức :
¿ m≠0 Δ=1−4m2>0
S=−
m>0 P=m
m>0 m+1+m≠0
⇔
¿m≠0 −1
2<m< m<0
1>0
m≠ −1
⇔−1
2<m<0 ¿{ { {{
¿
Câu II: ( điểm)
1) ĐK :
¿ tgx≠ −1 sin 2x ≠0
⇔
¿x ≠ −π 4+kπ x ≠ kπ
2
(k∈Z)
¿{
¿
Với đk ta có : cot gx−1=cos 2x
1+tgx+sin
2 x −1
2sin 2x
cosx −sinx
sinx =
cosx(cos2x −sin2x)
cosx+sinx +sinx(sinx −cosx)
(3)
cosx −sinx=0
¿
2 sin2x −sinxcosx+cos2x=0
¿
⇔
¿ √2 cos(x+π
4)=0 ¿
2 tg2x −tgx
+1=0(VN)
¿
⇔x=π
4+kπ ,(k∈Z) ¿
¿ ¿ ¿
2)
¿ x −1
x=y −
y(1) 2y=x3+1(2)
¿{
¿
ÑK : x 0, y
(1) x2 – y = 1x−1y xy(x – y) + x – y = (x – y)(xy + 1) =
x=y
¿ xy=−1
¿
⇔
¿ x=y
¿ y=−1
x ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
+) Thay x = y vaøo (2) : x3 – 2x + =
(x – 1)(x2 + x – 1) =
x=1
¿ x=−1±√5
2 ¿
⇒
¿ y=1
¿ y=−1±√5
2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Do hệ có nghiệm : (1 ; 1), (−1+√5
2 ;
−1+√5
2 );(
−1−√5
2 ;
−1−√5
2 )
+) Thay y = −1
x vaøo (2) : − x=x
3
+1 x4 + x + = (2’)
(4)f’(x) = 4x3 + 1
f’(x) = x = −31 √4 Bảng xét dấu :
f(x) = x4 + x + 2− 31 √4 >
pt (2’) vô nghiệm
KL:Vậy hệ có nghiệm Câu III: (3điểm)
1)
Dựng BH A’C (a) (H A’C)
¿ BD⊥AC BD⊥AA'
}
¿
BD (AA’C) BD A’C (b)
từ (a), (b) suy : A’C (BDH) DH A’C
Do góc nhị diện [B, A’C, D] góc BHD Gọi a cạnh hình lập phương
Kih : BC = a, A’B = a √2 , BD = a √2
A’BC B có A’C = √A ' B2+BC2=√2a2+a2=a√3
BH2= A ' B2+
1 BC2=
1 2a2+
1 a2=
3
2a2 BH
2 = 2a2 tương tự : DH2 = 2a2
3
Aùp dụng định lý Cosin cho BHD : CosBHD = HB
2
+HD2−BD2
2 HB HD =
2 HB2−BD2 HB2 =
4a2 −2a
2
4a2
=−2a
2
4a2 =− Vậy GócBHD = 1200
Do góc phẳng nhị diện [B, A’C, D] 1200
2) A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) , (a > 0, b > 0) −31
√4
x - +
f’(x) _ + f(x) + +
2− 31 √4
A’ D’
B’ C’
A D
B C
H
(5)a) Vì AM⃗❑
=AC
⃗
❑
+AC'
⃗
❑
2 =
2 AC⃗❑ +AA'
⃗
❑
2 =
2 AB⃗❑ +2 AD
⃗
❑
+AA'
⃗
❑
2 Neân M (a ;a ;b
2) , BD ⃗
❑
=(-a; a; 0), BM❑⃗
= (0;a ;b 2)
¿ ¿0 ¿a
❑
¿b ¿0
¿},
¿b ¿0❑❑
❑
¿− a ¿− a
¿} ;
¿−a ¿−a❑❑
❑
¿0 ¿a
¿}
¿ [BA'
⃗
❑
,BD ⃗
❑
] ¿
= ( -ab; -ab; -a2)
[BA'
⃗
❑
,BD⃗❑ ].BM⃗❑ =− a2b−a
2b =−
3a2b Vaäy VBDA’M =
6|[BA' ⃗
❑
,BD⃗❑ ] BM⃗❑ |=1
6 3a2b
2 = a2b
4 ( ñvtt) b)Pt (A’BD) : xa+y
a+ z
b=1 bx + by + az – ab = Coù PVT : →n1 = ( b; b; a)
Pt (MBD) qua B(a; 0; 0) coù VTPT :
A’
B’ C’
A D
(6)¿ ¿a ¿a❑❑
❑
¿0 ¿b/2
¿} ,
¿0 ¿b/2❑❑
❑
¿− a ¿0 ¿},
¿− a ¿0 ❑❑
❑
¿a ¿a
¿}
¿ n →
2=[BD ⃗
❑
,BM⃗❑ ] ¿
Để (A’BD) (MBD) →n
1.n →
2=0 ab2
2 + ab2
2 − a
=0⇔b2− a2=0⇔
a=b
¿ a=− b(loai)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
a = b a
b=1
Vậy ab=1 (A’BD) (MBD)
Câu IV: (2 điểm)
1) Ta coù : Cnn+4+1−Cnn+3=7(n+3)
(n+4)! (n+1)!3!−
(n+3)!
n!3! =7(n+3)
(n + 2)(n +3)(n + 4) – (n + 1)(n + 2)(n + 3) = !(n +3) (n + 2)(n + 4) – (n +1)(n + 2) = 7.3 ! (vì n +Z¿
❑ ¿ )
3n = 36 n =12
Maø : (1 x3+√x
5
)n=(x+x
1 5)
12
=∑
k=0 12
C12 k
.x−3k(x 2)
12− k
=∑
k=0 12
C12 k
.x 60−11k
2
Để có số hạng chứa x8 , ta chọn k cho : 30 – 11k
2 = k = Vậy hệ số số hạng chứa x8 cần tìm : C
12
=12!
4!8! = 495 2) Tính tích phân : I = ∫
√5 2√3
dx x√x2
+4
Đặt t = √x2+4 t2 = x2 + dt = 2x
2√x2
+4 dx dx =
(7)x = 2√3 t =
Suy : I = ∫
3
tdt
(t2−4)t=∫3
dt
t2−4=∫
dt
(t −2)(t+2)=
1 4∫3
4
(t −12− t+2)dt=
1
4(ln|t −2|−ln|t+2|)¿3
=1
4 ln| t −2
t+2|¿3
4
=1
4 ln Câu V: (1 điểm)
Cho x, y, z ba số dương x + y + z
CMR : √x2
+ x2+√y
2
+ y2+√z
2
+1 z2≥√82
Cauchy cho số dương x, y, z : < x.y.z (x+y+z )
3 ≤
27 ⇒ xyz ≥27 p dụng BĐT Cauchy cho 82 số dương gồm : số 81x2 81 số
x2 : 81x2+
x2+ + x2≥82
82
√81x160⇔81x
+81
x2≥82 82
√81x160⇔81(x
+
x2)≥82 82
√81x160
⇔x2+
x2≥ 82 81❑
82
√81x160⇒√x+ x2≥
√82
41
√x340 Do :
xyz¿40
¿ ¿
27
¿
√x2+ x2+√y
2
+ y2+√z
2
+ z2≥
√82 (
41
√ x40+
41
√ y40+
41
√ z40)≥
√82
123 √¿
Dấu ‘=’ xảy
¿ 81x2=
x2 81y2
=
y2 81z2=1
z2
⇔x4
=y4=z4=
81⇔x=y=z= ¿{ {